精品解析：河北郑口中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 40 B. C. D. 2. 已知事件，满足，，，则（ ） A. 0.9 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.18 3. 已知向量，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. -9 D. 9 4. 某班有名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了人参加学校公益社团，其中男生人，则该班女生人数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直二面角中，，两点都在直线上，，两点分别在两个半平面内，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 10. 如图，在长方体中，，，，为的中点，点为侧面内的动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 直线与为异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 有且只有一个点，使得 D. 若，则点的轨迹长度为 11. 已知一组样本数据，，的方差为3，则（ ） A. ，，不可能都相等 B. ，，的方差也为3 C. 该组样本数据的平均数有最值 D. 的最小值为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量在单位向量上的投影向量为，则的值为_________． 13. 在正三棱台中，，，，则正三棱台的高为_________． 14. 从1，2，3，4，5中随机取出3个数，其和记为，其余两个数之积为，则的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角． 16. 为了解学生航空知识掌握的情况，某航空学校对全体学生进行航空知识问卷调查（满分100分），并从中随机抽取200份答卷作为样本，将样本成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值以及样本成绩的第75百分位数； （2）已知样本成绩落在的平均数是65，标准差是4，落在的平均数是85，标准差是2，求这两组成绩合并后的平均数和方差． 17. 如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 18. 记的内角，，所对的边分别为，，，为的中点，，，． （1）求的值； （2）求的长． 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体中所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体中所有以为顶点的面．如图，已知直四棱柱的所有棱长均为2． （1）求直四棱柱在顶点，，，处的离散曲率和； （2）若直四棱柱在顶点，处的离散曲率和为，为的中点． （i），分别为，的中点．作出平面截直四棱柱所得截面（保留作图痕迹，不需写作图过程），并求该截面的面积； （ii），分别为底面和的边界及其内部的两动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 40 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，则. 2. 已知事件，满足，，，则（ ） A. 0.9 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.18 【答案】B 【解析】 【详解】由可得. 所以. 代入，得. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. -9 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据两向量平行的充要条件求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 解得. 4. 某班有名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了人参加学校公益社团，其中男生人，则该班女生人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设该班女生人数为，则，解得， 所以该班女生人数为. 5. 已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的底面积为，则底面半径， 可知圆锥的高为，所以该圆锥的体积为. 6. 在中，内角的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角即可. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以或. 7. 在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将三棱锥补形成长方体，结合长方体的外接球运算求解即可. 【详解】将三棱锥补形成长方体，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则，可得， 则球的半径为，所以球的表面积为. 8. 如图，在直二面角中，，两点都在直线上，，两点分别在两个半平面内，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若，作且，得异面直线与所成角的平面角为，过作的垂线，连接，易知过作垂线的垂足必重合，记为，再结合已知及余弦定理求异面直线的夹角余弦值. 【详解】如下图，若取，作且， 所以异面直线与所成角的平面角为， 过作于点，连接， 因,,易得≌，则， 故的平面角为， 其中，则， 在中，由余弦定理，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：因为，所以，A错误； 选项B：因为，所以对应的点的坐标为在第四象限，B正确； 选项C：，C正确； 选项D：，D正确. 10. 如图，在长方体中，，，，为的中点，点为侧面内的动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 直线与为异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 有且只有一个点，使得 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用长方体的空间关系，结合异面直线的位置关系可判断A，利用等体积法，结合两平面的位置关系可判断B，利用过直线外一点作该直线的平行线有且仅有唯一一条直线可判断C，利用圆的轨迹可判断． 【详解】因为由图可知，直线与平面相交，且交点不在直线上， 所以直线与为异面直线，故A正确； 由三棱锥体积，由于的面积是定值， 又由图可知，侧面与平面是相交平面，即不是平行平面关系， 所以点到平面的距离是变量，不是定值，则不是定值，故B错误； 根据过直线外一点作该直线的平行线有且仅有唯一一条直线可知： 有且只有一个点，使得，即为的中点，故C正确； 在长方体中，可知平面， 又因为平面，所以， 又因为，，为的中点， 所以由勾股定理可得：， 因为点为侧面内的动点（含边界），，， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一圆， 即点的轨迹长度为，故D正确. 11. 已知一组样本数据，，的方差为3，则（ ） A. ，，不可能都相等 B. ，，的方差也为3 C. 该组样本数据的平均数有最值 D. 的最小值为9 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意，，. 对于A，若，则， 所以，不满足题意， 则，，不可能都相等，故A正确； 对于B，，，的平均数为， 则方差为 ，故B正确； 对于C，由方差的性质可知，样本数据，，的方差为3， ，，的的方差也为3， 由k具有任意性，可知该组样本数据的平均数没有最值，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当时，取得最小值9，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量在单位向量上的投影向量为，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】因为向量在单位向量上的投影向量为， 所以向量在单位向量上的投影为， 即，所以. 故答案为：. 13. 在正三棱台中，，，，则正三棱台的高为_________． 【答案】 【解析】 【详解】在正三棱台中，设上底面中心为，下底面中心为， 连接，过作交于， 因为，，则，， 又易知平面，所以平面，又易得， 所以，则， 在直角三角形中，，则， 所以正三棱台的高为. 14. 从1，2，3，4，5中随机取出3个数，其和记为，其余两个数之积为，则的概率为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据古典型的概率求解法求解即可. 【详解】要使随机取出的3个数的和大于剩下两个数的积， 则取出的3个数分别为：5，4，3；5，4，2；5，4，1；5，3，2；5，3，1；4，3，2；共6种情况； 而总的抽取情况除了上述的6种外，还有：5，2，1；4，3，1；4，2，1；3，2，1，共4种情况， 故从5个数中任取3个数共10种情况； 所以所求概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角． 【答案】（1）连接，如下图所示 因为，分别为，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 因为平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 因为， 所以， 即直线与平面所成的角为. 16. 为了解学生航空知识掌握的情况，某航空学校对全体学生进行航空知识问卷调查（满分100分），并从中随机抽取200份答卷作为样本，将样本成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值以及样本成绩的第75百分位数； （2）已知样本成绩落在的平均数是65，标准差是4，落在的平均数是85，标准差是2，求这两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】（1），第75百分位数为85 （2）平均数为77，方差为 【解析】 【分析】（1）由频率和为1列方程求参数值，根据百分数的定义求第75百分位数； （2）应用分层样本与总体平均数、方差的关系求合并后的平均数、方差. 【小问1详解】 由题可得，解得 前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 所以样本成绩的第75百分位数落在内，设为， 则，解得， 即样本成绩的第75百分位数为85. 【小问2详解】 样本成绩落在的频率为，人数为， 样本成绩落在的频率为，人数为， 两组成绩合并后的平均数为， 两组成绩合并后的方差为. 17. 如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）因为底面为菱形，交于点， 所以为，的中点． 因为为等边三角形，所以，所以． 又，所以，, 又，平面，所以平面； （2）2 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）过作于点，连接，即证，得为二面角的平面角，在中，计算，进而求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面，又平面，所以． 如图，过作于点，连接， 又，则平面． 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角． 因为底面为菱形，所以，且． 又，所以为等边三角形， 所以， 又为等边三角形，为的中点， 所以， 在中，， 所以， 即二面角的正切值为2． 18. 记的内角，，所对的边分别为，，，为的中点，，，． （1）求的值； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据是中点得到与面积相等，结合三角形面积公式列出三角关系式，利用余弦二倍角公式化简后约去求解. （2）在中分别列余弦定理，由联立等式，代入与的二倍角展开式，解方程得到. 【小问1详解】 设，则． 因为为的中点，所以， 所以的面积与的面积相等， 所以， 所以，即， 所以． 又，所以，即． 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以， 可得，即， 解得． 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体中所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体中所有以为顶点的面．如图，已知直四棱柱的所有棱长均为2． （1）求直四棱柱在顶点，，，处的离散曲率和； （2）若直四棱柱在顶点，处的离散曲率和为，为的中点． （i），分别为，的中点．作出平面截直四棱柱所得截面（保留作图痕迹，不需写作图过程），并求该截面的面积； （ii），分别为底面和的边界及其内部的两动点，求的最小值． 【答案】（1）1 （2）（i）如图所示: 截面的面积为 （ii） 【解析】 【分析】（1）依托离散曲率定义列式求和，结合四边形内角和化简算出四点曲率和为1. （2）（i）由、曲率和推出底面内角为直角，判定几何体为正方体，找棱中点连成正六边形截面并套用正六边形面积公式得. （ii）对称转化线段，用等体积法求点面距，得到最小值. 【小问1详解】 由离散曲率的定义以及直四棱柱的性质可得 ． 【小问2详解】 （i）如图所示: ， 可得． 又，所以． 又直四棱柱的所有棱长都相等， 所以直四棱柱为正方体． 如图所示:正六边形为平面截直四棱柱所得截面， 其中6个顶点分别为所在棱的中点，正六边形的边长为， 其面积为． （ii）如图所示，作点关于平面的对称点，则． 过作平面，垂足为，所以， 即的最小值为点到平面的距离，即垂线段的长． 由可得， 所以， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $