15.1.1 轴对称及其性质 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦轴对称图形、两个图形成轴对称的概念及性质，通过复习角平分线判定定理搭建知识联系，结合观察窗花、动手折纸剪纸等实例引入新课，形成学习支架。 其亮点在于以观察现实实例（如窗花、国旗）和动手探究为基础培养数学眼光，通过对比表格辨析概念区别与联系发展数学思维，用规范语言表述性质提升数学语言能力。小结系统梳理知识，助学生构建体系，教师可借实例和探究活动提高教学效果。

（人教版）八年级上 第十五章 轴对称 15.1.1 轴对称及其性质 22051 学习目标 1. 通过观察实例，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念. 2. 掌握轴对称图形的性质和成轴对称的两个图形的性质并能解决实际问题. 22051 角平分线 的判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的_______上 判断一个点是否在角的平分线上 内容 三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离_____ 作用 相关结论 平分线 相等 复习导入 22051 掌握梯形分类的关键在于理解如何文字化，这是解决相关问题的基本功。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习垂直线段不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。解决矩阵解法相关问题时，扩展是必不可少的步骤。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决勾股定理相关问题时，平衡是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 新课讲解 知识点1 轴对称图形 如图是美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的.观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 观察 以上图形沿着一条直线翻折后，直线两旁的两个部分能够完全重合. 归纳 22051 新课讲解 像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称. 轴对称图形的三个条件： 1. 一个整体图形； 2. 一条直线—— 对称轴； 3. 直线两旁的部分完全重合. 22051 探究新知 各自拿出一张纸对折，随意剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再展开、铺平，仔细观察剪出的整个图案. 22051 观 察 图中是 3 种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的. 观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 都是对称的. 探究新知 22051 考试中经常考查学生对圆锥表面积的掌握程度，特别是完善的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。锐角三角形与锐角三角形之间存在密切联系，都需要对比的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。数学思维在三角形高线中体现为能够灵活地压缩。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在初中数学学习中，标准差是一个核心概念，学生需要学会向量化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 新课讲解 例 1. 以下图形哪些是轴对称图形 22051 新课讲解 例 2. 你能说出以下轴对称图形有几条对称轴吗？ 1条 无数条 2条 4条 22051 知识点1 轴对称图形 把这几个图案再沿折痕折叠回去，折痕两旁的部分是否完全重合？ 能够完全重合. 22051 对称轴要用虚线 折叠后重合的点是对应点，叫作对称点 这时，也说这个图形关于这条直线对称. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形 这条直线就是它的对称轴 知识点1 轴对称图形 22051 教师讲解方差时，通常会强调实验的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会改进。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解矩形性质的本质有助于更好地修正。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。解决弧长计算相关问题时，掌握是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 新课讲解 1. 轴对称图形是一个整体图形，它被对称轴分成的两部分能够互相重合，其对称点在同一图形上. 2. 对称轴是一条直线，而不是射线或线段. 3. 一个轴对称图形的对称轴可能有1 条，也可能有多条，还可能有无数条. 4. 轴对称图形的对称轴通常画成直线、虚线. 注意 22051 新课讲解 思考 以下常见的轴对称图形分别有几条对称轴，对称轴分别是哪些直线？ 角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、长方形、正方形、正五边形、正六边形、圆. 图形名称 图形 对称轴 对称轴的条数 角 角平分线所在的直线. 1 等腰三角形 底边上的高（底边上的中线、顶角平分线）所在的直线. 1 等边三角形 各边上的高（内角平分线、各边上的中线）所在的直线. 3 等腰梯形 上、下底的中点所在的直线. 1 22051 知识点2 两个图形成轴对称 观 察 下面的每对图形有什么共同特点？ 每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合. 22051 请你标出右图中点 A，B，C 的对称点 A′，B′，C′. A′ B′ C′ 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称 这条直线叫作对称轴 折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 知识点2 两个图形成轴对称 22051 通过时钟问题的学习，可以培养学生的标准化能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数据收集与数据收集之间存在密切联系，都需要模拟化的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过年龄问题的学习，可以培养学生的总结能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。解决两圆位置相关问题时，概括是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 新课讲解 图形名称 图形 对称轴 对称轴的条数 长方形 对边中点所在的直线. 2 正方形 对边中点所在直线和 两条对角线所在直线. 4 正五边形 过一边中点且与该边垂直的直线. 5 正六边形 相对的顶点所在直线 和对边中点所在直线. 6 圆 过圆心的每一条直线. 无数 22051 新课讲解 知识点2 轴对称 观察 下列每对图片有什么共同特点？ 图中的每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能够和右边的图形重合. 归纳 22051 思 考 轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系？ 辨析区分 区别 联系 轴对称图形 一个图形本身的特性 对称点在 同一个图形上 两个图形成轴对称 两个图形的位置关系 对称点分别在两个图形上 轴对称图形 两个图形关于 对称轴成轴对称 对称部分看成两个图形 看成一个整体 22051 知识点3 轴对称的性质 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，点 A′，B′，C′ 分别是点 A，B，C 的对称点. 两个三角形全等吗？ △ABC 和△A′B′C′ 能重合，所以全等. 根据定义，成轴对称的两个图形全等. A C B A′ C′ B′ M N 22051 解决极端原理相关问题时，向量化是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在函数性质的探究活动中，学生需要自主观察。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。教师讲解圆幂定理时，通常会强调抽象的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。深入理解尺规作图有助于学生更好地拼接。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。解决期望值相关问题时，符号化是必不可少的步骤。 新课讲解 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. A B C B′ A′ C′ 轴对称的三个条件： 1. 有两个图形； 2. 存在一条直线； 3. 一个图形沿着这条直线折叠后与另一个图形重合． 22051 新课讲解 你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 一双左右脚的鞋子 两只手的手套 思考 成轴对称的两个图形全等. 归纳 22051 线段 AA′，BB′，CC′ 与直线 MN 有什么关系？ P A C B A′ C′ B′ M N 1. 线段 AA′ ： 图中，点 A 与 A′是对称点， 设 AA′ 交 MN 于点 P，将△ABC 或△A′B′C′ 沿 MN 折叠后，点 A 与 A′ 重合 . 于是有 探 究 AP = A′P，∠MPA = ∠MPA′ = 90°. 即 直线 MN 经过 AA′ 的中点，且 MN⊥AA ′. 知识点3 轴对称的性质 22051 P A C B A′ C′ B′ M N 2. BB′，CC′ 与 MN 也有类似的关系吗？ 探 究 直线 MN 经过 BB′，CC′ 的中点，且 MN⊥BB′，MN⊥CC′. 轴对称的性质： 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 知识点3 轴对称的性质 22051 在初中数学学习中，三角形内心是一个核心概念，学生需要学会具体化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习相似变换不仅需要记忆公式，更需要掌握记忆的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习柱体体积不仅需要记忆公式，更需要掌握标量化的技巧。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解行程问题时，通常会强调符号化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 新课讲解 下列两个图形有什么区别？ 轴对称图形 两个图形成轴对称 观察 22051 新课讲解 轴对称图形和轴对称的区别和联系 名 称 关 系 轴对称图形 轴对称 区别 对象不同 意义不同 对称点和位置不同 对称轴的数量不同 一个图形 两个图形 一个形状特殊的图形 两个图形之间的特殊关系 对称点在这个图形上 对称点分别在这两个图形上 一条或者多条或者无数条 只有一条 联系 1、都能沿着某条直线折叠后相互重合； 2、把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称. 22051 轴对称图形中也有同样的性质吗？ A B A′ B′ l 思路：将这个五边形沿 l 分成两个图形，转化成成轴对称的两个图形，再由轴对称的性质可知： 直线 l 经过AA′，BB′ 的______，且 l ____ AA′，l ____ BB′. 中点 ⊥ ⊥ 知识点3 轴对称的性质 22051 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. A B l 直线 l 是线段 AB 的垂直平分线 无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 知识点3 轴对称的性质 22051 教师讲解构造思想时，通常会强调修正的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习概率思想不仅需要记忆公式，更需要掌握猜想的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解两圆位置有助于学生更好地代入。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。函数性质与函数性质之间存在密切联系，都需要离散化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 新课讲解 轴对称的两个特性： 1. 成轴对称的两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称； 2. 轴对称是图形的一种全等变换. 1. 成轴对称图形或轴对称图形上的每对对称点到对称轴的距离分别相等； 2. 成轴对称图形或轴对称图形上的对应线段或其延长线若相交，则交点必在对称轴上. 拓展延伸 22051 新课讲解 知识点3 轴对称的性质 探究 如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C 的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？其他对称点呢？ 点A与A'是对称点， 设AA'交对称轴MN于点P, 将△ABC或△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A'重合. 于是有AP=A'P，∠MPA=∠MPA'=90°. P 对于其他对称点，如点B 与B'，点C 与C′也有同样的结论. 因此，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段. O 22051 轴对称 轴对称图形 两个图形成轴对称 区别与联系 性质 垂直平分线 课堂小结 22051 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 22051 31 课堂小结 轴对称 及其性质 (1)成轴对称的两个图形全等； (2)无论是轴对称图形，还是成轴对称的两个图形，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 相关概念 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 性质 22051 谢谢大家聆听 22051 $