8.1 二分法与求方程近似解（讲义，知识点&12大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦函数应用核心内容，系统梳理函数零点概念、零点存在性定理、二次函数零点问题及二分法求近似解，构建从概念理解到定理应用再到方法实践的递进学习支架，衔接方程解与函数零点关系。 资料通过随学随练即时巩固，题型分类系统梳理，结合数形结合培养数学眼光，逻辑推理强化数学思维，助力教师高效授课，学生课后查漏补缺，提升问题解决与知识应用能力。

第八章 函数应用 8.1 二分法与求方程近似解 课标要点 ①了解函数的零点与方程的解的关系并能结合函数的图象判定函数的零点 ②能根据函数零点存在性定理对函数零点存在进行判定，同时能处理与函数零点问题相结合的求参数及综合类的问题 ③理解运用二分法逼近方程近似解的数学思想 ④了解二分法只能用于求变号零点的方法 学习重难点 重点：理解函数零点，理解二分法求方程近似解的过程 难点：零点存在性定理的应用 知识点 函数零点 1、函数零点的概念 一般地，我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 易错提醒 函数的零点是实数，不是点。 随学随练 1．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则有可能不存在实数使得 【答案】C 【详解】当零点在区间内时，也可能成立，因此A不正确，C正确； 若满足函数零点存在定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】函数的零点是函数图像与轴的交点的横坐标，所以函数零点的个数即为函数图像与轴的交点个数. 有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故答案选D． 3．（多选）下列说法中正确的是（   ） A．函数的零点为 B．函数的零点为 C．函数的零点，即函数的图象与轴的交点 D．函数的零点，即函数的图象与轴的交点的横坐标 【答案】BD 【详解】根据函数零点的定义，可知的零点为．A错误，B正确； 函数的零点，即函数的图象与轴的交点的横坐标，因此D正确，C错误． 知识点 函数零点存在性定理（重点） 1、函数零点存在定理 若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且有，则函数在区间上有零点. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 特别提醒 零点存在定理要求具备两个条件 1）函数在区间上的图象是连续不断的 2） 两个条件缺一不可。 教材延伸 函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点 ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数 ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数 ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y 35 则函数在区间上的零点至少有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】由题意得， 故， 在上至少有1个零点， 故在区间上的零点至少有3个. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】∵，，，， ∴函数存在零点的区间有共4个. 3．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 知识点二次函数零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 随学随练 1．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为有两个不等正根为，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 故选：C 2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的零点分布可得，解不等式组即可求解. 【详解】二次函数的图象是一条抛物线， 开口向上，对称轴方程为， 若它的两个零点都在区间内， 只需满足，解得. 所以的取值范围为. 故选：C. 3．（2025高一·全国·专题练习）若关于的方程的一根比2小且另一根比2大，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】记，根据零点的分布列不等式求解即可. 【详解】记， 由题意，整理为，解得． 即a的取值范围是. 故答案为： 知识点 二分法（重点） 1、二分法的概念 一般地，对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近的零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】二分法求零点的前提：函数在零点附近连续，且零点左右两侧函数值异号． 选项B，函数图象与轴相切，函数零点两侧函数值均大于，不满足， 不能用二分法求零点. 选项A、C、D中的函数零点两侧函数值异号，满足，可采用二分法求零点. 2．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 3．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C 拓展 唯一零点问题（重点） 活学活用 1．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以仅有1个零点. 2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）方程的实数解个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】直接将方程的根转化为函数的零点问题，再结合函数单调性及零点存在性定理判断可得. 【详解】令，因为与在R上都是单调递增函数， 所以函数在R上单调递增，所以函数在R上最多有1个零点， 又因为，且在上连续且单调递增， 所以函数在上有且仅有1个零点. 故选：B 题型求函数的零点 解题贴士 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解 ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 ▌例1 （2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）函数的一个零点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令（）， 则（）， 符合该式的有. ▌例2 （2026高一上·全国·专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)存在， (2)存在，1 (3)不存在 【详解】（1）令，解得，所以函数存在零点，且零点为. （2）令，解得，所以函数存在零点，且零点为1. （3）令，方程无实数根，所以函数不存在零点. ▌对点练1-1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 【答案】27 【分析】根据零点定义结合对数运算求值. 【详解】因为a是函数的零点， 所以，所以， 则实数a的值为． ▌对点练1-2．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的零点： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)1 (2)4， (3)，1 【分析】根据函数零点与相应方程的根之间的关系，结合因式分解求解即可． 【详解】（1）令，即， 也即或，所以， 故函数的零点为1. （2）. 令，即，解得或， 故函数的零点是4，. （3）. 令，则，解得或， 故函数的零点是，1. ▌对点练1-3．（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的零点． 【答案】1，2，. 【分析】根据零点定义，结合因式分解求解即可. 【详解】令，即. 又 ， 所以， 解得，，. 所以函数的零点是1，2，. 题型判断函数零点个数 解题贴士 ①利用代数法，求出所有零点 ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数 ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数 ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调 ▌例1（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知，则满足的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据对数和指数幂的运算法则，结合函数解析式分类讨论进行求解即可. 【详解】当时， ； 当时， ， 所以的实数的个数为2. 故选：C ▌例2（26-27高一上·全国·课后作业）函数的零点个数是______． 【答案】2 【分析】作出与的函数图象，根据图象交点个数得出答案. 【详解】令，， 则原函数的零点个数问题就转化为两个新函数图象的交点个数问题． 由图，可知原函数的零点个数为2． 故答案为：2. ▌对点练2-1（2025·广西河池·三模）函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据分段函数的性质直接计算零点即可. 【详解】令，符合题意； 令或，，不符合题意，，符合题意. 所以函数的零点个数为2. 故选：B ▌对点练2-2（25-26高三上·四川广元·阶段检测）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数，分别画出函数图象即可判断. 【详解】， 令，方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数. 画出函数图象， 如图可知两个函数的图象的交点个数为1个， 即方程的实根个数为1个. 故选：B. ▌对点练2-3（2024高二下·吉林·学业考试）函数的零点的个数为______． 【答案】1 【分析】先根据函数单调性性质可知函数在上单调递增，然后根据零点存在性定理即可判断零点个数. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以由零点存在性定理可知，函数在上只有一个零点， 可知函数的零点的个数为1 故答案为：1 题型判断零点所在区间 解题贴士 零点存在性定理 ▌例1（25-26高二下·天津静海·期末）函数的零点所在区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，在定义域内单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 所以函数至多有一个零点， 又因为，， 所以函数有且仅有一个零点，且零点所在区间是. ▌例2（2026高三·全国·专题练习）设是方程的解，且，则整数______________． 【答案】2 【分析】结合函数的单调性和零点存在性定理，即可求解. 【详解】令，单调递增，，， 所以零点，即. ▌对点练3-1（23-24高一下·福建福州·阶段检测）设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数单调性以及零点存在定理即可得解. 【详解】因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 因为， 所以由零点存在定理可知函数的零点. ▌对点练3-2（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. ▌对点练3-3（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因函数与都是上的增函数，则也是上的增函数， 又， 故函数有唯一的零点，其所在区间为. 题型 已知零点个数求参数的取值范围（重点） 解题贴士 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围。 (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决。 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解。 ▌例1（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 解法2：当时，． 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项． 当时，， 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A． ▌例2（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是______． 【答案】或， 【分析】根据函数的单调性，作出函数图像，即可结合函数图像的交点个数求解. 【详解】由于为单调递增函数，且时，， 当时，，当时，， 作出的图像如下所示： 故只有一个交点，则直线与函数的图像只有一个交点， 故或， 故答案为：或， ▌对点练4-1（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）已知函数，若方程的实数解有3个，则实数k的取值范围是____________. 【答案】 【分析】数形结合求解，函数的图象与直线有3个交点即可求得k的取值范围. 【详解】当时，其图象是抛物线的一部分，最小值为； 当时，，其图象是指数型函数的一部分， 的图象如图所示： 由图知函数的图象与直线有3个交点时，，即实数k的取值范围是. 故答案为：. ▌对点练4-2已知函数若有三个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】数形结合法：先对解析式分析函数单调性，求得端点值和最小值，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解即可 【详解】当时，在单调递减，在单调递增， 则，； 当时，在单调递增. 如图，作出的大致图象， 只需函数与的图象有三个交点，结合图象得的取值范围为. 故答案为：. ▌对点练4-3（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】由题意可得在上有2个零点，可得所满足的条件，求解即可. 【详解】令，得，所以在上有1个零点， 则在上有2个零点，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故答案为：. 题型已知零点所在区间求参数的取值范围（重点） ▌例1（25-26高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，进而可得结果. 【详解】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. ▌例2（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数在上单调递增，由求解. 【详解】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. ▌对点练5-1（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，由条件结合零点的性质列不等式求的范围. 【详解】因为函数和在都单调递增， 所以函数在都单调递增， 又函数在区间上存在零点， 所以，故， 所以, 所以的取值范围是. 故选：D. ▌对点练5-2（2025高一上·全国·专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得. 【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. ▌对点练5-3（24-25高一上·山东济宁·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为______. 【答案】 【分析】分析函数在上的单调性，结合题意可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在区间上为增函数， 因为函数在区间上存在零点， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型一次、二次函数零点问题（重点） ▌例1当时，的值有正也有负，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，根据可求出结果. 【详解】设， 依题意可得，所以， 所以，得. 故答案为： ▌例2（25-26高一上·云南·期末）若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】由一元二次函数有两个零点且开口向上，则求解即可. 【详解】若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0， 因为该二次函数开口向上，则，即. 故答案为：. ▌对点练6-1若函数在内有零点，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】先考虑时,不成立;再考虑时有,从而解不等式即可. 【详解】时,不成立; 函数在内有零点, 当时有, 即，即 解得或， 故实数a的取值范围是. ▌对点练6-2（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知关于的方程有两根、，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质列出不等式求解即可. 【详解】记， 由题意，得，解得． 故答案为：． ▌对点练6-3（25-26高一上·北京·期中）已知函数的两个零点一个小于3，另一个大于3，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据题意结合二次函数的性质可知，代入运算即可. 【详解】因为函数的图象开口向上，对称轴为， 若函数的两个零点一个小于3，另一个大于3， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型根据指对幂函数零点分布求参数的范围（重点） ▌例1函数,若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为函数与y＝－x＋m的图象有两个不同的交点，作出函数图象，由图象可得结果. 【详解】因为方程有两个不同的实数根， 所以函数与y＝－x＋m的图象有两个不同的交点， 如图，当直线y＝－x＋m经过点时，m＝2， 所以当方程有两个不同的实数根时， . 故选：D． ▌例2（多选）（23-24高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据分段函数的表达式作出函数图象，由二次函数的对称性即可判断A，根据对数的运算性质可判断B，结合函数图象即可求解CD. 【详解】解：由函数，作出其函数图象如图所示， 由图可知，； 当时，令，或， 所以； 由，得， 即， 所以，由图可知， 故选:BCD. ▌对点练7-1函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，可得，分别作出直线和函数的图象，平移直线即可得到的取值范围． 【详解】作出函数的图象， 令，可得， 画出直线，可得当时，直线和函数的图象有两个交点， 则有两个零点． 故选：B． ▌对点练7-2（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】作出函数的图象，设，依题意，， 且，，解得，， 故，因函数在上单调递减，故， 即的取值范围是. 故答案为：. ▌对点练7-3已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】作出函数的图像，由图像可知，可设，利用对数运算可求得，结合图像可得的取值范围，由此可得出的取值范围. 【详解】作出函数的图像如下图所示： 设，由图像可知， 则，解得， 由可得，即，可得. . 故答案为：. 题型比较零点大小（重点） ▌例1（24-25高一上·广东·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，即，令，即， 令，即， 则三个函数的零点即为对应两函数交点的横坐标， 分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：. 故选：B ▌例2（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，从而将问题转化为、、与交点的横坐标，画出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示，    由图可知，. 故选：B ▌对点练8-1（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把函数的零点转化为两个函数的图象的交点的横坐标，画出图象，即可求解. 【详解】因为函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 函数的零点即为与的图象的交点横坐标， 在同一坐标系内，分别画出函数的图象，如图所示， 由图象可得：，所以. 故选：B. ▌对点练8-2（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点求法可得，结合图象交点位置可判断大小，进而可得答案. 【详解】由得， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出的图象，由图象知. 故选：B. ▌对点练8-3（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 题型求零点和（重点） ▌例1（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数的零点定义，可得即函数图象与直线的交点的横坐标，结合函数图象的对称性即可求得答案. 【详解】由可得，由，， 依题意，如图所示，即函数图象与直线的交点的横坐标. 由图知，因函数是一对反函数，图象关于直线对称，则点也关于直线对称， 由解得，则点关于点对称，故. ▌例2（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，若存在实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】画出函数图象，利用对数的运算以及正弦函数的对称性即可求解. 【详解】作出函数的图象如下： 由图知：， 由，可得， 即，其中， 则， ，在上单调递减，故， 即 当时，，对称轴， 故， 所以. ▌对点练9-1已知，则在上所有根的和为_____. 【答案】60 【分析】首先确定两个函数的相同的对称中心，再根据两个函数图象的交点个数，以及交点的对称性，即可求解. 【详解】因为， 所以的图象关于点对称，而函数的图象也关于对称， 在同一直角坐标系内作出两函数的图象，如图所示： 由图象可知这两个函数图象上有10个交点，即共有5对关于对称的点， 所以方程在上所有根的和为． 故答案为： ▌对点练9-2（24-25高一上·北京平谷·期中）设函数，的单调递减区间是________；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是________． 【答案】 （区间开闭均可） 【分析】画出图形，结合图象即可得单调区间；根据图形分析可得，进而求出范围. 【详解】解：作出函数图像如下 由图象可知的单调递减区间是（区间开闭均可）； 若互不相等的实数，，满足 不妨设，则关于对称，所以 根据图像可得 所以，所以的取值范围为. 故答案为：（区间开闭均可）；. ▌对点练9-3（24-25高一上·湖北·期中）设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案. 【详解】画出函数的图象，观察图形知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设，显然关于对称，则， 另一个交点位于直线上，在中，当时，，即， 因此，所以. 故答案为： 题型对二分法的理解 解题贴士 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近的零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法 特别注意①函数在区间上图象连续不断②满足 ▌例1（2026高三·全国·专题练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点的两侧函数值异号能用二分法判断. 【详解】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C ▌例2（23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的定义逐项判断即可. 【详解】根据二分法的定义，用二分法求近似解，需函数在上连续，且. 对于A，令，显然在其定义域上单调递增， ，所以可用二分法求方程近似解，所以A错误； 对于B，令，显然在其定义域上连续，，所以可用二分法求方程近似解，所以B错误； 对于C，令，显然在其定义域上连续， ，所以可用二分法求方程近似解，所以C错误； 对于D，令，所以不能用二分法求方程的近似解.所以D正确. 故选：D. ▌对点练10-1（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C ▌对点练10-2（23-24高一上·江西景德镇·阶段检测）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据二分法求解函数零点的要求判断四个选项即可. 【详解】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合， 因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 故选：C. ▌对点练10-3（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二分法知识对选项中的函数逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，A正确； 对于选项B： 函数，故函数有唯一零点， 但函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点的近似值，B错误； 对于选项C： 当时，， 当且仅当时，等号成立，此时无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，， 且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，C正确； 对于选项D： 当时，，当时，， 所以能用二分法求零点的近似值，D正确． 故选：ACD. 题型用二分法求函数零点的近似值（重点） 解题贴士 注意综合题目给出的精确度 ▌例1（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法判断即可得出结果. 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. ▌例2（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间内，结合精确度要求即可判断. 【详解】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. ▌对点练11-1（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 1 1.5 1.25 1.375 1.4375 -2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）不可以是（   ） A．1.375 B．1.25 C．1.4375 D．1.40625 【答案】B 【分析】据零点存在定理，结合表中数据以及精度要求，即可判断选择. 【详解】由表格可得，，且满足， 故函数的零点在之间，两端点也可以作为零点近似值，故选项中只有B选项不满足. 故选：B． ▌对点练11-2（25-26高一上·安徽·阶段检测）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 【答案】C 【分析】根据表格及二分法的定义，结合精确度求零点的近似解. 【详解】因为，可知零点在内， 又区间长度，满足条件， 所以方程的近似解可取为. 故选：C ▌对点练11-3（2025高一上·重庆开州·专题练习）那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （　　） A．1.437 5 B．1.375 C．1.25 D．1.422 【答案】D 【分析】根据二分法直接判断即可得解． 【详解】设近似解为， 由零点存在性定理及二分法计算数据： 因为，，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 因为 且，， 所以可取近似解． 故选：D 题型用二分法求函数零点的过程 解题贴士 注意综合题目给出的精确度 ▌例1（26-27高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】计算区间两端点处函数值，根据二分法定义判断. 【详解】，， 取区间，，计算， 取区间，计算， 取区间，，计算， 取区间，，因此零点在区间上，因此二分区间至少4次. ▌例2（25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解. 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. ▌对点练12-1（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D ▌对点练12-2（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用二分法的特征计算即可. 【详解】区间长度为1，经过一次操作区间长度缩为原来的一半， 所以经过n次操作，区间长度变为原来的， 用二分法求函数在区间上的零点近似值，要求精确度， 则，解得，即至少需要4次操作. 故选：C ▌对点练12-3（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二分法可得答案. 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间 内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的定义判断. 【详解】二分法要求函数在某个区间上有定义且区间两端点处函数值异号， A，定义域是，，，满足二分法的要求； B，定义域是R，但，不存在区间，使得，不可用二分法求根； C，定义域是，，，满足二分法的要求； D，定义域是R，，，满足二分法的要求. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的零点为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即，解得， 故的零点为. 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】取，显然在区间上有零点，且零点为， 但，所以函数在区间上有零点推不出， 又由零点存在性定理知，若，函数在区间上的图象是一条不间断的曲线， 则函数在区间上有零点， 所以“函数在区间上有零点”是“”的必要不充分条件. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知，则方程的实数根个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的表达式分段求解方程即可. 【详解】已知， 当时，方程等价于，解得，因此方程在有个实根； 当时，方程等价于，即，解得和， 由于，因此方程在有个实根； 综上所述，方程有个实根，故D正确. 5．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的单调性，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】由题意，易知在上单调递增， , 所以函数的零点所在区间是. 6．（2026·河南濮阳·一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为图象交点的横坐标，数形结合可得；或利用函数的单调性以及零点存在性定理可比较. 【详解】法1：由题意可知，分别为与的函数图象的交点的横坐标， 图象如图：    由图可知，； 法2：易知，均为增函数， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 7．（多选）（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（      ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用零点存在性定理直接判断即可. 【详解】因函数的图象是一条连续不断的曲线， 且由表格数据可知，即函数在区间内存在零点； 同理,,因此函数在区间内均存在零点. 故选：BC 8．（多选）（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则的可能取值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【分析】设， ，由函数单调性及零点存在定理可确定函数的零点所在区间是和，再确定选项即可. 【详解】设， ， 在上均单调递增， 且， ，， 即，， 所以函数的零点所在区间是和． 观察选项，可得的值可能为， 故选：BC. 9．（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知为函数的一个零点，则_________． 【答案】 【分析】利用零点的定义即可. 【详解】由已知可得，所以. 10．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【答案】 【分析】先得到零点位于，由精确到，得到近似值. 【详解】，且， 函数在区间内存在一个零点，故零点位于， 精确到，故零点的近似值为. 故答案为： 素养提升 1．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 【答案】B 【分析】分段处理函数，把方程转化为直线与图像交点问题，分别统计与两段的交点数量，相加等于，得到． 【详解】作出的图象如图所示， 根据上图可知和的图象有个交点，即满足条件． 2．（河北衡水中学教育集团2026-2027学年高三上学期9月第一次限时训练数学试题）设．若方程恰有3个不同的实数解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由的图象与直线有三个交点，作出图象，数形结合讨论求解即可. 【详解】令，则，作出函数的图象， 由题意可知的图象与直线有三个交点， 由图可知，当时，的图象与直线一定有一个交点， 当时，的图象与直线一定有一个交点， 所以的图象与直线在区间上有且仅有一个交点， 即在区间上有两相等实数根， 所以，得. 3．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数，若关于的方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象，采用数形结合判断即可. 【详解】作出分段函数的图象如下： 结合图象可知，若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）设分别是关于的方程和的根，则________． 【答案】4 【分析】将方程问题转化为函数交点问题，借助于反函数的性质即可求出答案. 【详解】分别作出函数的图象，相交于点，可知， 而与互为反函数，直线与直线互相垂直， 所以点与关于直线对称， 因此．所以． 5．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数. ①函数的零点个数为________； ②若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是________. 【答案】 . 【分析】①分段函数零点分段求解，注意零点要落在对应定义域内. ②方程有三个不同的根等价于直线与函数图象有个不同的交点，比较分段点处左右函数值大小，结合图象单调性得到参数范围. 【详解】①当时，若，由可得，符合题意， 若，则，即函数在上无零点； 当时，， 若，由得，符合题意， 若，则，即函数在上无零点； 当时，若，由可得，舍去； 若，由得，符合题意. 综上所述，函数的零点个数为个. ②如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得； 当时，， 此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故不存在，使得关于的方程有三个不同的根； 当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为. 迁移创新 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (2)设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 【答案】(1)任取，且， 则 因为，所以， 又， 所以，即， 所以在上单调递增 (2) 【分析】（1）由单调性的定义，通过作差法即可求证； （2）通过函数单调性和奇偶性，将问题转换成有两个不同的实根，再换元，通过研究函数的图象和最值即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：因为，所以， 所以函数是奇函数， 因为， 所以， 因为在上单调递增，所以有两个不同的实根，即有两个不同的实根， 令，则有两个不同的正解， 即直线与的图象有两个不同的交点， 作出的图象，如图所示． 由图可知，所以的最大值为， 结合图象可知：实数的取值范围为． 2．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·开学考试）一般地，我们把形如的函数称为飘带函数． (1)若，求方程的根； (2)判断的奇偶性，并给予证明； (3)若，是否存在实数，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和 (2)为奇函数． 证明：因为的定义域为， 且 ，所以是奇函数． (3)不存在. 假设存在实数，使得在上的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故符号相同． 当时，由得在单调递增， 于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解； 同理，当时，又因为是奇函数， 由对称性可知在单调递增， 于是，得， 解得，这与矛盾，故无解； 综上所述，不存在符合要求的实数． 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据函数奇偶性的定义判断并证明； （3）根据函数的单调性和奇偶性分析即可. 【详解】（1）当时， ， 因为，所以方程等价于：，解得或， 所以方程的根为和. （2）略 （3）略 3．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数 (1)若，求的最小值； (2)若恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1). (2)∪[2，＋∞）． 【详解】（1）若，则；作出的图像，如图所示，的最小值为. （2）设， ①若时，与轴有一个交点，则， 此时函数图像在上与轴也只有一个交点，或，， 又因为，所以. ②若函数的图像与轴没有交点，， 若，即，此时或它们均不在范围内， 此时在无零点，此时不符合题意，故舍去 当时，或， 此时函数的图像在与轴有两个交点，符合题意，此时. 综上所述，实数a的取值范围为. 4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，根据函数为偶函数求出上的函数解析式即可； （2）令，则只需要即可，易得为偶函数，则只需求出函数在上的最大值即可； （3）易得为偶函数，则函数在上有且仅有2个不同的零点，分离参数可得，构造函数，利用双勾函数的性质作出函数的图象即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以， 令，则，则， 所以； （2）对任意，不等式恒成立， 等价于对任意，不等式恒成立， 令，则只需要即可， 因为， 所以函数为偶函数， 则要求函数在上的最大值，只需求出函数在上的最大值即可， 当时，， 则， 所以； （3）因为， 所以函数为偶函数， 又，在上有且仅有4个不同的零点， 所以函数在上有且仅有2个不同的零点， 当时，， 令，分离参数可得， 令， 则函数与有两个不同的交点， 由双勾函数的性质可得，函数在上递减，在上递增， 所以， 又当时，，， 如图，做出函数的大致图象， 由图可知，，解得， 所以. 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据对数函数的定义求解； （2）利用零点存在定理求解； （3）利用基本不等式和函数的单调性分类求函数的最小值，确定结论. 【详解】（1）由已知，解得，所以函数的定义域为； （2）由已知，它是增函数， 因为函数在上有且仅有一个零点， 所以，解得， 所以的范围是； （3）假设存在正实数满足题意， ，则，， 设，则， ， 由基本不等式有，当且仅当时等号， 若，则，此时满足题意， 若，即， 设，， ， 因为，所以，， 所以时，，，是增函数，时，，，不合题意； 当时，，，是减函数，时，，，不合题意； 综上，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 函数应用 8.1 二分法与求方程近似解 课标要点 ①了解函数的零点与方程的解的关系并能结合函数的图象判定函数的零点 ②能根据函数零点存在性定理对函数零点存在进行判定，同时能处理与函数零点问题相结合的求参数及综合类的问题 ③理解运用二分法逼近方程近似解的数学思想 ④了解二分法只能用于求变号零点的方法 学习重难点 重点：理解函数零点，理解二分法求方程近似解的过程 难点：零点存在性定理的应用 知识点 函数零点 1、函数零点的概念 一般地，我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 易错提醒 函数的零点是实数，不是点。 随学随练 1．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则有可能不存在实数使得 2．（25-26高三·全国·一轮复习）下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A．B．C． D． 3．（多选）下列说法中正确的是（   ） A．函数的零点为 B．函数的零点为 C．函数的零点，即函数的图象与轴的交点 D．函数的零点，即函数的图象与轴的交点的横坐标 知识点 函数零点存在性定理（重点） 1、函数零点存在定理 若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且有，则函数在区间上有零点. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 特别提醒 零点存在定理要求具备两个条件 1）函数在区间上的图象是连续不断的 2） 两个条件缺一不可。 教材延伸 函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点 ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数 ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数 ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y 35 则函数在区间上的零点至少有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 知识点二次函数零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 随学随练 1．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）若关于的方程的一根比2小且另一根比2大，则a的取值范围是______． 知识点 二分法（重点） 1、二分法的概念 一般地，对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近的零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 拓展 唯一零点问题（重点） 活学活用 1．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）方程的实数解个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型求函数的零点 解题贴士 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解 ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 ▌例1 （2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）函数的一个零点为（   ） A． B． C． D． ▌例2 （2026高一上·全国·专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)； (2)； (3). ▌对点练1-1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知a是函数的零点，则实数a的值为________． ▌对点练1-2．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的零点： (1)； (2)； (3). ▌对点练1-3．（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的零点． 题型判断函数零点个数 解题贴士 ①利用代数法，求出所有零点 ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数 ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数 ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调 ▌例1（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知，则满足的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌例2（26-27高一上·全国·课后作业）函数的零点个数是______． ▌对点练2-1（2025·广西河池·三模）函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练2-2（25-26高三上·四川广元·阶段检测）方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌对点练2-3（2024高二下·吉林·学业考试）函数的零点的个数为______． 题型判断零点所在区间 解题贴士 零点存在性定理 ▌例1（25-26高二下·天津静海·期末）函数的零点所在区间是（     ） A． B． C． D． ▌例2（2026高三·全国·专题练习）设是方程的解，且，则整数______________． ▌对点练3-1（23-24高一下·福建福州·阶段检测）设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-3（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 题型 已知零点个数求参数的取值范围（重点） 解题贴士 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围。 (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决。 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解。 ▌例1（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌例2（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是______． ▌对点练4-1（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）已知函数，若方程的实数解有3个，则实数k的取值范围是____________. ▌对点练4-2已知函数若有三个零点，则的取值范围是______. ▌对点练4-3（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为_______． 题型已知零点所在区间求参数的取值范围（重点） ▌例1（25-26高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-1（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-2（2025高一上·全国·专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-3（24-25高一上·山东济宁·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为______. 题型一次、二次函数零点问题（重点） ▌例1当时，的值有正也有负，则实数a的取值范围是______． ▌例2（25-26高一上·云南·期末）若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，则m的取值范围是______． ▌对点练6-1若函数在内有零点，求实数a的取值范围． ▌对点练6-2（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知关于的方程有两根、，若，则实数的取值范围是______． ▌对点练6-3（25-26高一上·北京·期中）已知函数的两个零点一个小于3，另一个大于3，则实数的取值范围为______. 题型根据指对幂函数零点分布求参数的范围（重点） ▌例1函数,若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌例2（多选）（23-24高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练7-1函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． ▌对点练7-2（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是______. ▌对点练7-3已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是______． 题型比较零点大小（重点） ▌例1（24-25高一上·广东·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． ▌例2（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-1（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-2（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-3（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 题型求零点和（重点） ▌例1（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌例2（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，若存在实数满足，则的取值范围是______. ▌对点练9-1已知，则在上所有根的和为_____. ▌对点练9-2（24-25高一上·北京平谷·期中）设函数，的单调递减区间是________；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是________． ▌对点练9-3（24-25高一上·湖北·期中）设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是_________. 题型对二分法的理解 解题贴士 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近的零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法 特别注意①函数在区间上图象连续不断②满足 ▌例1（2026高三·全国·专题练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． ▌例2（23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练10-1（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． ▌对点练10-2（23-24高一上·江西景德镇·阶段检测）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   ▌对点练10-3（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ） A． B． C． D． 题型用二分法求函数零点的近似值（重点） 解题贴士 注意综合题目给出的精确度 ▌例1（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练11-1（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 1 1.5 1.25 1.375 1.4375 -2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）不可以是（   ） A．1.375 B．1.25 C．1.4375 D．1.40625 ▌对点练11-2（25-26高一上·安徽·阶段检测）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 ▌对点练11-3（2025高一上·重庆开州·专题练习）那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （　　） A．1.437 5 B．1.375 C．1.25 D．1.422 题型用二分法求函数零点的过程 解题贴士 注意综合题目给出的精确度 ▌例1（26-27高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌例2（25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． ▌对点练12-1（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． ▌对点练12-2（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 ▌对点练12-3（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的零点为（　　） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026高三·全国·专题练习）已知，则方程的实数根个数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南濮阳·一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（      ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则的可能取值为（    ） A． B． C．1 D．2 9．（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知为函数的一个零点，则_________． 10．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 素养提升 1．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 2．（河北衡水中学教育集团2026-2027学年高三上学期9月第一次限时训练数学试题）设．若方程恰有3个不同的实数解，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数，若关于的方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）设分别是关于的方程和的根，则________． 5．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数. ①函数的零点个数为________； ②若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是________. 迁移创新 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (2)设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 2．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·开学考试）一般地，我们把形如的函数称为飘带函数． (1)若，求方程的根； (2)判断的奇偶性，并给予证明； (3)若，是否存在实数，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数 (1)若，求的最小值； (2)若恰有2个零点，求实数a的取值范围． 4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $