8.2 函数与数学模型（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

第八章 函数应用 8.2 函数与数学模型 课标要点 ①了解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义 ②能区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的不同 ③能根据函数模型分析和解决一些实际问题 学习重难点 重点：.能够运用已经学过的一次函数、二次函数、分段函数及幂函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用 难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题；能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题. 知识点 常见函数模型 1、一次函数模型（，为常数） 2、反比例函数模型（） 3、二次函数模型（） 4、指数函数模型（且，） 5、对数函数模型（且，） 6、幂函数模型（，） 7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合 8、对勾函数模型： 题型 指对幂函数增长差异（重点） ▌例1 （26-27高一上·全国·课堂例题）“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间x(月)与枝数y(枝)的散点图(直角坐标系中作出对应的点)，那么最符合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（    ） A．指数函数 B．对数函数 C．幂函数 D．二次函数 【答案】A 【详解】由散点图可得，函数图象从左到右呈上升趋势，且增长速度越来越快， 这几个点接近，，，，， 因此，最符合的函数是指数函数 . ▌例2 （25-26高二·全国·暑假作业）下列函数中当足够大时，增长率最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析题意可知，指数函数模型增长速度最快． 【详解】当充分大时，指数函数增长最快． 一次函数是线性增长，增长率为固定常数，增长速度稳定； 对数函数是对数增长，增长速度越来越慢，当x足够大时增长率趋近于0； 幂函数是多项式增长，增长速度快于线性增长、对数增长，但远慢于指数增长； 指数函数是指数增长，当x足够大时，增长速度会远超幂函数、一次函数、对数函数，因此本题增长率最大的是指数函数. 故选：D ▌对点练1-1．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，在上增长速度最慢的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【详解】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. ▌对点练1-2．（2025高一上·全国·专题练习）当x充分大时，下列函数增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不同函数的增长速度判断。 【详解】比较一次函数、指数函数与对数函数、二次函数可知，指数函数增长速度最快．故答案为：A ▌对点练1-3．（多选）（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段检测）函数，在区间上（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 【答案】ABC 【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质即得. 【详解】作出三个函数在区间上的图象， 根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区间上， 的递增速度越来越快，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度快于的递减速度，故D错误， 故选：ABC. 题型 根据实际问题增长率选择合适的函数模型（重点） ▌例1（湖南省常德市第七中学2025-2026学年高一上学期1月期末检测数学试题）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 40 60 80 120 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【详解】由图表中数据可知函数模型满足： 第一，定义域为， 第二，在定义域单调递增， 第三，函数图象过原点， 所以函数在定义域内单调递减，不符合条件，故B错误； 函数中0不在函数的定义域中，故C错误； 观察数据可知，各点连线的斜率不相等，故函数不为一次函数，D错误； 因此更符合，故A正确， 故选：A. ▌例2（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确. 故选：B. ▌对点练2-1（河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题）根据下列表格中的数据选择合适的模型，则的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出散点图，可得出结论. 【详解】作出散点图如下图所示： 由图可知，函数在上单调递减，且递减速度越来越慢，D选项中的函数模型较为合适. 故选：D. ▌对点练2-2卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的增长速度可得合适的函数模型. 【详解】由图可知，随着的增长，的增长速度越来越慢，C选项中的函数模型较为合适. 故选：C. ▌对点练2-3（25-26高三·全国·一轮复习）为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t（年）与树高y（米）之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①；②；③；④中（其中a为正的常数），生长年数与树高的关系拟合最好的是_______（填写序号），估计该树生长8年后的树高为_______米． 【答案】 ② 【分析】根据散点图的走势，由基本常见初等函数模型判断①不合适，再代值可得； 【详解】由散点图的走势，知模型①③不合适． 曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②；③；④，当时，代入④中，得，与图不符，易知拟合最好的是②，将代入②式，得（米）． 故答案为：②； 题型利用二次函数模型解决实际问题 解题贴士 适用于最值优化、动态变化类实际问题，建模核心是提取变量二次对应关系，构建二次函数解析式． 解题优先确定自变量实际取值范围，结合二次函数开口方向、对称轴位置，判断对称轴与闭区间的位置关系，求解区间最值与取值范围，最终结合实际情境验证结果、还原实际问题答案 ▌例1（24-25高一上·河南·阶段检测）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意，用表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于的表达式，利用配方法即可得解. 【详解】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为， 设所建造的禽舍总面积为， 则， 所以当所建造的禽舍总面积最大时，的值. 故选：D. ▌例2市场营销人员对过去几年某产品的价格及月平均销售数量的关系作数据分析时发现有如下规律：该商品的价格每上涨（），销售量就减少，（其中为正常数），目前，该商品最初的定价为元，月平均销售量为个. (1)写出销售额与的函数关系； (2)当时，该商品的价格上涨多少就能使销售的总金额达到最大？ 【答案】(1)； (2)上涨. 【分析】（1）根据题意，由条件即可得到函数关系式； （2）根据题意，由二次函数的最值，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意， 设月平均销售总额为，由已知条件知 ； （2）当时， ， 显然，当时，. 当价格上涨时，销售总额最大值为. ▌对点练3-1一列地铁列车有8节车厢，每天在一个班次时间内往返起点和终点共30次，若这列地铁加挂4节车厢，则同样一个班次可往返20次，经测算，车厢增加的节数与每班次往返次数的减少成正比，那么，地铁调度室应怎样安排这列地铁每班次的往返次数及每次需挂几节车厢，才能使每班次乘客的运输总量最大. 【答案】每次加挂2节车厢，每班次往返25次，运输总量最大 【分析】根据题意，结合条件可得运输总量与减少往返次数的函数关系，结合二次函数的最值，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，设加挂节车厢，减少往返次数次，则. 由题意时，，所以，， 再设一个班次运输总量为， ， 当，这时，取最大值. 即每次加挂2节车厢，每班次往返25次，运输总量最大. ▌对点练3-2（25-26高一上·上海·期末）上海某工厂以x吨/天的速度匀速生产某种产品，每天可获得的利润是万元，其中． (1)要使生产该产品2天获得的利润不低于30万元，求x的取值范围； (2)要使生产900吨该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润． 【答案】(1) (2)每天6吨，利润最大，4575. 【分析】（1）由题意可得，即得范围. （2）先求出需要几天，再乘以每天的利润求总利润，利用二次函数求最大值即可. 【详解】（1）根据题意，， 得，即解得或， 又，可得． （2）设利润为y万元，则， ， 故时，万元． ▌对点练3-3（24-25高一上·上海·随堂练习）企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为万元，两者满足关系：． (1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值； (2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）． 【答案】(1)1965万元 (2)22.5万台 【分析】（1）（2）根据利润等于销售收入减去成本即可得到函数关系式，用二次函数求最值的方法即可得到. 【详解】（1）设利润为． 则， 当时，， 所以产量为45万台时，甲企业获利最大为1965万元. （2）设利润为． 设乙企业产量为x万台，此时甲依旧按照45万台产量生产， 对于乙企业，每万台产品的销售收入为， 则 ． 当时，最大， 所以乙企业产量为22.5万台，获得利润最大． 题型分段函数模型（重点） 解题贴士 适配分段变化、阶段性规律的实际问题，根据不同自变量区间对应不同函数解析式，分段建立模型、分段求解．解题关键是精准划分自变量取值区间，严格遵循各段函数解析式的运算规则，分别求解各段最值、范围，最后整合所有区间结果，贴合实际场景综合作答 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫健委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完，写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. 【答案】 【分析】分和两种情况，由题意得到函数解析式； 【详解】当时， ， 当时， ， 故 ▌例2（24-25高一上·云南昭通·期末）已知每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克／升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次1个单位的洗衣液，求3分钟后水中洗衣液的浓度； (2)若只投放一次1个单位的洗衣液，则有效去污时间可达多少分钟？ (3)若第一次投放2个单位的洗衣液，14分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第15分钟时（从第一次投放算起），洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由. 【答案】(1)4.8（克／升） (2)6分钟 (3)是，理由如下： 若第一次投放2个单位的洗衣液，14分钟后再投放1个单位的洗衣液， ∴在第15分钟时，水中洗衣液的浓度为， ∴在第15分钟时（从第一次投放算起），洗衣液能起到有效去污的作用. 【分析】（1）由题意，根据给定的函数解析式，代入相应的值可得答案； （2）根据分段函数的解析式，分情况建立不等式，可得答案； （3）根据题意，结合分段函数，代入数值，直接相加即可. 【详解】（1）因为每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克／升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中 所以若只投放1个单位的洗衣液，则3分钟后水中洗衣液的浓度（克／升）. （2）若只投放一次1个单位的洗衣液，且当水中洗衣液的浓度不低于4（克／升）时，它能起到去污的作用， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，有效去污时间为6分钟. （3）略 ▌对点练4-1（25-26高三上·福建三明·开学考试）春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，．经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为．求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数. 【答案】，4200人 【分析】分和，得到求解. 【详解】当时，设，，则， 当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人， ． 则， 故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人． ▌对点练4-2（23-24高一上·安徽黄山·期末）某市有“四景一水”构成的旅游产业，为整合开发新型旅游项目，该市将在原有的“四景一水”的基础上开发新的游玩项目，计划2024年投入固定成本万元，若该项目2024年有万游客，则需另投入万元，且 ，该游玩项目的每张门票售价为元. (1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润 销售额成本）； (2)当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少. 【答案】(1) (2)当年游客为万人时，利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）由题设计算求解即可； （2）结合一次函数，二次函数的性质和基本不等式分段讨论求解函数的最值即可得解. 【详解】（1）由题意，，       所以. （2）当时，单调递增，所以；          当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以当年游客为万人时，利润最大，最大利润为万元. ▌对点练4-3（24-25高一上·四川巴中·阶段检测）为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县抓住机遇，利用得天独厚的绿色资源天然氧吧，大力开发皇家山旅游康养中心游玩项目，助力脱贫.当地某旅游公司计划在2024年全年投入固定成本万元，若该项目在年有游客万人，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴万元． (1)求年该项目的利润（万元）关于游客人数 （万人）的函数关系式;（利润＝收入－成本）； (2)当年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)30万，最大利润为205万元 【分析】（1）根据已知条件求得的解析式. （2）根据二次函数的性质以及基本不等式来求得最大利润. 【详解】（1）该项目的门票收入为万元，财政补贴收入为万元，共万元收入， 则利润 化简得. （2）①当时，单调递增， ； ②当时，对应二次函数的图象开口向下，对称轴为， 则； ③当时，， 当且仅当，即时，等号成立， ． 综上，当年的游客人数为万时，利润最大，最大利润为万元． 题型分式型函数模型的应用（重点） ▌例1（24-25高一上·广西桂林·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为56元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】(1) (2)，最小总费用是12200元. 【分析】（1）由面积求得矩形的另一边长，然后由新墙和旧墙计算费用得结论； （2）利用基本不等式求得最小值． 【详解】（1）由题意知，矩形的一边长为，另一边长为， 则 ， 故. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. ▌例2（24-25高一上·上海松江·阶段检测）某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一个月产品免税．某外资企业第一个月A型产品出厂价为每件10元，月销售量为6万件；第二个月，当地政府开始对该商品征收税率为（，即销售1元要征收元）的税收，于是该产品的出厂价就上升到每件元，预计月销售量将减少p万件． (1)试求第二个月政府对该商品征收的税收（万元）的表达式（用p表示），并求P的取值范围． (2)要使第二个月该企业的税收不少于1万元，求p的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出月销售收入，从而求出政府对该商品征收的税收； （2）解不等式，求出的范围即可. 【详解】（1）依题意，第二个月该商品销量为万件， 月销售收入为万元， 政府对该商品征收的税收（万元）, 所以所求函数为， 由及得，所求函数的定义域为； （2）由（1）， 由得化简得， 即，解得， 所以当，税收不少于１万元. ▌对点练5-1（24-25高一上·江苏盐城·阶段检测）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备（）万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（）（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润. 【答案】(1) (2)生产万台时，年利润最，最大利润为万元. 【分析】（1）根据题意，结合利润=销售收入-成本，即可得到年利润关于年产量的函数解析式为； （2）由（1）知，当时，，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，年利润关于年产量的函数解析式为： （2）解：由（1）知，当时，， 由基本不等式，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 所以，当年生产万台时，年利润取得最大值，最大利润为万元. ▌对点练5-2（24-25高一上·山西大同·阶段检测）某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 (1)请用表示； (2)求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 【答案】(1) (2)总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 【分析】（1）求出前面墙的长度，再根据题意可得出关于的表达式； （2）利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）前面墙的长度为米， 总报价，其中. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. ▌对点练5-3某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示． (1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？ 【答案】(1)，； (2)当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润约为4万元． 【分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据即可算出结果； （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，则有，再利用换元法转化为求二次函数在给定区间上的最值问题即可求解． 【详解】（1）设投资额为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元， 由题设，， 由图可知（1），所以，又（4），所以， 所以，； （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元， ，， 令，则，， 所以当时，，此时， 所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，约为4万元． 题型幂函数模型的应用 解题贴士 适用于中等增速、常规变量关联的实际拟合问题，依托第一象限幂函数图象规律与单调性解题． 根据幂指数正负、大小判断函数增减速率与图象走势，结合实际数据拟合幂函数模型，求解变量对应关系、取值范围与变化规律，适配常规非线性变化的实际应用场景 ▌例1（23-24高一上·广东深圳·期末）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【答案】D 【分析】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得. 【详解】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以． 故选：D ▌例2（多选）（24-25高一上·河北·阶段检测）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意求得函数解析式，再逐项判断即可. 【详解】依题意可设，为常数． 当气体在半径为5的管道中时，流量为，所以，解得， 则．当时，，故A正确，B错误． 由，解得，故C正确，D错误． 故选：AC. ▌对点练6-1（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. ▌对点练6-2某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为_______万元. 【答案】125 【分析】利用代入法，结合指数幂的运算定义进行求解即可. 【详解】因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元， 所以，即 当今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为， 故答案为： ▌对点练6-3（24-25高一上·贵州·期中）人类社会发展历经四次科技革命，跨越蒸汽机时代、电气化时代和信息化时代，来到“智能化和绿色化”的新质生产力时代.新质生产力符合可持续发展的新发展理念，强调环保和可持续性，提高生产效率和降低生产成本.某公司一年需购买新材料800吨，若每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元. (1)请列出该公司一年的总运费与总存储费用之和（单位：百万元）与的函数关系式； (2)求该公司一年的总运费与总存储费用之和的最小值及此时的值. 【答案】(1)，且 (2)最小值为百万元，此时 【分析】（1）由题意根据总运费和总存储费用求得与的函数关系式； （2）利用均值不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得，且. （2）由（1）得， 当且仅当，即时等号成立， 因为，当时，， 当时，， 所以该公司一年的总运费与总存储费用之和的最小值为百万元，此时. 题型利用给定函数模型解决实际问题（重点） ▌例1（2026·贵州黔南·模拟预测）在高铁噪声测量中，声强级（单位：）与声强（单位：）的关系为，其中基准值，系列高铁经过时，测得其声强级为，系列高铁经过时，其声强变为系列高铁的倍，则系列高铁的声强级约为（    ）？ （参考数据，） A．74 B．79 C．81 D．83 【答案】A 【分析】先根据系列的声强级求得的值，再利用对数运算性质计算系列的声强级，结合参考数据估算结果. 【详解】对系列高铁，已知其声强级，代入声强级公式，可得 ，化简得, 由题意可知系列高铁的声强，代入公式计算B系列的声强级： , 根据对数加法运算性质，上式可拆分为： , 因此， 故. ▌例2（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知某产品的总成本与年产量之间的关系为，且当年产量是100时，总成本是6000.设该产品年产量为时的平均成本为.（备注：平均成本） (1)求的值并求当年产量为50时，总成本是多少？ (2)求的解析式； (3)求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值. 【答案】(1) (2) (3)年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60. 【分析】（1）将代入中，可求的值，再求当时，总成本C的值； （2）由平均成本的定义，求的解析式； （3）根据函数解析式，利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）总成本与年产量之间的关系为， 将代入中， 可得，从而， 于是，当. （2）由（1）知. （3）因为， 当且仅当，即时，等号成立. 因此，当年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60. ▌对点练7-1（2026·北京门头沟·一模）农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（   ） A．3天 B．6天 C．9天 D．12天 【答案】C 【分析】根据国家食品安全标准规定得出不等式，再由函数单调性解不等式即可求得结果. 【详解】设该蔬菜的最短安全采收间隔期为天, 依题意可得,其中，， 所以可得，即，解得； 因此该蔬菜的最短安全采收间隔期为9天. ▌对点练7-2（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知某放射性物质的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的该种物质的质量是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（    ）（参考数据：） A．800年 B．810年 C．900年 D．920年 【答案】C 【分析】由题意得等量关系，由该等量关系结合对数运算性质即可计算求解. 【详解】由题要使得某放射性物质的质量是原来的倍，可得，即， 两边取自然对数可得，即， 所以年. 故选：C ▌对点练7-3（25-26高一上·云南大理·期末）把物体放在常温环境下冷却，若物体的初始温度是，室温是，则经过时间（单位；分钟）后物体的温度（单位：℃）满足，其中为正常数.研究小组通过多次测量取平均值的方法，测得初始温度为80℃的咖啡，放在室温20℃的环境中自然冷却，6分钟以后咖啡的温度降至50℃. (1)求的值； (2)当室温为15℃时，若云南小粒咖啡用90℃的水泡制，自然冷却至60℃，可以产生最佳口感，那么刚泡好的咖啡大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（第二问结果精确到0.1（附：参考值，，） 【答案】(1) (2)4.3 【分析】（1）根据题意，得到，，代入函数的解析式，结合对数的运算公式，即可求解； （2）由（1）得到，得到，结合对数的运算公式和参考数据，准确计算，即可求解. 【详解】（1）由题意知，物体的初始温度是，室温是， 则经过时间后物体的温度满足，其中为正常数， 因为测得初始温度为80℃的咖啡， 放在室温20℃的环境中自然冷却，6分钟以后咖啡的温度降至50℃， 可得，，，即， 整理得，即，解得. （2）由（1），可得， 可得，则， 所以. 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的时，荷叶已生长了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】C 【分析】设初始覆盖面积为，天后的覆盖面积为，再利用指数运算求解可得. 【详解】设初始覆盖面积为，天后的覆盖面积为，荷叶天可以完全长满荷塘水面， 设天后荷叶刚好覆盖水面面积的，可得，，解得. 故当荷叶刚好覆盖水面面积的时，荷叶已生长了天. 2．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）热释光测年法是古陶瓷年代鉴定的核心技术之一，其原理基于陶瓷中石英矿物的辐射剂量随时间的衰减规律．若某古陶瓷样品的辐射剂量与距今时间（单位：年）满足函数关系，(为烧制完成时的初始剂量)．记距今 1000 年时剂量为，距今 2000 年时为，距今 3000 年时为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数模型，代值后利用指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】依题意，， 因函数在上单调递减， 故， 又因，故得. 3．（2026高二下·浙江·学业考试）声强级（单位：分贝）的计算公式为，其中I为声强，为基准声强．若两声源的声强级分别为，则（   ） A． B．10 C． D． 【答案】B 【详解】由题设，可得，故，则. 4．（2026·陕西安康·模拟预测）已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意：，所以. 所以. 当时，（）. 5．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知在环境温度为时， 的体重为、脉搏率为210次， 故， 的脉搏率是105次，设其体重为t kg，则， 则，即，解得（kg）. 6．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）近年来中国无人驾驶汽车产业持续增长．已知某无人驾驶汽车公司年的营业额（单位：亿元）依次为，记年的年份代码依次为，则下列最适合作为与的回归方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】画出简要散点图可知营业额呈指数级增长，B选项最适合． 7．（多选）新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必经之路.某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2019年该企业新能源汽车的销售量逐月平稳增长，1，2，3月份的销售量分别为1.2千台、1.4千台、1.8千台，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y（单位：千台）和月份x之间的函数关系，有以下两个函数模型可供选择：①；②.如果4月份的销售量为2.3千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．选择作为模拟函数 D．估计5月份的销售量为4.2千台 【答案】AC 【详解】将代入得解得所以，则；将代入得解得.用两个模拟函数求出4月份的销售量，更接近2.3千台，故选择作为模拟函数，（千台）. 8．（多选）（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 【答案】ABD 【分析】借助能量E与里氏震级M的对应关系计算即可判断各选项. 【详解】记表示震级为级地震的能量， 对于项，若，则，所以，故A项正确； 对于B项，若，则，所以，故B项正确； 对于C项，，则，故C项错误； 对于D项，，则，故D项正确. 故选：ABD. 9．（25-26高一上·浙江衢州·期末）碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米／秒）与队内选手的平均划桨速度（次／分钟）之间满足函数关系：（米／秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行____________米． 【答案】 【分析】设甲队龙舟的平均行进速度（米／秒），乙队龙舟的平均行进速度（米／秒），根据所给条件及对数的运算性质求出，即可得解. 【详解】设甲队龙舟的平均行进速度（米／秒），乙队龙舟的平均行进速度（米／秒）， 则，，又 则 （米／秒）， 所以开赛1分钟后，甲队比乙队多划行（米）. 故答案为： 10．（25-26高一上·贵州遵义·期末）物理学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．若物体的初始温度是，环境温度是，则经过分钟，物体的温度满足，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，经过10分钟，物体的温度为，则再经过20分钟，物体的温度为___________． 【答案】30 【分析】首先根据及经过10分钟，物体的温度为，得出的值，再求出再经过20分钟，物体的温度即可． 【详解】由题意得，，，代入， 得，即， 所以， 所以， 由题意再经过20分钟，将代入， 即，得， 即再经过20分钟，物体的温度为， 故答案为：30． 素养提升 1．（辽宁省名校联盟2026-2027学年高三上学期开学考数学试卷）一个培养皿中的细胞初始数目记为（单位；个），研究人员向该培养皿中添加药物后，培养皿中的细胞数目（单位：个）与培养时间（单位：小时）的关系为（），其中为常数．若添加药物并培养4小时后，培养皿中的细胞数目为初始数目的2倍．则当培养皿中的细胞数目为初始数目的5倍时，所需的培养时间约为（   ）（附：） A．6.3小时 B．7.9小时 C．9.3小时 D．10.5小时 【答案】C 【详解】当时，，得，因，消去后得，对等式两边取自然对数，得，解得， 当时，代入公式得，消去得，取自然对数得， 将代入，得， 根据对数换底公式，得，因此小时. 2．（26-27高三上·云南·开学考试）某新能源实验室迭代优化固态电池快充工艺，电池单次充满所需时长（单位：分钟）与工艺迭代次数的关系式为，定义边际时长缩减量．当时，继续迭代带来的快充提升低于研发成本，应当停止迭代．已知，则满足停止迭代条件的迭代次数至少为（   ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数的性质计算即可. 【详解】由题意，得． 由，得． 两边取自然对数，得，所以， 解得，所以满足停止迭代条件的迭代次数至少为． 3．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t（单位：小时）与失去的新鲜度y满足函数关系，其中m，a为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去的新鲜度，采摘40小时之后失去的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）可以是（参考数据：）（   ） A．20小时 B．25小时 C．28小时 D．35小时 【答案】ABC 【详解】由题意可知，所以即，. 由题意可知当时，失去的新鲜度小于，没有超过. 当时，则有即，所以， 所以，解得． 4．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与时间（单位：）成正比.药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示.根据图中提供的信息，回答相关问题. ①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量与时间的函数关系式为______；②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过______后，学生才能回到教室. 【答案】 /0.6 【分析】当时，可设，把点代入直线方程求得；当时，把点代入求得，最后综合可得函数关系式；根据条件解不等式组即可得解. 【详解】依题意，当时，设，则，解得. 将代入可得，解得. 所以. 由题意可得，因为药物释放过程中室内药量一直在增加， 所以当时，即使药量小于毫克，学生也不能进入教室. 所以只有当药物释放完毕，室内药量减少到毫克以下时学生方可进入教室， 即，解得， 由题意至少需要经过小时后，学生才能回到教室． 5．（26-27高一上·全国·课后作业）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2025年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2026年2月底测得蒲草覆盖面积为，2026年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2025年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到.（参考数据：） 【答案】(1)； . (2)把代入，可得， 把代入，可得，可知与相差比较大， 故选择函数模型更合适． 设至少个月后蒲草覆盖面积能达到，. 令，两边取常用对数可得， 即， 则至少14个月后，即至少到2027年2月底蒲草覆盖面积能达到. 【分析】（1）代入题目数据，解对应方程可得答案； （2）先通过计算时，两模型方程的值，比较值与的差值，可选出恰当模型，然后由对数运算性质结合题目参考数据可得答案. 【详解】（1）若选择模型， 则，故函数模型为； 若选择模型， 则，故函数模型为. （2）略 迁移创新 1．（24-25高一上·四川泸州·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 （万件） (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 【答案】(1)选择模型②， (2) ，当时，取得最小值 【分析】（1）由函数的单调性选择模型②，再代入点的坐标求出相应的函数关系式； （2）结合（1）的结论可得的解析式，再根据其单调性求得最小值及对应的. 【详解】（1）由给出数据可知：随着自变量的增大，函数值在变小， 又函数模型①是单调递增的指数型函数，模型②为单调递减的反比型函数，故选择模型②. 观察表格中的4组数据，从数据简洁并且易于计算的角度， 可选择中间两组数据代入②，即， 解得，所以. 可检验与原数据完全吻合， 所以. （2）由（1）可得 , 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取到最小值， 当时，单调递减， 故在时，有最小值，最小值为万元， 又，所以当时取得最小值，最小值为. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入千万元生产B芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金） 【答案】(1)生产A芯片的毛收入，生产B芯片的毛收入． (2)当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大 (3)千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元． 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）根据给定条件，列出净利润的函数关系，再借助二次函数性质求出最大值. 【详解】（1）设投入资金千万元，则生产A芯片的毛收入， 将代入，得，解得， 所以生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得；由，得， 所以当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16千万元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）依题意，投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产A芯片， 公司所获净利润，当且仅当，即时取等号， 所以千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元. 3．（2026高三·全国·专题练习）某地要建造一个水库，设计中，水库的最大容水量为128000立方米，山洪暴发时，预测注入水库的水容量与天数的关系是立方米，设水库原有水量为80000立方米，泄水闸每天的泄水量为4000立方米，若山洪暴发的第一天就打开水闸． (1)写出第n天水库的水量与天数n之间的函数关系式； (2)在10天中，堤坝会发生危险吗？若会，计算第几天发生危险；若不会，说明理由（水库的水量超过它的最大容水量，堤坝就会发生危险）． 【答案】(1) (2)会，第9天发生危险 【分析】（1）根据“第天水库水量 = 原有水量 + 天累计注入水量 - 天累计泄出水量”的关系，代入题目已知参数整理，即可得到与的函数关系式. （2）令大于水库最大容水量128000得到不等式，解不等式后结合的限制条件，即可判断堤坝是否会发生危险并得到对应结果. 【详解】（1）前n天注入水库的总水量为立方米，并泄水立方米， 所以第n天水库的容水量将达到． （2）设第R天水库的水量超过它的最大容水量，即，即． 化简可得，， 两边平方并整理可得：，即，即第9天发生危险． 4．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：①， ②， ③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 【答案】(1)最符合实际的函数模型为①，理由见解析 (2)函数解析式为，预测第23个月会员人数超过15.5万 【分析】（1）由给定数表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可； （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出即可求得解析式，再求出时的值即可. 【详解】（1）由给定数表知，函数定义域为，会员人数增速随增大而减缓， 对于模型②：，当时无意义，不符合题意； 对于模型③：，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①：，会员人数增速随增大而减缓，符合题意； 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知选择模型①：， 将数据组代入，得，解得， 所以， 令时，即，解得， 所以所求函数模型的解析式为，预测第23个月会员人数超过15.5万. 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)45万件；2600万元. 【分析】（1）先根据题意求出的值，然后根据利润=销售收入-成本求出年利润与年产量的关系式. （2）先求出时年利润的最大值，再求出时利润的最大值，最后比较大小可得公司所获年利润最大. 【详解】（1）当时，，解得.                            由题意可知， 当时，， 当时，. 所以年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时， 开口向下，所以当时，. 当时， . 当且仅当，即时，等号成立，此时， ，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 函数应用 8.2 函数与数学模型 课标要点 ①了解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义 ②能区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的不同 ③能根据函数模型分析和解决一些实际问题 学习重难点 重点：.能够运用已经学过的一次函数、二次函数、分段函数及幂函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用 难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题；能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题. 知识点 常见函数模型 1、一次函数模型（，为常数） 2、反比例函数模型（） 3、二次函数模型（） 4、指数函数模型（且，） 5、对数函数模型（且，） 6、幂函数模型（，） 7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合 8、对勾函数模型： 题型 指对幂函数增长差异（重点） ▌例1 （26-27高一上·全国·课堂例题）“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间x(月)与枝数y(枝)的散点图(直角坐标系中作出对应的点)，那么最符合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（    ） A．指数函数 B．对数函数 C．幂函数 D．二次函数 ▌例2 （25-26高二·全国·暑假作业）下列函数中当足够大时，增长率最大的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，在上增长速度最慢的是（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（2025高一上·全国·专题练习）当x充分大时，下列函数增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（多选）（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段检测）函数，在区间上（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 题型 根据实际问题增长率选择合适的函数模型（重点） ▌例1（湖南省常德市第七中学2025-2026学年高一上学期1月期末检测数学试题）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 40 60 80 120 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． ▌例2（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-1（河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题）根据下列表格中的数据选择合适的模型，则的解析式可以是（   ） A． B． C． D． ▌对点练2-2卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（    ）． A． B． C． D． ▌对点练2-3（25-26高三·全国·一轮复习）为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t（年）与树高y（米）之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①；②；③；④中（其中a为正的常数），生长年数与树高的关系拟合最好的是_______（填写序号），估计该树生长8年后的树高为_______米． 题型利用二次函数模型解决实际问题 解题贴士 适用于最值优化、动态变化类实际问题，建模核心是提取变量二次对应关系，构建二次函数解析式． 解题优先确定自变量实际取值范围，结合二次函数开口方向、对称轴位置，判断对称轴与闭区间的位置关系，求解区间最值与取值范围，最终结合实际情境验证结果、还原实际问题答案 ▌例1（24-25高一上·河南·阶段检测）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌例2市场营销人员对过去几年某产品的价格及月平均销售数量的关系作数据分析时发现有如下规律：该商品的价格每上涨（），销售量就减少，（其中为正常数），目前，该商品最初的定价为元，月平均销售量为个. (1)写出销售额与的函数关系； (2)当时，该商品的价格上涨多少就能使销售的总金额达到最大？ ▌对点练3-1一列地铁列车有8节车厢，每天在一个班次时间内往返起点和终点共30次，若这列地铁加挂4节车厢，则同样一个班次可往返20次，经测算，车厢增加的节数与每班次往返次数的减少成正比，那么，地铁调度室应怎样安排这列地铁每班次的往返次数及每次需挂几节车厢，才能使每班次乘客的运输总量最大. ▌对点练3-2（25-26高一上·上海·期末）上海某工厂以x吨/天的速度匀速生产某种产品，每天可获得的利润是万元，其中． (1)要使生产该产品2天获得的利润不低于30万元，求x的取值范围； (2)要使生产900吨该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润． ▌对点练3-3（24-25高一上·上海·随堂练习）企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为万元，两者满足关系：． (1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值； (2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）． 题型分段函数模型（重点） 解题贴士 适配分段变化、阶段性规律的实际问题，根据不同自变量区间对应不同函数解析式，分段建立模型、分段求解．解题关键是精准划分自变量取值区间，严格遵循各段函数解析式的运算规则，分别求解各段最值、范围，最后整合所有区间结果，贴合实际场景综合作答 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫健委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完，写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. ▌例2（24-25高一上·云南昭通·期末）已知每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克／升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次1个单位的洗衣液，求3分钟后水中洗衣液的浓度； (2)若只投放一次1个单位的洗衣液，则有效去污时间可达多少分钟？ (3)若第一次投放2个单位的洗衣液，14分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第15分钟时（从第一次投放算起），洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由. ▌对点练4-1（25-26高三上·福建三明·开学考试）春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，．经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为．求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数. ▌对点练4-2（23-24高一上·安徽黄山·期末）某市有“四景一水”构成的旅游产业，为整合开发新型旅游项目，该市将在原有的“四景一水”的基础上开发新的游玩项目，计划2024年投入固定成本万元，若该项目2024年有万游客，则需另投入万元，且 ，该游玩项目的每张门票售价为元. (1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润 销售额成本）； (2)当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少. ▌对点练4-3（24-25高一上·四川巴中·阶段检测）为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县抓住机遇，利用得天独厚的绿色资源天然氧吧，大力开发皇家山旅游康养中心游玩项目，助力脱贫.当地某旅游公司计划在2024年全年投入固定成本万元，若该项目在年有游客万人，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴万元． (1)求年该项目的利润（万元）关于游客人数 （万人）的函数关系式;（利润＝收入－成本）； (2)当年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 题型分式型函数模型的应用（重点） ▌例1（24-25高一上·广西桂林·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为56元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. ▌例2（24-25高一上·上海松江·阶段检测）某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一个月产品免税．某外资企业第一个月A型产品出厂价为每件10元，月销售量为6万件；第二个月，当地政府开始对该商品征收税率为（，即销售1元要征收元）的税收，于是该产品的出厂价就上升到每件元，预计月销售量将减少p万件． (1)试求第二个月政府对该商品征收的税收（万元）的表达式（用p表示），并求P的取值范围． (2)要使第二个月该企业的税收不少于1万元，求p的取值范围． ▌对点练5-1（24-25高一上·江苏盐城·阶段检测）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备（）万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（）（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润. ▌对点练5-2（24-25高一上·山西大同·阶段检测）某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 (1)请用表示； (2)求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. ▌对点练5-3某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示． (1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？ 题型幂函数模型的应用 解题贴士 适用于中等增速、常规变量关联的实际拟合问题，依托第一象限幂函数图象规律与单调性解题． 根据幂指数正负、大小判断函数增减速率与图象走势，结合实际数据拟合幂函数模型，求解变量对应关系、取值范围与变化规律，适配常规非线性变化的实际应用场景 ▌例1（23-24高一上·广东深圳·期末）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg ▌例2（多选）（24-25高一上·河北·阶段检测）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 ▌对点练6-1（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 ▌对点练6-2某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为_______万元. ▌对点练6-3（24-25高一上·贵州·期中）人类社会发展历经四次科技革命，跨越蒸汽机时代、电气化时代和信息化时代，来到“智能化和绿色化”的新质生产力时代.新质生产力符合可持续发展的新发展理念，强调环保和可持续性，提高生产效率和降低生产成本.某公司一年需购买新材料800吨，若每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元. (1)请列出该公司一年的总运费与总存储费用之和（单位：百万元）与的函数关系式； (2)求该公司一年的总运费与总存储费用之和的最小值及此时的值. 题型利用给定函数模型解决实际问题（重点） ▌例1（2026·贵州黔南·模拟预测）在高铁噪声测量中，声强级（单位：）与声强（单位：）的关系为，其中基准值，系列高铁经过时，测得其声强级为，系列高铁经过时，其声强变为系列高铁的倍，则系列高铁的声强级约为（    ）？ （参考数据，） A．74 B．79 C．81 D．83 ▌例2（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知某产品的总成本与年产量之间的关系为，且当年产量是100时，总成本是6000.设该产品年产量为时的平均成本为.（备注：平均成本） (1)求的值并求当年产量为50时，总成本是多少？ (2)求的解析式； (3)求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值. ▌对点练7-1（2026·北京门头沟·一模）农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（   ） A．3天 B．6天 C．9天 D．12天 ▌对点练7-2（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知某放射性物质的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的该种物质的质量是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（    ）（参考数据：） A．800年 B．810年 C．900年 D．920年 ▌对点练7-3（25-26高一上·云南大理·期末）把物体放在常温环境下冷却，若物体的初始温度是，室温是，则经过时间（单位；分钟）后物体的温度（单位：℃）满足，其中为正常数.研究小组通过多次测量取平均值的方法，测得初始温度为80℃的咖啡，放在室温20℃的环境中自然冷却，6分钟以后咖啡的温度降至50℃. (1)求的值； (2)当室温为15℃时，若云南小粒咖啡用90℃的水泡制，自然冷却至60℃，可以产生最佳口感，那么刚泡好的咖啡大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（第二问结果精确到0.1（附：参考值，，） 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的时，荷叶已生长了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 2．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）热释光测年法是古陶瓷年代鉴定的核心技术之一，其原理基于陶瓷中石英矿物的辐射剂量随时间的衰减规律．若某古陶瓷样品的辐射剂量与距今时间（单位：年）满足函数关系，(为烧制完成时的初始剂量)．记距今 1000 年时剂量为，距今 2000 年时为，距今 3000 年时为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二下·浙江·学业考试）声强级（单位：分贝）的计算公式为，其中I为声强，为基准声强．若两声源的声强级分别为，则（   ） A． B．10 C． D． 4．（2026·陕西安康·模拟预测）已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）近年来中国无人驾驶汽车产业持续增长．已知某无人驾驶汽车公司年的营业额（单位：亿元）依次为，记年的年份代码依次为，则下列最适合作为与的回归方程的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必经之路.某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2019年该企业新能源汽车的销售量逐月平稳增长，1，2，3月份的销售量分别为1.2千台、1.4千台、1.8千台，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y（单位：千台）和月份x之间的函数关系，有以下两个函数模型可供选择：①；②.如果4月份的销售量为2.3千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．选择作为模拟函数 D．估计5月份的销售量为4.2千台 8．（多选）（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 9．（25-26高一上·浙江衢州·期末）碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米／秒）与队内选手的平均划桨速度（次／分钟）之间满足函数关系：（米／秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行____________米． 10．（25-26高一上·贵州遵义·期末）物理学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．若物体的初始温度是，环境温度是，则经过分钟，物体的温度满足，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，经过10分钟，物体的温度为，则再经过20分钟，物体的温度为___________． 素养提升 1．（辽宁省名校联盟2026-2027学年高三上学期开学考数学试卷）一个培养皿中的细胞初始数目记为（单位；个），研究人员向该培养皿中添加药物后，培养皿中的细胞数目（单位：个）与培养时间（单位：小时）的关系为（），其中为常数．若添加药物并培养4小时后，培养皿中的细胞数目为初始数目的2倍．则当培养皿中的细胞数目为初始数目的5倍时，所需的培养时间约为（   ）（附：） A．6.3小时 B．7.9小时 C．9.3小时 D．10.5小时 2．（26-27高三上·云南·开学考试）某新能源实验室迭代优化固态电池快充工艺，电池单次充满所需时长（单位：分钟）与工艺迭代次数的关系式为，定义边际时长缩减量．当时，继续迭代带来的快充提升低于研发成本，应当停止迭代．已知，则满足停止迭代条件的迭代次数至少为（   ） A．20 B．22 C．24 D．26 3．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t（单位：小时）与失去的新鲜度y满足函数关系，其中m，a为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去的新鲜度，采摘40小时之后失去的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）可以是（参考数据：）（   ） A．20小时 B．25小时 C．28小时 D．35小时 4．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与时间（单位：）成正比.药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示.根据图中提供的信息，回答相关问题. ①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量与时间的函数关系式为______；②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过______后，学生才能回到教室. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2025年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2026年2月底测得蒲草覆盖面积为，2026年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2025年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到.（参考数据：） 迁移创新 1．（24-25高一上·四川泸州·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 （万件） (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入千万元生产B芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金） 3．（2026高三·全国·专题练习）某地要建造一个水库，设计中，水库的最大容水量为128000立方米，山洪暴发时，预测注入水库的水容量与天数的关系是立方米，设水库原有水量为80000立方米，泄水闸每天的泄水量为4000立方米，若山洪暴发的第一天就打开水闸． (1)写出第n天水库的水量与天数n之间的函数关系式； (2)在10天中，堤坝会发生危险吗？若会，计算第几天发生危险；若不会，说明理由（水库的水量超过它的最大容水量，堤坝就会发生危险）． 4．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：①， ②， ③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $