1.2 子集、全集、补集（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合章节核心知识点子集、真子集、补集与全集，从概念理解（含符号与Venn图表达）到性质应用，再到有限集子集个数计算，构建“概念-性质-应用”的学习支架，衔接集合基本概念，为后续集合运算奠定基础。 资料通过“知识点+随学随练+分层题型”设计，突出重点难点如空集概念辨析和子集个数公式应用，培养学生抽象能力与推理意识。课中助力教师系统授课，课后通过基础到创新的练习，帮助学生查漏补缺，提升数学语言表达与问题解决能力。

第1章 集合 1.2 子集、全集、补集 课标要点 1、理解子集、全集、补集的概念； 2、能用符号和Venn图表达集合间的关系； 3、掌握列举有限集的所有子集的方法。 学习重难点 重点： 子集、真子集的概念，补集性质的理解 难点： 元素与子集、属于与包含之间的区别以及空集的概念 知识点 子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 特别提醒 1）不能把“”理解为“是中部分元素组成的集合”，因为集合可能是空集，也可能是集合. 2）空集是任何集合的子集 易错提醒 容易忽视了为空集的情况 随学随练 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合子集的性质可得 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 2．（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】由已知， 其子集为，，，，，，，，共计8个. 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 知识点 真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 教材延伸 有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个. 随学随练 1．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 2．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据“若一个集合中有n个元素，则这个集合有个真子集”，即可得出答案. 【详解】真子集的个数为. 故选：B. 3．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合的真子集，即可判断. 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C 知识点 补集与全集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 随学随练 1．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为全集，则集合为. 2．已知全集 ，集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】由全集，集合， 则 . 3．（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 【答案】3 【详解】因为， 所以， 又，所以， 则集合中有3个元素. 拓展 子集、真子集个数 有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个. 活学活用 1．（2026·湖南·模拟预测）若集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】因为集合，所以的子集个数为． 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】解绝对值不等式后结合子集公式即可求解. 【详解】解不等式，得，因为， 则集合，所以集合共有个子集. 题型 判断集合间的关系（重点） 解题贴士 （1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． （2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． （3）图示法：利用数轴或图判断两集合间的关系 （4）注意区别元素与集合，集合与集合之间的关系 ▌例1 （2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A ▌例2 （25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将集合表示为，和即可得结果. 【详解】∵， ， 显然， 故选：B. ▌对点练1-1．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ 【答案】C 【分析】根据集合的描述法将集合化成列举法，根据集合中的元素确定集合的关系. 【详解】， ， 则，故. 故选：C. ▌对点练1-2．（25-26高三上·河北衡水·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知有，进而分析集合间的包含关系. 【详解】由题设，其中表示奇数， 而中，故. 故选：A 题型空集及其应用 ▌例1（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. ▌例2（多选）（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． ▌对点练2-1（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. ▌对点练2-2（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： ▌对点练2-3（多选）（24-25高一上·河南南阳·期中）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义和性质即可求解. 【详解】，故A错误，B正确 空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确， 故选：BD 题型 判断子集（真子集）的个数 解题贴士 有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个. ▌例1（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. ▌例2已知集合满足，求集合及其个数． 【答案】 集合为， 集合的个数为8． 【分析】根据已知条件，结合子集的定义进行求解即可. 【详解】当中含有两个元素时，为； 当中含有三个元素时，为； 当中含有四个元素时，为； 当中含有五个元素时，为； 所以满足条件的集合为， 集合的个数为8． ▌对点练3-1（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）满足条件的集合A的个数为______． 【答案】3 【分析】根据子集、真子集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，共个. ▌对点练3-2（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． ▌对点练3-3已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【答案】(1) (2)62. 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数； 【详解】（1）， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2），共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 题型求集合中子集（真子集） ▌例1（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2) 集合的所有子集为： . 【分析】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）略 ▌例2（23-24高一上·甘肃白银·阶段检测）设集合，求集合A的所有子集以及子集的个数. 【答案】 集合的子集中数分为以下五种情形： 情形一：不含任何元素的子集有； 情形二：含有一个元素的子集有； 情形三：含有两个元素的子集有； 情形四：含有三个元素的子集有； 情形五：含有四个元素的子集有； 因此集合A的所有子集共有个. 【分析】对集合A的子集分类，分类依据是子集中含有的元素个数，从而即可求解. 【详解】略. ▌对点练4-1（24-25高一上·广西桂林·阶段检测）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）子集：；真子集：. （2）子集：；真子集：. 【分析】根据题意，由子集与真子集的定义，即可得到结果. 【详解】（1）集合的子集：；集合的真子集. （2）集合的子集：； 集合的真子集：. ▌对点练4-2（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【分析】根据子集与真子集的定义求解即可． 【详解】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 题型 根据集合的包含关系求参数（重点） 解题贴士 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）注意不要忽略了空集这个特殊情况 ▌例1（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. ▌例2（25-26高三上·四川广元·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合间的包含关系得到不等式求解. 【详解】分两种情况考虑： ①若B不为空集，可得：， 解得：， ， 且， 解得：， 所以, ②若B为空集，符合题意，可得：， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. ▌例3已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案. 【详解】（1）因为， 当时：，即符合题意； 当时，，， 综上所述：. （2）因为， 当时，， ，解得，无解， 当时，或， ， 综上所述：. ▌对点练5-1（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】或， 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是或， ▌对点练5-2（24-25高一上·河南郑州·阶段检测）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) 或，对应的集合或. (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. ▌对点练5-3已知集合，. （1）若⫋，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据⫋，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围． （2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围． 【详解】 （1）由题意，集合，， 又由⫋，可得， 所以实数的取值范围是； (2) 由集合，， 又由， 当时，，满足题意； 当时，， 所以， 综上可知：， 即实数的取值范围是. 题型 补集 ▌例1（25-26高二下·山东烟台·期末）已知集合，若且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 由，得， 由，得， 所以． ▌例2已知集合，，，则实数______． 【答案】 【分析】首先根据集合补集的定义得到，然后分别讨论或即可得到参数的值. 【详解】，. ，，即. 当时，得， 分别代入集合与集合中得：，，此时不符合题意，舍去； 当，得或， 将分别代入集合与集合中得：，，不符合题意，舍去； 将分别代入集合与集合中得：，，符合题意. 综上所述：. 故答案为：. ▌对点练6-1（2026·北京·三模）已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得. ▌对点练6-2（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. ▌对点练6-3已知全集，集合，求. 【答案】答案见解析 【分析】由补集的定义，对集合分和两种情况讨论，即可求解 【详解】依题意，当时，关于的方程无实数根，此时，即， 所以. 当时，关于的方程的两个实根，在内，由于，所以只可能是以下两种情形： ①当时，，即， 此时，； ②当，时，，即， 此时，. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 题型 新定义问题 ▌例1（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【答案】 2 13 【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可. 【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个； （2）集合的子集共有个， 其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． ▌例2（25-26高一上·江西九江·阶段检测）定义：将非空集合M中的元素按照从大到小的顺序排列，以第一个元素为起点，交替地减去、加上后继元素所得的结果即为非空集合M的“居间数”．例如，集合{1，2，3}的“居间数”是，集合{1，6}的“居间数”是，集合{1}的“居间数”是1．对于集合，其所有非空子集的“居间数”的总和为________． 【答案】64 【分析】先求出集合，按照其子集情况分别求解“居间数”的和，可得答案. 【详解】易知．A的含一个元素的子集有{1}，{2}，{4}，{8}，这些子集的“居间数”的总和为． A的含两个元素的子集有{1，2}，{1，4}，{1，8}，{2，4}，{2，8}，{4，8}，这些子集的“居间数”的总和为． A的含三个元素的子集有{1，2，4}，{1，2，8}，{1，4，8}，{2，4，8}，这些子集的“居间数”的总和为． A的含四个元素的子集有{1，2，4，8}，这个子集的“居间数”的总和为． 故A的所有子集的“居间数”的总和为． 故答案为：64 ▌对点练7-1（2025高一上·江苏南通·专题练习）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数是__________，子集的个数是__________. 【答案】 3 8 【分析】根据条件求出，进而可得结果. 【详解】按的定义，中元素为，共3个，子集个数为个. 故答案为：①3②8. ▌对点练7-2（24-25高一上·上海松江·阶段检测）定义：实数a，b，c，若满足，则称a，b，c是等差的，若满足，则称a，b，c是调和的．已知集合，集合是集合的三元子集，即，若集合中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，称集合为“好集”，则集合为“好集”的个数是_____． 【答案】1012 【分析】由好集的定义得且，化简可解得或，由P是集合M的三元子集可排除，结合的元素特征可得，，，即可求得好集的个数. 【详解】由好集的定义得，消去可得， 整理可得，则或， 因为可得，则，， 可得，且. 又因为，则且，得， 故集合P为“好集”的个数为. 故答案为：1012 基础通关 1．（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测）设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在，此时但，不满足； 若，则对任意，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 3．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用列举法表示集合，再根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断结论. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 4．（2026·福建福州·模拟预测）满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】满足条件的集合有， ，共7个. 5．（多选）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 【答案】BD 【分析】由列举法求得集合，由集合元素的个数得到集合的子集个数，即可判断各个选项. 【详解】由题可知，则，B选项正确， ，A选项错误， 的子集个数为8，C选项错误，D选项正确． 故选：BD. 6．（多选）（25-26高一上·浙江·期中）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABC 【分析】根据子集个数可知集合只有一个元素，分和讨论即可. 【详解】因为集合只有两个子集，所以该集合恰有1个元素， 即：方程有且仅有1个解或有两个相等的实数解， 则当时，方程有一个解； 当时，，即：时，方程有1个解， 故或时，方程有1个解. 故选：ABC. 7．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知全集或，集合，则 _________． 【答案】或或 【分析】利用补集的运算进行求解. 【详解】由全集或，集合， 则或或， 故答案为：或或. 8．设全集，集合，，则a=___________. 【答案】 【分析】根据与可知,再根据集合相等求解即可. 【详解】由,可知,即. 故 .当时,,当时,即 ,故.不满足.故. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数的问题,需要根据题意分情况讨论,同时注意集合的互异性,属于中档题. 9．（25-26高一上·重庆九龙坡·期末）已知全集，集合，且，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据子集关系列式求解. 【详解】因为，所以，故实数的取值范围为. 故答案为：. 10．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的概念即可求出； （2）分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 素养提升 1．（25-26高二上·广东·期中）已知集合，，若，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A．{1} B．{3} C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合B，再根据，分和两种情况讨论即可求出构成的集合. 【详解】解方程，得， 若，则满足； 若，则 要使，则或， ∴或. 综上的所有可能取值为0，1，3． 故选：D. 2．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 3．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，则集合A的非空真子集的个数为________． 【答案】6 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，可知，即可求得结果. 【详解】由可知是15的约数，又，因此可以是； 此时，即可得， 所以集合A的非空真子集的个数为个. 故答案为：6 4．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，非空集合.若，求实数m的值. 【答案】3 【分析】根据一元二次方程的知识对集合中的方程求出解集，然后根据子集的定义求出的值即可. 【详解】因为，所以．由题知， 当时，， 即，解得或． 若，则，得到，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 当时，由韦达定理得，同理可得符合题意. 综上所述，实数的值为3． 5．已知全集，集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若集合不是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】(1)理解补集的定义，并找到补集，推出，注意分析时分类讨论，(2)找到的取值范围，然后取补集. 【详解】（1）由题意，得集合或. 因为，所以. 当，即，也即时，符合题意； 当，即时，由，得或，解得. 综上，实数a的取值范围是或. （2）由（1）知，若， 当，即时，符合题意； 当时，需满足解得. 所以时，. 所以当集合不是的子集时，，即实数a的取值范围是. 6．（23-24高一上·山东·阶段检测）已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据补集和集合相等的定义即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）由， 得或， 因为，或， 所以，解得； （2）当时，，解得， 当时，由， 得或，解得或， 综上，的取值范围为或． 迁移创新 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则下列说法正确的有________ ①是“广义等差集合” ②是“广义等差集合” ③若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 ④若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】①②③ 【分析】根据题意，由“广义等差集合”的定义，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①， 取，则符合“广义等差集合”的定义，故①正确， 对于②，取故②正确， 对于③，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同， 则矛盾， 故，当时，取，满足P不是“广义等差集合”， 故的最大值为4，故③正确， 对于④，当时，取，这与矛盾，故④错误， 故选：①②③ 2．（24-25高一上·四川内江·阶段检测）已知集合，记非空集合的元素个数为，已知，记实数的所有可能取值构成的集合，则的非空子集的个数是______． 【答案】31 【分析】由题意，先得到，再由可得或3，分别分析和的解的个数，得到判别式的条件，从而解出的取值，最后得到的非空子集个数. 【详解】对于，有， 所以集合中有两个元素，即， 因为，所以或3， 对于，易知必是方程中的唯一解，且不是方程的根； 当时，，所以有唯一解，且无解， 则，解得； 当时，若有两个相等的实数解，由上述分析可知， 无解，不满足题意； 若有两个不相等的实数解，此时，则有两个相等的实数解或有两个不相等的实数解且一解为， 当有两个相等的实数解时，则， 解得或1； 当有两个不相等的实数解且一解为时， 则，解得，符合题意； 综上，实数的所有可能取值为：，则. 所以的非空子集的个数. 故答案为：31. 【点睛】本题以这一新定义为背景，考查对集合中的元素个数分析的问题，主要考查分类讨论的数学思想. 3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段检测）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 【答案】(1) 不是，是，理由如下： 中，令，则， 由于，故不是集合的“好子集”， 中，当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 综上：是集合的“好子集”； (2) 假设原命题为假命题， 即若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有， 显然，且均为正整数， 当时，由于1能整除任何正整数，故能整除，不合要求， 当时，则是两个奇数，或是两个偶数，此时为偶数， 故故能整除，所以不合要求， 故假设不成立， 又由（1）知，当时，满足是的“好子集”，且， 综上：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有 (3)334， 【分析】（1）根据题目信息进行计算，得到不是，是； （2）利用反证法进行证明； （3）结合（2），得到尽可能小，取，得到答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，集合的“好子集”所含两个不同的元素，满足， 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3， 故可取，通过验证，此时满足不能整除， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为， . 4．已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集． (1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由； ①；     ②． (2)若是的3元完美子集，求的最小值． 【答案】(1)不是的3元完美子集，是的3元完美子集，理由为： ①因为，且， 所以不是的3元完美子集； ②因为，且， 而， 是的3元完美子集． (2) 【分析】（1）理解3元完美子集的定义，并判断两个集合是否满足完美子集的定义； （2）分别设，，以及时，判断是否存在3元完美子集，并比较最小值， 即可求解. 【详解】（1）①略 ②略 （2）不妨设． 若，则，且， 则集合的元素个数大于3个，这与3元完美子集矛盾； 若，则，而，符合题意， 此时，即, 此时． 若，则，于是，，若存在3元完美子集， 则或，即，所以． 综上，的最小值是12． 【点睛】关键点点睛：本题考查有关集合新定义的综合应用，本题的关键是理解3元完美子集的定义. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合 1.2 子集、全集、补集 课标要点 1、理解子集、全集、补集的概念； 2、能用符号和Venn图表达集合间的关系； 3、掌握列举有限集的所有子集的方法。 学习重难点 重点： 子集、真子集的概念，补集性质的理解 难点： 元素与子集、属于与包含之间的区别以及空集的概念 知识点 子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 特别提醒 1）不能把“”理解为“是中部分元素组成的集合”，因为集合可能是空集，也可能是集合. 2）空集是任何集合的子集 易错提醒 容易忽视了为空集的情况 随学随练 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 2．（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 知识点 真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 教材延伸 有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个. 随学随练 1．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 3．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 知识点 补集与全集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 随学随练 1．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 2．已知全集 ，集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 拓展 子集、真子集个数 有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个. 活学活用 1．（2026·湖南·模拟预测）若集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 题型 判断集合间的关系（重点） 解题贴士 （1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． （2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． （3）图示法：利用数轴或图判断两集合间的关系 （4）注意区别元素与集合，集合与集合之间的关系 ▌例1 （2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ ▌例2 （25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ ▌对点练1-2．（25-26高三上·河北衡水·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 题型空集及其应用 ▌例1（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． ▌例2（多选）（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-1（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． ▌对点练2-2（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. ▌对点练2-3（多选）（24-25高一上·河南南阳·期中）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 题型 判断子集（真子集）的个数 解题贴士 有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个. ▌例1（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 ▌例2已知集合满足，求集合及其个数． ▌对点练3-1（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）满足条件的集合A的个数为______． ▌对点练3-2（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 ▌对点练3-3已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 题型求集合中子集（真子集） ▌例1（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. ▌例2（23-24高一上·甘肃白银·阶段检测）设集合，求集合A的所有子集以及子集的个数. ▌对点练4-1（24-25高一上·广西桂林·阶段检测）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． ▌对点练4-2（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 题型 根据集合的包含关系求参数（重点） 解题贴士 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）注意不要忽略了空集这个特殊情况 ▌例1（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高三上·四川广元·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. ▌例3已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. ▌对点练5-1（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． ▌对点练5-2（24-25高一上·河南郑州·阶段检测）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. ▌对点练5-3已知集合，. （1）若⫋，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 题型 补集 ▌例1（25-26高二下·山东烟台·期末）已知集合，若且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌例2已知集合，，，则实数______． ▌对点练6-1（2026·北京·三模）已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． ▌对点练6-2（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练6-3已知全集，集合，求. 题型 新定义问题 ▌例1（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． ▌例2（25-26高一上·江西九江·阶段检测）定义：将非空集合M中的元素按照从大到小的顺序排列，以第一个元素为起点，交替地减去、加上后继元素所得的结果即为非空集合M的“居间数”．例如，集合{1，2，3}的“居间数”是，集合{1，6}的“居间数”是，集合{1}的“居间数”是1．对于集合，其所有非空子集的“居间数”的总和为________． ▌对点练7-1（2025高一上·江苏南通·专题练习）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数是__________，子集的个数是__________. ▌对点练7-2（24-25高一上·上海松江·阶段检测）定义：实数a，b，c，若满足，则称a，b，c是等差的，若满足，则称a，b，c是调和的．已知集合，集合是集合的三元子集，即，若集合中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，称集合为“好集”，则集合为“好集”的个数是_____． 基础通关 1．（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测）设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·福建福州·模拟预测）满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（多选）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 6．（多选）（25-26高一上·浙江·期中）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 7．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知全集或，集合，则 _________． 8．设全集，集合，，则a=___________. 9．（25-26高一上·重庆九龙坡·期末）已知全集，集合，且，则实数m的取值范围是_________． 10．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 素养提升 1．（25-26高二上·广东·期中）已知集合，，若，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A．{1} B．{3} C． D． 2．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 3．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，则集合A的非空真子集的个数为________． 4．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，非空集合.若，求实数m的值. 5．已知全集，集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若集合不是的子集，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·山东·阶段检测）已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 迁移创新 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则下列说法正确的有________ ①是“广义等差集合” ②是“广义等差集合” ③若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 ④若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 2．（24-25高一上·四川内江·阶段检测）已知集合，记非空集合的元素个数为，已知，记实数的所有可能取值构成的集合，则的非空子集的个数是______． 3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段检测）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 4．已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集． (1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由； ①；     ②． (2)若是的3元完美子集，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $