河北衡水市第十三中学2025-2026学年高一年级下学期质检三考试数学试题

衡水市第十三中学高一年级质检三考试 数学参考答案 1.C解析：由A={yly=x2一1，x∈N},则y可以取一1,0,3，·，由B={xx一1|≤2}，得-2≤x-1≤2，解 得一1≤x≤3，所以A∩B={一1,0,3}.故选C. 2.【必修第二册P69例1】A解析：若复数x=1-a2-(a-1Di是纯虚数，则-a0 解得a=一1.故选A. a-1≠0 3.【必修第二册P22练习第2题】C解析：若(a十2b)⊥(a-b),则(a十2b)·(a-b)=a2十a·b-2b=0台→ a·b=0,故“a·b=0”是“(a十2b)⊥(a一b)”的充要条件.故选C. 4.【必修第二册P100复习参考题第4题】B解析：当a=0,y=-2x-2,显然符合；当a<0时，函数图象为开 口向下的抛物线，在（一∞，）单调递增，不符合，当>0时，函数图象为开口向上的抛物线，在(-∞，)单 调递减，此时需满足日>1，即0<a≤1，综上，实数a的取值范围是0≤a<1.故选B, 5D解折：曲愿黛可得ma。=是解得ma-号或a一4合去).oa0,所以cos0一n2a oa-品导放选D 6.B解析：如图，作正四棱锥P-ABCD,连结AC,BD,交于点H,连结 PH,则PH⊥平面ABCD,因为PA=√3，AB=2,所以AH=√2，则 PH=1,AH=BH=CH=DH=AC=2>PH,根据对称性，正 四棱锥的外接球球心O在高PH的延长线上，连接OC,则球的半径 r=OP=OC,则OH=r-1,则在Rt△OHC内，由CH+OH= OC可得2十（一1）=，解得r=多，故正四棱锥外接球的表面积 为S=4=4·(受)=9x故选B 7.C解析：f(x)=√3cosx一sinx=2cos(x+否)，将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的2，得到 y=2cos(2x+否)，再将图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)=2cos(2x十)，要使≠且 g(x+晋)g(x-5)=4,则g(x+晋)=g(x-5)=2或g(x+5)=g(x-否)=-2，所以(2x+x) (2,-)=2kx,所以五-x=-ξ+k,∈Z,则1五-m=号故选C 8.B解析：因为0在AD上，所以A0与A市共线，设A0=入A市(0<入<1)，又C第=3C市，所以A市=}A$+ 号A心，A=xA市=}XA+号入A心，又因为A在=2A在，所以A花=A点，又因为E,0,C三点共线，所以存 在，使得E0=μEC(0<u<1),A0=A龙+E0=A龙+μEC=A龙+u(AC-A)=(1-)A龙+uAC= 1二4= 1A+μA衣，所以 2 3 A=3 ,解得 1,所以A0.E武=（子A市+合AC)·(Ac-号A)=A站. μ= A衣8破+衣-砧·C-号，即号衣=，所以8-2 g.故选B 【高一质检·数学答案第1页（共6页）】 D202A 9.ABD解析：对于A,=4-4二1-42》-一6,2=-3-i,虚部为一1，故A正确：对于 2025-1i-1-（-1+i)(-1-i) 2 B,之在复平面内对应的点坐标为（一3，一1），位于第四象限，故B正确；对于C,x的共轭复数之=一3十i,故C 错误；对于D,z=√(-3)+（-1)严=√I0,故D正确.故选ABD. 10.【必修第一册P57复习参考题第2题】BD解析：对于A,由b>a>0,m>0,则bm>am>0,则 a6+bm>a6+am>0,即6a十m)>a(6+m)>0,则2>牛m,故A错误；对于B,令fx)=x+子则f(x) 在[1，十∞)上单调递增，因为>b>1,所以fa)>f0,即a+>b+方，故B正确；对于C,当x<0时， x+兰=-（一x十之），根据基本不等式，对于一>0和4>0，有一x+≥2√一)·元=4，所以 x x+兰=-（一x十4≤一4，当且仅当一x=即x=-2时取等号，所以z+是有最大值一4，故C错误： x 对于D,因为6+26_a+4画)≤a)+(46)-a+4=1,当且仅当a=26,即a=46=合 2 2 时，等号成立，可得(Wa十2√b)2≤2，即√a+2Wb≤√2，故D正确.故选BD. 11.ABD解析：对于A,由正弦定理和sinB+sinC<sinA可得b2+c2<a2,再由余弦定理，可得cosA= 公+a>0,因AE(0,),则A∈（受，x,则△ABC为纯角三角形，故A正确：对于B,如图1，构建以BC 2bc 中点0为原点的直角坐标系，则A(0,23),设O(x,y),所以OA=(-x,23-y),Od=(-x,-y),由 Oi+O心=20d=(-2x,-2y),则OA·(O+0心)=2x2+2y2-4V3y=2x2+2(y-V3)2-6,当x=0, y=√3时，OA·(O范+O心)的最小值为-6，故B正确；对于C,如图2，因为O为垂心，故OA⊥BC,故 OA·BC=0,故oA·(O心-O)=0,故OA.O心=OA.O谚，同理OA·O心=Oi.O心，因为2OA+3O谚+ 40心=0，所以20i.0i+30$+40心.0i=0,所以0i.0心=-号0市，同理0i.0心=-号0心，故 Oi.0t0,所以0s∠0c=os(Oi.0d=0 oi.0心 ōBIōC 10,故C错 5 AB AC 误；对于D,如图3所示，设BC中点为D,则AB+C=2AD,所以A0-A0sBC心0C+A,所以 A0·Bt=蓝，色+A恋：BC+A办.BC=-1B心1+1B恋1+A市.就=A市，心，所以A动，BC 1ABI cosB'ACl cosC AD·BC=0,即(A方-AD)·BC=0,所以D0·BC=0,故O在BC中垂线上，故点O的轨迹经过△ABC的 外心，故D正确.故选ABD. ↑y B D 图1 图2 图3 12.(分，分)解析a=(-2,3),b=1,1D,所以a·b=(-2)×1+3×1=1,b1=1+1=2,向量a在向量b 上的投影向量为a·cosa6·名-品6宁·1,1D=(兮名.放答案为（日，》. 【高一质检·数学答案第2页（共6页）】 D202A 18. 解析：由f(x)=log2√元+log4(ax+4)=log4x十log4(ax十4)=log4(ax2+4x)的值域为(-∞，2]，则 y=ax十4x的最大值为16，则a<0,根据二次函数的性质，当x=一子时y取最大值，代入y=ax2十4红可 得16=a·(-吕)+4·(-召，解得a=子，此时f(x)的定义域为0,16)，经检验符合题意.故答案为 14.6 解析：点M的轨迹事实上就是△PBC内以点P为圆心，1为半径的一截圆弧，如图所示，由于PM距 离为定值1，则当N点固定时，由余弦定理可知，MN的距离只取决于∠MPN,∠MPN越小，MN距离越 小，过D作平面PBC的垂线，垂足为E,则VPcD=VpPc,由题意可得BC⊥BD,BC=BD=√2，所以 SAID= 2×E×E=1;在△PBC中，BC=BP=E,PC=√W2)+2=-V6,所以Sam=×6× √@-C=由XIX PA=-号×号×DE→DE=25,做DF1PC,垂足为P,则DF=爱- 2 2 √6 2,所以E点与F点重合，此时连接PE交圆弧于点M,此时∠MPN为PN与平面PBC的线面角，并取 2w3 到最小，此时sin∠MPN=3 ,过点M作线段PD的垂线，垂足为点N,MN=PMsin,∠MPN= 6 1×⑤-取到最小值.故答案为 33 3 B 15.解析：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CD∥A1B1且CD=A1B1, 所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥B1C, 因为MN⊥A1D,所以MN⊥B1C,………………………(3分) 又因为MN⊥AC,AC∩B1C=C,BCC平面AB1C,ACC平面AB,C. 所以MN⊥平面AB1C. (6分) (2)因为正方体ABCD-A1B,C1D1的边长为4， 所以AB=BC=BB1=4, 所以V版=吉×分×4X4×4- 3 (8分) 因为有AB1=AC=B1C=42, N 所以△AB1C是等边三角形， 所以S,c=号×42X42Xsin受=83，… (10分) 设点B到平面AB1C的距离为d, 【高一质检·数学答案第3页（共6页）】 D202A 所以Vg=V,6=号×8v5:d- 3 解得d-43 3 ………………………(们3分) 16.解析：(1)由a=(-2,1),b=(-1,3), 则ma-b=(1-2m,m一3)，c=a十2b=(-4,7),……（2分) 因为向量ma一b与c夹角为钝角，所以(ma一b)·c<0,且ma一b与c不共线， -4(1-2m)+7(m-3)<0 则{ (4分) 7(1-2m)≠-4(m-3) 解得m<号且m≠之， 所以m的取值范围为(-0，一U(-号，号。 …（7分) (2)依题意，c=x(-2,1)十y(-1,3)=(-2x-y,x+3y),2a+b=2(-2,1)+(-1,3)=(-5,5),… ……………………(9分) 由(2a十b)∥c,得(-5)(x十3y)=5(-2x-y),则x=2y,…(11分) 由c为非零向量，得x≠0，y≠0， 因此xy+1D=23(十1D=20十2)-2>≥-，当且仅当y=一号时取等号， 所以x(十1D的最小值为一2 。。 。。。电。。。 (15分) 17.解析：（由ac0sC-一b-号inA利用正孩定理可得SnA0sC-sinB-号inCsinA,…（2分） 又B=π-(A+C),可得sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, -cosAsinC-Ys sinAsinc. (4分) 又因为C∈(0，π)，故sinC≠0， 因此-cosA=sinA,即anA=-5, 又AE(0,则A=经 …………………………………(6分） (2)由题意知AD是∠BAC的角平分线，∠BAC=, 3 所以∠BAD=∠CAD=5,所以SAAc=SAAHD十SACD,…(8分) 所以号AB:AC:sin=2AB·AD:sin答+号AC.AD:sin号， 所议DE-B牛AC2:CA5AC当且仅当AB=AC时，等号成立，…G分 2 因为BC=AB+AC-2AB·AC·cos5=AB+AC+AB·AC=12, 所以12≥3AB·AC,即AB·AC≤4，当且仅当AB=AC=2时，等号成立，… (13分) 所以AD<C≤智-1，当且议当AB=AC2时，等号成立， 所以AD的最大值为1. (15分) 【高一质检·数学答案第4页（共6页）】 D202A 18,解析：(1由题意得S6=分×2X2=2,55=号×4X4=8,高A=AA,=4, 则由棱台的体积公式得：VBCA,C= 名CS6匹+Sa5十VS·S445)=专×10+4)- 3 3, …………………0……… (2分) VBAB C-VB-ABC- X2X4=号，所以Vg4=Vc45-Vae 48 3 3 8 所以-ACCA 3 48 6 (4分) (2)设CC1的中点为D,连接DE,DF, ,DF为△CCB1的中位线，DF∥B1C, 又B1CC平面AB1C,DF中平面AB1C, .DF∥平面AB1C,… (6分 ,DE为梯形AA1CC的中位线，DE∥AC, 又ACC平面AB1C,DE中平面AB1C, .DE∥平面ABC,… (8分) .DE∩DF=D,DEC平面DEF,DFC平面DEF, .平面DEF∥平面ABC, EFC平面DEF, .EF∥平面AB1C.… (10分) (3)取A1B1的中点G,A1G的中点H,连接AG、EH、HF、GF、A1F, 因为AB=2,A1B1=4,AB∥A1B1,G是A1B1中点，所以四边形ABB1G1是平行 B 四边形， 所以BB1∥AG,又因为H是A1G中点，E是AA1中点，所以EH∥AG, 所以EH∥BB1,即∠FEH就是异面直线EF与BB:的夹角，… (12分) 又因为AA1⊥底面A1B1C1,△ABC与△A1B1C1都是等腰直角三角形，AB=2, AA1=A1B1=4, 所以AG=√AA+A1G=2W5,A1F=√A1B-B1F=2W2, GF=√JAF2-A1G=2, 所以EH=AG=号×25=5，EF=VAE+A,F=23,HF=VGF+GF-5,.(I5分) 根据三角形余弦定理，得coS∠FEH=EF+EH-HF=12+5-5=正 2EF·EH 2×2W3×√5 5 所以异面直线EF与BB:夹角的余弦值为 5. (17分) 19.解析：(1)若△ABC中点P既是外接圆心也是其费马点， 根据在同一个圆内，同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数的两倍， 所以△ABC是等边三角形，…………… (2分) 所以Pi+P心=-PA,即PA=-Pi-Pt, 所以λ十μ=(-1)十(-1)=-2.… (4分) 【高一质检·数学答案第5页（共6页）】 D202A (2)以P为坐标原点，以PA为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 由∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，1PA|=3,|PB1=4,1PC1=5, 得：A0,3》,B(25,-2,C0-55,-5),（6分) 2， 2 =0,-30,A店=(25，-5)，at=(-5,-, 2， …(7分) 由市-+y,可得0，-》-x25,-5)+-,-岁. 则25x一)=0，放号-是 V。””””””””·*””··*·”"””“”·*·· ……………(9分)》 (3)设∠PAB=a,∠PCB=B,则∠PBA=号-a,∠PBC=S-B, 由∠PBA+∠PBC=得(5-a)+(-D)=, 解得a十g=晋，满足0<a<晋，0<K晋，… (10分) 在△PAB中，由正弦定理得PB PAI sing sin(弩-a |PBlsin((号-a) 可得|PA= 3 2 cosa- 2 sing 3 cosa 1 sina sina 2 sina 2 同理可得1PC=3.cos81 昭2…………… (12分) 2 APCcs.cosasing+-sinacos1- 2 sina'sinB 2 sinasinB .如a十-1-g.n晋 6。-1=5.1 2 …（13分) sinasinβ 2 singsing =4‘sinasing 1， 因为sinsin=-in(答-a）=2 >sixc。s2s1五2 子sn2a-g1-cos2a-合n(2a+》-9. 4 4 所以当2a十号-受，即。=竞时，sn9最大值为分一复， 之的最小值为，1 结合sinsin>0,可得3 sinasing =8+4√3，…（15分) 1_3 2-4 所以当a=爱时，=PA+PC有最小值×(8+4W3)-1=2+25, 4 即t的取值范围是[2十2W3,十∞).…………(17分) 【高一质检·数学答案第6页（共6页）】 D202A衡水市第十三中学高一年级质检三考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案填在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑；非选择题请用直径0,5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答 题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册；人教A版必修第二册第六章至第八章8.6.2节。 8 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.集合A={yly=x2-1,x∈N},B={x川x-1|≤2}，那么A∩B= A.{3} B.{0,3} C.{-1,0,3}》 D.{-1,0,1,2,3} 2.已知a∈R,i是虚数单位，若复数x=1一a2一(a一1)i是纯虚数，则a= A.-1 B.1 C.±1 D.0 3.已知a=√2，|b|=1,则“a·b=0”是“(a+2b)⊥(a-b)”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 毁 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.当x∈（一o∞，1）时，函数y=ax2一2x-2单调递减，则实数a的取值范围是 A.[0,1) B.[0,1] C.(-1,0) D.(-1,0] 5,则cos2a-sin2a= 5.已知锐角a满足tan2a- : 9 A.-17 9 B. C.一17 D.7 6.已知球O内部有一个正四棱锥P-ABCD,且顶点都位于球面上，PA=√3，AB=2,则球O的表 面积为 A.18π B.9π C.4 7 D.4 7.已知函数f(x)=√3cosx一sinx,先将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，再将图 象向左平移个单位长度，得到函数y=g()的图象.若≠x,且g(十罗)g(-零)=4， 则|x1一x2的最小值为 A. c D. 4 【高一质检·数学卷第1页（共4页）】 D202A 8.如图，在△ABC中，A方=2A它，C第=3CD,AD与CE交于 点0.若A0.E心=}A亦，则把的值是 B.23 c号 D.√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数2一为虚数单位)，则下列说法正确的是 4-2i A.之的虚部为一1 B.复数之在复平面内对应的点位于第四象限 C.之的共轭复数之=3十i D.|z|=√10 10.下列命题正确的有 A.若b>a>0,m>0,则白<6+m a+m B若a>6>1,则a+日>b+君 C.若x<0,则式子x十1有最小值-4 D.若a>0,b>0,a+4b=1,则√a+26≤2 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,点O在△ABC所在的平面内，则下列命题正 确的是 A.若sin2B+sinC<sinA,则△ABC为钝角三角形 B.若△ABC为边长为4的等边三角形，则OA·(O庐+O心C)的最小值为一6 C.若点0为△ABC的垂心，且2OA+3O克+4O心-=0，则cos∠B0C=-5 D.若Aò= AB AC TACIC十号AB+AC),则点O的轨迹经过△ABC的外心” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(一2,3)，b=(1,1),则向量a在向量b上的投影向量为 .(答案用坐 标表示) 13.已知函数f(x)=log2√x+log4(ax+4)的值域为(-∞，2]，则实数a的值为 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,且AB⊥ AD,AB∥CD,PA-AB-AD-CD-1,若在△PBC N CM --2 内有一动点M,PM=1,在线段PD上有一动点N,则 0. MN的最小值为 【高一质检·数学卷第2页（共4页）】 D202A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 如图，在边长为4的正方体ABCD-A1BCD1中，MN⊥AC于点M,MN⊥A1D于点N. (1)求证：MN⊥平面ABC; D (2)求点B到平面AB1C的距离. B 16.(15分) 已知向量a=(-2,1),b=(-1,3),非零向量c=x0十b. (1)若x=1,y=2,向量ma一b与c的夹角是钝角，求m的取值范围； (2)若(2a十b)∥c,求x(y+1)的最小值. 17.(15分) 在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosC-b= 3 csinA. (1)求A; (2)若点D在BC上，∠BAD=∠CAD,BC=2W3,求AD的最大值， 【高一质检·数学卷第3页（共4页）】 D202A 18.(17分) 如图，在三棱台ABCA1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1,△ABC与△A1B1C1都是等腰直角三角 形，∠BAC=90°，AB=2,AA1=A1B1=4,E、F分别为AA1、B1C1的中点. VBAB C的值； (1)求VB,AccA B (2)证明：EF∥平面AB1C; E (3)求异面直线EF与BB1夹角的余弦值. 4. 19.（17分) 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问 题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案 是：“当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的 三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大 内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点.已知△ABC,P为△ABC的费马点. (1)若点P也是△ABC的外接圆心，PA=λP官十μPC,求λ十u的值； (2)若△ABC是锐角三角形，PA|=3,|P|=4,|PC1=5,有A=xAB+yAC,求x的值； (3)若B=交，PB=1,PA+PC=t,求t的取值范围。 【高一质检·数学卷第4页（共4页）】 D202A