第二十六章 二次函数 单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元测试卷，满分120分，覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用题梯度设计，适配单元复习，培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|二次函数定义、图像平移、顶点坐标|基础巩固，如判断非二次函数（第1题）、图像平移（第2题）| |填空题|4/12|二次函数定义、图像与x轴交点、物理应用|能力提升，如已知交点和对称轴求取值范围（第14题）| |解答题|8/72|解析式转化、实际问题建模、几何综合|创新应用，如野兔跳跃抛物线建模（第23题）、销售利润最值（第20题）|

第二十六章 二次函数 单元测试卷 (满分:120分 考试时间:120分钟) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列函数中，不是二次函数的是 ( ) A. B. C. D. 2.将 向上平移2个单位长度后所得的抛物线的解析式为( ) A. B. y=x²-2 C. y=(x+2)² D. y=(x-2)² 3.下列抛物线的顶点坐标为(0，1)的是 ( ) A. B. C. D. 4.抛物线 与x轴的交点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.老师在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图象，并将该图象的特点写在下面的卡片上，则该二次函数的解析式为( ) ①开口向下；②顶点是原点；③过点(6,-6) A. B. C. D. 6.抛物线 经过点(2，4)，则代数式8a+4b+1的值是 ( ) A.9 B.-9 C.15 D.-15 7.有长24m的篱笆，一面利用围墙围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃(如图)，设花圃垂直于墙的一边长为x m，面积是 则S与x之间的函数关系式是 ( ) A. B. C. D. 8.已知二次函数 的图象经过点 则对应的函数值y₁，y₂，y₃的大小关系是( ) A. B. C. D. 9.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与 的图象可能是 ( ) 10.二次函数 (a,b,c为常数,且a≠0)中,x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 2 3 2 结论Ⅰ: ac<0; 结论Ⅱ：当x>1时，y随x的增大而减小； 结论Ⅲ：-2是方程 的一个根. 下列说法正确的是 ( ) A.结论Ⅰ，Ⅱ正确，结论Ⅲ错误 B.结论Ⅱ，Ⅲ正确，结论Ⅰ错误 C.结论都错误 D.结论都正确 11.一位运动员在距篮圈中心(点C)水平距离5m 处竖直跳起投篮(A为出手点)，球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为3m时，达到最高点(点 B)，此时高度为3.85 m，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心(点C)到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.75 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.15 m处出手，当球出手时，他跳离地面的高度是 ( ) A.0.75m B.0.2m C.0.5m D.0.15m 12.如图，若抛物线 与直线 围成的封闭图形内部有k个整点(不包括边界)，则一次函数y=kx+k的图象为 ( ) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分) 13.当a= 时,函数 是二次函数. 14.二次函数 的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为((-4,0),对称轴为直线x=-1，则当y>0时，x的取值范围为 15.对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h m、初速度v m/s、抛出后所经历的时间 t s，这三个量之间有如下关系： (其中 g 是重力加速度，g取 将一物体以21 m/s的初速度向上抛，当物体处在离抛出点18m高的地方时，t的值为 16.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C₁，将C₁向左平移得到C₂,C₂与x轴交于B,D两点.若直线y=-x+m与C₁,C₂共有3个不同的交点，则m的取值范围是 . 三、解答题(本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分7分)已知二次函数 (1)将二次函数的解析式化为 的形式. (2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 18.(本小题满分7分)已知二次函数 当-2≤x≤2时，求函数y的取值范围. 小胡同学的解答如下： 解:当x=-2时,则 当x=2时,则 ∴函数 y的取值范围为3≤y≤11. 小胡的解答正确吗?如果正确，请在方框内打“√”；如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程. 19.(本小题满分8分)如图，已知抛物线 经过点M(-2,3). (1)求b的值. (2)将该抛物线进行平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方式(任意一种即可). 20.(本小题满分8分)请用函数知识解决问题：某超市销售一种饮料，每瓶进价为5元，售价在6元到10元之间(含6元和10元).经市场调查表明，当售价在该范围内浮动时，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少50瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为200瓶.问：当销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润最大?最大日均毛利润为多少元?(每瓶毛利润=每瓶售价一每瓶进价) 21.(本小题满分10分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA 上,且 DG=BE,AH=CF=2BE,记四边形 EFGH 的面积为 y,BE的长为x. (1)求y关于x的解析式及自变量x的取值范围. (2)求y的最小值. 22.(本小题满分10分)如图，抛物线 经过点(-2,m),(6,m),点 P 是抛物线L₁的顶点. (1)求 a,m的值及点P 的坐标. (2)将抛物线L₁平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线L₂. ①直接写出抛物线 L₁平移的最短路程及此时抛物线 L₂的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线L₂上有一个动点Q，其横坐标为,当 时，点Q 路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求n的取值范围. 23.(本小题满分10分)“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”.在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实.野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分. (1)建立如图所示的平面直角坐标系. 通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x(m)与竖直高度y(m)进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/m 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 y/m 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 根据上述数据，回答下列问题： ①野兔本次跳跃的最远水平距离为 ，最大竖直高度为 . ②求满足条件的抛物线的解析式. (2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m ，最大竖直高度为1m.若在野兔起跳点前方2m 处有高为0.8m的篱笆，通过计算说明野兔此次跳跃能跃过篱笆吗? 24.(本小题满分12分)如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P 为抛物线 的顶点. (1)直接写出顶点 P 的坐标.(用含 m的式子表示) (2)当m=0时，判断点(1，1)是否在抛物线上，并直接写出该抛物线下方(含边界)的好点个数. (3)当m=3时，直接写出该抛物线上的好点坐标. (4)若点 P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方(含边界)恰好存在8个好点，直接写出m的取值范围. 参考答案 1. D 2. A 3. A 4. C 5. A 6. C 7. A 8. D9. A 10. D 11. D 12. D 13.-1 14. x<-4或x>2 15.65或3 17.解:(1)y=2x²+4x-6=2(x²+2x+1)-8=2(x+1)²-8. (2)开口向上,对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,-8). 18.解：×不正确.正确的解答过程如下：根据题意可知，二次函数y= 的图象开口向上，对称轴为直线x=1，∵-2≤x≤2，∴当x=1时,y取得最小值,此时y=1-2+3=2;当x=-2时,y取得最大值,此时y=4+4+3=11.∴当-2≤x≤2时,函数y的取值范围为2≤y≤11. 19.解:(1)把 M(-2,3)代入 得-4-2b+3=3,解得b=-2.(2)将该抛物线向下平移3个单位长度(答案不唯一). 20.解：设日均毛利润为 W 元，销售价格定为每瓶 x元.由题意，得W= ∵-50<0,6≤x≤10,∴当x=8时, 答：销售价格定为每瓶8元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为450元. 21.解:(1)∵四边形 ABCD是矩形,∴AB=CD=3,AD=BC=4,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵BE=x,∴DG=BE=x,AH=CF=2BE=2x.∴AE=CG=3-x,DH=BF=4-2x. ∴S四边形HEFG=S矩形ABCD- ≤4,∴0<x≤2.∴y=4x²-10x+12(0<x≤2).(2)y=4x²-10x+12 ∵4>0,0<x≤2,∴当.x= 时，y有最小值，最小值为 22.解:(1)∵抛物线 经过点(-2,m),(6,m),∴对称轴为直线 ∴抛物线 L₁的解析式为 当x=-2时, 1=5,∴m=5. ∴点 P 的坐标为(2，-3).(2)①抛物线 L₁平移的最短路程为3，此时抛物线L₂的顶点坐标为(2，0).②由①得，抛物线L₂的解析式为 当x=4时, ∵点(4，2)在抛物线 L₂上关于对称轴直线x=2对称的点为(0,2),且当 时，点Q路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2,∴0≤n≤2. 23.解:(1)①2.8 m 0.98m ②设抛物线的解析式为 0.98,把x=1,y=0.9代人,得( ,解得a=-0.5.∴抛物线的解析式为y=-0.5(x-1.4)²+0.98.(2)设野兔在此次跳跃时抛物线的解析式为y=m(x-1.5)²+1,将点(0,0)代入,得m× 解得 当x=2时, ∴野兔此次跳跃能跃过篱笆. 24.解:(1)顶点 P 的坐标为(m,m+2).(2)当m=0时,抛物线的解析式为y 函数图象如图2.当x=1时,y=1.∴点(1,1)在抛物线上.观察图象可知,好点有点(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),共5个. (3)当m=3时，抛物线的解析式为 函数图象如图3.根据图象可知,抛物线上好点坐标分别为(1,1),(2,4),(4,4).(4)∵抛物线的顶点 P 的坐标为(m，m+2)，∴抛物线的顶点 P 在直线y=x+2上.∵点P 在正方形OABC内部,∴0<m<2.取m=1,发现抛物线内有10个好点，不符合题意，∴抛物线向下并向左移动，如图4.观察图象可知，当点 P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方(含边界)恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点(点F除外)，当抛物线经过点 E(2,1)时, 解得 或m= (不符合题意,舍去);当抛物线经过点 F(2,2)时,-(2-m)²+m+2=2,解得m=1或m=4(不符合题意,舍去)..∴当 <1时，顶点 P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方(含边界)恰好存在8个好点. 学科网（北京）股份有限公司 $