7.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，构建从五点法作图基础，到参数A、ω、φ对图象平移伸缩变换的规律探究，再到根据图象逆向求解析式，最终实现性质综合应用的递进式学习支架。 资料通过分层设计（知识点解析-题型分类-随学随练），结合易错提醒与解题贴士，培养学生数学眼光（如五点法中整体代换的抽象能力）、数学思维（图象变换的逻辑推理）和数学语言（参数关系的精准表达）。课中助力教师突破重难点，课后练习帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

第七章 三角函数 7.3.3 函数y=Asin(ωx+φ) 课标要点 1、结合具体实例，了解的实际意义，能借助计算器或计算机画出该函数的图象，观察并研究参数，，对函数图象变化的影响 2、会用“五点法”画出函数的简图 3、能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到的图象，并在这个过程中认识到函数与的联系 4、了解函数的图象，掌握函数的性质 学习重难点 重点：由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到的图象；函数的性质 难点：函数与的联系;函数的性质的运用 知识点 五点法作图（重点） 五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 特别提醒 1）看做一个整体，这个整体分别取，，，，，注意不是单独一个“”取这些值。 随学随练 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数. 列表： 画图： (1)求的单调递减区间； (2)用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程，请先补全表格，然后在上图的坐标系中作出在一个周期内的简图. 【答案】(1) (2) 0 【分析】（1）利用余弦函数的单调性，使用整体代入法，可得单调递减区间； （2）填写表格，使用五点法画出函数图像得到答案. 【详解】（1）令，，，， ，， 即的单调递减区间为. （2） 0 2．（25-26高一下·陕西商洛·阶段检测）已知函数. (1)用五点法画出函数在一个周期的图象（要求：列表，描点，连线）； (2)求函数的周期及单调递增区间； (3)求的最大值，最小值及取得最值时的取值集合. 【答案】(1)五点法作图 列表： 0 0 1 0 0 描点、连线： (2)，， (3)，；， 【分析】（1）根据五点作图法作图即可. （2）根据正弦型函数的性质求出周期及单调递增区间即可. （3）根据正弦型函数的性质求最值即可. 【详解】（1）略 （2）周期：， 由，，得，， 单调递增区间为，. （3）最大值：当时，，此时，， 解得，. 故的最大值为1，此时的取值集合为. 最小值：当时，.此时，， 解得，. 故的最小值为-1，此时的取值集合为. 知识点三角函数图象变换（重点） 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 易错提醒 变换成注意左右平移只能单独一个“”平移，左右平移时受影响； 随学随练 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】利用三角函数图象的平移变化规律求解即可. 【详解】向左平移个单位后得到，故A错误. 向左平移个单位后得到，故B正确. 向右平移个单位后得到，故C错误. 向右平移个单位后得到，故D错误. 2．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象平移法则即可求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位， 可得：. 3．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）为了得到的图象，可以将函数的图象上（     ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】A 【分析】依据正弦函数图象的伸缩、平移变换规则，判断即可. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象. 再向左平移（）个单位，平移后的函数解析式为. 令，解得， 故将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，即可得到的图象. 拓展根据图象求解析式（重点） 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 活学活用 1．（2026·宁夏·一模）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据最值可得，代入点可得，代入点结合函数周期性可得，即可得函数的解析式，结合函数图象变换运算求解. 【详解】由图可知：，则， 因为函数的图象过点，则，即， 且，则，可得， 又因为函数的图象过点，则，即， 设函数的最小正周期为，则，即， 且，则，解得， 则，可得，解得，所以. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为. 2．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______，若将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为______.    【答案】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点坐标求出的值，可得函数的解析式，根据三角函数的图象变换规律求得新函数的解析式． 【详解】根据图象知，， 将点代入，得， ，又，则， ， 将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为． 故答案为：，． 题型利用“五点法”作函数的图象（重点） ▌例1（24-25高一下·陕西渭南·阶段检测）已知函数. (1)填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； (2)将的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称轴方程. 【答案】(1) 函数的最小正周期为， 作出函数在上的图象，列出表格： 画出图象： (2)的对称轴方程是 【分析】（1）用“五点法”填表并画出在上的图象即可. （2）根据三角函数图象平移规律可得的图象，再求的对称轴可得答案． 【详解】（1）略； （2）将的图象向上平移1个单位得到的图象， 再将横坐标缩短为原来的得到的图象， 再向右平移个单位得的图象， 因此，由，解得， 所以的对称轴方程是. ▌例2已知函数. (1)完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图； 0 (2)求不等式的解集. 【答案】(1)完成表格如下： 0 1 1 可得在的大致图象如下： (2) 【分析】（1）结合特殊角的三角函数值，可完成表格，进而求得函数在的大致图象； （2）由，得到，当时，求得，结合余弦函数的周期，即可求解. 【详解】（1）由函数，可得完成表格如下： 0 1 1 可得在的大致图象如下： （2）由，可得，即， 当时，由，得. 又由函数的最小正周期为， 所以原不等式的解集为(). ▌对点练1-1（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的坐标系中作出在一个周期内的简图. 列表： 画图： 【答案】(1). (2) 0 【分析】（1）利用余弦函数的单调性可得单调递减区间； （2）填写表格，画出函数图像得到答案. 【详解】（1）令，，，， ，， 即的单调递减区间为. （2）略 ▌对点练1-2已知函数. 利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 【答案】 0 画出在区间上的图象如图： 【分析】由题设及特殊角三角函数值可完成表格，由表格可完成图象. 【详解】略 题型同名三角函数的图象变换（重点） 解题贴士 解题时先观察题目变换前后三角函数名是否一致，对于三角函数名一致的情况，参考,,对函数图象的影响解题 ▌例1（25-26高一下·湖南娄底·期末）要得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【详解】函数图象左右平移，依照左加右减的法则， 把的图象向右平移个单位，可得到的图象. ▌例2（25-26高一下·贵州安顺·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上（   ） A．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 【答案】B 【详解】选项A，横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的函数为，错误. 选项B，横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的函数为，正确. 选项C，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的函数为，错误. 选项D，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的函数为，错误. ▌对点练2-1（25-26高二下·广东揭阳·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【详解】因为，根据函数图象的平移变换规律， 将函数图象上的每个点向左平行移动个单位长度， 即可得函数的图象. ▌对点练2-2（25-26高二下·天津红桥·期末）为了得到函数，的图象，只需将上所有的点（     ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】A 【分析】根据三角函数图像的平移变换即可求解. 【详解】将上所有的点向左平行移动个单位长度得函数. ▌对点练2-3（25-26高一下·辽宁大连·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】由，只需把函数的图象向右平移个单位长度. 题型 不同名三角函数的图象变换（易错点） 解题贴士 解题时先观察题目变换前后三角函数名是否一致，对于三角函数名前后不一致的情况： ①将函数名化一致：利用公式将余弦化为正弦 ②参考,,对函数图象的影响解题 ▌例1 （24-25高一上·北京朝阳·期末）将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（     ） A．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【详解】先将向左平移个单位，可得， 再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 可得的图象，故A正确. ▌例2 （24-25高一下·广东茂名·阶段检测）已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【分析】直接求出函数的周期T，利用周期公式可求，得到函数的解析式，利用图象平移的规律：左加右减，图象伸缩变换的规律即可得解． 【详解】由题意可知， 所以， 所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到， 再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象， 即的图象， 故选：A ▌对点练3-1．（2024·云南楚雄·一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由正弦函数的平移法则以及周期性可得，结合即可求解. 【详解】由题意可得 ，∴，，解得，， 又，∴当时，取得最小值为5． 故选：D. ▌对点练3-2．（2025·吉林·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的等式，即可得出结果. 【详解】因为， 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象， 由题意可得，可得，当时，， 故选：D. ▌对点练3-3．（多选）若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据三角函数的图象变换，得到的图象，由，求得，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数，其中，可得周期为， 因为函数的图象向右平移个周期后， 得到的图象， 又因为， 所以，所以， 令，解得，所以A错误； 令，解得，所以B正确； 令，解得，所以C错误； 令，解得，所以D正确. 题型 求图象变化前（后）的解析式（重点） 解题贴士 （1）分辨三角变换前后函数名是否一致，可通过将余弦化为正弦 （2）弄清谁是变化前的解析式和谁是变化后的解析式 （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 ①函数到的变换量是个单位 ②函数到时，变换量是个单位 ▌例1（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的图象求出函数的解析式，再利用三角函数图象变换可得出函数的解析式. 【详解】由图可知，函数的最小正周期满足，所以最小正周期， 故，此时； 将最低点代入可得，即， 所以，可得. 又，所以，所以； 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可得． ▌例2（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）如图是函数的部分图象，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则__________． 【答案】0 【分析】根据函数的图象及性质，求得，结合三角函数的图象变换，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得， 所以，可得，所以， 又由，可得，即， 可得，解得， 因为，所以，所以， 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，可得 再将其向左平移个单位长度，得到， 所以. ▌对点练4-1（25-26高一下·云南楚雄·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变）， 可得的图象， 令，得，可得， ． ▌对点练4-2（多选）（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（   ） A． B．在上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【分析】根据题目条件求出函数，从而求出，则相关的性质就得出了. 【详解】对于A选项，由图象可知，所以； 又，所以，又，所以，所以 . 由五点作图法可知：，解得，所以， 则，故A错误； 对于B选项，根据A可知函数，故当时，，此时，单调递减，故B正确； 对于C选项，已知函数，因此，故C正确； 对于D选项，已知函数，因此，故D正确. ▌对点练4-3（25-26高二下·北京昌平·期末）将函数的图象上的所有点向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则________； 【答案】 【详解】向左平移个单位得到的函数为， 题型由的图象确定其解析式(或参数值)（重点） 解题贴士 形如的解析式求法 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置。 ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解。 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出。 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解。 （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解。 ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案。 ▌例1（25-26高一上·广东深圳·期末）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的解析式及单调递增区间； 【答案】(1) (2)，； 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，再由求出，即可得到函数解析式； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，再由正弦函数的性质计算可得； 【详解】（1）设该函数的最小正周期为，所以有， 所以，因为，所以，解得， 即函数， 又，所以，解得， 因为，所以令，可得， 所以； （2）依题意将函数图象向左平移个单位长度， 得到， 将图象上每个点的横坐标变为原来的，可得 令，解得 所以的单调递增区间为； ▌例2（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)取到最大值， 取到最小值. 【分析】(1)利用周期性求，利用最高点求，即可求得解析式； (2)利用平移思想，结合定义域，再利用正弦函数的性质可求得最值. 【详解】（1）由图可得：函数的周期为，则， 因为，所以， 再由， 因为，所以， 即. （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 即， 因为，所以，即, 即当时，取到最大值，当时，取到最小值. ▌对点练5-1（25-26高一上·广东深圳·期末）若函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将图象上的所有点先向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象： （i）求的解析式； （ii）已知，若在上的最大值为，最小值为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）1 【分析】（1）根据图象可求最值，周期，特殊点可求解析式； （2）（i）根据图象变换可得；（ii）根据所给区间可求的表达式，结合三角函数知识可求最大值. 【详解】（1）由图可知，,周期为，所以， 因为图象经过点，所以，， 即，，因为，所以， 所以. （2）（i）将图象上的所有点先向右平移个单位长度得到解析式为， 再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到的解析式为 （ii）因为在单调递增，当时，； 所以， ， 因为，所以，所以， 即的最大值为1. ▌对点练5-2（24-25高一下·北京延庆·期中）已知函数的部分图像如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像； (3)求函数的单调递减区间； (4)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 把图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，就可得到的图像， 把图像上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可得到的图像． (3) (4) 【分析】（1）根据图像确定，从而可求出，再代入一点求即可； （2）依据函数平移和伸缩变换的原则按步骤变换即可； （3）根据整体代入法求的单调递减区间即可； （4）根据确定的范围，解出的范围即可. 【详解】（1）由已知图象得， ，则，所以， 因为，所以， 又因为，所以，即． （2）先将函数的图像上所有的点向右平移个单位， 就可得到的图像， 把图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，就可得到的图像， 把图像上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可得到的图像． （3）因为 所以 所以的单调递减区间为． （4）因为，所以， 所以， 解得：， 所以不等式的解集是． ▌对点练5-3（24-25高一下·四川达州·期末）简谐运动可以用函数，表示，其中，．已知某简谐运动图象如图所示． (1)指出该简谐运动的振幅、周期、初相： (2)把图象上所有点的纵坐标缩短到原米的（横坐标不变），得到的图象；然后把曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）讨论函数在上的单调性； 【答案】(1)振幅为2，周期为，初相为 (2)（i）递增区间为，递减区间为； 【分析】（1）由图像结合正弦函数的性质可得； （2）（i）结合图象伸缩性质利用正弦函数的单调性可得；【详解】（1）由图象可得，， 当时代入可得， 又时，，所以取，则. 综上，振幅为2，周期为，初相为. （2）（i）由题意可得， 令， 即时函数单调递增；时函数单调递减， 取，可得递增区间为，递减区间为 题型 函数的图象与性质的综合应用（重点） 解题贴士 对于函数 ①解题时经常将看作一个整体，可令 ②求值域问题时注意的取值范围 ③求单调区间时注意将整体代入或者的单调增减区间 ▌例1（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再将其图象向左平移个单位得到函数的图象．若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图象的最高点确定振幅，利用周期性确定，再代入特殊点坐标结合的范围求出初相； （2）根据三角函数图象变换规律求出的解析式，将恒成立问题转化为求函数在给定区间上的最小值问题. 【详解】（1）由函数的图象可知，函数的最大值为2， 因为，所以．观察图象，函数在处取得最大值，在处经过平衡位置且单调递增， 所以，解得.因为且，所以， 此时，将点代入函数解析式，得， 所以，解得. 因为，令，得． 所以函数的解析式为． （2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍， 得到函数的图象. 再将其图象向左平移个单位，得到函数的图象， 则. 因为，所以． 由余弦函数的性质可知，当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减． 又因为，，且， 所以当，即时，取得最小值，最小值为． 若对任意的，都有恒成立，则，即． 所以实数的取值范围是． ▌例2（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知函数部分图象如图所示． (1)求解析式； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)将函数的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)、、 (3) 【分析】（1）观察图象利用最高点求出振幅，利用半周期的横坐标差求出，再代入已知特殊点的坐标即可求解； （2）采用“整体代换”法，结合正弦型函数的单调递增区间，解出x的范围后再与限定区间 求交集； （3）由图象变换求出，再利用换元法将方程转化为闭区间上的二次函数有解问题，分离参数后求二次函数的最值即可. 【详解】（1）设该函数的最小正周期为，且， 由函数图象可知：且， 即， 由图象可知： ， 因为，所以令， 由上可知：． （2），由， 因为，所以令，单调递增区间为， 令，得，而，所以单调递增区间为， 当，得，而，所以单调递增区间为， 综上所述：函数在上的单调递增区间为、、． （3）由题意可得，． 当时，． 因为存在使得等式 成立， 即方程在上有解． 令，则，方程转化为：在 上有解， 整理得：在 上有解． 令，，对称轴为， ，所以， ，因此，即实数的取值范围为 ． ▌对点练6-1（25-26高一下·江西九江·阶段检测）已知函数，其图象的最高点坐标为，图象与x轴相邻两个交点的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最小正周期可得，结合最值点可得，，即可得的解析式； （2）根据图象变换得到的解析式并化简为，再以为整体，结合正弦函数有界性运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：的最小正周期， 且，由解得， 又因为最高点坐标为，则， 则，即， 且，则，可得，解得， 所以. （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到， 再向右平移个单位长度，得到， 因为，则， 可得，即， 所以在区间上的值域为. ▌对点练6-2（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数为偶函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据函数图象相邻对称轴之间的距离是，得到，求得，再由将的图象向左平移个单位长度，根据函数为偶函数求解； （2）分别求得函数的单调递增区间和单调递减区间，再根据函数在区间上不单调求解； （3）根据，求得，令，由恒成立转化为恒成立求解． 【详解】（1）因为函数图象相邻对称轴之间的距离是， 所以，所以，所以，解得， 所以． 将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． 因为函数为偶函数，所以． 因为，所以，所以． （2）令，解得； 令，解得． 故函数的单调递增区间为， 单调递减区间为． 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为, 因为，所以函数在区间上单调递增， 又因为函数在区间上不单调，所以， 即实数的取值范围为． （3）因为，所以，所以． 令，则恒成立， 等价于恒成立． 函数 是关于的二次函数，函数图象开口向上，恒过定点． 由二次函数图象的性质可知，要使恒成立， 只需 解得，故实数的取值范围为． ▌对点练6-3（2026·陕西商洛·二模）已知函数（）图象的相邻两对称轴之间的距离为. (1)求； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到函数的图象，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由相邻两对称轴之间的距离求得周期，根据周期的计算公式求得； （2）由（1）得的解析式，根据图象变换法则得的解析式，从而求得在上的取值范围，再根据不等式在上恒成立，求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为的图象相邻两对称轴间的距离为， 所以函数的周期为，即，解得. （2）由（1）知， 由题意知，， 当时，，，即. 由在上恒成立， 得在上恒成立. 所以，解得. 故实数的取值范围为. 基础通关 1．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）将函数的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变可得， 再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为 2．（2026·天津和平·三模）为了得到函数的图象，纵坐标不变，只需将函数的图象上所有的点（     ） A．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C．向左平移个单位长度；再将所得各点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 【答案】A 【详解】对于A，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，故A正确； 对于B，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，故B错误； 对于C，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，故C错误； 对于D，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，故D错误. 3．（25-26高一下·四川南充·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍得到， 再向右平移个单位得到. 4．（25-26高一下·北京·期中）若函数的部分图象如下图所示，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由得的图像关于对称，进而得周期，即可求解. 【详解】由图可得：，，所以的图像关于对称， 所以，所以，所以. 5．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的图象经过点求出，再利用平移变换即得所求函数解析式. 【详解】由图知，函数经过点，则得， 因，则有，解得，故， 依题意. 故选：C. 6．（2026·安徽黄山·一模）函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出平移后的解析式，再根据余弦函数的对称性即可得到，解出即可. 【详解】向左平移后解析式为， 若其图象关于轴对称，则， 则，又因为，则当时，取得最小值，为. 故选：C. 7．（多选）（25-26高一上·山西临汾·期末）已知函数的部分图象如下图所示，下列说法正确的有（ ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．该图象对应的函数解析式为 【答案】BCD 【分析】先由函数的图象依次求出，即得函数的解析式，再根据正弦函数的图象对称性与单调性逐一代入计算判断即得. 【详解】由图可知，，函数的最小正周期，则， 图象经过点，则得，因，则， 故函数的解析式为，故D正确； 对于A，当时，，因函数在上先减后增，故A错误； 对于B，因为函数的最小值，故B正确； 对于C，因，故C正确； 故选：BCD. 8．（多选）（25-26高一上·湖南常德·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向左平移个单位长度可得的图象 【答案】ABD 【分析】利用三角函数图象来求出解析式，再检验对称性，单调性和平移变换，即可得到判断. 【详解】由图可得：，可得，， 又由，可得，故A正确； 则，当时，， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 当时，，由于当时函数递增，故C错误； 将的图象向左平移个单位长度可得，故D正确； 故选：ABD 9．（24-25高一下·四川南充·阶段检测）已知定义域为R的函数同时满足以下三个条件： ①函数的图象过原点； ②对，都有； ③对，都有． 则符合上述三个条件的函数表达式可以为__________．（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】条件①：函数过原点，即. 条件②：，为偶函数. 条件③：，周期为. 所以函数符合上述三个条件. 10．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则_______________．    【答案】 【分析】根据点为零点，点为函数的最小值点，依图可得两点横坐标之差为个周期，据此可求周期及，再利用最小值点坐标代入可求. 【详解】由图象可知：，解得， 所以，解得. 将代入得， 所以，即， 因为，所以，． 故答案为：． 素养提升 1．（25-26高二上·湖北十堰·开学考试）函数（）的部分图象如图所示，给出以下说法：①②点是函数的图象的一个对称中心③函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象④函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称．其中正确说法的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据函数的图像得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质以及图像平移规律、奇偶性求解即可. 【详解】由图可知，两个相邻零点为和，故半个周期，所以，故， 因此. 因为点在图像上，故，解得，取得， 即. ①.，故①正确. ②.，因此该点不是对称中心，故②错误. ③.将横坐标缩短为原来的，得到，故③正确. ④.向右平移个单位，则， 是偶函数，图象关于轴对称，故④正确. 2．（多选）（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A． B．的图象关于点对称 C．直线是的一条对称轴 D．函数为奇函数 【答案】ABD 【详解】选项A：由图可知，，因为，所以． 因为，所以，则． 此时．由图可知，函数图像过点， 所以，即．因为， 取，得．所以，故A正确． 选项B：令，解得，所以的图像关于点对称，故B正确． 选项C：当时，，此时函数值为0，不是最值， 所以直线不是的对称轴，故C错误． 选项D：， 因为是奇函数，所以函数为奇函数，故D正确． 3．（25-26高一下·全国·单元测试）关于函数，有下列命题： ①为偶函数； ②要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度； ③的图象关于直线对称； ④在内的增区间为和．其中正确命题的序号为______． 【答案】②③ 【分析】①：利用偶函数的性质，结合诱导公式进行判断即可；②：利用正弦型函数图象的变换性质进行判断即可；③：利用正弦型函数的对称性进行判断即可；④：利用正弦型函数的单调性进行判断即可. 【详解】①：因为函数，所以， 令 因为 所以不是偶函数，所以本说法不正确； ②：将的图象向右平移个单位长度，得到 的图象，所以本说法正确； ③当时， ， 所以的图象关于直线对称，所以本说法正确； ④：， 因为， 所以令，得，而，所以增区间为； 令，得，而，所以增区间为； 令，得，而，所以增区间为 在内的增区间有三个，所以本说法不正确； 故答案为：②③ 4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将函数向左平移个单位后得到函数，若，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用图象可求得，进而可求得，利用图象经过点，可求得，可求得解析式； （2）利用图象变换规律求得的解析式，再结合，可求得的最大值与最小值． 【详解】（1）由最大值可确定，因为，所以， 所以，解得，此时， 又函数过点，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. （2）由题意，， 若，则， 所以，所以， 所以的最大值为，最小值为. 5．（25-26高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示： (1)求的函数解析式； (2)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到函数的图象，求函数的单调增区间． 【答案】(1) (2)的单调增区间为：. 【分析】（1）根据图象得到和最小正周期，从而得到，代入，求出，得到函数解析式； （2）根据伸缩变换和平移变换得到，利用整体法得到函数的单调递增区间． 【详解】（1）由图像可知函数最大值为，最小值为，且，因此， 观察图像得，最低点横坐标为，下降零点横坐标为， 因此，得周期，故， 此时，将点代入得： 即，解得， 结合，得， 即. （2）右移个单位得：， 横坐标缩短到原来的倍得：， 由余弦函数单调减区间得：， 故的单调增区间为：. 迁移创新 1．（25-26高一下·上海松江·期中）已知函数，且图象的相邻两个最高点间的距离为. (1)求函数的所有零点； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求边的长； (3)设，将函数的图象向左平移单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，根据正弦型函数性质列式计算求解； （2）由可得，再根据三角形面积公式及余弦定理计算求解即可； （3）根据图象变换可得，若对任意，都有成立，则，结合正弦函数性质计算求解. 【详解】（1）因为图象的相邻两个最高点间的距离为， 所以，解得， 所以， 令，解得， 所以函数的所有零点可以表示为； （2）因为，所以， 因为，所以，解得， 因为，所以， 由余弦定理可得， 所以； （3）将函数的图象向左平移单位可得， 再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， 当时，，故， 所以当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， 若对任意，都有， 则，即， 所以的取值范围为. 2．（25-26高一下·北京·期中）已知函数. (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象（要求列表），并直接写出图象的对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若，，当时，恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) 对称中心为 (2) 【分析】（1）通过列表得函数在内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点连线画出草图，并写出其对称中心； （2）根据图象平移可得，分析可知函数在内单调递减，结合正弦函数的周期性和单调性运算求解即可. 【详解】（1）列表： 0 1 2 0 0 1 描点，连线，画出在上的大致图像如图： 由图可知函数图像的对称中心为； （2）将函数的图象向右平移个单位， 得到， 由题意可知：函数在内单调递减，且的最小正周期， 则，即，解得， 因为，则， 且，则，， 可得，解得， 所以实数的最大值为. 3．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式. (2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象. （i）求函数的单调递减区间； （ii）已知函数，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【分析】（1）根据周期性可得，结合最值可得，代入点可得，即可得结果； （2）（i）根据图象变换可得，结合正弦函数单调性运算求解；（ii）求相应的值域，，分析可知，结合包含关系运算求解. 【详解】（1）设的最小正周期为，则，解得， 且，则，解得， 由图可知，则， 又因为，即， 且，则， 则，解得，所以. （2）（i）因为， 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，； （ii）设在内的值域为，在内的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 因为，则， 可得，即，可得， 当时，则， 可得，则，即， 由，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 4．（25-26高一下·四川遂宁·开学考试）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)求函数的解析式； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由表格中的数据列方程组求出的值，可得函数解析式； （2）利用函数解析式，结合正弦函数的性质，求定义区间内函数的最值； （3）根据函数图象的变换得到的解析式，结合求出的对称中心，得到的代数式，进而求出最小值. 【详解】（1）由题意知，解得，， 又，解得， 所以． （2），， ∴，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. （3）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 因为，所以的图象关于中心对称， 所以，，解得，， 因为，所以当时，此时取得最小值为． 5．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）根据图象，结合正弦型函数的最小正周期公式、代入法进行求解即可； （2）根据正弦型函数图象变换性质得到，再令，再求出边界值即可得到答案. 【详解】（1）由图示得：， 又函数的周期有：，所以，所以， 所以． 又因为过点，所以，即， 所以，，解得，， 又，所以，所以； 令，解得，则其对称中心为. （2）图象上所有的点向右平移个单位长度， 得到， 将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到 ， 当时，，令， 则，则，解得， 则，取，则，取，则， 则. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数 7.3.3 函数y=Asin(ωx+φ) 课标要点 1、结合具体实例，了解的实际意义，能借助计算器或计算机画出该函数的图象，观察并研究参数，，对函数图象变化的影响 2、会用“五点法”画出函数的简图 3、能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到的图象，并在这个过程中认识到函数与的联系 4、了解函数的图象，掌握函数的性质 学习重难点 重点：由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到的图象；函数的性质 难点：函数与的联系;函数的性质的运用 知识点 五点法作图（重点） 五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 特别提醒 1）看做一个整体，这个整体分别取，，，，，注意不是单独一个“”取这些值。 随学随练 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数. 列表： 画图： (1)求的单调递减区间； (2)用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程，请先补全表格，然后在上图的坐标系中作出在一个周期内的简图. 2．（25-26高一下·陕西商洛·阶段检测）已知函数. (1)用五点法画出函数在一个周期的图象（要求：列表，描点，连线）； (2)求函数的周期及单调递增区间； (3)求的最大值，最小值及取得最值时的取值集合. 知识点三角函数图象变换（重点） 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 易错提醒 变换成注意左右平移只能单独一个“”平移，左右平移时受影响； 随学随练 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 2．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）为了得到的图象，可以将函数的图象上（     ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 拓展根据图象求解析式（重点） 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 活学活用 1．（2026·宁夏·一模）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为________． 2．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______，若将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为______.    题型利用“五点法”作函数的图象（重点） ▌例1（24-25高一下·陕西渭南·阶段检测）已知函数. (1)填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； (2)将的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称轴方程. ▌例2已知函数. (1)完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图； 0 (2)求不等式的解集. ▌对点练1-1（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的坐标系中作出在一个周期内的简图. 列表： 画图： ▌对点练1-2已知函数. 利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 题型同名三角函数的图象变换（重点） 解题贴士 解题时先观察题目变换前后三角函数名是否一致，对于三角函数名一致的情况，参考,,对函数图象的影响解题 ▌例1（25-26高一下·湖南娄底·期末）要得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ▌例2（25-26高一下·贵州安顺·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上（   ） A．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 ▌对点练2-1（25-26高二下·广东揭阳·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 ▌对点练2-2（25-26高二下·天津红桥·期末）为了得到函数，的图象，只需将上所有的点（     ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 ▌对点练2-3（25-26高一下·辽宁大连·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 题型 不同名三角函数的图象变换（易错点） 解题贴士 解题时先观察题目变换前后三角函数名是否一致，对于三角函数名前后不一致的情况： ①将函数名化一致：利用公式将余弦化为正弦 ②参考,,对函数图象的影响解题 ▌例1 （24-25高一上·北京朝阳·期末）将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（     ） A．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） ▌例2 （24-25高一下·广东茂名·阶段检测）已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 ▌对点练3-1．（2024·云南楚雄·一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 ▌对点练3-2．（2025·吉林·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-3．（多选）若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为（ ） A． B． C． D． 题型 求图象变化前（后）的解析式（重点） 解题贴士 （1）分辨三角变换前后函数名是否一致，可通过将余弦化为正弦 （2）弄清谁是变化前的解析式和谁是变化后的解析式 （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 ①函数到的变换量是个单位 ②函数到时，变换量是个单位 ▌例1（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）如图是函数的部分图象，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则__________． ▌对点练4-1（25-26高一下·云南楚雄·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2（多选）（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（   ） A． B．在上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 ▌对点练4-3（25-26高二下·北京昌平·期末）将函数的图象上的所有点向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则________； 题型由的图象确定其解析式(或参数值)（重点） 解题贴士 形如的解析式求法 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置。 ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解。 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出。 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解。 （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解。 ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案。 ▌例1（25-26高一上·广东深圳·期末）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的解析式及单调递增区间； ▌例2（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. ▌对点练5-1（25-26高一上·广东深圳·期末）若函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将图象上的所有点先向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象： （i）求的解析式； （ii）已知，若在上的最大值为，最小值为，求的最大值. ▌对点练5-2（24-25高一下·北京延庆·期中）已知函数的部分图像如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像； (3)求函数的单调递减区间； (4)求不等式的解集． ▌对点练5-3（24-25高一下·四川达州·期末）简谐运动可以用函数，表示，其中，．已知某简谐运动图象如图所示． (1)指出该简谐运动的振幅、周期、初相： (2)把图象上所有点的纵坐标缩短到原米的（横坐标不变），得到的图象；然后把曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）讨论函数在上的单调性； 题型 函数的图象与性质的综合应用（重点） 解题贴士 对于函数 ①解题时经常将看作一个整体，可令 ②求值域问题时注意的取值范围 ③求单调区间时注意将整体代入或者的单调增减区间 ▌例1（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再将其图象向左平移个单位得到函数的图象．若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． ▌例2（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知函数部分图象如图所示． (1)求解析式； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)将函数的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． ▌对点练6-1（25-26高一下·江西九江·阶段检测）已知函数，其图象的最高点坐标为，图象与x轴相邻两个交点的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． ▌对点练6-2（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数为偶函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若，都有，求实数的取值范围． ▌对点练6-3（2026·陕西商洛·二模）已知函数（）图象的相邻两对称轴之间的距离为. (1)求； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到函数的图象，若在上恒成立，求实数的取值范围. 基础通关 1．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）将函数的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津和平·三模）为了得到函数的图象，纵坐标不变，只需将函数的图象上所有的点（     ） A．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C．向左平移个单位长度；再将所得各点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 3．（25-26高一下·四川南充·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·北京·期中）若函数的部分图象如下图所示，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽黄山·一模）函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一上·山西临汾·期末）已知函数的部分图象如下图所示，下列说法正确的有（ ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．该图象对应的函数解析式为 8．（多选）（25-26高一上·湖南常德·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向左平移个单位长度可得的图象 9．（24-25高一下·四川南充·阶段检测）已知定义域为R的函数同时满足以下三个条件： ①函数的图象过原点； ②对，都有； ③对，都有． 则符合上述三个条件的函数表达式可以为__________．（答案不唯一，写出一个即可） 10．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则_______________．    素养提升 1．（25-26高二上·湖北十堰·开学考试）函数（）的部分图象如图所示，给出以下说法：①②点是函数的图象的一个对称中心③函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象④函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称．其中正确说法的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A． B．的图象关于点对称 C．直线是的一条对称轴 D．函数为奇函数 3．（25-26高一下·全国·单元测试）关于函数，有下列命题： ①为偶函数； ②要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度； ③的图象关于直线对称； ④在内的增区间为和．其中正确命题的序号为______． 4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将函数向左平移个单位后得到函数，若，求的最大值与最小值． 5．（25-26高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示： (1)求的函数解析式； (2)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到函数的图象，求函数的单调增区间． 迁移创新 1．（25-26高一下·上海松江·期中）已知函数，且图象的相邻两个最高点间的距离为. (1)求函数的所有零点； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求边的长； (3)设，将函数的图象向左平移单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意，都有，求的取值范围. 2．（25-26高一下·北京·期中）已知函数. (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象（要求列表），并直接写出图象的对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若，，当时，恒成立，求实数的最大值. 3．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式. (2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象. （i）求函数的单调递减区间； （ii）已知函数，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 4．（25-26高一下·四川遂宁·开学考试）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)求函数的解析式； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若满足，求的最小值． 5．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $