5.1变量与函数（分层作业练题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 本同步练针对初中数学“变量与常量”新授课，以“概念辨析—知识应用—综合拓展”分层设计，覆盖常量变量、函数概念等核心知识点，通过生活情境题与跨学科案例，培养抽象能力、推理意识和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念层|常量与变量辨析、函数概念|以加油、骑行等生活情境题巩固抽象能力| |知识应用层|自变量取值范围、函数关系式|结合表格数据（弹簧长度）培养推理意识| |综合拓展层|函数图象、新定义问题|水钟计时等跨情境案例发展模型意识|

5.1变量与常量 题型一 定性数据、常量与变量的辨析 1．（2025·盱眙县·模拟）下列数据是定性数据的是（　　） A．七年级男女生人数比例 B．七年级学生上学采用的交通方式 C．七年级学生每日运动时长 D．七年级学生的体重 2．（2026·启东市·期中）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（　　） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 3．（2025·宜兴市·校级月考）小深在周末进行骑行训练．他从家出发，以10km/h的速度匀速骑行，用时x小时骑行y千米．下列说法正确的是（　　） A．10和x是常量，y是变量 B．10是常量，x和y是变量 C．10和y是常量，x是变量 D．以上说法均错误 4．（2025·苏州·校级月考）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（　　） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 题型二 函数的概念辨析 1．（2025·海州区·校级月考）下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·通州区·期中）观察表格和图象，下列判断正确的是（　　） x ﹣2 1 y1 1 2 3 4 A．y1是x的函数，y2不是x的函数 B．y2是x的函数，y1不是x的函数 C．y1和y2都是x的函数 D．y1和y2都不是x的函数 3．（2026·海门区·校级期中）下列式子中，能表示y是x的函数的是（　　） A．|y|＝1+|x| B．|y|＝1+x C．y＝1+|x| D．|y|＝1+x2 题型三 求函数的自变量的取值范围 1．（2026·通州区·期末）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＝2 B．x≠2 C．x＝1 D．x≠1 2．（2026·铜山区·模拟）函数y中自变量x的取值范围是（　　） A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≠﹣3 3．（2025·沭阳县·校级月考）下列函数中，自变量的取值范围为x＞5的是（　　） A．y＝x﹣5 B．y C．y D．y 题型四 函数的关系式 1．（2025·江阴市·校级月考）若一个函数的自变量x每增加1，函数值y就减少2，则其表达式可以是（　　） A．y＝﹣2x+10 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D．y＝﹣2x2 2．（2025·苏州·校级月考）在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的一次函数关系如表所示： x/kg 0 1 2 3 4 5 … y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 … 则y与x之间的关系式为（　　） A．y＝﹣0.5x+3 B．y＝﹣0.5x+3.5 C．y＝0.5x+3 D．y＝0.5x+3.5 3．（2026·海门区·校级期中）某玉米种子的价格为40元/kg，若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打6折．购买x kg（x＞2）玉米种子，需付款y元，则y与x的函数关系式为　　． 题型五 求函数值或根据函数值反求自变量 1．（2026·南京·一模）变量y与x之间的关系式是，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 2．（2023·泗阳县·期末）当x＝﹣2时，函数的函数值为　　． 3．（2026·南通·期末）根据如图所示的程序解决问题：当输入x的值为2时，输出y的值为6． （1）求m的值； （2）当输出y的值不小于4时，求输入x的取值范围． 题型六 根据表格分析函数 1．（2025·相城区·校级月考）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（　　） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 2．（2025·亭湖区·月考）已知食用油的沸点一般都在200℃上，如表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 35 60 85 110 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是10℃ B．继续加热到50s，预计油的温度是135℃ C．在这个问题中，自变量为时间t D．每加热10s，油的温度升高35℃ 题型一 函数的图象 1．（2025·鼓楼区·校级月考）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（　　） A． B． C． D． 2．（2025·宜兴市·校级月考）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　） A． B． C． D． 题型二 新定义问题 1．（2025·江都区·期末）规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图象上“正整点”的坐标为　　． 题型一 函数的表示综合 1．（2025·江宁区·校级同步）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）间的关系如表： 所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 _____ 14.5 _____ （1）补充上面的表格； （2）该表格反映了两个变量之间的关系：自变量是　　，因变量是　　； （3）在弹性限度内，如果所挂物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm，根据上表写出y与x的关系式； （4）如果弹簧的最大长度为20cm，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1变量与常量 题型一 定性数据、常量与变量的辨析 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 题型二 函数的概念辨析 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】C 题型三 求函数的自变量的取值范围 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 题型四 函数的关系式 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】y＝24x+32（x＞2） 题型五 求函数值或根据函数值反求自变量 1．【答案】C 2．【答案】1 3． 【答案】（1）；（2）或． 【详解】解：（1）∵当输入x的值为2时，输出y的值为6，且2＞1， ∴y＝mx﹣3，即6＝2m﹣3，解得：； （2）由（1）得：当x＜1时，， ∵输出y的值不小于4，即y≥4， ∴，解得：； 当x≥1时，， ∵输出y的值不小于4，即y≥4， ∴，解得：； 综上，或． 题型六 根据表格分析函数 1．【答案】B 2．【答案】D 题型一 函数的图象 1．【答案】B 2．【答案】C 题型二 新定义问题 1．【答案】（2，4） 题型一 函数的表示综合 1． 【答案】（1）补全表格如下： 所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 （2）所挂物体的质量，弹簧的长度；（3）y＝0.5x+12；（4）16kg． 【详解】解：（1）当所挂物体质量为4千克时，弹簧的长度为13.5+0.5＝14（厘米）， 当所挂物体质量为6千克时，弹簧的长度为14.5+0.5＝15（厘米）， 补全表格如下： 所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 （2）由题意可得：自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （3）∵所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度就增长0.5cm， ∴y＝0.5x+12； （4）由题意可得：y＝0.5x+12＝20，解得：x＝16， ∴该弹簧最多能挂质量为16kg的物体． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1变量与常量 题型一 定性数据、常量与变量的辨析 1．（2025·盱眙县·模拟）下列数据是定性数据的是（　　） A．七年级男女生人数比例 B．七年级学生上学采用的交通方式 C．七年级学生每日运动时长 D．七年级学生的体重 【答案】B 【详解】解：七年级男女生人数比例、七年级学生每日运动时长、七年级学生的体重均为定量数据， ∴ACD不符合题意； 七年级学生上学采用的交通方式是定性数据， ∴B符合题意． 故选：B． 2．（2026·启东市·期中）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（　　） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】B 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化． 故选：B． 3．（2025·宜兴市·校级月考）小深在周末进行骑行训练．他从家出发，以10km/h的速度匀速骑行，用时x小时骑行y千米．下列说法正确的是（　　） A．10和x是常量，y是变量 B．10是常量，x和y是变量 C．10和y是常量，x是变量 D．以上说法均错误 【答案】B 【详解】解：由题意可知：10是常量，x和y是变量． 故选：B． 4．（2025·苏州·校级月考）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（　　） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 【答案】D 【详解】解：由题意可知：冰的厚度随时间的变化而变化， ∴时间，冰的厚度是变量． 故选：D． 题型二 函数的概念辨析 1．（2025·海州区·校级月考）下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（2026·通州区·期中）观察表格和图象，下列判断正确的是（　　） x ﹣2 1 y1 1 2 3 4 A．y1是x的函数，y2不是x的函数 B．y2是x的函数，y1不是x的函数 C．y1和y2都是x的函数 D．y1和y2都不是x的函数 【答案】B 【详解】解：对于x的每一个确定的值，y1有两个值与其对应，y1不是x的函数； 对于x的每一个确定的值，y2都有唯一的值与其对应，y2是x的函数． 故选：B． 3．（2026·海门区·校级期中）下列式子中，能表示y是x的函数的是（　　） A．|y|＝1+|x| B．|y|＝1+x C．y＝1+|x| D．|y|＝1+x2 【答案】C 【详解】解：A、当x＝0时，|y|＝1，可得y＝1或y＝﹣1，一个x对应两个不同的y，不符合函数的定义； B、当x＝0时，|y|＝1，可得y＝1或y＝﹣1，一个x对应两个不同的y，不符合函数的定义； C、对任意x的确定值，|x|唯一，因此y都有唯一确定的值和x对应，符合函数的定义； D、当x＝0时，|y|＝1，可得y＝1或y＝﹣1，一个x对应两个不同的y，不符合函数的定义． 故选：C． 题型三 求函数的自变量的取值范围 1．（2026·通州区·期末）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＝2 B．x≠2 C．x＝1 D．x≠1 【答案】D 【详解】解：由题意可得：x﹣1≠0，解得：x≠1． 故选：D． 2．（2026·铜山区·模拟）函数y中自变量x的取值范围是（　　） A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≠﹣3 【答案】A 【详解】解：由题意可得：x+3＞0，解得：x＞﹣3． 故选：A． 3．（2025·沭阳县·校级月考）下列函数中，自变量的取值范围为x＞5的是（　　） A．y＝x﹣5 B．y C．y D．y 【答案】D 【详解】解：A、y＝x﹣5，自变量的取值范围为全体实数，不合题意； B、y，自变量的取值范围为x≠5，不合题意； C、y，自变量的取值范围为x≥5，不合题意； D、y，自变量的取值范围为x＞5，符合题意． 故选：D． 题型四 函数的关系式 1．（2025·江阴市·校级月考）若一个函数的自变量x每增加1，函数值y就减少2，则其表达式可以是（　　） A．y＝﹣2x+10 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D．y＝﹣2x2 【答案】A 【详解】解：A、将x+1代入函数y＝﹣2x+10得：y＝﹣2（x+1）+10＝﹣2x+8，即函数值减少2，符合题意； B、将x+1代入函数y＝2x得：y＝2（x+1）＝2x+2，即函数值增加2，不合题意； C、将x+1代入函数y＝﹣x+2得：y＝﹣（x+1）+2＝﹣x+1，即函数值减少1，不合题意； D、将x+1代入函数y＝﹣2x2得：y＝﹣2（x+1）2＝﹣2x2﹣4x﹣2，即函数值的变化量为﹣4x﹣2，不合题意． 故选：A． 2．（2025·苏州·校级月考）在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的一次函数关系如表所示： x/kg 0 1 2 3 4 5 … y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 … 则y与x之间的关系式为（　　） A．y＝﹣0.5x+3 B．y＝﹣0.5x+3.5 C．y＝0.5x+3 D．y＝0.5x+3.5 【答案】C 【详解】解：由表格可得：y＝3+（3.5﹣3）x＝3+0.5x． 故选：C． 3．（2026·海门区·校级期中）某玉米种子的价格为40元/kg，若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打6折．购买x kg（x＞2）玉米种子，需付款y元，则y与x的函数关系式为　　． 【答案】y＝24x+32（x＞2） 【详解】解：由题意可得：y＝40×2+0.6×40×（x﹣2） ＝80+24×（x﹣2） ＝80+24x﹣48 ＝24x+32（x＞2）． 故答案为：y＝24x+32（x＞2）． 题型五 求函数值或根据函数值反求自变量 1．（2026·南京·一模）变量y与x之间的关系式是，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：在中，当x＝2时，． 故选：C． 2．（2023·泗阳县·期末）当x＝﹣2时，函数的函数值为　　． 【答案】1 【详解】解：当x＝﹣2时，． 故答案为：1． 3．（2026·南通·期末）根据如图所示的程序解决问题：当输入x的值为2时，输出y的值为6． （1）求m的值； （2）当输出y的值不小于4时，求输入x的取值范围． 【答案】（1）；（2）或． 【详解】解：（1）∵当输入x的值为2时，输出y的值为6，且2＞1， ∴y＝mx﹣3，即6＝2m﹣3，解得：； （2）由（1）得：当x＜1时，， ∵输出y的值不小于4，即y≥4， ∴，解得：； 当x≥1时，， ∵输出y的值不小于4，即y≥4， ∴，解得：； 综上，或． 题型六 根据表格分析函数 1．（2025·相城区·校级月考）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（　　） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 【答案】B 【详解】解：∵上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系， 当时间t＝3min时，水的高度h＝4.5cm，且当t＝4min时，h＝6cm， ∴时间每增加1min，h增加1.5cm，故ACD正确，B错误． 故选：B． 2．（2025·亭湖区·月考）已知食用油的沸点一般都在200℃上，如表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 35 60 85 110 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是10℃ B．继续加热到50s，预计油的温度是135℃ C．在这个问题中，自变量为时间t D．每加热10s，油的温度升高35℃ 【答案】D 【详解】解：A、没有加热时，油的温度是10℃，故A不合题意； B、继续加热到50s，预计油的温度是135℃，故B不合题意； C、在这个问题中，自变量为时间t，故C不合题意； D、每加热10s，油的温度升高25℃，故D符合题意． 故选：D． 题型一 函数的图象 1．（2025·鼓楼区·校级月考）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡，跟所给容器的粗细有关， ∴相应的排列顺序就为B． 故选：B． 2．（2025·宜兴市·校级月考）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图形的形状可知：水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选：C． 题型二 新定义问题 1．（2025·江都区·期末）规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图象上“正整点”的坐标为　　． 【答案】（2，4） 【详解】解：y3， ∵y为整数， ∴x﹣1＝±1，解得：x＝2或x＝0， ∵x为正整数， ∴x＝2， ∴y＝3+1＝4， ∴函数y图象上“正整点”的坐标为（2，4）． 故答案为：（2，4）． 题型一 函数的表示综合 1．（2025·江宁区·校级同步）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）间的关系如表： 所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 _____ 14.5 _____ （1）补充上面的表格； （2）该表格反映了两个变量之间的关系：自变量是　　，因变量是　　； （3）在弹性限度内，如果所挂物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm，根据上表写出y与x的关系式； （4）如果弹簧的最大长度为20cm，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】（1）补全表格如下： 所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 （2）所挂物体的质量，弹簧的长度；（3）y＝0.5x+12；（4）16kg． 【详解】解：（1）当所挂物体质量为4千克时，弹簧的长度为13.5+0.5＝14（厘米）， 当所挂物体质量为6千克时，弹簧的长度为14.5+0.5＝15（厘米）， 补全表格如下： 所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 （2）由题意可得：自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （3）∵所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度就增长0.5cm， ∴y＝0.5x+12； （4）由题意可得：y＝0.5x+12＝20，解得：x＝16， ∴该弹簧最多能挂质量为16kg的物体． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $