精品解析：河北衡水市第十三中学2025-2026学年高一年级下学期质检三考试数学试题

衡水市第十三中学高一年级质检三考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案填在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册；人教A版必修第二册第六章至第八章8.6.2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，则可以取，由， 得，解得，所以. 2. 已知，是虚数单位，若复数是纯虚数，则（ ） A. -1 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】若复数是纯虚数，则，解得. 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若， 则， 又，，所以， 故“”是“”的充要条件. 4. 当时，函数单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的情况，分类讨论，即可求解. 【详解】当时，，显然符合； 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合； 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减， 此时需满足，即. 综上，实数的取值范围是. 5. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由二倍角公式可得，解得或， 因为为锐角，故， 所以. 6. 已知球内部有一个正四棱锥，且顶点都位于球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用正四棱锥几何对称性确定外接球球心位置，借助勾股定理建立方程求解外接球半径，再代入球的表面积公式完成计算. 【详解】如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结， 则平面，因为，，所以， 则，， 根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，连接， 则球的半径，则，则在内， 由可得，解得， 故正四棱锥外接球的表面积为. 7. 已知函数，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到， 再将图象向左平移个单位长度，得到函数， 要使且， 则或， 所以， 所以，，则. 8. 如图，在中，，，与交于点.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为基底表示，利用共线向量基本定理即可求解. 【详解】因为在上，所以与共线，设又， 所以，，又因为， 所以，又因为，，三点共线，所以存在，使得， 而， 所以，解得， 所以， 即，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 的共轭复数 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，，虚部为，故A正确； 对于B，在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限，故B错误； 对于C，的共轭复数，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则式子有最小值 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式运算，逐个选项判断即可. 【详解】对于A，由，，则， 则，即， 则，故A错误； 对于B，由， 因为，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，当时，， 根据基本不等式，和，有， 所以，当且仅当即时取等号， 所以有最大值，故C错误； 对于D，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，故D正确. 11. 在中，内角，，的对边分别是，，，点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若为边长为4的等边三角形，则的最小值为-6 C. 若点为的垂心，且，则 D. 若，则点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据正余弦定理判断即可；对于B，建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标表示，进而求最值即可；对于C，根据向量数量积运算律，结合已知条件及向量夹角的计算公式求解即可；对于D，根据向量的数量积，结合垂直关系的向量表示判断即可. 【详解】对于A，由正弦定理和，得， 由余弦定理，可得， 因为，所以，则为钝角三角形，A正确； 对于B，如图1，构建以中点为原点的直角坐标系，则， 设，所以，， 由，则， 当，时，的最小值为，B正确； 对于C，如图2，因为为垂心，故，故，即， 所以，同理可得， 因为，所以， 所以，同理，故， 所以， C错误； 对于D，如图3所示，设中点为，则， 所以， 则， 所以，即，所以， 故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为________.（答案用坐标表示） 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，所以， 且，向量在向量上的投影向量如下， 为. 13. 已知函数的值域为，则实数的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为，结合二次函数的性质确定参数的值并验证可得. 【详解】因的值域为， 即，所以的最大值为，所以. 根据二次函数的性质，当时取最大值， 代入可得，解得. 此时， 由解得，故函数的定义域为. ， 令，则内层函数在上单调递增，在上单调递减. 外层函数在定义域上为增函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，符合题意. 所以的值为. 14. 如图，在四棱锥中，底面，且，，，若在内有一动点，，在线段上有一动点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由确定的轨迹是内以为圆心、半径为 1 的一段圆弧；固定时，由余弦定理，随减小而变小，故求最小值等价于寻找上点与平面所成最小线面角；利用等体积法求出点到平面的距离，得到线面角的正弦值，再由直接算出最小值. 【详解】点的轨迹事实上就是内以点为圆心，1为半径的一段圆弧， 如图所示，由于距离为定值1，则当点固定时， 由余弦定理可知，的距离只取决于，越小，距离越小， 过作平面的垂线，垂足为，则， 由题意可得，，所以； 在中，，， 所以， 由，作，垂足为， 则，所以点与点重合，此时连接交圆弧于点， 此时为与平面的线面角，并取到最小， 此时，过点作线段的垂线，垂足为点， 取到最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在边长为4的正方体中，于点，于点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以 又因为，，平面，平面. 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）通过平行将转换为，进而通过线面垂直定理证明. （2）通过等体积法求出点到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为正方体的边长为4， 所以， 所以， 因为有， 所以是等边三角形， 所以. 设点到平面的距离为， 所以， 解得. 16. 已知向量，，非零向量. （1）若，，向量与的夹角是钝角，求的取值范围； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过向量的运算表示出向量后，利用两向量夹角为钝角时数量积小于零且不共线的条件求取值范围. （2）通过向量平行时的性质求出与间的数量关系，并通过函数性质求解最小值. 【小问1详解】 由，， 则， 因为向量与夹角为钝角，所以，且与不共线， 则 解得且， 所以的取值范围为 【小问2详解】 依题意，， 由，得，则 由为非零向量，得，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为 17. 在中，设内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若点在上，，，求的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将边化为角，结合三角形内角和定理化简式子和，化简得到的值，进而求出. （2）根据角平分线性质和三角形面积公式得到与、的关系，由余弦定理和基本不等式求出的最大值，从而得到的最大值. 【小问1详解】 由利用正弦定理可得 又，可得， 即 又因为，故， 因此，即， 又，则. 【小问2详解】 由题意知是的角平分线，， 所以，所以 所以， 所以，当且仅当时，等号成立 因为， 所以，即，当且仅当时，等号成立 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1. 18. 如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，，，、分别为、的中点. （1）求的值； （2）证明：平面； （3）求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）设的中点为，连接，， 因为为的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为为梯形的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面，所以平面平面. 因为平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据棱台、棱锥的体积公式求解即可. （2）根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理及面面平行的性质证明即可. （3）根据异面直线的定义，结合余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由题意得，，高， 则由棱台的体积公式得：， ， 所以， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取的中点，的中点，连接、、、、， 因为，，，是中点， 所以四边形是平行四边形，所以. 又因为是中点，是中点，所以，所以， 则即为异面直线与的夹角. 又因为底面，与都是等腰直角三角形，，， 所以，，， 所以，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点.已知，为的费马点. （1）若点也是的外接圆心，，求的值； （2）若是锐角三角形，，，，有，求的值； （3）若，，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用在同一个圆内，同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数的两倍，可得是等边三角形，然后利用向量性质即可求解； （2）以为坐标原点，以为轴正方向建立平面直角坐标系，得到各点坐标，即可根据求得结果； （3）设，，由得，利用正弦定理表示出，利用角的范围，结合二倍角公式和辅助角公式即可求得结果. 【小问1详解】 若中点既是外接圆心也是其费马点， 根据在同一个圆内，同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数的两倍， 所以是等边三角形， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 以为坐标原点，以为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 由，，，， 得：，，， 所以，，， 由，可得， 则，故. 【小问3详解】 设，，则，， 由得， 解得，满足，， 在中，由正弦定理得， 可得， 同理可得， 所以 ， 因为 ， 所以当，即时，最大值为， 结合，可得的最小值为， 所以当时，有最小值， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡水市第十三中学高一年级质检三考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案填在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册；人教A版必修第二册第六章至第八章8.6.2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是虚数单位，若复数是纯虚数，则（ ） A. -1 B. 1 C. D. 0 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 当时，函数单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知球内部有一个正四棱锥，且顶点都位于球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，与交于点.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 的共轭复数 D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则式子有最小值 D. 若，，，则 11. 在中，内角，，的对边分别是，，，点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若为边长为4的等边三角形，则的最小值为-6 C. 若点为的垂心，且，则 D. 若，则点的轨迹经过的外心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为________.（答案用坐标表示） 13. 已知函数的值域为，则实数的值为________. 14. 如图，在四棱锥中，底面，且，，，若在内有一动点，，在线段上有一动点，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在边长为4的正方体中，于点，于点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 16. 已知向量，，非零向量. （1）若，，向量与的夹角是钝角，求的取值范围； （2）若，求的最小值. 17. 在中，设内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若点在上，，，求的最大值. 18. 如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，，，、分别为、的中点. （1）求的值； （2）证明：平面； （3）求异面直线与夹角的余弦值. 19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点.已知，为的费马点. （1）若点也是的外接圆心，，求的值； （2）若是锐角三角形，，，，有，求的值； （3）若，，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $