河南省驻马店市部分校2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.尼知集合A-血智os景amB=气号4小则AUB= c- 2.已知1，m,n为三条不同的直线，&，β，y为三个不同的平面，则下列结论正确的是 A.若m与n没有公共点，则m∥n B.若lCa,m中a,则l,m是异面直线 C.若m∥l,l⊥a,则m⊥a D,若l⊥a,n⊥a,则l⊥n 3.已知工，y为正实数，则2红+)+工十3别的最小值为 2 A.9 B.7 C.2√6 D.2√2 4.已知向量a=(一3,4)，向量b=(一1,0)，则向量a十b在向量b方向上的投影向量的模为 A、4 5 B号 C.-4 D.4 5.某次数学测验中，一班42名同学的数学测验成绩的平均分为105分，方差为86；二班48 名同学的数学测验成绩的平均分为90分，方差为71.那么这90名同学本次数学测验成绩 的方差为 A.134 B.132 C.128 D.112 6者PMN)-子，PM=号，PG)-音则下列结论错误的是 A.事件M与N相互独立 BPM+N)=沿 C.事件M与N互斥 D.P(M N)<P(MN) 第1页（共4页） 7.早在公元前十一世纪，西周数学家商高就提出了“勾三股四弦五”，《周髀算经》中也有相关 的记载，故勾股定理也称“商高定理”，现有一△ABC的三边满足商高定理，其中勾AC的 长为3，∠CAB=90°，点A在弦BC上的射影为点D,则(CB-CA)·AD= A号 B 44 25 c岩 D-9 8.函数y=(1ogo.sx)2一41ogo.5x十5的单调递增区间为 B哈 c0. D[+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数之满足(1一)z=2i,z为复数z的共轭复数，则下列结论正确的是 A.z=-1+i B.lx|=√2 C.在复平面内，复数z对应的点位于第二象限 D.复数之是方程x2十2x+2=0的一个根 10.已知函数fx)=5mox一君)。>0)，若将f(z)的图象向左平移雪个单位长度后，得 到的图象关于y轴对称，则w的值可能是 A.8 B.4 C.3 D.2 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD一A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不包含端 点)，则下列说法正确的是 A.不存在点P,使得直线D,P与AC所成的角为贺 D B B.存在点P,使得平面APD1∥平面C1BD C.三棱维D:一CDP的体积为后 D.存在点P,使得直线A1B⊥平面PDC1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12函数f(x)=的定义裁为 13.已知正六棱锥的底面边长为√3，高为3，则该正六棱锥的外接球的体积为 14.甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下'：比赛最多打5场，每场胜者得1 分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者 获胜，已知每场比赛中甲同学获胜的概率是号，乙同学获胜的概率是了，各杨比赛互不影 响，则甲同学最终获胜的概率为 第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2a sinc十sinB (1)求证：b2+c2=2a2; (2)若a=5,60sA-,设D是边BC的中点，求AD的长。 16.(15分)数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数 字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供了更多 的选择性和可能性.现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单 位：岁)进行分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5 组[55,65]，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中a的值和第25百分位数； (2)在这200名市民中，用比例分配的分层随机抽样方法从年龄在[25,35)和[45,55)的 市民中抽取6名市民做问卷调查，并从中随机抽取2名幸运市民，求2名幸运市民的年 龄都在[25,35)内的概率. 频率 组距 0.030 0.015 0.010 0152535455565年龄/岁 17.(15分)已知函数f(x)=2sin(ax十φ)A>0,w>0,lp<受)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式及f(x)的单调递增区间； 2若∈，引且f侣+)-号求f侣+)的值 11π 12 0 铅 -2 第3页（共4页） 8.7分)E知函数fz)=2F十3a∈R且Q≠0)是倡函数，g)=fc名 (1)求实数a的值； ②)若对于Vx∈R,不等式g2-红- +g(-m2+2m十4)>0恒成立，求整数m的 取值集合， 19.(17分)如图，在四棱锥S一ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD⊥平面SAB,AB=AS, BC=2,BS=2√6，N是边BS的中点，M是边SC的中点. (1)证明：MN∥平面SAD; (2)求点M到平面SAB的距离； (3)若二面角S-AD-C的余弦值为4，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值. 0 M 第4页（共4页）高二数学参考答案及评分意见 所以集合A= √3√23 2’2’3 2C【解析】对于A,空间中的两条直线没有公共点，包含两种情况：一是在同一平面内的平行直线，二是在不同平 面内的异面直线，因此m与n不一定平行，A错误. 对于B,若lCa,m中a,则l∥m或l与m相交或l,m是异面直线，B错误. 对于C,若m∥l,l⊥a,则m⊥a,C正确 对于D,若l⊥a,n⊥a,则l∥n,D错误.故选C. B【解折因为以为正实数，所以2红中+3》-2+之+子+3-兰+号+5≥2，√经·号 y.x+5=7, y x y x y -号，即x=y时取等号所以2十+十3型的最小值为7，故选B 当且仅当'=工 y y 4.D【解析】因为a=(-3,4),b=(-1,0),所以a+b=(-4,4),且b=√/(-1)2+02=1. 所以(a+b)·b=(-4)×(-1)+4×0=4, 所以a十b在b方向上的投影向量的模为(a+b)·b b =4.故选D. 5.A【解析】由题意，一班同学的人数n1=42,平均分x1=105,二班同学的人数n2=48,平均分x2=90, 则这90名同学本次数学测验成绩的总体平均分为工=正：十n:还：-42X105十48X90=97. n1十n2 42+48 因为一班42名同学数学测验成绩的方差为s=86,二班48名同学数学测验成绩的方差为s-71, 所以这90名同学本次数学测验成绩的方差为，2=m[s好十(1-2)2]十m[s十(G,-x)] n1十n2 -42[86+(105-97)2]+48[71+(90-97)2]_42X150+48×12012060 90 90 90 =134.故选A. 6C【解折]因为PN)=令，所以P(N)=1-名-，所以PM)·P(N)=号×8- 因为P(MN)-,所以PMN)=P(M)·P(N),即事件M与N相互独立，故A正确， T84一40，故B正确. P(M+N)=P(M)+P(N)-P(MN)-51=31 因为P(M+N)≠P(M)十P(N),所以事件M与N不互斥，故C错误. 因为事件M与N相互独立，所以事件M,N也相互独立， 因为P)=1-号-所以PMN)=PMDP(N)-子X8-0, 所以P(MN)<P(MN),故D正确故选C. 7.B【解析】如图，由题意可知AC=3,AB=4,BC=5,则cosC-BC-5 AC 3 数学答案第1页（共6页） 因为AD⊥BC,所以∠BAD+∠B=∠C+∠B=90°，所以∠BAD=∠C,即coS∠BAD=coSC=3 所以(CB-CA)·AD=AB·AD=|AB|·|AD1·coS∠BAD=|AB|·|AB1coS∠BAD·coS∠BAD =(店·eos∠BAD)-(X-放选B 8.D【解析】令u=logo.sx,x>0,则u=logo.sx在(0，十o∞)上单调递减. 因为y=u2-4u+5=(u-2)2十1在(-∞，2]上单调递减，在[2，十∞)上单调递增， 所以根据复合函数单调性“同增异减”原则知，当u≤2时，函数y=(1og.5x)2一41og.5x十5单调递增. 由1oe≤2，得1og号≤1og子解得≥号 所以函数y=(1oga.5x)2-4logo.5x十5的单调递增区间是 .故选D. 2i 2i(1+i) 9.ABD【解析】因为1-iDz=2i,所以之=1二一aD1十D=-1+i,故A正确， |之|=√（-1)2+1=2，故B正确； 由题意得之=一1一i,则在复平面内，复数之对应的点的坐标为（一1，一1），位于第三象限，故C错误； 因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=-2i-2+2i+2=0, 所以复数之是方程x2+2x十2=0的一个根，故D正确.故选ABD. 1nAD【解折将了)的图象向左平移爱个单位长度后，得到g)=sncr+-)的图象 要使函数gx)的图象关于y轴对称，则清足-背-登十，k∈乙，解得。=2+3，∈乙 因为w>0,所以结合选项知，w的值可能是2,8故选AD. 11.BCD【解析】对于A,当点P为线段A1B上靠近点A1的四等分点时，如图，连接BC1,A1C1,DP,AC, 3√2 过点P作PQ∥AC1,交BC于点Q,连接D1Q,则PQ=4AC1= 3 4 D 又正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC∥A1C1,所以PQ∥AC,则直线D1P与AC所成的角为∠D1PQ. 又D1P=√D1A十A1P= 1+ -.q-/cc-+ 2 2 3√2 4 4 4 所以△D,PQ为等边三角形，所以∠D,PQ-了，放A错误。 对于B,如图，当点P为AB的中点时，则AP∥C1D.又AP中平面CBD,CDC平面C1BD,所以AP∥平面 数学答案第2页（共6页） C1BD.同理，AD1∥平面C1BD.又AD1∩AP=A,AD1,APC平面APD1,所以平面APD1∥平面C1BD,故B 正确. 对于C,三楼维D,一CDP的体积Va-w=V:-m=言×Saam,×AD=专×号X1X1X1=行 1 6, 故C正确. 对于D,当点P为A1B的中点时，则AB1∩A1B=P.因为B1A∥C1D,所以平面PDC1即平面ADC1B1. 因为AD⊥平面ABB1A1,A1BC平面ABB1A1,所以AD⊥A1B. 又AB1⊥A1B,AD∩AB,=A,AD,AB,C平面ADC1B1,所以AB⊥平面ADC1B1, 即A1B⊥平面PDC1,故D正确.故选BCD. 12.(3,+∞)【解析】要使函数f(x)=√-3 无-3有意义，需满足一3≥0，。 x-3≠0， 解得x>3,即函数f(x)=-3 3的定 义域为(3，十∞). 18.3【解析1如图，在正六棱能P-ABCDEF中，设底面的中心为0，连接P0,0D,则P0=3,0D-5。 易知正六棱锥的外接球的球心O1在PO上，设外接球的半径为R. D E 在Rt△O1OD中，O1O2+OD2=O1D2,即(3-R)2+(3)2=R2,解得R=2, 所以正六棱锥的外接球的体积V=青R:= 3元X2-32x 31 14器 【解析】由题意，得比赛可能在第2场、第4场或第5场终止.设事件A:=“打i场比赛后甲同学获胜”. 比赛在第2场终止：则甲同学连胜时场，P(A,)一（份）=台： 比赛在第4场终止，则前两场比赛中双方各胜一场，第3,4场比赛甲同学连胜，P(A,)=2×号×号× 比赛在第5场终止，则前4场比赛中双方各胜2场，第5场比赛甲同学获胜，P(A,)=2×名×× 3 3十 2=32 3243 数学答案第3页（共6页） 所以甲同学终获鞋的据率P(D)-PA,)十PA,)PA,)一专+器-器 15.(1)证明：由2a ) 1 b =2a (cosB⊥cosC sin B sin C sin Csin B' 2a sin Ccos B+cos Csin Bbsin B+csin C sin Bsin C sin Csin B 所以2asin(C+B)=bsin B十csin C.…3分 因为A+B+C=π，所以sinA-sin(C+B),所以2 asin A=bsin B+csin C. 由正弦定理，得2a2=b2十c2,即b2十c2=2a2.… …6分 (2)解：由余弦定理，得a2=b2十c2-2 bccos A. 因为a=5sA=8,所以25=6+e-6c. 又由(1)知b2+c2=2a2,所以bc=20.… …9分 因为点D是边BC的中点，所以A市=2(A店+AC, 所以a访=+A衣+2A.AC)=c+6+2版0sA)=(2×25+2X20 5= 75 4 ，…12分 则a1-5兰所以AD的长为5。 …13分 16.解：(1)由频率分布直方图的性质，得(0.010十0.030+a+0.015+0.010)×10=1, 獬得a=0.035.… …2分 因为第一组的频率为0.010×10=0.1,0.1<0.25， 第二组的频率为0.030×10=0.3,0.1十0.3=0.4>0.25， 所以第25百分位数在第二组[25,35)内.… …4分 设第25百分位数为，则0.1十乙25×0.3=0.25，解得x=30. 10 所以第25百分位数为30.…7分 (2)由已知得，年龄在[25,35)内的市民人数为200×0.3=60， 年龄在[45,55)内的市民人数为200×0.015×10=30. 60 用比例分配的分层随机抽样方法，抽取年龄在[25,35)的市民人数为6×60十30=4， 年龄在[45,55)的市民人数为6X60303视2…………m …9分 年龄在[25,35)的4人分别记为A,B,C,D,年龄在[45,55)的2人分别记为E,F, 则从这6名市民中抽取2名，样本空间为{(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B, F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)}, 共有15个等可能的样本点.…11分 其中事件“2名幸运市民的年龄都在[25,35)内”={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共有6个 样本点，… ……………………………………………………13分 所以两名幸运市民的年龄都在[25,35)内的概率为，。-2。 155 …15分 数学答案第4页（共6页） 由题图得12-=2即T=元，则o-2,∴fc)=2sin(2x+以.…- 特点（臣的坐标代人程2=2n倍+小晋+g=受+2∈2g=一吾+2∈z 2 :lp<∴g=-∴fx)=2sin2x- …5分 令-十2≤2红-≤+2x∈Z解得-十x≤设+x,k∈2 f)的单调满地区间为[-音+登-小，e人 …7分 2题意得+引-2a--号则me+）-号 …9分 6》a++- .…11分 则（侣+）=n=2ne+g-到 -2sin())in =2x[9×-+×]= 15分 18.解：1)因为fx)=2+会是偶函数，所以了(-x)=x), 所以2+2=2r+，即2+a…2=2+…… …2分 整理得a-12+1-a)安=0，即(a-1(2一)=0， 为x∈R,2一)不恒为0，所以a-1=0,解得a=1 …5分 (2由1知a=1,则g(e)=)一是=2+是-22，定义城为R 因为y=2在R上单调递增，y=一之在R上单调递增，所以g(x)在R上单调递增。…7分 因为YxR,g(-x)=222 1. 一2=一g(x),所以g(x)是奇函数. …9分 所以不等式g-x-)十g(-m+2m+≥0可化为(e-x-》>-g-m+2m+, 即g2--小gm-2m一4，所以2-->m2-m-4.1分 对于Hx∈R,x2-x- >m-2m-4恒成立，即(：-)>m2-2m-4 3 …………………12分 令A:)=-一是则k(✉)的图象开向上，其被小值为A=A公)-（位）广-专氵-1， 所以-1>m2-2m-4,解得-1<m<3.… ……15分 又m为整数，所以m的值为0,1,2， 数学答案第5页（共6页） 即整数m的取值集合是{0,1,2}.… …17分 19.(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，所以BC∥AD: 因为N是边BS的中点，M是边SC的中点，所以MN∥BC,MN=BC,所以MN∥AD.·3分 因为MN中平面SAD,ADC平面SAD,所以MN∥平面SAD.…5分 (2)解：因为AD⊥平面SAB,BC∥AD,所以BC⊥平面SAB, 即点C到平面SAB的距离为BC的长度2.… …7分 又M是边SC的中点，所以点M到平面SAB的距离是点C到平面SAB距离的一半， 以点M到平面SAB的距离为)X2=l,……9 (3)解：因为AD⊥平面SAB,AB,ASC平面SAB,所以AD⊥AB,AD⊥AS, 所以∠SAB就是二面角S-AD-C的平面角，即cos∠SAB-. …11分 因为BS=2√6，所以由余弦定理，得BS2=AS?十AB2-2·AS·AB·cos∠SAB, 即24=2AB-2ABX号AB,解得AB=4,所以AS=4. 如图，过点S作SO⊥AB于点O,连接AN.因为AD⊥平面SAB,SOC平面SAB,所以AD⊥SO. 因为AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD,所以SO⊥平面ABCD. 在R△sM0中.S0-A5·☑sAB=4×-得-4×年-5. 因为M是边SC的中点，所以点M到平面ABCD的距离h是点S到平面ABCD距离的一半， 即A=250- 2… …14分 因为AD⊥平面SAB,ANC平面SAB,所以AD⊥AN,即四边形ADMN是直角梯形. 由(I)痴MN∥AD,MN=BC=1. 在等腰三角形ABS中，AN=√AS2-SN=√42-(W6)2=√/I0.】 所以在直角梯形ADMN中，DM=√AN2+(AD-MN)z=√（√/10）2+(2-1)2=√/1I, √15 h 2 所以直线DM与平面ABCD所成角的正弦值为 √/165 DM1=22 …17分 数学答案第6页（共6页）