第十六章 整式的乘法 单元复习+小测（核心知识+12易错辨析+9典例精讲） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学讲义以“幂的运算—整式乘法—乘法公式”为递进主线构建知识体系，通过对比表格辨析同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的区别，结合12个易错点表格梳理符号处理、公式混淆等核心问题，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于9类典例题型设计，如“乘法公式与图形面积”题型通过几何图形验证平方差公式，培养几何直观，“完全平方公式变形式求值”题强化运算能力与推理意识。分层变式练习适配不同学生，易错辨析与自查清单助力自主复习，为教师精准教学提供系统支持。

第十六章 整式的乘法 单元复习+小测 （核心知识+12易错辨析+9典例精讲） 【知识点01】幂的运算 1. 同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：am·an=am+n（m、n 都是正整数） 理解要点： （1）“同底数”指底数相同。底数可以是具体的数、字母，也可以是单项式或多项式（把整个式子看作一个整体）。 （2）运算结果仍是幂：底数不变，指数相加，切记指数不是相乘。 （3）三个或三个以上同底数幂相乘同样适用：am·an·ap=am+n+p。 （4）可以逆用：am+n=am·an，常用于已知某些幂求值的问题。 示例：x2·x5=x7；a·a3=a4（字母 a 的指数是 1，不能漏掉）；(-a)3·(-a)2=(-a)5=-a5；(a+b)2·(a+b)3=(a+b)5。 2. 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 公式：(am)n=amn（m、n 都是正整数） 理解要点： （1）与同底数幂的乘法区分：乘法是“指数相加”，乘方是“指数相乘”。 （2）推广：[(am)n]p=amnp。 （3）可以逆用：amn=(am)n=(an)m，常用于统一指数、变形比较大小。 示例：(x3)2=x6；(a2)3·a4=a6·a4=a10（先乘方，再做同底数幂乘法）。 3. 积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：(ab)n=anbn（n 为正整数） 理解要点： （1）每一个因式都要乘方，系数也要乘方，不能漏掉。 （2）推广：(abc)n=anbncn。 （3）可以逆用：anbn=(ab)n，当底数互为倒数时（如 0.125 与 8）可简化运算。 示例：(2a)3=8a3；(-xy)2=x2y2；(-2ab2)3=-8a3b6（系数与字母分别乘方，符号由指数奇偶决定）。 表1 三种幂的运算性质辨析 运算 法则 字母表示 指数运算 典型错误 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加 am·an=am+n 相加 x3·x2 误写为 x6 幂的乘方 底数不变，指数相乘 (am)n=amn 相乘 (x3)2 误写为 x5 积的乘方 每个因式分别乘方 (ab)n=anbn 分配给每个因式 (2x)3 误写为 2x3 【知识点02】整式的乘法（含除法） 1. 单项式与单项式相乘 法则：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 运算步骤：①系数相乘（连同符号）；②相同字母的幂分别相乘（指数相加）；③只在一个单项式里出现的字母连同指数照写。 示例：3x2y·(-2xy3)=[3×(-2)]·(x2·x)·(y·y3)=-6x3y4。 注意：结果是单项式；含乘方的因式先算乘方再相乘，如 (-2a2b)2·3ab=4a4b2·3ab=12a5b3。 2. 单项式与多项式相乘 法则：用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc。 实质：转化为单项式与单项式相乘（转化思想）。 示例：-2a(3a2-4a+1)=-6a3+8a2-2a。 注意：每一项都要乘（包括常数项和符号），不能漏乘；积的符号由“单项式的符号×该项的符号”决定。 3. 多项式与多项式相乘 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。 示例：(x+2)(x-3)=x2-3x+2x-6=x2-x-6。 注意：按顺序逐项相乘，做到不重不漏；积中含同类项的要合并；两个二项式相乘通常先得四项再合并。 4. 同底数幂的除法与零指数幂 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 公式：am÷an=am-n（a≠0，m、n 都是正整数，且 m>n） 零指数幂：a0=1（a≠0），即任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。 示例：x7÷x3=x4；a5÷a5=a0=1（a≠0）。 注意：底数不能为 0；本章只讨论 m>n 的情形，指数为零或负数的情况将在第十八章 18.4“整数指数幂”中完整学习。 5. 整式的除法 单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 示例：28x4y2÷7x3y=4xy。 多项式除以单项式：先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 示例：(12a3-6a2+3a)÷3a=4a2-2a+1。 注意：0 不能作除数；被除式与除式底数相同才可用同底数幂的除法。 【知识点03】乘法公式 1. 平方差公式 内容：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。 结构特征：左边是两个二项式相乘，其中一项完全相同（记作 a），另一项互为相反数（记作 b 与 -b）；右边是“相同项的平方−相反项的平方”。 识别口诀：先找“相同项”与“相反项”，一同一反才可用平方差公式。 示例：102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=9996；(3x+2y)(3x-2y)=9x2-4y2。 几何意义：边长为 a 的大正方形剪去边长为 b 的小正方形，剩余面积既等于 a2-b2，又可拼成长为 a+b、宽为 a-b 的长方形，面积为 (a+b)(a-b)，两者相等（数形结合，见题型7）。 常见变形：位置变化 (a+b)(b-a)=b2-a2；符号变化 (-a-b)(a-b)=b2-a2（可先提取负号）；整体变化 (a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2。 2. 完全平方公式 内容：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的 2 倍。 公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2。 记忆口诀：“首平方，尾平方，首尾二倍放中央，符号跟着中间走。” 结构特征：右边共三项，分别是首项平方、尾项平方、±2 倍首尾乘积；中间项的符号与左边括号内的符号一致。 示例：(2x+3y)2=4x2+12xy+9y2；(a-b)2=a2-2ab+b2。 几何意义：(a+b)2 可看作边长为 a+b 的大正方形面积，等于边长为 a、b 的两个正方形面积与两个 ab 长方形面积之和。 常用变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；(a+b)2=(a-b)2+4ab；(a-b)2=(a+b)2-4ab。 注意：中间项 2ab 最易丢失；系数要整体代入，如 (2a+3b)2 的中间项是 2×(2a)×(3b)=12ab。 序号 易错点 错误示例 正确解答 错因分析 1 同底数幂乘法与幂的乘方混淆 x3·x2=x6 x5 同底数幂相乘指数应相加，误按乘方处理 2 幂的乘方与同底数幂乘法混淆 (x3)2=x5 x6 幂的乘方指数应相乘，误按加法处理 3 积的乘方漏乘系数 (2x)3=2x3 8x3 系数 2 也要乘方 4 合并同类项误用乘法法则 x3+x3=x6 2x3 合并同类项是系数相加、指数不变 5 忽略指数 1 a·a3=a3 a4 字母 a 的指数是 1，应参与相加 6 负号处理错误 (-2a)2=-4a2 4a2 偶次幂为正；(-2a)3 才是 -8a3 7 单项式乘多项式漏项 2x(3x2-x+1)=6x3-2x2 6x3-2x2+2x 常数项 1 也要乘 8 多项式乘多项式漏交叉项 (x+2)(x-3)=x2-6 x2-x-6 应四项相乘后合并：-3x+2x=-x 9 平方差公式结构误判 (x+y)(x-2y)=x2-2y2 x2-xy-2y2 两因式没有完全相同项，不能直接套公式 10 完全平方公式丢中间项 (a-b)2=a2-b2 a2-2ab+b2 忘记 ±2ab，与平方差公式混淆 11 中间项系数算错 (2a+3b)2=4a2+6ab+9b2 4a2+12ab+9b2 2ab 中的 a、b 要整体代入：2×(2a)×(3b) 12 添括号变号错误 a-b+c=a-(b+c) a-(b-c) 括号前为负号，括入的项要全部变号 【题型一】幂的运算直接计算 【例1】．（25-26八年级上·广东江门·期末）计算______． 【例2】．（25-26八年级上·江西赣州·期末）计算：_______． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型二】幂的运算逆用 【例3】．（25-26八年级上·四川自贡·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【例4】．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）若，则的值为___________． 【例5】．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）（1）已知，，求 （2）已知，求的值． 【变式1】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）计算：___________． 【变式2】．（25-26八年级上·四川南充·期中）计算： (1)； (2)若，求的值． 【变式3】．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 【题型三】整式乘法计算 【例6】．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【例7】．（25-26八年级上·重庆合川·期末）计算：_____． 【例8】．（25-26八年级上·甘肃陇南·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2) 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型四】整式除法计算 【例9】．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【例10】．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）为非零数，计算的结果为____． 【例11】．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，求的值． 【例12】．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算 ． 【变式1】．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】．（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）已知，，那么的值为_____． 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式4】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型五】运用平方差公式进行运算 【例13】．（25-26八年级上·黑龙江黑河·阶段检测）等于（  ） A． B． C． D． 【例14】．（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）化简的结果是_____ ． 【例15】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】．（24-25八年级上·山西临汾·期中）霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔn mǎo）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为，宽为的长方形，中间凿掉一个边长为的正方形，且该零件的高为．求这个零部件体积．      【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．（25-26八年级上·广东云浮·期末）【发现】如图，我们在2025年7月的日历中任意标出一个十字星，计算得到它的“十字差”（将十字星左右两数的乘积减去上下两数的乘积，所得的差被称为该十字星的“十字差”）是一个常数． (1)【验证】若十字星中间的数字是，则它的“十字差”为________；若十字星中间的数字是，则它的“十字差”为________． (2)【探究】设十字星中间的数字为，请你验证【发现】中的结论． 【题型六】完全平方公式 【例16】．（26-27八年级上·全国·课后作业）填空： （1）__________；     （2）__________； （3）______；     （4）____． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型七】整式混合运算与化简求值 【例17】．（25-26八年级上·陕西延安·期末）先化简，再求值：，其中． 【例18】．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）化简求值：，其中，． 【例19】．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 【变式1】．完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中，． (2)先化简，再求值：，其中，，． 【变式2】．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中， 【变式3】．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)已知，求的值． 【题型八】乘法公式与图形面积（数形结合） 【例20】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【例21】．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是_______． 【例22】．（26-27八年级上·河南周口·开学考试）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式__________________． 【例23】．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （1）若，，则______； 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度． 【变式1】．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个长方形的长为，宽比长少，则这个长方形的面积为________． 【变式3】．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，由一个长为，宽为的长方形和两个正方形（记为和）组成的图形中，若，，则图中两个正方形的面积之和是_____． 【变式4】．（25-26八年级上·陕西安康·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化、相互渗透．下面借助数形结合思想进行探究． (1)如图①，两个大小相同的长方形和两个较小的正方形可以拼成一个大正方形，通过计算大正方形面积可以得到的等式为_____ (2)若，，求的值； (3)如图②，某校准备在原有长方形用地上进行装修和扩建．已知长方形的周长为，以，为边，分别向外扩建出正方形和正方形两块空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园．若两个功能性花园的面积之和为，求原有长方形用地的面积． 【变式5】．（25-26八年级上·吉林白山·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【题型九】完全平方公式的变形式求值 【例24】．（25-26八年级上·山东烟台·期末）已知，，那么（    ） A．19 B．25 C．31 D．73 【例25】．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知实数a、b满足，，则______． 【例26】．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）已知，，，求和的值； 【变式1】．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知都是实数，，则的最小值是___________． 【变式3】．（25-26八年级上·河南许昌·期末）对于任意实数，我们规定：，．例如：，． (1)填空：①________；②若，则________；③若，则________0．（填“>”，“<”或“=”） (2)若，且，求与的值． （一）知识结构回顾 本章以“幂的运算”为工具，以“整式的乘法”为主体，以“乘法公式”为简便运算技巧，层层递进：幂的运算（三条性质）→ 整式的乘法（三类法则，化归为幂的运算）→ 乘法公式（平方差、完全平方）；整式的除法（同底数幂除法、零指数幂、单项式÷单项式、多项式÷单项式）与乘法互为逆运算。 （二）思想方法 1. 转化（化归）思想：多项式×多项式转化为单项式×多项式，再转化为单项式×单项式，最终落实到幂的运算； 2. 数形结合思想：用图形面积解释平方差公式与完全平方公式； 3. 整体思想：把多项式看作一个整体（配合添括号法则）套用乘法公式； 4. 逆向思维：逆用幂的运算性质求值、比较大小；逆用乘法公式是第十七章因式分解的基础。 （三）运算顺序提醒 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内；同级运算从左到右进行。 （四）考前自查清单 1. 三条幂的运算性质是否区分清楚（相乘、乘方、积的乘方时指数分别怎么变）？ 2. 平方差公式与完全平方公式的结构特征能否快速识别？ 3. 符号与系数是否处理正确（偶次幂为正、2ab 是否漏写、系数是否漏乘方）？ 4. 多项式乘法是否做到不重不漏，结果是否合并了同类项？ 5. 混合运算是否严格按顺序进行？ 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北保定·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·河南周口·期中）若，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 6．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）若的展开结果中不含项和x项，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 7．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，下面两幅图中，其中能够验证平方差公式的是（     ） A．甲乙均可以 B．甲乙均不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 8．现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 10．（25-26八年级上·山东德州·期末）若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 11．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）已知，则代数式___________． 12．（25-26八年级上·四川内江·期末）计算：_______； 13．（25-26八年级上·河南信阳·期末）___________． 14．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于_______张． 三、解答题 15．（26-27八年级上·全国·课后作业）化简：． 16．（26-27八年级上·河南周口·）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 17．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 18．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，街心花园有一块边长为的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加，东西向减少．改造后得到一块长方形草坪．求这块长方形草坪的面积． 19．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2，阴影部分是一个小正方形）． (1)用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积，完成下面的填空（列式即可）：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得________；由正方形的面积公式可得________； (2)写出三个代数式，，之间的等量关系式________． (3)已知，，请利用发现的结论，求的值． 20．（25-26八年级上·河南开封·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 21．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：． 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：______(只填序号)． 任务2 如图，若将个直角边长分别为，，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，请你用两种不同的方法表示五边形的面积． 方法1：______；方法2：______；你可以得到一个关于，，的等式是：______． 任务3 如图，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为，．若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 单元复习+小测 （核心知识+12易错辨析+9典例精讲） 【知识点01】幂的运算 1. 同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：am·an=am+n（m、n 都是正整数） 理解要点： （1）“同底数”指底数相同。底数可以是具体的数、字母，也可以是单项式或多项式（把整个式子看作一个整体）。 （2）运算结果仍是幂：底数不变，指数相加，切记指数不是相乘。 （3）三个或三个以上同底数幂相乘同样适用：am·an·ap=am+n+p。 （4）可以逆用：am+n=am·an，常用于已知某些幂求值的问题。 示例：x2·x5=x7；a·a3=a4（字母 a 的指数是 1，不能漏掉）；(-a)3·(-a)2=(-a)5=-a5；(a+b)2·(a+b)3=(a+b)5。 2. 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 公式：(am)n=amn（m、n 都是正整数） 理解要点： （1）与同底数幂的乘法区分：乘法是“指数相加”，乘方是“指数相乘”。 （2）推广：[(am)n]p=amnp。 （3）可以逆用：amn=(am)n=(an)m，常用于统一指数、变形比较大小。 示例：(x3)2=x6；(a2)3·a4=a6·a4=a10（先乘方，再做同底数幂乘法）。 3. 积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：(ab)n=anbn（n 为正整数） 理解要点： （1）每一个因式都要乘方，系数也要乘方，不能漏掉。 （2）推广：(abc)n=anbncn。 （3）可以逆用：anbn=(ab)n，当底数互为倒数时（如 0.125 与 8）可简化运算。 示例：(2a)3=8a3；(-xy)2=x2y2；(-2ab2)3=-8a3b6（系数与字母分别乘方，符号由指数奇偶决定）。 表1 三种幂的运算性质辨析 运算 法则 字母表示 指数运算 典型错误 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加 am·an=am+n 相加 x3·x2 误写为 x6 幂的乘方 底数不变，指数相乘 (am)n=amn 相乘 (x3)2 误写为 x5 积的乘方 每个因式分别乘方 (ab)n=anbn 分配给每个因式 (2x)3 误写为 2x3 【知识点02】整式的乘法（含除法） 1. 单项式与单项式相乘 法则：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 运算步骤：①系数相乘（连同符号）；②相同字母的幂分别相乘（指数相加）；③只在一个单项式里出现的字母连同指数照写。 示例：3x2y·(-2xy3)=[3×(-2)]·(x2·x)·(y·y3)=-6x3y4。 注意：结果是单项式；含乘方的因式先算乘方再相乘，如 (-2a2b)2·3ab=4a4b2·3ab=12a5b3。 2. 单项式与多项式相乘 法则：用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc。 实质：转化为单项式与单项式相乘（转化思想）。 示例：-2a(3a2-4a+1)=-6a3+8a2-2a。 注意：每一项都要乘（包括常数项和符号），不能漏乘；积的符号由“单项式的符号×该项的符号”决定。 3. 多项式与多项式相乘 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。 示例：(x+2)(x-3)=x2-3x+2x-6=x2-x-6。 注意：按顺序逐项相乘，做到不重不漏；积中含同类项的要合并；两个二项式相乘通常先得四项再合并。 4. 同底数幂的除法与零指数幂 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 公式：am÷an=am-n（a≠0，m、n 都是正整数，且 m>n） 零指数幂：a0=1（a≠0），即任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。 示例：x7÷x3=x4；a5÷a5=a0=1（a≠0）。 注意：底数不能为 0；本章只讨论 m>n 的情形，指数为零或负数的情况将在第十八章 18.4“整数指数幂”中完整学习。 5. 整式的除法 单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 示例：28x4y2÷7x3y=4xy。 多项式除以单项式：先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 示例：(12a3-6a2+3a)÷3a=4a2-2a+1。 注意：0 不能作除数；被除式与除式底数相同才可用同底数幂的除法。 【知识点03】乘法公式 1. 平方差公式 内容：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。 结构特征：左边是两个二项式相乘，其中一项完全相同（记作 a），另一项互为相反数（记作 b 与 -b）；右边是“相同项的平方−相反项的平方”。 识别口诀：先找“相同项”与“相反项”，一同一反才可用平方差公式。 示例：102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=9996；(3x+2y)(3x-2y)=9x2-4y2。 几何意义：边长为 a 的大正方形剪去边长为 b 的小正方形，剩余面积既等于 a2-b2，又可拼成长为 a+b、宽为 a-b 的长方形，面积为 (a+b)(a-b)，两者相等（数形结合，见题型7）。 常见变形：位置变化 (a+b)(b-a)=b2-a2；符号变化 (-a-b)(a-b)=b2-a2（可先提取负号）；整体变化 (a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2。 2. 完全平方公式 内容：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的 2 倍。 公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2。 记忆口诀：“首平方，尾平方，首尾二倍放中央，符号跟着中间走。” 结构特征：右边共三项，分别是首项平方、尾项平方、±2 倍首尾乘积；中间项的符号与左边括号内的符号一致。 示例：(2x+3y)2=4x2+12xy+9y2；(a-b)2=a2-2ab+b2。 几何意义：(a+b)2 可看作边长为 a+b 的大正方形面积，等于边长为 a、b 的两个正方形面积与两个 ab 长方形面积之和。 常用变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；(a+b)2=(a-b)2+4ab；(a-b)2=(a+b)2-4ab。 注意：中间项 2ab 最易丢失；系数要整体代入，如 (2a+3b)2 的中间项是 2×(2a)×(3b)=12ab。 序号 易错点 错误示例 正确解答 错因分析 1 同底数幂乘法与幂的乘方混淆 x3·x2=x6 x5 同底数幂相乘指数应相加，误按乘方处理 2 幂的乘方与同底数幂乘法混淆 (x3)2=x5 x6 幂的乘方指数应相乘，误按加法处理 3 积的乘方漏乘系数 (2x)3=2x3 8x3 系数 2 也要乘方 4 合并同类项误用乘法法则 x3+x3=x6 2x3 合并同类项是系数相加、指数不变 5 忽略指数 1 a·a3=a3 a4 字母 a 的指数是 1，应参与相加 6 负号处理错误 (-2a)2=-4a2 4a2 偶次幂为正；(-2a)3 才是 -8a3 7 单项式乘多项式漏项 2x(3x2-x+1)=6x3-2x2 6x3-2x2+2x 常数项 1 也要乘 8 多项式乘多项式漏交叉项 (x+2)(x-3)=x2-6 x2-x-6 应四项相乘后合并：-3x+2x=-x 9 平方差公式结构误判 (x+y)(x-2y)=x2-2y2 x2-xy-2y2 两因式没有完全相同项，不能直接套公式 10 完全平方公式丢中间项 (a-b)2=a2-b2 a2-2ab+b2 忘记 ±2ab，与平方差公式混淆 11 中间项系数算错 (2a+3b)2=4a2+6ab+9b2 4a2+12ab+9b2 2ab 中的 a、b 要整体代入：2×(2a)×(3b) 12 添括号变号错误 a-b+c=a-(b+c) a-(b-c) 括号前为负号，括入的项要全部变号 【题型一】幂的运算直接计算 【例1】．（25-26八年级上·广东江门·期末）计算______． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，应用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例2】．（25-26八年级上·江西赣州·期末）计算：_______． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加可得结果． 【详解】解： ． 故答案为 ：． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方运算 【分析】（1）根据幂的乘方的法则进行计算； （2）根据幂的乘方的法则进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加分别对（1）、（2）、（3）小题进行计算即可得答案. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】利用积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型二】幂的运算逆用 【例3】．（25-26八年级上·四川自贡·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的运算法则，包括幂的乘方与同底数幂的乘法，同底数幂乘方的逆运算，将已知条件转化为以2为底的指数形式，利用指数运算法则求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵，且， ∴ ， ∴． ∴， 故选A． 【例4】．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）若，则的值为___________． 【答案】50 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的逆运算以及乘方的逆运算，解决本题的关键是将变形． 利用幂的乘方将转化为，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：50． 【例5】．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）（1）已知，，求 （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的运算性质，掌握同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用和同底数幂的乘法是解决此题的关键． （1）根据同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可； （2）先将式子化为同底数幂相乘，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ （2）∵ ∴ ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）计算：___________． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查积的乘方逆运算，将 转化为 ，再根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·四川南充·期中）计算： (1)； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)300 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题考查整式的混合运算，同底数乘法逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）先算积的乘方，然后合并同类项即可； （2）根据逆用同底数幂乘法得到，根据逆用幂的乘方得到，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【变式3】．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方运算逆应用，解方程，含有乘方的有理数混合运算，同底数幂相乘，熟练掌握公式，运算法则是解题的关键．（1）逆用积的乘方运算法则解答即可． （2）逆用积的乘方运算法则，解方程，解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【题型三】整式乘法计算 【例6】．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【详解】解： . 【例7】．（25-26八年级上·重庆合川·期末）计算：_____． 【答案】/ 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【例8】．（25-26八年级上·甘肃陇南·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘单项式、单项式乘多项式的应用、幂的乘方运算、零指数幂 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式、同底数幂的乘法、合并同类项，幂的乘方和单项式乘以单项式，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式和零指数幂，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘单项式 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】计算多项式乘多项式 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型四】整式除法计算 【例9】．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂的指数相减，保留独有因式，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 【例10】．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）为非零数，计算的结果为____． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【详解】解：． 【例11】．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，求的值． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法，利用底数不变指数相加或相减是解题关键． 先将底数都化为，根据“底数相同，指数也相同”得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 【例12】．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算 ． 【答案】13m 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的混合运算，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方，单项式除以单项式，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，需利用多项式除以单项式的法则，分别计算被除式与商中被污染的项． 【详解】解：∵被除式第一项为，除式为， ∴商的第一项为， 设被除式中被污染的项为， ∵商的中间项为，且， ∴， ∴ ， 综上，被污染的内容为和，对应选项D； 故选：D 【变式2】．（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）已知，，那么的值为_____． 【答案】4 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法逆运算，准确计算是解题的关键． 利用同底数幂的除法法则，将所求式子转化为已知幂的除法形式，再代入已知值计算即可． 【详解】，， ； 故答案是． 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、计算单项式除以单项式 【分析】（1）利用单项式除以单项式运算法则计算即可； （2）利用单项式除以单项式运算法则计算即可； （3）先利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式除以单项式运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【变式4】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】计算单项式除以单项式、多项式除以单项式 【分析】多项式除以单项式，用多项式的每一项分别除以单项式，再将所得结果相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型五】运用平方差公式进行运算 【例13】．（25-26八年级上·黑龙江黑河·阶段检测）等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用．通过连续应用平方差公式简化表达式． 【详解】解： 故选：D． 【例14】．（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）化简的结果是_____ ． 【答案】9 【知识点】整式的加减运算、运用平方差公式进行运算 【分析】先利用平方差公式计算多项式乘法，再去括号合并同类项即可得到化简结果. 【详解】解：原式 【例15】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】（1）将所求式子变形为，结合平方差公式计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合平方差公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．（24-25八年级上·山西临汾·期中）霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔn mǎo）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为，宽为的长方形，中间凿掉一个边长为的正方形，且该零件的高为．求这个零部件体积．      【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式混合运算和平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据零部件体积（长方形的面积和小正方形的面积）零件的高，列式，然后运用整式混合运算法则和平方差公式即可解答． 【详解】由题意得，这个零部件的体积是 ． 答：这个零件体积为． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】平方差公式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】．（25-26八年级上·广东云浮·期末）【发现】如图，我们在2025年7月的日历中任意标出一个十字星，计算得到它的“十字差”（将十字星左右两数的乘积减去上下两数的乘积，所得的差被称为该十字星的“十字差”）是一个常数． (1)【验证】若十字星中间的数字是，则它的“十字差”为________；若十字星中间的数字是，则它的“十字差”为________． (2)【探究】设十字星中间的数字为，请你验证【发现】中的结论． 【答案】(1)； (2) 结论正确， 验证：根据日历的规律，若十字星中间的数字为，则左右两侧的数字分别为，，上下两侧的数字分别为，， ∴它的“十字差”为， ∴【发现】中的结论正确． 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了日历中的数字规律，掌握运算法则是解题的关键； （1）根据日历的规律计算即可； （2）根据日历的规律用代数式表示各数，对十字差进行化简即可． 【详解】（1）解：若十字星中间的数字是， 则十字差为：； 若十字星中间的数字是， 则十字差为：； 故答案为：；； 【题型六】完全平方公式 【例16】．（26-27八年级上·全国·课后作业）填空： （1）__________；     （2）__________； （3）______；     （4）____． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式. 【详解】【小题1】解：, 故①填9，②填3. 【小题2】解： 故③填，④填5. 【小题3】解：, 故⑤填. 【小题4】解：, , 故⑥填使等式成立. 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）直接套用完全平方公式展开化简； （2）先利用乘方的符号性质变形，再套用完全平方公式展开化简． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】将通过完全平方公式变形为，代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴将，代入得：． 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型七】整式混合运算与化简求值 【例17】．（25-26八年级上·陕西延安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，－7 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】此题考查整式的混合运算和化简求值，注意利用整式的乘法计算方法计算．直接利用整式的乘法计算，进一步合并同类项，再代入求得数值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 【例18】．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）化简求值：，其中，． 【答案】，． 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，合并同类项，先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式运算法则分别计算，然后合并同类项进行化简，最后把，代入计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【例19】．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】（1），；（2），； 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、整式四则混合运算 【分析】本题考查整式的化简求值： （1）先根据乘法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； （2）先根据乘除法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； 【详解】解：（1）原式 ， 当时， 原式 ； （2）原式 ， 当，时， ∴原式， ． 【变式1】．完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中，． (2)先化简，再求值：，其中，，． 【答案】(1)， (2)，1 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、整式四则混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值． （1）利用多项式乘多项式计算括号内的乘法，然后去括号，再算括号外面的除法，最后代入求值； （2）先乘方，然后算乘法，最后代入求值． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ， 当，，时， 原式． 【变式2】．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中， 【答案】(1)， (2)， 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算、零指数幂 【分析】本题考查了乘法公式、多项式除以单项式、零指数幂与算术平方根等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算平方差公式，再计算单项式乘以多项式，然后根据绝对值和偶次幂的非负性求出的值，代入计算即可得； （2）先计算单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，再计算括号内的加减法，然后计算多项式除以单项式，最后求出的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． ∵，，， ∴， ∴， ∴原式． （2）解：原式 ． ∵，， ∴原式． 【变式3】．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】整式的加减中的化简求值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，正确化简各式是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， ∵， ∴原式． 【题型八】乘法公式与图形面积（数形结合） 【例20】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算多项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查整式运算和图形面积的割补法，掌握阴影面积＝整体面积-空白面积是解题关键． 将整体面积和空白面积分别表示出来然后相减即可求解． 【详解】解：整体面积，空白部分面积， 阴影部分面积， A．，错误； B．，正确； C．，错误； D．，错误． 故选：B． 【例21】．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是_______． 【答案】4 【知识点】平方差公式与几何图形、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，数形结合，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键．由题意得出，表示出，即可得出答案． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故答案为：4． 【例22】．（26-27八年级上·河南周口·开学考试）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式__________________． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】根据所给的图形可知，四个小图形的面积和与拼成大图形的面积相等； 分别按整体和各部分表示出大图形的面积，可使问题得解． 【详解】解：图形整体面积为， 四部分面积之和可表示为， ∴ ． 【例23】．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （1）若，，则______； 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （2）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）， ， 当，时， ． 故答案为：． （2），， ； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 【变式1】．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 【详解】解：设，则，， ∴ ∵与的差始终不变，即与的取值无关， ∴的系数必须为0， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个长方形的长为，宽比长少，则这个长方形的面积为________． 【答案】 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先求出长方形的宽为，再根据面积公式进行列式，再结合多项式乘多项式法则进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个长方形的长为，宽比长少， ∴， 则， ∴这个长方形的面积为， 故答案为： 【变式3】．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，由一个长为，宽为的长方形和两个正方形（记为和）组成的图形中，若，，则图中两个正方形的面积之和是_____． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式求出即可求解，熟练掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即两个正方形的面积之和是， 故答案为：． 【变式4】．（25-26八年级上·陕西安康·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化、相互渗透．下面借助数形结合思想进行探究． (1)如图①，两个大小相同的长方形和两个较小的正方形可以拼成一个大正方形，通过计算大正方形面积可以得到的等式为_____ (2)若，，求的值； (3)如图②，某校准备在原有长方形用地上进行装修和扩建．已知长方形的周长为，以，为边，分别向外扩建出正方形和正方形两块空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园．若两个功能性花园的面积之和为，求原有长方形用地的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)原有长方形用地的面积为． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景及变形应用，核心是利用数形结合思想，将图形面积的两种表示方法转化为代数恒等式，再通过公式变形解决代数计算与实际问题． （1）通过大正方形面积的两种计算方式，推导完全平方和的恒等式； （2）利用完全平方公式的变形，代入已知数值直接计算； （3）设长方形的长和宽为未知数，根据周长得到长与宽的和，结合正方形面积和得到长与宽的平方和，再用完全平方公式的变形求出长方形的面积． 【详解】（1）解：大正方形的边长为，面积为． 大正方形也可看作由边长为、的两个小正方形和两个长为、宽为的长方形组成，面积为． ∴． 故答案为：； （2）解：∵， 又∵，， ∴； （3）解：设长方形的长为，宽为， ∵长方形的周长为， ∴，； ∵两个正方形花园的面积之和为， ∴； 由完全平方公式，变形得， 将，代入得： ． 答：原有长方形用地的面积为． 【变式5】．（25-26八年级上·吉林白山·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）用2种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由图可知：． （2）∵，， ∴． （3）由题意，得： ． （4）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【题型九】完全平方公式的变形式求值 【例24】．（25-26八年级上·山东烟台·期末）已知，，那么（    ） A．19 B．25 C．31 D．73 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式的变形，通过整体代入法求解的值，无需单独求出、的具体值． 【详解】解：∵完全平方公式为． ∴移项可得． ∵，． ∴代入得． 故选：B 【例25】．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知实数a、b满足，，则______． 【答案】27 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】完全平方公式． 【详解】解：∵， ∴． 【例26】．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）已知，，，求和的值； 【答案】17；3 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】由完全平方公式进行变形即可求解； 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴或3， ∵，∴， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 【答案】D 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值．可通过换元法结合完全平方公式的变形求解，核心是利用完全平方公式中与、的关系推导计算． 【详解】解：设，， ∵， 又∵，且由完全平方公式得， ∴将，代入得：， 即， 解得， ∴， 即， 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知都是实数，，则的最小值是___________． 【答案】 2023 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了二元二次代数式的最值求解，解题的关键是通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，利用完全平方式的非负性求解． 先对含的项进行配方，再对含的项进行配方，得到两个非负完全平方式与常数的和，当两个完全平方式同时为0时，代数式取得最小值． 【详解】解： 根据完全平方式的非负性，，，当且仅当两个完全平方式都为0时，取得最小值． 由得，将代入，解得． 此时的最小值为． 【变式3】．（25-26八年级上·河南许昌·期末）对于任意实数，我们规定：，．例如：，． (1)填空：①________；②若，则________；③若，则________0．（填“>”，“<”或“=”） (2)若，且，求与的值． 【答案】(1)①13②4③= (2)； 【知识点】新定义下的实数运算、运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义，结合完全平方公式求解即可． 【详解】（1）①解：； ②解：，，解得； ③解：，，，，则． （2）解： ， 即， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ． （一）知识结构回顾 本章以“幂的运算”为工具，以“整式的乘法”为主体，以“乘法公式”为简便运算技巧，层层递进：幂的运算（三条性质）→ 整式的乘法（三类法则，化归为幂的运算）→ 乘法公式（平方差、完全平方）；整式的除法（同底数幂除法、零指数幂、单项式÷单项式、多项式÷单项式）与乘法互为逆运算。 （二）思想方法 1. 转化（化归）思想：多项式×多项式转化为单项式×多项式，再转化为单项式×单项式，最终落实到幂的运算； 2. 数形结合思想：用图形面积解释平方差公式与完全平方公式； 3. 整体思想：把多项式看作一个整体（配合添括号法则）套用乘法公式； 4. 逆向思维：逆用幂的运算性质求值、比较大小；逆用乘法公式是第十七章因式分解的基础。 （三）运算顺序提醒 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内；同级运算从左到右进行。 （四）考前自查清单 1. 三条幂的运算性质是否区分清楚（相乘、乘方、积的乘方时指数分别怎么变）？ 2. 平方差公式与完全平方公式的结构特征能否快速识别？ 3. 符号与系数是否处理正确（偶次幂为正、2ab 是否漏写、系数是否漏乘方）？ 4. 多项式乘法是否做到不重不漏，结果是否合并了同类项？ 5. 混合运算是否严格按顺序进行？ 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北保定·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，关键是熟练应用法则计算；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可得出结果. 【详解】解：∵ ， ∴ . 故选：A． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，逆用同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选：C． 3．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用积的乘方的逆运算简化计算，将不同指数的幂拆出同指数部分后合并计算即可得到结果． 【详解】解：原式＝． 4．（26-27八年级上·河南周口·期中）若，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用同底数幂的除法法则，将变形为，代入已知值计算． 【详解】解：∵，，， ∴． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． 6．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）若的展开结果中不含项和x项，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】展开多项式，将展开式不含项和项的条件转化为对应项系数为0，即可求解． 【详解】解： ， 展开结果中不含项和x项， ，， 解得：，即， ． 7．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，下面两幅图中，其中能够验证平方差公式的是（     ） A．甲乙均可以 B．甲乙均不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 【答案】C 【分析】利用面积法，分别计算图形剪拼前后的面积表达式，判断其对应的乘法公式． 【详解】 解：甲图中，左图阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即， 右图平行四边形底为，高为，面积为， ， 故甲可以验证平方差公式． 乙图中，大正方形边长为，面积为 ， 内部由边长为的正方形和四个长宽为、的长方形组成，面积和为， ， 故乙验证的是完全平方公式． 综上所述，甲可以，乙不可以． 8．现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义的运算得到整式的混合运算，根据单项式乘以多项式，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把它们的积相加；然后合并同类项，求解即可． 【详解】解：根据新定义运算可得 ， A选项符合题意． 二、填空题 9．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 【答案】 【分析】观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 拼成的大长方形的面积为， 大长方形的宽为4， 大长方形的长为． 10．（25-26八年级上·山东德州·期末）若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键，展开多项式，合并同类项，得到项的系数表达式，令其等于，解方程求． 【详解】解：展开 ． ∵项的系数为 ， ∴， 解得． 故答案为 3． 11．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）已知，则代数式___________． 【答案】2 【分析】先化简所求代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：先展开并化简所求代数式： ∵， ∴， 代入得，原式． 12．（25-26八年级上·四川内江·期末）计算：_______； 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方的混合运算，解题的关键是掌握简便算法． 通过观察指数和底数的关系，利用幂的运算法则简化计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·河南信阳·期末）___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，同底数幂乘法逆用，将合并为， 将变为，然后逆用积的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于_______张． 【答案】23 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，得出长方形面积为，再用多项式乘多项式运算法则进行计算，得出长方形面积为，即可得出答案． 【详解】解：∵需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形， ∴长方形的面积为： ， ∴所准备的C种卡片的张数不能少于23张． 故答案为：23． 三、解答题 15．（26-27八年级上·全国·课后作业）化简：． 【答案】 【分析】先将原式各项按单项式乘多项式法则展开，再合并同类项得到化简结果． 【详解】解： ． 16．（26-27八年级上·河南周口·）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】先根据整式的运算法则进行化简，再代入求解即可得出答案． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式 ． 17．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，街心花园有一块边长为的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加，东西向减少．改造后得到一块长方形草坪．求这块长方形草坪的面积． 【答案】 【分析】根据题意可得这块长方形草坪的长为，宽为，再根据长方形的面积公式解答即可． 【详解】解：， 即这块长方形草坪的面积为． 19．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2，阴影部分是一个小正方形）． (1)用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积，完成下面的填空（列式即可）：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得________；由正方形的面积公式可得________； (2)写出三个代数式，，之间的等量关系式________． (3)已知，，请利用发现的结论，求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）根据分割法和正方形的面积公式作答即可； （2）根据等积法即可得出结果； （3）利用（2）中结论，利用整体代入法进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由上面的结论可知， ，， 原式． 20．（25-26八年级上·河南开封·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （）先将化成，再应用所得的公式即可计算得到结果． 【详解】（1）解：图面积为，图面积为， ∵阴影面积相等， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 21．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：． 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：______(只填序号)． 任务2 如图，若将个直角边长分别为，，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，请你用两种不同的方法表示五边形的面积． 方法1：______；方法2：______；你可以得到一个关于，，的等式是：______． 任务3 如图，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为，．若，求的值． 【答案】任务1，；任务，，，；任务， 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理的验证是解题的关键， 任务，根据梯形及正方形的面积公式求解判定即可得解； 任务，如图，延长交于点，由题意可得四边形，四边形，四边形都是正方形，根据正方形的面积公式及三角形的面积公式即可得解； 任务，如图，连接，由得，进而得 【详解】解：任务，图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，不可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 故答案为：； 任务，如图，延长交于点，由题意可得四边形，四边形，四边形都是正方形， 方法： ， 方法： ， ∴， ∴， ∴可以得到一个关于，，的等式是； 故答案为：，，； 任务，如图，连接， ∵ ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $