7.4 三角函数的应用（讲义，知识点&4大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦三角函数模型的实际应用，系统梳理函数y=Asin(ωx+φ)+b中振幅、周期、频率、相位的物理意义，构建从审题、建模、求解到还原的问题解决程序，搭建从三角函数性质到跨学科应用的学习支架。 资料以潮汐、摩天轮等真实情境为载体，通过数据拟合、物理运动分析等题型，培养学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维解决实际问题，用数学语言表达规律。课中实例助于直观理解，课后分层练习可有效查漏补缺。

第七章 三角函数 7.4 三角函数应用 课标要点 1、能结合实际生产与生活中与三角函数之间的密切关系，用三角函数这一数学模式解决与之相关的问题 2、能处理三角函数相关学科之间的问题，用三角函数这一重要工具解决与数学、物理学及其它学科与之相关联的问题 3、掌握数学建模的重要方法与步骤，并能严谨的应用数学知识解决问题 学习重难点 重点：掌握建立三角函数模型解决实际问题的思路 难点：三角函数模型在实际问题中的具体意义 知识点函数(,)中，各参数的物理意义 振幅 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离　　　  周期 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间  频率 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数　　　 相位 时的相位称为初相  随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）一个单摆小球偏离铅垂线方向的角，与时间t的函数关系式是，则单摆摆动的频率是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以单摆摆动的频率为． 2．（25-26高一下·四川凉山·期末）某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（    ） A．， B．2， C．， D．2， 【答案】A 【详解】，这个简谐运动的周期为，频率为，相位为. 3．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为______． 【答案】2 【详解】因为正弦型简谐振动函数（）的振幅为， 所以满足函数的简谐振动的振幅为2. 知识点 应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:  (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答. 拓展数据拟合三角函数模型问题 活学活用 1．（2026·北京·三模）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，先画出散点图，判断出函数的大致走势，再根据函数走势计算出，再根据已知条件计算出货船一天中可以在港口中停靠的最长时长. 【详解】如图所示，作出符合题意的图象， 由函数图象可知，周期， 所以，函数解析式为， 把代入得 ， 而， 所以，函数解析式为； 由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米， 安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米， 那么港口水深要不低于米才安全， 则令，得 ， ， 当时，货船停靠的时长为； 当时，， 可得货船停靠的时长为； 当时，不存在符合实际意义的解； 所以货船在一天(小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（单位：米）随着时间（，单位：时）成周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表： /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 /米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)试在图中描出所给点； (2)观察（1）中所绘图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间. 【答案】(1) (2)， (3)在11时到19时训练较恰当 【详解】（1）描出所给点如图所示. （2）由（1）知选择较合适. 令. 由图知，所以， 把代入，得. 故所求拟合模型的解析式为. （3）由，得， 则， 即， 注意到，所以或或， 再结合题意可知，安排在11时到19时训练较恰当. 题型三角函数模型在物理学中的应用 ▌例1 （25-26高一下·北京·期中）已知函数（其中，，）的图象如图1所示，它刻画了质点做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线的位置值（是质点与直线的距离（米），质点在直线上方时，为正，反之为负）随时间（秒）的变化过程.则质点运动的圆形轨道的半径为________米；图2中，质点首次出现在直线上的时刻________秒. 【答案】 2 【分析】先由函数最大值确定振幅，即轨道半径；再代入与求出，得到函数，最后令，解得首次正根，即质点首次到达直线的时刻． 【详解】由图1可以看出，函数的最大值为2，所以振幅，即质点运动的圆形轨道的半径为2米， 当时，，所以，即， 因为，所以， 当时，，结合五点法可得，解得， 所以，函数表达式为， 令，得，所以，解得， 因为，所以取，得首次时刻秒． ▌例2 （24-25高一下·四川·期中）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100m，叶片长40m，叶片每转动一圈可以获得2度电量．设风机叶片端点与地面的距离为（单位：m），若以点离地面最近时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系式为． (1)求点转动的频率； (2)若每度电收益0.6元，求该风机工作1小时的收益； (3)在转动一圈的过程中，求风机两叶片端点距离地面的高度差（单位：m）关于时间的函数解析式，并求高度差的最大值． 【答案】(1) (2)元 (3)函数解析式为，且的最大值为 【分析】（1）根据频率的意义求解即可； （2）先求得1秒钟的收益，进而可求1小时的收益； （3）由题意可得，利用三角恒等变换可求最大值. 【详解】（1）由题意，的周期， 频率； （2）由（1）知频率，故1秒钟叶片转动圈， 秒钟可获电量0.5度，收益为0.3元， 小时的收益为元； （3）由题意， 利用，可得： 高度差关于时间的函数解析式为，且的最大值为． ▌对点练1-1．（24-25高二下·上海嘉定·期中）新加坡摩天观景轮又名飞行者摩天轮（如图示），其总高度165米，直径150米，匀速旋转一圈所需时间为40分钟．已知摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，．而点的起始位置在摩天轮的最低点处．请写出高度（米）关于时间（分钟）的函数解析式________． 【答案】 【分析】先根据摩天轮的总高度和直径求出和的值，再根据旋转一圈所需时间求出的值，最后根据起始位置求出的值，进而得到函数解析式. 【详解】已知摩天轮直径为150米，那么振幅为半径，即米. 因为摩天轮总高度165米，摩天轮最低点距离地面的高度为总高度减去直径，即米，摩天轮中心距离地面的高度为米，所以米.   已知摩天轮匀速旋转一圈所需时间为40分钟，根据周期的定义，这里分钟. 由三角函数周期公式可得. 将代入上式，解得.   因为点的起始位置在摩天轮的最低点处，当时，取最小值. 对于函数，当时，取最小值. 把，，代入得，化简可得. 又因为，所以.   得到高度关于时间的函数解析式为. 故答案为：. ▌对点练1-2．（25-26高一下·广东清远·期末）如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示． (1)求，，，的值； (2)小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？ (3)小球在什么时间内是下降状态？ 【答案】(1)，，， (2)19次 (3)小球在内是下降状态． 【分析】（1）根据三角函数的图象与性质结合图形计算即可； （2）利用三角函数的周期性计算即可； （3）根据三角函数的单调性计算即可. 【详解】（1）由图2可知，， 最小正周期，所以， 由五点作图法可知，当时，，所以， 所以， 当时，． （2）小球往复运动一次所需时间为， 小球1秒内往复运动的次数为， 所以小球1分钟（60秒）内往复运动的次数为（次）． （3）令， 得， 所以小球在内是下降状态． ▌对点练1-3．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，若小球在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：cm）由关系式确定，其中，，．在一次振动过程中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为． (1)求小球相对平衡位置的高度h（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数关系式； (2)求从开始到时小球经过平衡位置的次数，及时小球的运动方向． 【答案】(1)， (2)50次，当时小球向上运动 【分析】（1）由题意知、，根据求出即可求解； （2）由（1）知小球恰好振动25个周期，得时小球的运动方向与时小球的运动方向相同，当时，即可求解. 【详解】（1）小球振动过程中最高点与最低点的距离为，且， ． 在一次振动过程中，小球从最高点运动至最低点所用时间为， 函数的最小正周期为． 又， ，即． ，． （2）由题意，当时，小球第一次到达平衡位置，以后每隔半个周期都经过平衡位置一次， 又由（1）知小球的振动周期为2， 在后，小球每隔经过平衡位置一次． 从开始到时小球经过平衡位置的次数为50． 小球恰好振动25个周期， 时小球的运动方向与时小球的运动方向相同． 当时，， 当时，，， 又， 当时小球向上运动． 当时小球向上运动． 题型三角函数模型在日常生活中的应用 ▌例1（26-27高一上·全国·课后作业）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似用三角函数y＝Acos＋a(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为（    ） A．20 ℃ B．20.5 ℃ C．21 ℃ D．21.5 ℃ 【答案】B 【详解】月时气温最高为℃， 此时，则， 月时气温最低为℃， 此时，则， 联立方程：， 两式相加得，， 代入得， 所以函数为：. 将代入得到 解得 所以月份的平均气温为℃，对应选项为B. ▌例2（多选）（25-26高一下·湖北随州·期末）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 10 13 10 7 10 若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．时的水深约为 D．若某条船12：00以后进入该港口装货，并当天驶离，已知当水深不低于11.5米时该船才能安全进出港口，忽略进出港时间，则该船当天在港口停留的时间最多为4小时 【答案】BCD 【详解】由表格数据可知，，故，解得，故A错误； 因为，故，解得，故B正确； ，故，， ，故C正确； ，即， ，又，， 故该船当天在港口停留的时间最多为4小时，D正确. ▌对点练2-1（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时天气的温度大约是（    ） (参考数据，)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图象求出函数解析式，然后将代入解析式求解即可. 【详解】对于函数， 由图象可知：，解得：， 设函数的最小正周期为，则， 所以，即，解得：，所以 又函数的图象经过， 所以，即， 所以，解得， 因为，所以，，所以， 当时，. ▌对点练2-2（多选）（24-25高一下·四川南充·阶段检测）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图（2），（单位：）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地面的高度，轨道最高点距离地面，最低点距离地面．入口处距离地面．当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点．设，下列结论正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B． C．时，过山车距离地面 D．一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是 【答案】AD 【分析】根据三角函数的图象以及三角函数性质先求出函数解析式，然后结合已知条件逐项分析即可. 【详解】对于A，由题意可知，最小正周期满足，所以，故A正确； 对于B，由，又，解得：， 所以，又，即， 因为，所以，故B错误， 选项C，由A，B可得， 所以，故C错误； 对于D，由题意得：， 则有，解得：， 令时，，则一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是，故D正确. ▌对点练2-3（25-26高一下·上海松江·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟.如图2，设座舱距离地面最近的位置为点P.坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感，游客能感受这个过程的时长为_____（分钟）. 【答案】6 【分析】设开始转动分钟后距离地面的高度为米，且，根据题设求出解析式，再令，解不等式即可求解. 【详解】设开始转动分钟后距离地面的高度为米， 且， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，则，可取， 所以，， 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以游客坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. 题型三角函数模型在圆周运动问题中的应用 ▌例1（北京市第十三中学2025-2026学年第二学期高一数学期中测试试题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，，则下列叙述正确的是__________． ①筒车转动的角速度； ②当筒车旋转10秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为0； ③当筒车旋转50秒时，盛水筒和初始点的水平距离为； ④盛水筒第一次到达最高点需要的时间是25秒． 【答案】①②④ 【分析】根据题意，确定函数解析式，结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】由题意得：，故①正确； 当时，盛水筒位于点， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，故②正确； 盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为， 所以，解得， 因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，坐标为 盛水筒和初始点的水平距离为，故③错误； 因为，解得，所以筒车在秒的旋转过程中，盛水筒第一次到达最高点所需要的时间是秒，故④正确. ▌例2（25-26高一下·北京西城·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． (1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； (2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 【答案】(1)； (2)或； (3)米. 【分析】（1）根据给定信息，设出的解析式，再利用待定系数法求解. （2）由（1）及求出值. （3）求出的表达式，并利用和差角的正弦化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【详解】（1）依题意，设， 由，得，由，，得，而， 则，由转一周需要24分钟，得，解得， 所以. （2）由，得，当时，， 解得或，即或， 所以或. （3）依题意，5号座舱在1号座舱前，相隔， 则甲、乙两人距离地面的高度分别为， 因此， 当时，，则当，即时，， 所以H的最大值为米. ▌对点练3-1（25-26高一下·广西北海·期末）北海园博园是国家级旅游景区，园区以“花海丝路·绿映珠城”为主题，融合北部湾滨海特色与园林园艺文化．园内标志性游乐设施一摩天轮，现结合该摩天轮建立数学模型，假设数据如下：摩天轮转盘直径为50米，配有36个轿厢，转盘中心距地面高度为35米，摩天轮沿逆时针匀速转动，旋转一周需10分钟，一名游客从最低点出发，开始转动t分钟后距离地面的高度为．已知（，，）. (1)求摩天轮在转动一周的过程中，高度关于时间t的函数解析式； (2)若游客在距离地面至少47.5米时获得最佳视觉效果，求摩天轮运行一周内，游客的最佳视觉效果的持续时间； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔5个座舱，从乙进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，求两人距离地面高度差的最大值及此时的时间． 【答案】(1) (2)分钟 (3)或，高度差最大值为25米 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出、，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，作差后结合三角函数的最值求解出高度差的最大值及此时的时间. 【详解】（1）由题意：，解得，又，则， 又时在最低点，最低点高度为米，故， 代入得，又，故， 所以， 化简得：； （2）由题意，代入解析式得， 得，解得， 令，，则， 由，得， 代入，解得，则， 故游客的最佳视觉效果的持续时间为分钟； （3）摩天轮共36个轿厢，相邻轿厢夹角为，两人间隔5个座舱， 圆心角， 设游客乙乘坐时间t（）分钟后，乙的高度， 则甲的高度， 他们的高度差为 ， 因为，当或，取得最大值1， 即当或时，高度差最大值为25米. ▌对点练3-2（25-26高一下·贵州遵义·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲从点进舱，坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，且在转动一周的过程中，关于的函数解析式为 (1)设游客甲在3min后到达点，求此时的面积； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）.从游客甲进入座舱开始计时，游客乙所在的高度关于时间的函数解析式为 （i）在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度相等的次数以及首次距离地面的高度相等的时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时段”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时段”的时间段. 【答案】(1)； (2)（i）次，；（ii） 【分析】（1）求出3min旋转的圆心角，利用三角形面积公式进行求解； （2）（i）求出甲的座舱高度关于时间的函数，从而得到方程，求出，，根据求出，进而得到答案； （ii）在（i）的基础上，得到不等式，求出答案 【详解】（1）转一周需要，故3min旋转的圆心角为， 转盘半径为40m，的面积为； （2）（i）设甲的座舱高度关于时间的函数为， 则， 当甲乙两人距离地面的高度相等时，， 即，即， 故，，故，， 令，得， 又，故，所以运行一周的过程中，两人距离地面的高度相等的次数为2次， 当时，，即首次距离地面的高度相等的时间； （ii）因为，所以， 令，即， 故，解得， 故甲处于“震撼时段”的时间段为. ▌对点练3-3（25-26高一下·广西梧州·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图1）．某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要． (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个座舱里，他们中间相隔5个座舱，在摩天轮运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)，；最大值为 【分析】（1）根据摩天轮的几何特征确定振幅、周期、初相和垂直位移，建立三角函数模型； （2）将代入（1）中求得的函数解析式计算即可； （3）根据座舱分布确定甲乙两人的相位差，列出高度差函数，利用三角恒等变换化简并求最大值. 【详解】（1）由题意可知，摩天轮的半径， 圆心距离地面的高度为， 摩天轮转动的角速度， 设， 则， 当时，游客甲位于最低点，此时， 所以，即， 取， 所以，. （2）当时， ， 所以游客甲在开始转动后距离地面的高度为. （3）由题可知相邻两个座舱对应的圆心角为， 因为甲、乙两人中间相隔5个座舱， 所以两人的相位差为， 设甲的高度为，乙的高度为， 则 两人距离地面的高度差， 利用和差化积公式，， 当时，取最大值，. 题型数据拟合三角函数模型问题 ▌例1（多选）（25-26高一下·云南楚雄·阶段检测）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【答案】BC 【分析】根据表格数据及正弦函数的性质求出相关参数，得到解析式判断A、B，再结合给定描述分析判断C、D. 【详解】由表格数据知，所以，A错误； 由，，B正确； 由，可得，则，所以，C正确； 由，得或，故水深低于3.75的时间为8小时，D错误. ▌例2（25-26高一下·湖北黄冈·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“3:00”）变化符合函数，其中，， (1)求函数的表达式 (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 【答案】(1) (2)①在港内停留的最长时间是16个小时②应在23时停止卸货，离开港口 【分析】（1）结合五点法求解即可. （2）①由（1）的结论，利用正弦函数性质解不等式即可； ②求出吃水深度的函数关系，借助单调性求解不等式. 【详解】（1）由数据可知，，，，， 由，解得，所以. （2）①由题意可得，时就可以进出港， 由，可得， 所以，， 解得，，因为， 因此或，所以该船可以进港， 则可以离港，又在到这段时间内，水深最浅时为， 且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时. ②由题意可得，吃水深度，则要求为，， 当，时，单调递增， 又当时，，则由，，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口. ▌对点练4-1（25-26高一下·河南南阳·期中）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：cm）的相关数据如下： (1)现有以下几个函数模型：，，.哪个模型可以更好地刻画与之间的对应关系？求出该拟合模型的函数解析式. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 10 0 0 10 0 0 10 (2)根据（1）中的模型，解决下列问题. ①每秒钟小球能往复振动多少次（即频率是多少）？ ②在前5秒内，小球相对于平衡位置的高度不低于的时间有多少秒？ 【答案】(1)更好， (2)①0.5次；②秒 【分析】（1）结合小球运动形式及初始位置可得函数可以更好地刻画与之间的对应关系，再利用所给数据表格计算即可得函数解析式； （2）①计算出周期后，利用周期与频率关系计算即可得； ②令，利用余弦函数性质求解即可. 【详解】（1）小球做上下振动，是周期性运动，故应选择正弦型函数， 由表可知，小球初始位置不在平衡位置， 故函数可以更好地刻画与之间的对应关系， 根据数据可得， 不妨令，则，， 所以， 则，，所以； （2）①小球振动的频率，即每秒钟小球能往复振动0.5次. ②令，即，则， 解得， 因为，所以，，， ，，，， 所以在前5秒内，小球相对于平衡位置的高度不低于的时间有秒. ▌对点练4-2（25-26高三上·福建莆田·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 (1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式；    (2)现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：) 【答案】(1)  ， (2)该船在或时可以进入港口 【分析】（1）根据表格中的数据可作出函数的图象，结合图象信息可求出、、的值，当，时，并结合的取值范围可得出的值，由此可得出函数解析式； （2）分析可知，货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港，解不等式，即可得出结论. 【详解】（1）由表中数据可画出函数图象如下．    由图象可知，， 函数的最小正周期为，可得，则， 又因为时取最大值，即，可得，则， 因为，故，故. （2）货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港． 令，可得， 所以，解得， 当时，；当时，， 所以该船在或时可以进入港口． ▌对点练4-3某港口水的深度（单位：米）是时间（，单位：时）的函数，记作，下面是某日水深的数据： 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 /米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图像． (1)试根据以上数据，求出函数的近似表达式． (2)一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）? 【答案】(1) (2)16个小时． 【分析】（1）观察给定数据的规律并结合正弦函数的性质即可求出； （2）根据船舶安全进出港的水深条件，通过三角不等式求出时间的取值范围，进而得出在港内停留的最长时间. 【详解】（1）观察表格可知，函数在和时，的值相等，故函数的周期为，， 由数据可知，函数的最大值约为，最小值约为，根据振幅的计算公式可得，即， 故函数的近似表达式为 （2）由题意，该船进出港时，水深应不小于米， ，，根据正弦函数的性质可解得，即． 在同一天内，取时，；取时，， 该船可在当日凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时． 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课后作业）电流随时间变化的关系式是，，则时，（    ） A．5 B．－5 C． D．－ 【答案】A 【详解】将代入， 得到， 故选项A正确. 2．（25-26高一下·河北·期中）某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的频率为，相位为． 3．（2025高三上·江苏·学业考试）下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（   ） A．幂函数 B．指数函数 C．三角函数 D．对数函数 【答案】C 【分析】根据因变量的数据的规律判断即可. 【详解】根据表格的数据可以看出，因变量水深从0：00到3：00上升，从3：00到6：00下降， 从6：00到9：00下降，从9：00到12：00上升，从12：00到15：00上升，从15：00到18：00下降， 可以看出，符合三角函数的单调性规律，而幂函数、指数函数和对数函数没有这样的规律. 故选：C. 4．（24-25高一下·四川·期中）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具”．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4 米的时间为（ ） A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒 【答案】D 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合题意中的实际意义，确定盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为圆周，即可得到答案. 【详解】根据题意，以为坐标原点，平行于水面的直线为轴，垂直于水面的直线为轴， 建立平面直角坐标系，如图所示， 则，则，所以， 如图，盛水筒距离水面的高度为时，分别在点处， 则由对称性可得，则， 因筒车按逆时针方向每分钟转1圈，所以筒车转1圈的时间为60秒， 由上分析，盛水桶距离水面的高度不低于的时间为圆周， 所以盛水筒距离水面的高度不低于的时间为秒. 故选：D. 5．（24-25高一下·广东茂名·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出，根据正弦的概念求解点的纵坐标，即可得解. 【详解】由题意，，所以，所以点逆时针运动ts时，， 所以点的纵坐标为，所以该质点到轴的距离. 故选：C 6．（24-25高一下·重庆·阶段检测）近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出、，根据周期求出，再由求出，即可得解. 【详解】依题意，解得， 又，所以，所以， 所以，又， 所以，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：A 7．（多选）（25-26高一下·四川绵阳·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式确定．则（   ） A．小球在开始振动（即）时， B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2 C．经过往复运动一次 D．每秒钟小球能往复振动次 【答案】BCD 【分析】对于A：令，代入运算求解即可；对于BCD：根据简谐运动的振幅、周期和频率分析判断即可. 【详解】因为， 对于选项A：当时，则，故A错误； 对于选项B：因为振幅，所以小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2，故B正确； 对于选项CD：因为函数的最小正周期，频率， 所以经过往复运动一次，每秒钟小球能往复振动次，故CD正确. 8．（多选）（22-23高三下·云南·阶段检测）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为，，，其中x表示时间（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当时，小球第一次到平衡位置；当时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（    ）    A．频率为 B．初相位或 C．振幅 D．当时，小球第三次回到平衡位置 【答案】ACD 【分析】A选项，根据图象性质得到函数的最小正周期，进而求出频率；B选项，根据，求出；C选项，结合图象，代入求出；D选项，根据题意及最小正周期得到时，第三次回到平衡位置. 【详解】A选项，设最小正周期为，据题意，频率为，故A正确； B选项，当时，小球第一次到平衡位置，即是正弦函数减区间上的零点，且，所以，故B错误； C选项，根据图中的信息知在图象上，所以，故C正确； D选项，当时，小球第一次到达平衡位置，当时，小球第三次到达平衡位置，故D正确. 故选：ACD． 9．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为______s． 【答案】4 【分析】根据题意有被动轮和主动轮同时转动，转动时间相同，据此可以得到周期，由此可得两点再次同时回到初始位置的时间. 【详解】设主动轮、被动轮的周期分别为，则， 故，所以，故需要经过4s，同时回到起点． 故答案为： 10．如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间t（单位：s）满足.在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为______.（答案用分数表示）. 【答案】s 【分析】由图象求出函数解析式，然后求得的解，结合图象可得． 【详解】由已知，，， . 在区间内，令，或， 可得，； 同理令，可得，. 综上，电压的绝对值超过的时间为（s）. 故答案为：s． 素养提升 1．（25-26高一下·四川绵阳·期中）潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式及其频率； (2)在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 【答案】(1)，频率为； (2)某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为；最小值为，对应时刻为. 【详解】（1）由表格知，， 则，， 函数的最小正周期为，故频率为，， 故， 又，故，故， 又，故，解得， 故，频率为； （2）当时，， 当，即时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为， 当，即时，取得最大值，最大值为1， 的最大值为， 某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为； 最小值为，对应时刻为. 2．（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 【答案】(1) (2)，4秒 【分析】（1）根据任意角定义可得，再由三角函数定义计算可得； （2）由水轮旋转速度求出其角速度，再由三角函数定义求出表达式，解方程可求出相应时间. 【详解】（1）由，得， ， ， 又由，则， 故. （2）水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动， 由，可得， 可知秒后点， 则点到水面的高度为， 当第一次到达最高点时，即时，， 即可得 故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒. 3．（2025高一上·全国·专题练习）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日．每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式． (1)若从10月10日开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系； (2)10月10日该港口水深约为多少？（精确到） (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据低潮和高潮的时间和深度，求出三角函数的解析式，再利用解析式求解问题； 【详解】（1）依题意知， 故． 所以． 又因为时，，所以， 所以，所以． （2）时， ． （3）令， 有， 因此． 所以． 所以． 令，得；令，得． 故这一天共有水深低于． 4．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：）之间的关系为    (1)求的值； (2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据振幅得到，根据题意得到最小正周期，，由最值得到，代入特殊点函数值求出； （2）由（1）得到，从而得到方程，求出，求出最小值，得到答案. 【详解】（1）由题意，振幅等于半径，即， 逆时针方向每分钟转一圈，，， 由题意， 因为时，，所以，所以， 又； （2）由（1）可得，， 令，则有， 即，， ， 当时，最小，， 盛水筒出水后至少经过25s就可以到达最高点. 5．（23-24高一下·四川绵阳·期末）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 【答案】(1) (2)秒 【分析】（1）根据题意，建立关于的方程组，解出即可； （2），解出三角不等式即可. 【详解】（1）由题意，得风机的角速度每秒，当时． 解得 ． （2）令，则，即， ，解得，． 当风机叶片端点P从离地面最低位置开始， 在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为秒． 迁移创新 1．（25-26高一下·湖北·期中）如图，某公园新建摩天轮，其半径为50m，圆心距地面的高度为60m，摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，每15min转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度（其中，，求函数解析式及当点旋转到距离地面的高度为85m时需要的最短时间； (2)当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用摩天轮半径可得、利用圆心距地面的高度可得，利用该函数周期可得，利用起始位置可得，即可得函数解析式；令，解出即可得需要的最短时间； （2）由题意可令，解出即可得一个周期内可以看到公园的全貌的时间，即可得解. 【详解】（1）由题意可得，，周期，则，解得， 由摩天轮上的点的起始位置在最低点处，则， 即有，则，又，故， 故； 令，则， 则或， 解得或， 故所需最短时间为； （2）令，即， 则， 解得， 则一个周期内有可以看到公园的全貌， 则当游客在上面游玩时，共有可以看到公园的全貌. 2．（25-26高一下·江西九江·阶段检测）九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，． (1)求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值； (2)为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统． （ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长； （ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式． 【答案】(1)最大高度为米，分；最小高度为米，分； (2)（ⅰ）分；（ⅱ）. 【分析】（1）利用正弦函数的性质求解. （2）（ⅰ）根据给定条件建立不等式，再解正弦函数不等式即可；（ⅱ）设出新的函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】（1）函数，中，， 当，即时，；当，即时，， 所以缆车运行过程中的最大高度为米，分；最小高度为米，分. （2）（ⅰ）由，得， 因为，所以或，解得或， 所以在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长为分. （ⅱ）依题意，改造后的函数解析式为， 由缆车的最大高度提升至800米，得，即， 由改造后缆车在时位于最低点，得，取， 则， 由，得， 改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，而函数的周期为20分钟， 因此的时间总长为缆车旋转半周的时间，而的时间总长为10， 则，解得，所以新的函数解析式. 3．（25-26高一上·湖北·期末）某游乐园的摩天轮匀速旋转，旋转一周需要30分钟，摩天轮的圆心距离地面高度为40米，半径为30米，某个观光舱从最低点开始运动，其高度（米）随时间（分钟）的变化规律为：． (1)求的表达式； (2)当观光舱的高度满足（其中为参数）时，观光舱内会有阳光直射． （i）若时，求观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间； （ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟，求的最大值． 【答案】(1)，． (2)（i）5分钟；（ii）． 【分析】（1）根据摩天轮的旋转周期求出，结合摩天轮的圆心距离地面高度和半径求出A和b，再根据初始位置求出，进而得到的表达式； （2）（i）将代入不等式，求解不等式得到t的取值范围，进而求出有阳光直射的持续时间；（ii）根据有阳光直射的时间不少于10分钟，结合三角函数的性质求出的最大值. 【详解】（1）旋转一周需要30分钟，故， 由，依题意取，，     当时，，解得． 故，. （2）由（1）知，，化简得： ， （i）若时，， 代入得，即， 因,结合余弦函数的图象可得，解得，     故时，观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间为5分钟．     （ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟， 根据（i）可知，，化简得：．         设，则，， 设的解集为，, 由题意知有阳光直射的时间长度，即， 在内，的解 关于 对称，其长度为，最大为，最小为 0, 当时，区间的解为. 故，即的最大值为． 4．（24-25高一下·广东佛山·阶段检测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要（参考数据） (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为，计算得到答案. （2）将数据代入解析式计算得到答案. （3）计算，，相减得到，计算最值得到答案. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为， 由题意可得，. （2）当时，所以， 所以游客甲在开始转动后距离地面的高度约为. （3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.经过后甲距离地面 的高度为， 点B相对于点A始终落后， 此时乙距离地面的高度为. 则甲、乙距离地面的高度差， 因为， 所以. 当时，h的最大值为. 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数 7.4 三角函数应用 课标要点 1、能结合实际生产与生活中与三角函数之间的密切关系，用三角函数这一数学模式解决与之相关的问题 2、能处理三角函数相关学科之间的问题，用三角函数这一重要工具解决与数学、物理学及其它学科与之相关联的问题 3、掌握数学建模的重要方法与步骤，并能严谨的应用数学知识解决问题 学习重难点 重点：掌握建立三角函数模型解决实际问题的思路 难点：三角函数模型在实际问题中的具体意义 知识点函数(,)中，各参数的物理意义 振幅 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离　　　  周期 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间  频率 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数　　　 相位 时的相位称为初相  随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）一个单摆小球偏离铅垂线方向的角，与时间t的函数关系式是，则单摆摆动的频率是（　　） A． B． C．2 D． 2．（25-26高一下·四川凉山·期末）某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（    ） A．， B．2， C．， D．2， 3．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为______． 知识点 应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:  (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答. 拓展数据拟合三角函数模型问题 活学活用 1．（2026·北京·三模）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（单位：米）随着时间（，单位：时）成周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表： /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 /米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)试在图中描出所给点； (2)观察（1）中所绘图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间. 题型三角函数模型在物理学中的应用 ▌例1 （25-26高一下·北京·期中）已知函数（其中，，）的图象如图1所示，它刻画了质点做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线的位置值（是质点与直线的距离（米），质点在直线上方时，为正，反之为负）随时间（秒）的变化过程.则质点运动的圆形轨道的半径为________米；图2中，质点首次出现在直线上的时刻________秒. ▌例2 （24-25高一下·四川·期中）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100m，叶片长40m，叶片每转动一圈可以获得2度电量．设风机叶片端点与地面的距离为（单位：m），若以点离地面最近时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系式为． (1)求点转动的频率； (2)若每度电收益0.6元，求该风机工作1小时的收益； (3)在转动一圈的过程中，求风机两叶片端点距离地面的高度差（单位：m）关于时间的函数解析式，并求高度差的最大值． ▌对点练1-1．（24-25高二下·上海嘉定·期中）新加坡摩天观景轮又名飞行者摩天轮（如图示），其总高度165米，直径150米，匀速旋转一圈所需时间为40分钟．已知摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，．而点的起始位置在摩天轮的最低点处．请写出高度（米）关于时间（分钟）的函数解析式________． ▌对点练1-2．（25-26高一下·广东清远·期末）如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示． (1)求，，，的值； (2)小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？ (3)小球在什么时间内是下降状态？ ▌对点练1-3．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，若小球在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：cm）由关系式确定，其中，，．在一次振动过程中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为． (1)求小球相对平衡位置的高度h（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数关系式； (2)求从开始到时小球经过平衡位置的次数，及时小球的运动方向． 题型三角函数模型在日常生活中的应用 ▌例1（26-27高一上·全国·课后作业）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似用三角函数y＝Acos＋a(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为（    ） A．20 ℃ B．20.5 ℃ C．21 ℃ D．21.5 ℃ ▌例2（多选）（25-26高一下·湖北随州·期末）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 10 13 10 7 10 若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．时的水深约为 D．若某条船12：00以后进入该港口装货，并当天驶离，已知当水深不低于11.5米时该船才能安全进出港口，忽略进出港时间，则该船当天在港口停留的时间最多为4小时 ▌对点练2-1（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时天气的温度大约是（    ） (参考数据，)    A． B． C． D． ▌对点练2-2（多选）（24-25高一下·四川南充·阶段检测）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图（2），（单位：）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地面的高度，轨道最高点距离地面，最低点距离地面．入口处距离地面．当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点．设，下列结论正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B． C．时，过山车距离地面 D．一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是 ▌对点练2-3（25-26高一下·上海松江·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟.如图2，设座舱距离地面最近的位置为点P.坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感，游客能感受这个过程的时长为_____（分钟）. 题型三角函数模型在圆周运动问题中的应用 ▌例1（北京市第十三中学2025-2026学年第二学期高一数学期中测试试题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，，则下列叙述正确的是__________． ①筒车转动的角速度； ②当筒车旋转10秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为0； ③当筒车旋转50秒时，盛水筒和初始点的水平距离为； ④盛水筒第一次到达最高点需要的时间是25秒． ▌例2（25-26高一下·北京西城·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． (1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； (2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． ▌对点练3-1（25-26高一下·广西北海·期末）北海园博园是国家级旅游景区，园区以“花海丝路·绿映珠城”为主题，融合北部湾滨海特色与园林园艺文化．园内标志性游乐设施一摩天轮，现结合该摩天轮建立数学模型，假设数据如下：摩天轮转盘直径为50米，配有36个轿厢，转盘中心距地面高度为35米，摩天轮沿逆时针匀速转动，旋转一周需10分钟，一名游客从最低点出发，开始转动t分钟后距离地面的高度为．已知（，，）. (1)求摩天轮在转动一周的过程中，高度关于时间t的函数解析式； (2)若游客在距离地面至少47.5米时获得最佳视觉效果，求摩天轮运行一周内，游客的最佳视觉效果的持续时间； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔5个座舱，从乙进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，求两人距离地面高度差的最大值及此时的时间． ▌对点练3-2（25-26高一下·贵州遵义·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲从点进舱，坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，且在转动一周的过程中，关于的函数解析式为 (1)设游客甲在3min后到达点，求此时的面积； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）.从游客甲进入座舱开始计时，游客乙所在的高度关于时间的函数解析式为 （i）在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度相等的次数以及首次距离地面的高度相等的时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时段”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时段”的时间段. ▌对点练3-3（25-26高一下·广西梧州·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图1）．某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要． (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个座舱里，他们中间相隔5个座舱，在摩天轮运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 题型数据拟合三角函数模型问题 ▌例1（多选）（25-26高一下·云南楚雄·阶段检测）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 ▌例2（25-26高一下·湖北黄冈·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“3:00”）变化符合函数，其中，， (1)求函数的表达式 (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ ▌对点练4-1（25-26高一下·河南南阳·期中）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：cm）的相关数据如下： (1)现有以下几个函数模型：，，.哪个模型可以更好地刻画与之间的对应关系？求出该拟合模型的函数解析式. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 10 0 0 10 0 0 10 (2)根据（1）中的模型，解决下列问题. ①每秒钟小球能往复振动多少次（即频率是多少）？ ②在前5秒内，小球相对于平衡位置的高度不低于的时间有多少秒？ ▌对点练4-2（25-26高三上·福建莆田·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 (1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式；    (2)现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：) ▌对点练4-3某港口水的深度（单位：米）是时间（，单位：时）的函数，记作，下面是某日水深的数据： 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 /米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图像． (1)试根据以上数据，求出函数的近似表达式． (2)一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）? 基础通关 1．（26-27高一上·全国·课后作业）电流随时间变化的关系式是，，则时，（    ） A．5 B．－5 C． D．－ 2．（25-26高一下·河北·期中）某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三上·江苏·学业考试）下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（   ） A．幂函数 B．指数函数 C．三角函数 D．对数函数 4．（24-25高一下·四川·期中）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具”．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4 米的时间为（ ） A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒 5．（24-25高一下·广东茂名·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·重庆·阶段检测）近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一下·四川绵阳·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式确定．则（   ） A．小球在开始振动（即）时， B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2 C．经过往复运动一次 D．每秒钟小球能往复振动次 8．（多选）（22-23高三下·云南·阶段检测）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为，，，其中x表示时间（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当时，小球第一次到平衡位置；当时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（    ）    A．频率为 B．初相位或 C．振幅 D．当时，小球第三次回到平衡位置 9．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为______s． 10．如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间t（单位：s）满足.在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为______.（答案用分数表示）. 素养提升 1．（25-26高一下·四川绵阳·期中）潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式及其频率； (2)在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 2．（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 3．（2025高一上·全国·专题练习）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日．每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式． (1)若从10月10日开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系； (2)10月10日该港口水深约为多少？（精确到） (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于? 4．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：）之间的关系为    (1)求的值； (2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点？ 5．（23-24高一下·四川绵阳·期末）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 迁移创新 1．（25-26高一下·湖北·期中）如图，某公园新建摩天轮，其半径为50m，圆心距地面的高度为60m，摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，每15min转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度（其中，，求函数解析式及当点旋转到距离地面的高度为85m时需要的最短时间； (2)当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？ 2．（25-26高一下·江西九江·阶段检测）九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，． (1)求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值； (2)为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统． （ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长； （ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式． 3．（25-26高一上·湖北·期末）某游乐园的摩天轮匀速旋转，旋转一周需要30分钟，摩天轮的圆心距离地面高度为40米，半径为30米，某个观光舱从最低点开始运动，其高度（米）随时间（分钟）的变化规律为：． (1)求的表达式； (2)当观光舱的高度满足（其中为参数）时，观光舱内会有阳光直射． （i）若时，求观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间； （ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟，求的最大值． 4．（24-25高一下·广东佛山·阶段检测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要（参考数据） (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $