5.2.2 同角三角函数的基本关系课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦同角三角函数的基本关系，通过复习单位圆定义、象限符号及诱导公式一搭建知识支架，引导学生从已学内容自然过渡到探究同一角三角函数值的内在联系。 其亮点在于以数学眼光引导公式推导，通过单位圆定义培养抽象能力，以数学思维设计分类讨论和化弦为切等方法提升推理能力，以数学语言规范符号表达。例如例1“先定位后定量”的解题步骤，帮助学生养成逻辑思维，教师可借助系统例题和分层训练提高教学效率。

第五章 三角函数 5.2 三角函数的概念 课时2 同角三角函数的基本关系 1 1、单位圆中任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？ P(x,y) A(1,0) x y α O 一、复习回顾 2、三角函数的值在各象限的符号是怎样的？ x y O ＋　　 ＋ －　　 － x y O ＋ ＋ － － x y O ＋ － ＋ － x=cosα (x≠0). y=sinα; 2 　　这里用到了一个公式，这个公式我们现在还能不能用？为什么？ 探究！上述诱导公式表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么同一个角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 其中 3.诱导公式一： 探究新知 O x y 同角三角函数的平方关系 同角三角函数的商数关系 4 2. 对于平方关系和商数关系的变形 特别提醒:（1）注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一 个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立,即与角的表达形式无关,如 成立,但是 就不一定成立. （2） 是的简写,读作“ 的平方”,不能将 写成 ,前者 是 的正弦的平方,后者是 的正弦,两者是不同的,要弄清它们的区别,并能正确书写. （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的, 对一切恒成立,而仅对 成立. 6 例1 （1）已知的值. 一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值 （2）已知 ,,,则 _ ____. 例1 已知的值. 解：∵， ∴是第三象限角或第四象限角. ∵， ∴， 当是第三象限角，则 于是， 从而 先定位（判象限、定正负） 后定量（用公式） 分类讨论！ [解析] （2）由已知得 由①得 ,代入②得,所以 , 又 ,,所以,所以 . 9 例1（2）已知,求 , 的值. 巩固训练1 已知，且 是第三象限角，求 ， 的值. 10 例1 （2）因为,所以 是第二或第三象限的角. 如果 是第二象限角,那么 , . 如果 是第三象限角,那么, . 巩固训练1 由，得 . ① 又 ， ② 由①②得，即 . 又 是第三象限角， ， . 11 方法总结：利用同角三角函数的两个基本关系式，“知一个求其二”. 题型一. 已知sin α（或cos α），求cos α（或sin α），tan α. 题型二. 已知tan α，求cos α，sin α. 12 二、化简求值与恒等式的证明 例2 化简:（1）,其中 是第二象限角; （2） . 13 [解析] （1）因为 是第二象限角,所以,, , 故 . （2）原式 , 因为,所以 ,所以原式 , 当时,原式;当时,原式 . 14 方法总结 同角三角函数关系式化简的常用方法 （1）化切为弦,减少函数名称; （2）对含有根号的,应先把被开方式化为完全平方式,再去掉根号; （3）对含有高次的三角函数式,可借助于因式分解或构造平方关系,从而降幂化简. 15 巩固训练2 化简 . [解析] 原式 . 16 典例解析：恒等式证明 例3.求证： 今后，除特殊注明外，我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式. 典例解析：恒等式证明 例3.求证： 证法1： 由，知所以 所以，原式成立 证法2： 且 ， 还有其它证明方法吗？ 探究2 三角函数式的求值 一、弦切互化求值 例3 已知 ，计算： （1） ； （2） ； （3） . 19 [解析] （1）因为，所以 . （2）因为，所以 . （3）因为 ,所以 . 20 方法总结 已知 的值，求关于 ， 齐次式的值的方法 （1）对只含有 ， 的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过 除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入. （2）对于形如或 的分式，分子、分母同时除 以 ， ，将正、余弦转化为正切，从而求值. （3）对于形如 的式子，将其看成分母为1的分式， 再将分母1变形为 ，转化为形如 的式子求值. 21 二、 型求值问题 例4 已知, ,求: （1） ; （2） . 22 [解析] （1）由,得 . 又,所以,整理得 , 即,解得或 . 又,所以,则 , 所以 , 故 . 23 （2）（法一）由（1）可知, . （法二）因为,所以 , 又,两边平方,整理得,所以 . 又,所以 . 24 方法总结 （1）在 , , 三个式子中,已知其中一个,可以求其 他两个,即“知一求二”. （2）求 或 的值,要注意判断它们的符号. 25 巩固训练1 若,则 ____. [解析] 由已知得 , , . 26 巩固训练2 已知，且 是第二象限角. （1）求 的值； （2）求 的值. [解析] （1），且 是第二象限角， ， . （2） . 27 1.已知,,则 的值为( ) . B A. B. C. D. [解析] 因为,,所以, . 28 2.已知,,则 ( ) . A A. B. C.1 D. [解析] 由解得 则 .故选A. 29 3.已知,则 ( ) . D A. B.2 C.5 D.8 [解析] ,, . 30 4.（1）化简,其中 是第二象限角. （2）求证: . [解析] （1）因为 是第二象限角,所以, , 所以 , 所以 . （2）左边 右边. 31 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1） , .( ) √ （2） , .( ) × （3） 若,则 .( ) × 32 2.下列四个结论中，可能成立的是( ) . B A.且 B.且 C.且 D.当 是第二象限角时， 33 3.若，且，则 __. [解析] ， 又，，，， . 4.若,且 为第四象限角,则 ____. [解析] 因为 为第四象限角,且 ,所以 ,所以 . 34 提示　前者对任意角α都成立，当α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，tan α＝eq \f(sin α,cos α)成立. 探究一 设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，根据三角函数的定义知 y＝sin α，x＝cos α，＝tan α. (1)能否根据x，y的关系得到sin α，cos α，tan α的关系？ (2)公式sin2α＋cos2α＝1与tan α＝eq \f(sin α,cos α)对任意角都成立吗？ $