1.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系核心知识点，先系统梳理二次项系数为1和不为1时根与系数的关系公式，再构建其在判断根、求代数式值等六类问题中的应用框架，形成从基础概念到实际应用的学习支架。 该资料亮点在于创新题型设计与分层练习结合，以“三倍根方程”典例引导学生抽象数量关系培养数学眼光，通过变式题推理运算发展数学思维，过关验收题强化模型意识提升数学语言表达，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺巩固知识。

1.3 一元二次方程的根与系数的关系 内 容 导 航 题型1 根与系数的关系 考 点 演 练 题型1 根与系数的关系 解｜题｜知｜识 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【典例1】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）下列方程是三倍根方程的是 　 　 ； ①x2﹣3x+2＝0 ②x2﹣3x＝0 ③x2﹣8x+12＝0 （2）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）③；（2）． 【解答】解：（1）对于①x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不是三倍根方程； 对于②x2﹣3x＝0，解得 x1＝0，x2＝3，不是三倍根方程； 对于③x2﹣8x+12＝0，解得 x1＝6，x2＝2，是三倍根方程； 故答案为：③； （1）设方程两个根为 a，3a， 利用根与系数关系得：m+n＝4a，mn＝3a2， 所以 ． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣2m＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：x2+（m﹣4）x﹣2m＝0， ∴a＝1，b＝m﹣4，c＝﹣2m， ∵Δ＝b2﹣4ac ＝（m﹣4）2﹣4×（﹣2m） ＝m2+16＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根． （2）∵该方程的两根互为相反数， ∴x1+x2＝﹣（m﹣4）＝0， ∴m＝4． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\ ＝k2+4k+4﹣8k+4 ＝k2﹣4k+4+4 ＝（k﹣2）2+4， ∵（k﹣2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根为3， ∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， ∴k＝2， ∴方程为x2﹣4x+3＝0， ∴x1＝3，x1＝1， ∴另一个根为1，k＝2． 【变式3】已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根； （2）设该方程的两个根分别是x1、x2，若x1+x2+x1x2＝8．求m的值． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）﹣2． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m﹣2）2﹣4×（﹣2m）＝m2﹣4m+4+8m＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0， ∴方程总有实数根； （2）解：依题意有x1+x2＝﹣（m﹣2），x1x2＝﹣2m， ∵x1+x2+x1x2＝8， ∴﹣（m﹣2）﹣2m＝8， 解得m＝﹣2． 故m的值为﹣2． 过 关 验 收 1．如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故②正确； ③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴x1，x2＝﹣q， ∴x2＝﹣q2x1， 因此是倍根方程， 故③正确； 故选：D． 2．若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 【答案】A 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣2b）＝b2+8b≥0， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2 ∵， ∴b2+4b＝12， 解得b， 当b＝2时，Δ＝b2+8b＝22+8×2＝20＞0，满足题意， 当b＝﹣6时，Δ＝b2+8b＝（﹣6）2+8×（﹣6）＝﹣12＜0，不满足题意， ∴b＝2， 故选：A． 3．关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【答案】C 【解答】解：整理关于x的方程x2+kx＝2为：x2+kx﹣2＝0， ∵Δ＝k2﹣4×（﹣2）＝k2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵两根之积为﹣2， ∴方程有一个正根，一个负根． 故选：C． 4．问题“解方程x2﹣3x+3＝0”，嘉嘉说“其中一个解是x＝1”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为3”，珍珍说“b2﹣4ac＜0，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 【答案】C 【解答】解：方程x2﹣3x+3＝0中，a＝1，b＝﹣3，c＝3， ∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0， 此时方程无实数根，珍珍说得对． 故选：C． 5．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根和为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：设方程x2+2x﹣1＝0的两根为x1，x2， 根据题意得x1+x2＝﹣2． 故选：B． 6．若x1，x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝﹣3 B．x1+x2＝﹣5 C．x1•x2＝﹣5 D．x1•x2＝﹣3 【答案】C 【解答】解：∵x1，x2是方程的两个根， ∴，， 故选：C． 7．若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2022 B．﹣2023 C．2023 D．2027 【答案】C 【解答】解：∵α是方程x2+2x﹣2025＝0的实数根， ∴α2+2α﹣2025＝0， ∴α2+2α＝2025， ∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝2025+α+β， ∵α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣2， ∴α2+3α+β＝2025﹣2＝2023． 故选：C． 8．已知m，n是一元二次方程2x2﹣x﹣7＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（　　） A．7 B．4 C．﹣2 D．﹣7 【答案】B 【解答】解：根据题意得m+n，mn， 所以m+n﹣mn（）4． 故选：B． 9．如果一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根是互为相反数，那么有（　　） A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．以上结论都不对 【答案】B 【解答】解：设该一元二次方程的两个根分别是x1、x2，则根据题意知 x1+x2＝﹣（m+1）＝0，即m+1＝0， 解得，m＝﹣1； 故选：B． 10．设方程x2+x﹣5＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（　　） A．﹣4 B．﹣6 C．4 D．6 【答案】C 【解答】解：由题意得：α+β＝﹣1，αβ＝﹣5， ∴α+β﹣αβ＝﹣1﹣（﹣5）＝4， 故选：C． 11．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【答案】A 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn， 所以4． 故选：A． 12．设a，b是方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2019 B．2018 C．2015 D．2016 【答案】D 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2017＝0的实数根， ∴a2+a﹣2017＝0， ∴a2+a＝2017， ∵a，b是方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2017+（﹣1）＝2016． 故选：D． 13．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．﹣2 【答案】D 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1． ∴2 故选：D． 14．一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是　 　 ． 【答案】﹣2 【解答】解：∵方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x22． 故答案为：﹣2． 15．设x1，x2是方程x2﹣6x+7＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝ 　 　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝7， 所以x1+x2﹣x1x2＝6﹣7＝﹣1． 故答案为：﹣1． 16．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根，且x1＝x2（2x1﹣1），则k的值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：因为x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根， 所以x1+x2＝3k，x1x2＝﹣k﹣1． 又因为x1＝x2（2x1﹣1）， 则x1+x2＝2x1x2， 所以3k＝2（﹣k﹣1）， 解得k． 故答案为：． 17．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2022＝　 　 ． 【答案】2033． 【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3， 所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3， 又n2＝n+3， 则2n2﹣mn+2m+2022 ＝2（n+3）﹣mn+2m+2022 ＝2n+6﹣mn+2m+2022 ＝2（m+n）﹣mn+2028 ＝2×1﹣（﹣3）+2028 ＝2+3+2028 ＝2033． 故答案为：2033． 18．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个不相等实数根，则代数式3a2+2b2+2b﹣7ab的值是　 　 ． 【答案】36． 【解答】解：由题知， 因为a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个不相等实数根， 所以a2﹣2a＝2，b2﹣2b＝2，a+b＝2，ab＝﹣2， 所以a2＝2a+2，b2＝2b+2， 则原式＝3（2a+2）+2（2b+2）+2b﹣7ab ＝6a+6+4b+4+2b﹣7ab ＝6（a+b）﹣7ab+10 ＝6×2﹣7×（﹣2）+10 ＝36． 故答案为：36． 19．已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则另一个根为 　 　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0， ∴a＝1，b＝﹣3， ∴， ∵x1＝1， ∴x2＝3﹣x1＝3﹣1＝2， 即方程的另一个根为2． 故答案为：2． 20．设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+3x2＝5，则m的值为 　 　 ． 【答案】2 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝m． ∵x1+x2+2x2＝5， ∴3+2x2＝5， ∴x2＝1， ∴x1＝2， ∵x1x2＝m． ∴m＝2． 故答案为：2． 21．若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+mn﹣3m+n的值为 　 　 ． 【答案】4 【解答】解：由题知， 因为m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根， 所以m+n＝4，mn＝﹣3，且m2﹣4m﹣3＝0， 则m2﹣4m＝3， 所以m2+mn﹣3m+n＝m2﹣4m+mn+m+n＝3+（﹣3）+4＝4． 故答案为：4． 22．若一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，在平行四边形ABCD中，已知AB＝m，BC＝n，则对角线AC长的最大整数值为 　 　 ． 【答案】10． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根之和与两根之积分别为m，n， ∴，， ∴AB＝m＝5，BC＝n＝6， ∵AC为平行四边形ABCD的对角线， ∴6﹣5＜AC＜6+5， 即 1＜AC＜11． ∴AC长的最大整数值为10． 故答案为：10． 23．设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两个根，则x1+x2＝　 　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：由条件可知， 故答案为：﹣1． 24．已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则b＝　　 ，另一个根是　 　 ． 【答案】﹣2，3． 【解答】解：由题知， 因为﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根， 所以（﹣1）2﹣b﹣3＝0， 解得b＝﹣2． 因为方程x2+bx﹣3＝0的两根之积为﹣3，且一个根为﹣1， 所以方程的另一个根为3． 故答案为：﹣2，3． 25．方程x2﹣4x＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝　 　 ． 【答案】4 【解答】解：∵方程x2﹣4x＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣（﹣4）＝4． 故答案为：4． 26．若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 　 　 ． 【答案】11 【解答】解：由题意得：n2﹣n﹣3＝0， ∵m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣3， ∴n2＝n+3， ∴2n2﹣mn+2m＝2n+6﹣mn+2m＝2（m+n）﹣mn+6＝2﹣（﹣3）+6＝11， 故答案为：11． 27．若x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2的值为 　 　 ． 【答案】﹣5． 【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣5． 故答案为：﹣5． 28．已知一元二次方程x2+kx﹣6＝0有一个根是2，则另一个根是 　 　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得2t＝﹣6， 解得t＝﹣3， 即方程的另一个根为﹣3． 故答案为：﹣3． 29．已知x1，x2是方程x2﹣3x+2＝0的实数根，则x1+x2﹣x1x2＝　 　 ． 【答案】1 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝2， ∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 30．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2＝　 　 ． 【答案】﹣5． 【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣2， ∴x1x2﹣x1﹣x2 ＝x1x2﹣（x1+x2） ＝﹣2﹣3 ＝﹣5． 故答案为：﹣5． 31．写一个一元二次方程，使它的二次项系数为1，且两个根分别为2、﹣1．所写的一元二次方程为 　 ． 【答案】x2﹣x﹣2＝0 【解答】解：设一元二次方程为：x2+px+q＝0， ∴2+（﹣1）＝﹣p，2×（﹣1）＝q， ∴p＝﹣1，q＝﹣2， ∴所写的一元二次方程为：x2﹣x﹣2＝0． 故答案为：x2﹣x﹣2＝0． 32．已知关于x的方程x2+4x+a＝0． （1）若这个方程有实数根，求a的取值范围； （2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根． 【答案】（1）a≤4； （2）a＝﹣12，另外一个根为﹣6． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝42﹣4a≥0， ∴a≤4； （2）设原方程的另外一个根为b，由根与系数的关系可得b+2＝﹣4，2b＝a， ∴b＝﹣6，a＝﹣12， ∴另外一个根为﹣6． 33．已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0， ∴Δ＝（2﹣m）2﹣4（1﹣m） ＝m2﹣4m+4﹣4+4m＝m2． ∵m2≥0， ∴Δ≥0． ∴该方程总有两个实数根． （2）解：∵一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0， 解方程，得x1＝﹣1，x2＝m﹣1． ∵m＜0， ∴﹣1＞m﹣1． ∵该方程的两个实数根的差为3， ∴﹣1﹣（m﹣1）＝3． ∴m＝﹣3． 34．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若x1，x2满足x1x2+x1+x2＝4．求m的值． 【答案】（1）m； （2）m的值是﹣1． 【解答】解：（1）由题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0， ∴m． 故实数m的取值范围为m； （2）依题意有x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2， ∵x1x2+x1+x2＝4， ∴m2﹣（2m﹣1）＝4， 解得m1＝﹣1，m2＝3（舍去）． 故m的值是﹣1． 35．若关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根． （1）求a的取值范围； （2）若两个实数根分别为x1，x2，且17，求a的值． 【答案】（1）a； （2）﹣2． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根， ∴Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2≥0， 解得a． 故a的取值范围为a； （2）∵x1，x2是方程的两个实数根， ∴x1+x2＝2a﹣1，x1x2＝a2， ∵17， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝17， ∴（2a﹣1）2﹣2a2＝17， 解得a1＝﹣2，a2＝4（舍去）． 故a的值为﹣2． 36．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2m ＝（m﹣2）2≥0， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得1+t＝m+2①，1×t＝2m②， ②﹣①得﹣1＝m﹣2， 解得m＝1， 把m＝1代入②得t＝2， 所以m的值为1，方程的另一个根为2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 内 容 导 航 题型1 根与系数的关系 考 点 演 练 题型1 根与系数的关系 解｜题｜知｜识 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【典例1】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）下列方程是三倍根方程的是 　 　 ； ①x2﹣3x+2＝0 ②x2﹣3x＝0 ③x2﹣8x+12＝0 （2）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣2m＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【变式3】已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根； （2）设该方程的两个根分别是x1、x2，若x1+x2+x1x2＝8．求m的值． 过 关 验 收 1．如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 2．若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 3．关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 4．问题“解方程x2﹣3x+3＝0”，嘉嘉说“其中一个解是x＝1”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为3”，珍珍说“b2﹣4ac＜0，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 5．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根和为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 6．若x1，x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝﹣3 B．x1+x2＝﹣5 C．x1•x2＝﹣5 D．x1•x2＝﹣3 7．若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2022 B．﹣2023 C．2023 D．2027 8．已知m，n是一元二次方程2x2﹣x﹣7＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（　　） A．7 B．4 C．﹣2 D．﹣7 9．如果一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0的两个根是互为相反数，那么有（　　） A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．以上结论都不对 10．设方程x2+x﹣5＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（　　） A．﹣4 B．﹣6 C．4 D．6 11．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 12．设a，b是方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2019 B．2018 C．2015 D．2016 13．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．﹣2 14．一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是　 　 ． 15．设x1，x2是方程x2﹣6x+7＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝ 　 　 ． 16．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根，且x1＝x2（2x1﹣1），则k的值为　 　 ． 17．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2022＝　 　 ． 18．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个不相等实数根，则代数式3a2+2b2+2b﹣7ab的值是　 　 ． 19．已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则另一个根为 　 　 ． 20．设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+3x2＝5，则m的值为 　 　 ． 21．若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+mn﹣3m+n的值为 　 　 ． 22．若一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，在平行四边形ABCD中，已知AB＝m，BC＝n，则对角线AC长的最大整数值为 　 　 ． 23．设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两个根，则x1+x2＝　 　 ． 24．已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则b＝　 　 ，另一个根是　 　 ． 25．方程x2﹣4x＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝　 　 ． 26．若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 　 　 ． 27．若x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2的值为 　 　 ． 28．已知一元二次方程x2+kx﹣6＝0有一个根是2，则另一个根是 　 　 ． 29．已知x1，x2是方程x2﹣3x+2＝0的实数根，则x1+x2﹣x1x2＝　 　 ． 30．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2＝　 　 ． 31．写一个一元二次方程，使它的二次项系数为1，且两个根分别为2、﹣1．所写的一元二次方程为 　 　 ． 32．已知关于x的方程x2+4x+a＝0． （1）若这个方程有实数根，求a的取值范围； （2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根． 33．已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m＜0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值． 34．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若x1，x2满足x1x2+x1+x2＝4．求m的值． 35．若关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根． （1）求a的取值范围； （2）若两个实数根分别为x1，x2，且17，求a的值． 36．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 学科网（北京）股份有限公司 $