7.3.2 平行线的证明 课件 2026-2027学年北师大版八年级上册数学

该初中数学课件聚焦平行线的性质定理及证明，通过回顾上节课平行线判定定理，提出“条件与结论互换是否为真命题”的问题，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于采用反证法证明同位角相等，培养学生推理能力，通过表格系统梳理定理的文字描述、符号语言与图示，强化数学语言表达，例题与变式题提供多种证明思路，发展创新意识。学生能提升演绎推理能力，教师教学更具条理性与高效性。

7.3 平行线的证明 第2课时 平行线的性质 1.掌握平行线的性质定理，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补. 2.了解性质定理和判定定理的联系，初步感受互逆的思维过程. 3.进一步理解证明的步骤、格式和方法，发展演绎推理能力. 一个基本事实是： __ _，两直线平行； 两个定理分别是: __ __，两直线平行； __ __，两直线平行． 回 顾 上节课我们通过推理证得了平行线的判定定理，要证明两条直线平行，有哪些方法？ 如果我们把它们的条件和结论互换，那么得到的命题是真命题吗？ 内错角相等 同旁内角互补 同位角相等 问 题1 根据“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”，你能作出相关的图形吗？ A B C D E F M N 1 2 问 题2 你能根据所作的图形写出已知、求证，并证明下面这个平行线的性质定理吗？ 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角. 求证：∠1=∠2. 已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和∠2 是直线 AB，CD 被直线 EF 截出的同位角. 求证： ∠1 =∠2. 如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？ 证明：假设∠1 ≠∠2，那么我们可以过点 M 作直线 GH，使∠EMH =∠2，如图所示. G H 根据“同位角相等，两直线平行”，可知 GH∥CD. 又因为 AB∥CD，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行. G H 已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和∠2 是直线 AB，CD 被直线 EF 截出的同位角. 求证： ∠1 =∠2. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠∠2 的假设不成立，所以∠1 =∠2. 归纳总结 文字描述 符号语言 图示 定理1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简述为：两直线平行，同位角相等 ∵a∥b， ∴∠1＝∠2 平行线的性质定理： 反证法 提出与结论相反的假设 将假设作为条件，通过推论导出矛盾 假设不成立，从而肯定原命题成立 已知：如图，直线 l1∥ l2，∠1 和∠2 是直线 l1，l2 被直线 l 截出的内错角. 求证： ∠1 =∠2. l1 l2 l 1 2 3 证明：∵l1∥l2 (已知)， ∴∠1 =∠3 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠2 =∠3 (对顶角相等)， ∴∠1 =∠2 (等量代换). 证明：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 已知：如图，直线 l1∥ l2，∠1 和∠2 是直线 l1，l2 被直线 l 截出的同旁内角. 求证： ∠1 +∠2 = 180°. 证明：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. l1 l2 l 1 2 3 证明：∵l1∥l2 (已知)， ∴∠2 =∠3 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠3 = 180° (平角等于 180°)， ∴∠1 +∠2 = 180° (等量代换). 文字描述 符号语言 图示 定理2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简述为：两直线平行，内错角相等 ∵a∥b，∴∠2＝∠3 定理3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简述为：两直线平行，同旁内角互补 ∵a∥b，∴∠2＋∠4＝180° 归纳总结 平行线的性质定理： 例 已知：如图，b∥a， c∥a，∠1，∠2， ∠3 是直线 a，b ，c 被直线 d 截出的同位角. 求证：b∥c. a c d 1 2 b 3 证明：∵b∥a (已知)， ∴∠2 =∠1 (两条直线平行，同位角相等). ∵c∥a (已知)， ∴∠3 =∠1 (两直线平行，同位角相等). ∴∠2 =∠3 (等量代换). ∴b∥c (同位角相等，两直线平行). 例 已知：如图，b∥a， c∥a，∠1，∠2， ∠3 是直线 a，b ，c 被直线 d 截出的同位角. 求证：b∥c. a c d 1 2 b 3 文字描述 符号语言 图示 定理4 平行于同一条直线的两条直线平行 ∵a∥b，a∥c， ∴a∥c 变 式 如图，已知AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC. A B C D 方法一： ∵AB∥ CD(已知)， ∴∠B+∠C=180° (两直线平行，同旁内角互补). ∵∠B=∠D(已知) ， ∴∠D+∠C=180°(等量代换). ∴AD∥ BC(同旁内角互补，两直线平行). 变 式 如图，已知AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC. A B C D 方法二： 如图，延长BA.( 构造一组同位角 ) ∵AB∥ CD(已知)， ∴∠1=∠D(两直线平行，内错角相等). ∵∠B=∠D(已知)， ∴∠1=∠B(等量代换). ∴AD∥ BC(同位角相等，两直线平行). 1 变 式 如图，已知AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC. A B C D 方法三： 如图，连接BD.( 构造一组内错角 ) ∵AB∥ CD(已知)， ∴∠2=∠3(两直线平行，内错角相等). ∵∠ABC=∠ADC(已知) ， ∴∠ABC－∠2=∠ADC－∠3(等式的性质)， ∴∠1=∠4 . ∴AD∥ BC(内错角相等，两直线平行). 1 2 3 4 思 考 （1）回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些 主要环节？ 证明一个命题的一般步骤： 弄清题设和结论 根据题意正确画出图形 根据题设和结论写出已知，求证 分析题意，探寻证明的思路 依据思路运用数学符号和数学语言写出证明过程 检查表达过程是否正确、完善 思 考 （2）对于证明思路的分析，你积累了哪些经验？ ①分析证明思路通常可以从已知条件入手思考能推出什么，并与所要证明的结论建立联系； ②从所要证明的结论入手，思考解决问题需要什么条件，已经具备了哪些条件，还缺少哪些条件，如何创造这些条件； ③分别从已知条件和所要证明的结论入手，找到它们的结合点。 1.(2024苏州)如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为( ) A. 45° B. 55° C. 60° D. 65° B 2.(2024达州)当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示). 图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为( ) B A. 30° B. 40° C. 50° D. 70° 3.(2024陕西)如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为( ) A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° C D A B E B 4.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF=∠C.∠BDF和∠A相等吗？ A B C D E F 解：∠BDF和∠A相等，理由如下： 由题意可知：DE∥BC， ∴∠C=∠AED (两直线平行，同位角相等)， ∵∠EDF=∠C， ∴∠AED=∠EDF， ∴DF∥AC (内错角相等，两直线平行)， ∴∠BDF=∠A(两直线平行，同位角相等). 5.(补全证明过程)已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数.请补全下列解法中的空缺部分． 解：过点P作PG∥AB交AC于点G． ∵AB∥CD( _______ )， ∴ _______ +∠ACD＝180°( ___________________________ )， ∵PG∥AB( _______ )， ∴∠BAP＝ _______ ( ________________________ )， 已知 ∠CAB 两直线平行，同旁内角互补 已知 ∠APG 两直线平行，内错角相等 A C B D E P F G 且PG∥_______ (平行于同一直线的两直线也互相平行)， ∴∠GPC＝ _______ (两直线平行，内错角相等)， ∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD． ∴∠BAP ＝ ∠_______ ，∠PCD＝∠_______ ．( ______________ )， ∴∠BAP +∠PCD＝∠BAC+∠ACD＝90°( ___________ )， ∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°． ∠PCD BAC ACD 角平分线定义　 等量代换 CD A C B D E P F G 平行线的 性质 性质 定理 命题证明 步骤 定理1：两直线平行，同位角相等 弄清题设画图形，写出已知和求证； 探寻思路写过程，最后检查保完善. 定理2：两直线平行，内错角相等 定理4：平行于同一条直线的两条直线平行 定理3：两直线平行，同旁内角互补 $