2026-2027学年苏科版八年级数学上册第二周模拟练习（盐城专版）

**基本信息** 苏科版八年级数学周测卷聚焦全等三角形判定，通过基础识别（如选择1）、情境应用（如填空13测量水池宽）、探究创新（如解答25 SSA条件分类）三级梯度，培养几何直观与推理能力，适配周测巩固与思维提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|SSS、SAS、ASA等判定（如4尺规作图依据SSS）|结合生活情境（如2玻璃破碎问题）| |填空题|10/30|角平分线、等腰三角形全等（如11截长法求周长）|动点问题（如19 PMC与QNC全等）| |解答题|6/60|证明（21）、动点探究（22）、作图应用（23）|“思考-操作-应用”探究链（23），分类讨论SSA（25）|

2026-2027学年苏科版八年级数学第二周模拟练习（盐城专版） （范围：1.3全等三角形的判定 时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．下列三角形中全等的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 2. 如图,某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块,现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃,最省事的方法是(　　) A. 带①和②去 B. 只带②去 C. 只带③去 D. 都带去 3.如图，AB∥CD，且AB = CD，则ABE≌△CDE的根据是（　　） A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS 4、如图、用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠0=∠0，的依据是( )， A.SAS B. ASA C.SSS D.AAS 5．如图，PB⊥AB于B，PC⊥AC于C，且PB＝PC，则△APB≌△APC的理由是（　　） A．SAS B．ASA C．HL D．AAS 6.如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=40°，则∠DEF的度数是（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 7．如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形最多有（　　）个． A．8 B．7 C．6 D．4 8．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD，②BC＝AC，③BH＝AC，④CE＝CD中，正确的有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9.已知：如图，△ABC，△ADE是等腰直角三角形，C，D，E三点在同一条直线上， 连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，D、E、F…为∠BAC的角平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、CE、BF、CF，图中有6对全等三角形；依此规律，第8个图形中有全等三角形（　　） A．24对 B．28对 C．36对 D．72对 二．填空题（共30分） 11．如图，在△ABC中AB＝6，BC＝7，AC＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为__________. 12.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若∠EDF＝42°，则∠BAC的度数是 　　． 13. 如图要测量水池宽AB,可从点A出发在地面上画一条线段AC,使AC⊥AB,再从点C观测,在BA的延长线上测得一点D,使∠ACD=∠ACB,这时量得AD= 120 m,则水池宽AB的长度是　　　　m.  14.把等腰直角三角形ABC,按如图所示立在桌上,顶点A顶着桌面,若另两个顶点距离桌面5cm和3cm,则过另外两个顶点向桌面作垂线,则垂足之间的距离DE的长为____________ 15.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是______. 16．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形共有______对. 17.如图，AC⊥BD 于点 P，AP=CP，增加下列一个条件：① BP=DP；② AB=CD；③ ∠A=∠C．其中能判定 △ABP≌△CDP 的条件有__________.  18.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC,BD相交于点O,如果AC=BD,那么下列结论:①Rt△ABD≌Rt△BAC;②AD=BC;③∠ABC=∠BAD;④∠DAC=∠CBD.其中正确的是__________. 19、如图，在△ABC中，，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等． 20. 已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）． 三．解答题（共60分） 21.（8分）如图在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E. （1）如图1，若点B，C在DE的同侧，且AD＝CE.求证：AB⊥AC； （2）如图2，若点B，C在DE的两侧，且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由. 图1 图2 22．（8分）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 23.（8分）【思考】一个平分角的仪器如图①，其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线，请说明理由. 【操作】如图②，利用直尺和圆规作已知角的平分线的作法如下： ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N; ②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，在∠AOB的内部相交于点C； ③画射线OC，射线OC即为所求. 根据以上作法可知,△OMC≌△ONC的依据是____________. 【应用】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图③，∠AOB是一个任意角，在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC,求证:∠MCD=∠NCD. 24.（12分）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试:如图①,在△ABC中,AD是BC边上的中线,延长AD到M,使DM=AD,连接BM. 【探究发现】 (1)如图①,AC与BM的数量关系是__________,位置关系是________________； 【初步应用】 (2)如图②,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围； 【探究提升】 (3)如图③,AD是△ABC的中线,过点A分别向外作AE⊥AB,AF⊥AC,使得AE=AB,AF=AC,延长DA交EF于点P,判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，并说明理由. 25.（12分）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，Rt△ABC≌Rt△DEF. (1)如图12①，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF. (2)如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF. 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． (3)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角．请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等(不写作法，保留作图痕迹)． 26．（12分）我们用画图象的方法学习了探索三角形全等的条件，我们经历了下面的过程：要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件、两个条件、三个条件… 想一想： (1只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？ 答：______（填“一定”或“不一定”）由此你得出结论：__________________________. （2） 给出两个条件画三角形时，有三种可能的情况，如：①三角形的一个内角为30°，一条边为3cm．②三角形的两个内角分别为30°和50°．③三角形的两条边分别为4cm，6cm．请你从上面三种情况中，任选其中一种情况画两个图形进行研究，你所画的两个图形一定全等吗？由此你得出什么结论：__________________________________________________. （3）如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况? 答：有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角一边,___________. ①已知一个三角形的三个内角分别为40°、60°和80°． 那么，你画的三角形和同伴画的一定全等吗？ 答：________（填“一定”或“不一定”） ②已知一个三角形的三条边分别为4cm、5cm和7cm．那么，你画的三角形和同伴画的一定全等吗？ 答：_________（填“一定”或“不一定”） 由①你得出什么结论：_______________________________________________． 由②你得出什么结论：_______________________________________________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版八年级数学第二周模拟练习（盐城专版） （范围：1.3全等三角形的判定 时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．下列三角形中全等的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】A 【解析】A、①②：①中与的夹角为，②中与的夹角为，两边及夹角对应相等，满足判定，此选项符合题意；B、C、D选项均不满足两三角形全等的判定条件，均不符合题意；故选：A． 2. 如图,某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块,现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃,最省事的方法是(　　) A. 带①和②去 B. 只带②去 C. 只带③去 D. 都带去 【答案】C 【解析】①仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形；②仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形；③不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定．故C选项正确．故选：C． 3.如图，AB∥CD，且AB = CD，则ABE≌△CDE的根据是（　　） A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS 【答案】D 【解析】因为AB‖CD，根据两直线平行，内错角相等，所以∠A=∠ C，∠B=∠D。已知AB = CD，在△ABE和△CDE中：依据 ASA 判断我们有∠A=∠C，AB = CD，∠B=∠D，两角及其夹边分别相等，满足 ASA 判定定理。依据 AAS 判定我们可以把∠A=∠C，∠AEB=∠CED（对顶角相等），AB = CD，这里是两角及其中一角（∠A）的对边（AB）对应相等，满足 AAS 判定定理。 4、如图、用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠0=∠0，的依据是( )， A.SAS B. ASA C.SSS D.AAS 【答案】c 【解析】由作法易得OD=O，D，、OC=0，C，.CD=C，D，.依据 SSS 可判家△COD≌△C，O，D，， 以∠0=∠0，、故选C. 5．如图，PB⊥AB于B，PC⊥AC于C，且PB＝PC，则△APB≌△APC的理由是（　　） A．SAS B．ASA C．HL D．AAS 【答案】C 【解析】∵直角△APB和直角△APC中，，∴直角△APB≌直角△APC．（HL）． 故选：C． 6.如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=40°，则∠DEF的度数是（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】B 【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C=（180°﹣∠A）=70°，在△BDE和△CEF中，， ∴△BDE≌△CEF（SAS），∴∠BDE=∠CEF，∵∠CED=∠B+∠BDE，即∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，∴∠DEF=∠B=70°；故选：B． 7．如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形最多有（　　）个． A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【解析】如图，图中与△DEF全等的格点三角形最多有：△DAF、△BGQ、△CGQ、△NFH、△AFH、△CKR、△KRW、△CGR，共8个.故答案为：A. 8．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD，②BC＝AC，③BH＝AC，④CE＝CD中，正确的有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEH＝∠ADB＝90°.∵∠HBD＋∠BHD＝90°，∠EAH＋∠AHE＝90°，∠BHD＝∠AHE，∴∠HBD＝∠EAH.∵DH＝DC，∴△BDH≌△ADC(AAS)．∴BD＝AD，BH＝AC.故①③正确；结论②④错误．故选B. 9.已知：如图，△ABC，△ADE是等腰直角三角形，C，D，E三点在同一条直线上， 连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①∵，∴，即， ∵在和中，，∴，∴，故①正确； ②∵△ABC为等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴，故②不正确；③∵△ADE为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，故③正确；④由③得∴平分，故④正确，正确的个数是个，故选：C． 10．已知AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，D、E、F…为∠BAC的角平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、CE、BF、CF，图中有6对全等三角形；依此规律，第8个图形中有全等三角形（　　） A．24对 B．28对 C．36对 D．72对 【答案】C 【解析】当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；… 当有n个点时，图中有个全等三角形．则有8个点，即第8个图形中有全等三角形：=36（对）．故选：C 二．填空题（共30分） 11．如图，在△ABC中AB＝6，BC＝7，AC＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为__________. 【答案】8 【解析】已知AD平分∠BAC，根据角平分线的定义可知∠EAD = ∠CAD。 在△ADE和△ADC中，有AE = AC（题目中在AB上截取AE = AC）， ∠EAD = ∠CAD，AD = AD（公共边）。根据全等三角形判定定理中的边角边（SAS），可以得出△ADE≌△ADC。 根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以ED = CD。已知AE = AC = 5，AB = 6，由于BE = AB - AE，将AB = 6，AE = 5代入可得BE = 6 - 5 = 1。因为BC = BD + CD，又因为ED = CD，所以BC = BD + ED，已知BC = 7，即BD + ED = 7。根据三角形周长的定义，BDE的周长为BE + BD + ED，将BE = 1，BD + ED = 7代入可得\△BDE的周长为1 + 7 = 8。 12.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若∠EDF＝42°，则∠BAC的度数是 　　． 【答案】96° 【解析】因为在△ABC中，AB = AC，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，所以可得∠B=∠C。在△BDE与△CFD中，已知BD = CF，由步骤1得到∠B = ∠C，又已知BE = CD。根据全等三角形的判定定理（SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），所以△BDE≌△CFD(SAS)。根据全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，所以∠EDB = ∠DFC，∠FDC =∠BED。又因为∠EDF +∠EDB +∠FDC = 180°（平角的定义：平角为180°），∠B +∠BED +∠EDB = 180°（三角形内角和定理：三角形内角和为180°），且∠FDC =∠BED，∠EDB =∠EDB，所以可得∠B=∠EDF。已知∠EDF=42°，由步骤3可知∠B =∠EDF，所以∠B = 42°。又因为∠B = ∠C（步骤1已证），所以∠C = 42°。在△ABC中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，即∠BAC + ∠B + ∠C = 180°。已知∠B = 42°，∠C = 42°，所以∠BAC = 180°- ∠B - ∠C = 180° - 42°- 42 °= 96°。 13. 如图要测量水池宽AB,可从点A出发在地面上画一条线段AC,使AC⊥AB,再从点C观测,在BA的延长线上测得一点D,使∠ACD=∠ACB,这时量得AD= 120 m,则水池宽AB的长度是　　　　m.  【答案】120　 【解析】∵AC⊥BD,∴∠CAD=∠CAB=90°.在△ACD和△ACB中,∵∴△ACD≌ △ACB,(ASA)∴AB=AD=120 m 14.把等腰直角三角形ABC,按如图所示立在桌上,顶点A顶着桌面,若另两个顶点距离桌面5cm和3cm,则过另外两个顶点向桌面作垂线,则垂足之间的距离DE的长为____________ 【答案】8 【解析】∵∠CEA=∠ADB=∠CAB=90°∴∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB=∠DAB+∠DBC=90°， ∠ECA=∠DAB，∠EAC=∠DBA，又AC=AB，∴△AEC≌△BAD（ASA），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE=3+5=8.故答案为8. 15.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是______. 【答案】4 【解析】∵D是BC的中点，∴BD＝CD.又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BDO＝∠CDO＝90°.∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE.又∵OE＝OE，∴△AOE≌△COE(SSS)．∵BD＝CD，∠BDO＝∠CDO，OD＝OD，∴△BOD≌△COD(SAS)．∵AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB，∴△AOC≌△AOB(SSS)．综上所述，共有4对全等三角形． 16．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形共有______对. 【答案】3 【解析】在△AOD与△BOC中， ∴△AOD≌△BOC（SAS）； ∴AD=BC，而OA+OC=OD+OB，即AC=DB，在△ABD与△BAC中， ∴△ABD≌△BAC（SSS），在△ADC与△BCD中， ∴△ADC≌△BCD（SSS）． 故答案为3． 17.如图，AC⊥BD 于点 P，AP=CP，增加下列一个条件：① BP=DP；② AB=CD；③ ∠A=∠C．其中能判定 △ABP≌△CDP 的条件有__________.  【答案】3 个 【解析】∵AC⊥BD于点P，AP=CP，在△ABP和△CDP中, △ABP△≌CDP(HL).增加的条件是BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B =∠D.故添加BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D.故选:D. 18.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC,BD相交于点O,如果AC=BD,那么下列结论:①Rt△ABD≌Rt△BAC;②AD=BC;③∠ABC=∠BAD;④∠DAC=∠CBD.其中正确的是__________. 【答案】①②③④　 【解析】AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，AB=BA，:.Rt△ABD=Rt△BAC(HL)，:.AD = BC，∠ABC=∠BAD，∠BAC= ∠ABD,∠DAC=∠BAD - ∠BAC，∠CBD=∠ABC-∠ABD,:.∠DAC=∠CBD. 19、如图，在△ABC中，，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等． 【答案】2或6 【解析】设运动时间为t秒时，△PMC≌△CNQ，∴斜边，分两种情况：①如图1，点P在AC上，点Q在BC上，∵，，∴，，∵，∴，∴；②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合， ∵，，∴，∴；综上所述，点P运动时间为2或6秒时，△PMC与△QNC全等， 故答案为：2或6． 图1 图2 20. 已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△EBC中， ,∴△ABD≌△EBC（SAS），∴①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确； ③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA， ∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，∴EF≠EC， ∴③错误；④过E作EG⊥BC于G点， ∵E是BD上的点，∴EF=EG，在Rt△BEG和Rt△BEF中， ,∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG=BF，在Rt△CEG和Rt△AFE中，,∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），∴AF=CG ∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，∴④正确．故答案为①②④． 三．解答题（共60分） 21.（8分）如图在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E. （1）如图1，若点B，C在DE的同侧，且AD＝CE.求证：AB⊥AC； （2）如图2，若点B，C在DE的两侧，且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由. 图1 图2 解：（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°.在Rt△ABD和Rt△CAE中， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）.∴∠DAB＝∠ECA.∵∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°. ∴∠BAC＝180°－（∠BAD＋∠CAE）＝90°.∴AB⊥AC. （2）AB⊥AC.证明：同（1）可证Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）.∴∠DAB＝∠ECA.∵∠CAE＋∠ECA＝90°，∴∠CAE＋∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC. 22．（8分）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 解：（1）△BPD≌△CQP，理由如下：∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3（cm）， ∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5（cm），∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中， ∴△BPD≌△CQP（SAS）； （2）∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC=4，CQ=BD=5，∴点P，点Q运动的时间t==（s），∴vQ===（cm/s），答：当点Q的运动速度为cm/s，能够使△BPD与△CQP全等． 23.（8分）【思考】一个平分角的仪器如图①，其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线，请说明理由. 【操作】如图②，利用直尺和圆规作已知角的平分线的作法如下： ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N; ②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，在∠AOB的内部相交于点C； ③画射线OC，射线OC即为所求. 根据以上作法可知,△OMC≌△ONC的依据是____________. 【应用】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图③，∠AOB是一个任意角，在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC,求证:∠MCD=∠NCD. 解：思考:在△ABC和△ADC中.∴△ABC≌△ADC(SSS), ∴∠BAC=∠DAC,∴AE是∠BAD的平分线. 操作;③SSS 应用:证明：在△OMC和△ONC中∴△OMC≌△ONC(SSS),∴∠MCO=∠NCO. ∵∠MCO+∠MCD=180°,∠NCO+∠NCD=180°,∴∠MCD=∠NCD. 24.（12分）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试:如图①,在△ABC中,AD是BC边上的中线,延长AD到M,使DM=AD,连接BM. 【探究发现】 (1)如图①,AC与BM的数量关系是__________,位置关系是________________； 【初步应用】 (2)如图②,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围； 【探究提升】 (3)如图③,AD是△ABC的中线,过点A分别向外作AE⊥AB,AF⊥AC,使得AE=AB,AF=AC,延长DA交EF于点P,判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，并说明理由. 解：(1)AC=BM;AC∥BM (2)如图①,延长AD到点M,使DM=AD,连接BM,易知△MDB≌△ADC,∴BM=AC=6.在△ABM中,AB-BM<AM<AB+BM,即10-6<AM<10+6,∴4<2AD<16,∴2<AD<8. (3)EF=2AD,EF⊥AD.理由如下:如图②,延长AD到点M,使得DM=AD,连接BM. 易知△BDM≌△CDA,∴BM=AC.∵AC=AF,∴BM=AF.由(1)可知,AC∥BM,∴∠BAC+∠ABM=180°. ∵AE⊥AB,AF⊥AC,∴∠BAE=∠FAC=90°,∴∠BAC+∠EAF=180°,∴∠ABM=∠EAF. 在△ABM和△EAF中∴△ABM≌△EAF(SAS),∴AM=EF,∠BAM=∠E. ∵AD=DM,∴AM=2AD,∴EF=2AD.∵∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠E+∠APE,∴∠APE=∠BAE=90°,∴EF⊥AD. 25.（12分）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，Rt△ABC≌Rt△DEF. (1)如图12①，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF. (2)如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF. 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． (3)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角．请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等(不写作法，保留作图痕迹)． 解：(1)HL (2)证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H. ∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC，∠DEF都是钝角，∴180°－∠ABC＝∠180°－∠DEF，即∠CBG＝∠FEH.在△BCG和△EFH中，∵ ∴△CBG≌△FEH.(AAS)∴CG＝FH. 在Rt△ACG和Rt△DFH中，∵ ∴Rt△ACG≌Rt△DFH.(HL)∴∠A＝∠D. 在△ABC和△DEF中，∵ ∴△ABC≌△DEF.(AAS) (3)如图，△DEF和△ABC不全等． 26．（12分）我们用画图象的方法学习了探索三角形全等的条件，我们经历了下面的过程：要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件、两个条件、三个条件… 想一想： (1只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？ 答：______（填“一定”或“不一定”）由此你得出结论：__________________________. （2） 给出两个条件画三角形时，有三种可能的情况，如：①三角形的一个内角为30°，一条边为3cm．②三角形的两个内角分别为30°和50°．③三角形的两条边分别为4cm，6cm．请你从上面三种情况中，任选其中一种情况画两个图形进行研究，你所画的两个图形一定全等吗？由此你得出什么结论：__________________________________________________. （3）如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况? 答：有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角一边,___________. ①已知一个三角形的三个内角分别为40°、60°和80°． 那么，你画的三角形和同伴画的一定全等吗？ 答：________（填“一定”或“不一定”） ②已知一个三角形的三条边分别为4cm、5cm和7cm．那么，你画的三角形和同伴画的一定全等吗？ 答：_________（填“一定”或“不一定”） 由①你得出什么结论：_______________________________________________． 由②你得出什么结论：_______________________________________________． 解：（1）如图1， △ACD和△ABC的边AC=AC，但是两三角形不全等，故答案为；不一定，如果两个三角形有一个相等的边或角，那么这两个三角形不一定全等； （2）如图2， ∠A=∠A=30°，BC=BD=3cm，但是△ABC和△ABD补全等，即如果两个三角形有两个相等的边或角，那么这两个三角形不一定全等，故答案为：两个三角形的边或角中，如果有两个相等，那么这两个三角形不一定全等； （3）两角一边； ①如图3， △ADE和△ABC中，∠A=∠A=40°，∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠ACB，但是两三角形不全等， 故答案为：不一定； ②如图4， △ABC和△DEF中，AC=DF=4cm，AB=DE=5cm，BC=FE=7cm，则△ABC≌△DEF，故答案为：一定，有三角分别相等的两个三角形不一定全等，有三边分别相等的两个三角形全等． 学科网（北京）股份有限公司 $