1.5 等腰三角形 课时作业 2026-2027学年苏科版数学 八年级上册

**基本信息** 苏科版八年级上册“等腰三角形”同步练，通过A、B、C三层设计构建“基础巩固-能力提升-拓展探究”路径，覆盖核心知识点，强化推理与模型应用，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|等腰三角形概念、性质1/2、判定、等边三角形基础|选择填空为主，直接应用概念，如底角计算、三线合一简单应用| |B组|分类讨论、三线合一、平行+角平分线模型、等腰与全等|解答题形式，如已知角/边的分类讨论、模型证明与计算| |C组|等边三角形综合、中线分周长问题|综合探究题，如旋转型全等证明、含中线的周长分类讨论|

第1章 三角形 1.5 等腰三角形 · 课时作业 苏科版八年级上册 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、知识梳理 知识点1 等腰三角形的有关概念 1．定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2．各部分名称（如图1）： 图1 等腰三角形的各部分名称 ● 相等的两条边 AB、AC 叫做腰，第三条边 BC 叫做底边； ● 两腰的夹角∠A 叫做顶角，腰与底边的夹角∠B、∠C 叫做底角。 3．等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线就是它的对称轴。 概念辨析：只有在等腰三角形中才有“腰、底边、顶角、底角”的说法。等边三角形是特殊的等腰三角形，它的任意一边都可以看作底边。 知识点2 性质1：等边对等角 文字表述：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。 几何语言：∵ 在△ABC 中，AB=AC，∴ ∠B=∠C。 证明思路（如图2）：作顶角平分线 AD，则 图2 “等边对等角”的证明 在△ABD 和△ACD 中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴ △ABD≌△ACD（SAS），∴ ∠B=∠C。 知识点3 性质2：三线合一 文字表述：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。 如图3，在△ABC 中，AB=AC，则下列三个结论中任意知道一个，另外两个都成立： 图3 等腰三角形的“三线合一” ① AD 平分∠BAC（即∠BAD=∠CAD）； ② AD 是底边上的中线（即 BD=CD）； ③ AD 是底边上的高（即 AD⊥BC）。 几何语言的三种常用写法： ∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴ BD=CD，AD⊥BC； ∵ AB=AC，BD=CD，∴ ∠BAD=∠CAD，AD⊥BC； ∵ AB=AC，AD⊥BC，∴ ∠BAD=∠CAD，BD=CD。 使用前提：必须先有“等腰”这个条件，且这三条线都是相对于底边（或顶角）而言的。腰上的中线、腰上的高一般并不重合，千万不要乱用。 知识点4 判定：等角对等边 文字表述：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 几何语言：∵ 在△ABC 中，∠B=∠C，∴ AB=AC，即△ABC 是等腰三角形。 图4 “等角对等边” 性质与判定的区别：由“边等”推“角等”是性质；由“角等”推“边等”是判定。证明一个三角形是等腰三角形，最常用的就是“等角对等边”。 知识点5 等边三角形 1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。 图5 等边三角形 2．性质： ● 三条边都相等； ● 三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°； ● 是轴对称图形，有三条对称轴；每条边上都具有“三线合一”的性质。 3．判定： ① 三条边都相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点6 两类常用的方法 1．分类讨论思想 ● 已知等腰三角形的两条边长，求周长时，要分别讨论哪条边作腰、哪条边作底， 并用三角形三边关系检验每种情况是否成立； ● 已知等腰三角形的一个内角，求其余两角时，要讨论这个角是顶角还是底角。 ● 常用关系式：顶角=180°-2×底角，底角=。 2．“平行线+角平分线⟹等腰三角形”模型 如图6，BD 平分∠ABC，DE∥BC，则 BE=DE。 图6 “平行 + 角平分线”出等腰 理由：由 DE∥BC 得∠EDB=∠DBC；由 BD 平分∠ABC 得∠DBC=∠EBD； 所以∠EDB=∠EBD，由“等角对等边”得 BE=DE。 易错提醒：等腰三角形的底角一定是锐角（若两个底角都不小于90°，其和就不小于180°，与内角和矛盾）；而顶角可以是锐角、直角或钝角。 二、典型例题精讲 【例1】（等边对等角） 在△ABC 中，AB=AC，∠A=50°，求∠B、∠C 的度数。 【解】∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C（等边对等角）。 ∵ ∠A+∠B+∠C=180°，∴ ∠B=∠C==65°。 【例2】（已知一个角的分类讨论） 已知等腰三角形的一个内角为80°，求它另外两个内角的度数。 【解】分两种情况讨论： ① 若80°是顶角，则两个底角相等，各为 =50°， 另外两个内角为50°、50°； ② 若80°是底角，则另一个底角也是80°，顶角为 180°-80°-80°=20°， 另外两个内角为80°、20°。 综上，另外两个内角为50°、50°或80°、20°。 速判技巧：若已知角是钝角或直角，它只能是顶角，不需要讨论；若已知角是锐角，一般需要讨论两种情况。 【例3】（已知两条边的分类讨论） 已知等腰三角形的两边长分别为4 cm 和9 cm，求它的周长。 【解】分两种情况讨论： ① 若腰长为4 cm，底边为9 cm，则 4+4=8<9，不能组成三角形，舍去； ② 若腰长为9 cm，底边为4 cm，则 9+4=13>9，能组成三角形， 周长为 9+9+4=22（cm）。 所以这个三角形的周长为22 cm。 【例4】（三线合一） 如图3，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D。若∠BAC=100°，BC=8 cm。 求∠BAD、∠B 的度数及 BD 的长。 【解】∵ AB=AC，AD⊥BC， ∴ ∠BAD=∠CAD，BD=CD（等腰三角形三线合一）。 ∴ ∠BAD=∠BAC=×100°=50°； BD=BC=×8=4（cm）。 又 ∠B=∠C==40°。 【例5】（“平行 + 角平分线”出等腰） 如图6，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE∥BC 交 AB 于点 E。 (1) 求证：BE=DE； (2) 若 AB=9，AE=4，求 DE 的长。 【解】(1) 证明：∵ DE∥BC，∴ ∠EDB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。 ∵ BD 平分∠ABC，∴ ∠EBD=∠DBC。 ∴ ∠EDB=∠EBD。 ∴ BE=DE（等角对等边）。 (2) ∵ AB=9，AE=4，∴ BE=AB-AE=9-4=5。 由(1)得 DE=BE=5。 【例6】（等腰 + 全等） 如图7，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，且 BD=CE。求证：AD=AE。 图7 【证明】∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C（等边对等角）。 在△ABD 和△ACE 中， AB=AC（已知）， ∠B=∠C（已证）， BD=CE（已知）， ∴ △ABD≌△ACE（SAS）。 ∴ AD=AE（全等三角形的对应边相等）。 【例7】（等边三角形综合） 如图8，△ABC 是等边三角形，点 D 在 BC 上，点 E 在 AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE 相交于点 P。 (1) 求证：△ABD≌△BCE； (2) 求∠APE 的度数。 图8 【解】(1) 证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°。 在△ABD 和△BCE 中， AB=BC， ∠ABD=∠BCE， BD=CE， ∴ △ABD≌△BCE（SAS）。 (2) 由(1)得 ∠BAD=∠CBE（全等三角形的对应角相等）。 ∵ ∠APE 是△ABP 的一个外角， ∴ ∠APE=∠ABP+∠BAP=∠ABE+∠BAD =∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°。 【点评】这是等边三角形中著名的“旋转型全等”，结论是：AD 与 BE 的夹角恒等于60°。 【例8】（三线合一 + 角平分线性质） 如图9，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。 求证：DE=DF。 图9 【证明】∵ AB=AC，AD⊥BC， ∴ AD 平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。 ∵ DE⊥AB，DF⊥AC，点 D 在∠BAC 的平分线上， ∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 三、课时作业 A组 基础巩固 （一）选择题（每小题3分，共24分） 1．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为（ ） A．50° B．65° C．80° D．100° 2．等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为（ ） A．40° B．50° C．40°或100° D．无法确定 3．等腰三角形的两边长分别为3 cm 和7 cm，则它的周长为（ ） A．13 cm B．17 cm C．13 cm 或 17 cm D．无法确定 4．如图3，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D。若 BC=10，则 BD 的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．10 5．下列条件中，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ） A．∠A=∠B B．∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2 C．∠A=50°，∠B=80° D．∠A=40°，∠B=50° 6．等边三角形的每一个内角都等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．如图6，BD 平分∠ABC，DE∥BC 交 AB 于点 E。若 BE=5，则 DE 的长为（ ） A．2.5 B．5 C．10 D．无法确定 8．如图5，△ABC 是等边三角形，则下列结论中错误的是（ ） A．AB=BC=CA B．∠A=∠B=∠C=60° C．它是轴对称图形，有三条对称轴 D．它每条边上的中线都等于这条边的一半 （二）填空题（每小题3分，共24分） 9．等腰三角形的顶角为36°，则它的底角为________。 10．等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角为________。 11．如图3，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线。若∠BAC=120°，则∠BAD=________，AD 与 BC 的位置关系是________。 12．等腰三角形的两边长分别为5 和 8，则它的周长为________。 13．如图7，AB=AC。若∠B=65°，则∠BAC=________。 14．有一个角是________的等腰三角形是等边三角形。 15．如图8，△ABC 是等边三角形，点 D 在 BC 上。若∠BAD=20°，则∠ADC=________。 16．等腰三角形的底角________（填“能”或“不能”）是钝角，理由是________。 B组 能力提升 17．（8分）已知等腰三角形的一个内角为80°，求它另外两个内角的度数。 18．（8分）如图7，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，且 BD=CE。 求证：AD=AE。 19．（10分）如图3，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，∠BAC=100°，BC=8 cm。 (1) 求∠BAD 的度数； (2) 求 BD 的长； (3) 求∠B 的度数。 20．（10分）如图6，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE∥BC 交 AB 于点 E。 (1) 求证：BE=DE； (2) 若 AB=9，AE=4，求 DE 的长。 21．（10分）如图10，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D。 (1) 求∠ABC、∠ABD 的度数； (2) 判断△ABD 与△BCD 是否为等腰三角形，并说明理由。 图10 22．（8分）如图9，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。 求证：DE=DF。 C组 拓展探究 23．（12分）如图8，△ABC 是等边三角形，点 D 在 BC 上，点 E 在 AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE 相交于点 P。 (1) 求证：△ABD≌△BCE； (2) 求∠APE 的度数。 24．（12分）已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12 cm 和 15 cm 两部分， 求这个等腰三角形的三边长。 四、参考答案与解析 A组 选择题 1．C 【解析】两个底角都是50°，顶角=180°-50°-50°=80°。 2．A 【解析】底角必为锐角，故100°只能是顶角，底角==40°。 3．B 【解析】① 腰长3，底边7：3+3=6<7，不能构成三角形； ② 腰长7，底边3：7+3=10>7，可以构成三角形，周长=7+7+3=17（cm）。 4．B 【解析】由“三线合一”知 AD 也是 BC 边上的中线，所以 BD=BC=5。 5．D 【解析】A由“等角对等边”得等腰；B中三角为45°、45°、90°，有两角相等； C中∠C=180°-50°-80°=50°=∠A，有两角相等； D中∠C=180°-40°-50°=90°，三个角互不相等，不是等腰三角形。 6．C 7．B 【解析】由 DE∥BC 得∠EDB=∠DBC，由 BD 平分∠ABC 得∠EBD=∠DBC， 所以∠EDB=∠EBD，DE=BE=5。 8．D 【解析】A、B、C都是等边三角形的性质。等边三角形每条边上的中线其实也是这条边上的高，其长度并不等于这条边的一半，故D错误。 A组 填空题 9．72° 【解析】底角==72°。 10．70°或40° 【解析】① 若70°是顶角，则顶角为70°； ② 若70°是底角，则另一底角也是70°，顶角=180°-70°-70°=40°。 11．60°；AD⊥BC（互相垂直） 【解析】由“三线合一”知 AD 同时是顶角平分线和底边上的高， 所以∠BAD=×120°=60°，且 AD⊥BC。 12．18 或 21 【解析】① 腰5、底8：5+5=10>8，成立，周长=5+5+8=18； ② 腰8、底5：8+5=13>8，成立，周长=8+8+5=21。两种情况都要保留。 13．50° 【解析】∵ AB=AC，∴ ∠C=∠B=65°，∴ ∠BAC=180°-65°-65°=50°。 14．60° 15．80° 【解析】∠ADC 是△ABD 的一个外角，∠ADC=∠B+∠BAD=60°+20°=80°。 16．不能；因为两个底角相等，若底角是钝角，两个底角的和就大于180°，与三角形内角和等于180°矛盾 B组 解答题 17． 解：分两种情况讨论： ① 若80°是顶角，则两个底角相等，各为 =50°， 即另外两个内角为50°、50°； ② 若80°是底角，则另一个底角也为80°，顶角为 180°-80°-80°=20°， 即另外两个内角为80°、20°。 综上，另外两个内角为50°、50°或80°、20°。 18． 证明：∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C（等边对等角）。 在△ABD 和△ACE 中， AB=AC（已知）， ∠B=∠C（已证）， BD=CE（已知）， ∴ △ABD≌△ACE（SAS）。 ∴ AD=AE（全等三角形的对应边相等）。 19． 解：∵ AB=AC，AD⊥BC，∴ AD 平分∠BAC，且 BD=CD（三线合一）。 (1) ∠BAD=∠BAC=×100°=50°。 (2) BD=BC=×8=4（cm）。 (3) ∠B=∠C==40°。 （也可在 Rt△ABD 中由 ∠B=90°-∠BAD=90°-50°=40° 得到。） 20． 解：(1) 证明：∵ DE∥BC，∴ ∠EDB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。 ∵ BD 平分∠ABC，∴ ∠EBD=∠DBC。 ∴ ∠EDB=∠EBD，∴ BE=DE（等角对等边）。 (2) ∵ AB=9，AE=4，∴ BE=AB-AE=9-4=5。 由(1)知 DE=BE=5。 21． 解：(1) ∵ AB=AC，∠A=36°， ∴ ∠ABC=∠C==72°。 ∵ BD 平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠DBC=×72°=36°。 (2) △ABD 与△BCD 都是等腰三角形。理由如下： 在△ABD 中，∠A=36°，∠ABD=36°，∴ ∠A=∠ABD，∴ AD=BD（等角对等边）， 故△ABD 是等腰三角形； 在△BCD 中，∠DBC=36°，∠C=72°，∴ ∠BDC=180°-36°-72°=72°=∠C， ∴ BD=BC（等角对等边），故△BCD 是等腰三角形。 22． 证明：∵ AB=AC，AD⊥BC， ∴ AD 平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。 ∵ 点 D 在∠BAC 的平分线上，且 DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 C组 拓展探究 23． 解：(1) 证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°。 在△ABD 和△BCE 中， AB=BC， ∠ABD=∠BCE， BD=CE， ∴ △ABD≌△BCE（SAS）。 (2) 由(1)得 ∠BAD=∠CBE。 ∵ ∠APE 是△ABP 的一个外角， ∴ ∠APE=∠BAP+∠ABP=∠BAD+∠ABE =∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°。 所以 ∠APE=60°。 24． 解：如图，设腰长为 2x cm，底边长为 y cm，腰上的中线把这条腰分成两段，每段长 x cm。 这条中线把三角形的周长分成 (2x+x) cm 与 (x+y) cm 两部分，即 3x 与 x+y。 分两种情况讨论： ① 3x=12，x+y=15。由 3x=12 得 x=4，则腰长 2x=8，y=15-4=11。 检验：8+8=16>11，能构成三角形，三边为 8 cm、8 cm、11 cm； ② 3x=15，x+y=12。由 3x=15 得 x=5，则腰长 2x=10，y=12-5=7。 检验：10+10=20>7，能构成三角形，三边为 10 cm、10 cm、7 cm。 综上，这个等腰三角形的三边长为 8 cm、8 cm、11 cm 或 10 cm、10 cm、7 cm。 本节小结：等腰三角形的核心是“等边⟺等角”与“三线合一”。做题时抓住三点——①见等腰先标底角相等；②见“中线、高、角平分线”之一，联想另外两条；③凡是“已知一边（或一角）求周长（或角度）”，一律先分类讨论、再用三边关系或内角和检验。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $