第二十六章二次函数 单元测试基础卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册二次函数单元基础卷，以文化传承（如廊桥、京剧“踢枪”）与现实应用（千斤顶、销售利润）为情境，覆盖定义、图像性质及实际应用，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次函数定义、顶点坐标、图像判断|基础概念辨析，如第5题平移变换考查几何直观| |填空题|5/15|开口方向、最值、解析式确定|第14题廊桥问题结合坐标求距离，体现应用意识| |解答题|8/75|图像绘制、实际应用（销售/生产）、综合实践|23题以京剧“踢枪”为情境，构建运动轨迹函数模型，融合文化与数学推理，培养创新意识|

第二十六章二次函数单元测试基础卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 （满分120分，考试时间120分钟) 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的) 1.下列函数中，一定是二次函数的是() A.y=x(x-1) B.y=(x+4)2-x2 c.y=-2 D.y=ax2+6 2.抛物线y=5(x-2)的顶点坐标是() A.(-2,0) B.(2,0) c.(0,-2) D.(0,2) 3.二次函数y=ax(a>0)的图象大致是() 4.在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是() A.y=(x+2)2-3 B.y=x2-2 C.y=-2x2 D.y=(x-2)2+3 5.抛物线y=-8x2+5可以看作是由抛物线y=-8x2按下列何种变换得到的 () A.向上平移5个单位长度 B.向下平移5个单位长度 C.向左平移5个单位长度 D.向右平移5个单位长度 6.抛物线y=(2x-1)(x+3)与x轴的两个交点之间的距离是（) A. B.2 C. D.4 1 7.抛物线y=一x2+x+1与坐标轴的公共点的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 8.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上，下列说法正确的是() A.若y1=y2,则x1=x2 B.若x1≠x2,则y1卡y2 C.若0<x1<x2,则y1>y2 D.若x1<x2<0,则y1>y2 9.根据表格中的对应值，判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值 范围是() x 3 4 5 ax2 +bx+c 0.5 -0.5 -1 A.x<3 B.x<4 C.4<x<5 D.3<X<4 10.如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形ABCD是菱形，边长 固定不变，可通过调节AC的长度改变千斤顶的高度BD.设AC的长度为xcm,千 斤顶的高BD为ycm,y与x之间的函数关系如图3所示，下列结论错误的是() Ay/cm 20 D B 16 x/cm 图1 图2 图3 A.菱形的边长为10cm B.自变量x的取值范围为0≤x≤16 C.y与x之间的函数图象是抛物线的一部分 D.BD的最小值为12cm 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.二次函数y=(a-1)x2+2x+1开口向下，则a的取值范围是 12.二次函数y=x2-4x+2的最小值为 13.若抛物线的顶点是A(-1,一3)，并且抛物线经过点B(1,一1)，则该抛物线的 解析式为 14.廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示.已知抛物线 2 的函数表达式为y=-02+10,为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平 距离为8米的C,D两处安装警示灯，则警示灯D离水面AB的距离为 米 第14题图 第15题图 15.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过原点0(0,0)，对称轴为直线x=m,与 x轴交于O、C两点，A、B为抛物线上纵坐标相同的两点，D是对称轴与x轴交点， 连接AD,结合图像给出下列结论： ①0C=20D:②ABIx轴：③AD=BD:④am2+bm+c>0:⑤c>0. 其中正确的结论有 (填序号) 三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 16.(10分)已知二次函数y=-x2+2x+2. (1)填写表中横线处的数值： 0 3 … y=-x2+2x+2 -1 (2)根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象： 个y 5 4 3 2 -3-2-10123456x 3 (3)根据表格、图象可知，当0<x<3时，y的取值范围是 (4)根据图象可知，当x 时，y随x的增大而增大. 17.（8分)已知长方体的高是6cm,底面是边长为xcm的正方形，它的表面积 是Scm2,体积是Vcm3. (1)分别写出S与x,V与x之间的关系式： (2)对于(1)中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 18.(8分)某食品零售店为食品厂代销一种面包，统计销售情况后发现，当这 种面包的单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包的单价每 提高1元，该零售店每天就会少卖出20个.该零售店每个面包的成本是5元.设 这种面包的单价为x元，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y元。 （1)每个面包的利润为 元，每天卖出面包的个数为 (用 含x的代数式表示)： (2)求y与x之间的函数关系式. 19.(8分)如图，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0), 与y轴交于点C (1)求抛物线的表达式： (2)若直线y=kx+k-5(不平行于对称轴所在直线)与抛物线只有一个交点， 求k的值. B 20.（9分)某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备 增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一 台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品. (1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式： (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 21.(10分)如图，在直角坐标系中，二次函数y=ax2+1x+4经过A(-4,0), B(0,4),C(4,4)三个点， (1)求该二次函数的解析式： (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D,求当点D坐标为何值时，△ABD 的周长最小. B 4 A 入4 6 22.（10分)如图已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2相交于A(-2,2)、B(4,8) 两点.解答以下问题： (1)填空：k=，b=，a=一 (2)不等式ax2≥kx+b的解集为一· (3)已知点P在x轴上，若△AOB的面积是△ABP的倍，求点P坐标. 0 > 23.（12分)综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图.甲、 乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略 空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的 中点). (1)如图2，甲站在地面的点0处，从距离地面0.6m高的点A踢出花枪，点A 与点0的水平距离是1m,花枪飞行到与0点水平距离6m的c处达到最高，高度 为2.6m. ①以点0为坐标原点，以地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪 离地面的高度为ym,到点O的水平距离为xm,求y关于x的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点O水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为 2.1m,最小为0.6m,求d的取值范围 (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪 飞行高度hm与时间ts之间的关系式是h=-0.2t2+1.2t(t>0),丙在距花枪落 地点7.2m处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度. VA 地面 (图1) (图2) 8 第二十六章 二次函数 单元测试基础卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 （满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 4．在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（     ） A． B． C． D． 5．抛物线可以看作是由抛物线按下列何种变换得到的（     ） A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 6．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 7．抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 10．如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，下列结论错误的是（     ） A．菱形的边长为 B．自变量的取值范围为 C．与之间的函数图象是抛物线的一部分 D．的最小值为 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 12．二次函数的最小值为___________． 13．若抛物线的顶点是，并且抛物线经过点，则该抛物线的解析式为______． 14．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 第14题图 第15题图 15．已知抛物线过原点，对称轴为直线，与x轴交于、两点，为抛物线上纵坐标相同的两点，是对称轴与x轴交点，连接，结合图像给出下列结论： ①；②轴；③；④；⑤． 其中正确的结论有_____________（填序号） 三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分）已知二次函数． （1）填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … _____ _____ _____ _____ … （2）根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是_______________； （4）根据图象可知，当x_______________时，y随x的增大而增大． 17．（8分）已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． （1）分别写出S与x，V与x之间的关系式； （2）对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 18．（8分）某食品零售店为食品厂代销一种面包，统计销售情况后发现，当这种面包的单价定为元时，每天卖出个．在此基础上，这种面包的单价每提高元，该零售店每天就会少卖出个．该零售店每个面包的成本是元．设这种面包的单价为元，零售店每天销售这种面包所获得的利润为元． （1）每个面包的利润为________元，每天卖出面包的个数为____________（用含的代数式表示）； （2）求与之间的函数关系式． 19．（8分）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若直线（不平行于对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点，求的值． 20．（9分）某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品． （1）如果增加台机器，每天的生产总量为y件，请你写出与之间的关系式； （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 21．（10分）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 22．（10分）如图已知直线与抛物线相交于、两点．解答以下问题： （1）填空：______，_____，_____． （2）不等式的解集为_____． （3）已知点在轴上，若的面积是的倍，求点坐标． 23．（12分）综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 单元测试基础卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 （满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 3．二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 4．在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 5．抛物线可以看作是由抛物线按下列何种变换得到的（     ） A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 【答案】A 6．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】令，得；∵，∴或，解得，，∴抛物线与轴的两个交点为，，∴两交点之间的距离为． 7．抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】∵抛物线，当时，，∴抛物线与y轴有1个公共点；令，得，∵，∴该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个公共点，∴公共点总个数为． 8．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】抛物线开口向上，对称轴为直线．∵ 当时，或，∴ A、B均错误．∵ 当时，随的增大而增大，当时，则，故C错误．当时，随的增大而减小，当时，则，故D正确． 9．根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵当时，，当时，，∴二次函数的图象与轴的一个交点在之间，∴关于的方程的一个解的取值范围是 10．如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，下列结论错误的是（     ） A．菱形的边长为 B．自变量的取值范围为 C．与之间的函数图象是抛物线的一部分 D．的最小值为 【答案】C 【解析】A、设菱形边长为，由菱形对角线互相垂直平分可知，即．由图3可知，当时，，代入得，解得，故A正确．B、由图3可知，的取值范围为，故B正确．C、由可知，，图象不是抛物线，故C错误．D、当时，取得最小值，，解得，故D正确．故答案为C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 【答案】 12．二次函数的最小值为___________． 【答案】 13．若抛物线的顶点是，并且抛物线经过点，则该抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】∵抛物线的顶点坐标是，∴设抛物线的解析式为，将点代入解析式，得，解得，∴该抛物线的解析式为． 14．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【答案】 【解析】抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米，点的横坐标为，将代入抛物线解析式，得，警示灯离水面的距离为米． 15．已知抛物线过原点，对称轴为直线，与x轴交于、两点，为抛物线上纵坐标相同的两点，是对称轴与x轴交点，连接，结合图像给出下列结论： ①；②轴；③；④；⑤． 其中正确的结论有_____________（填序号） 【答案】①②③ 【解析】根据二次函数的对称性可知：点O、C关于对称轴对称，∴，即，故①正确；∵为抛物线上纵坐标相同的两点，∴轴，故②正确；∴点A、B关于抛物线的对称轴对称，∴根据轴对称的性质可知：，故③正确；由图象可知：当时，则有，故④错误；∵抛物线过原点，∴当时，则，故⑤错误；综上所述：正确的结论有①②③． 三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分）已知二次函数． （1）填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … _____ _____ _____ _____ … （2）根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是_______________； （4）根据图象可知，当x_______________时，y随x的增大而增大． 【答案】解：（1）填表如下： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … （2）二次函数的图象如下图所示即为所求： （3）； （4）． 17．（8分）已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是． （1）分别写出S与x，V与x之间的关系式； （2）对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？ 【答案】解：（1）由题意得： ， ； （2）根据二次函数的定义可知： 是S关于x的二次函数， 是V关于x的二次函数， 即S和V都是关于x的二次函数． 18．（8分）某食品零售店为食品厂代销一种面包，统计销售情况后发现，当这种面包的单价定为元时，每天卖出个．在此基础上，这种面包的单价每提高元，该零售店每天就会少卖出个．该零售店每个面包的成本是元．设这种面包的单价为元，零售店每天销售这种面包所获得的利润为元． （1）每个面包的利润为________元，每天卖出面包的个数为____________（用含的代数式表示）； （2）求与之间的函数关系式． 【答案】（1），；【解析】这种面包的单价为元，每个面包的成本是元，每个面包的利润为元．每天卖出面包的个数为：． （2）根据题意得： ． 19．（8分）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若直线（不平行于对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点，求的值． 【答案】解：（1）将，代入， 得， 解得，， 故抛物线表达式为． （2）联立， 得， 因直线与抛物线只有一个交点， 故， 整理得， 解得． 20．（9分）某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品． （1）如果增加台机器，每天的生产总量为y件，请你写出与之间的关系式； （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 【答案】解：（1）增加台机器后，机器总台数为台； 每增加1台机器，每台日均少生产4件，因此增加台后，单台机器日均生产数量为件， ∴（且为整数）； （2）， 当时，有最大值，最大值为3600， 因此增加10台机器时生产总量最大，最大值为3600件． 21．（10分）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】（1）解：将点代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入， 得，解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 22．（10分）如图已知直线与抛物线相交于、两点．解答以下问题： （1）填空：______，_____，_____． （2）不等式的解集为_____． （3）已知点在轴上，若的面积是的倍，求点坐标． 【答案】（1），，；【解析】把、代入，得，解得，∴直线的解析式为，把代入，得，解得，∴抛物线的解析式为； （2）或；【解析】由（1）知，直线的解析式为，抛物线的解析式为，又∵两函数交于、两点，∴由图象可知，不等式，即的解集为或． （3）解：如图，连接， 直线与轴的交点记为，与轴的交点记为， 在轴上任取不同于点的点，连接，， 令，则，解得， ∴． 令，则， ∴，∴． ∵、， ∴， ∵的面积是的倍， ∴， ∴， 整理得，解得， 设，则， ∴或， ∴点或． 23．（12分）综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 【答案】解：（1）①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． （2）当花枪落地时，则有， ∴， 解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为， ∴丙的平均速度为； 答：丙的平均速度为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $