阶段检测5 二元一次方程组 测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册二元一次方程组单元卷，通过基础概念、解法应用及跨情境问题设计，覆盖单元核心知识，渗透数学抽象、模型意识与几何直观，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程（组）概念、解的意义、图像应用|结合《九章算术》古题（第5题），体现文化传承| |填空题|5/15|解的构造、参数问题、同类二次根式|设计“写出解为特定值的方程组”（第12题），培养逆向思维| |解答题|8/75|方程组解法、一次函数综合、利润问题、几何应用|以销售利润（第20题）、长方形内小长方形面积（第10题）为情境，强化模型意识与应用能力|

阶段检测5 二元一次方程组 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 4．小亮解方程组 的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（　　） A．4和 B．和4 C．和8 D．8和 5．古代数学著作《九章算术》有这样一道题，今有糙米、白米共五十斗，糙米二斗可换白米一斗．若将全部糙米换白米，共得白米三十斗．问糙米、白米原有各几斗？设糙米原有斗，白米原有斗，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 7．一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，两点在该函数图象上，则 C．方程的解是 D．一次函数的表达式为 8．将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 9．在学习了《二元一次方程》后，数学兴趣小组的同学们探究了多元一次方程正整数解问题．如：方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，， 那么方程的正整数解的个数是（   ） A． B． C． D． 10. 如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．二元一次方程组的解为________． 12．写出一个解是的二元一次方程组：______． 13．若是关于的二元一次方程，则________． 14．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 15．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16．解方程组： 17．如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，求的面积． 18．已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 19．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 20．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，规定销售价不低于成本价，且不高于35元，市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）满足一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若经销商想要每天获得550元的利润，销售价应该定为多少？ （3）设每天的销售利润为（元），当销售价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 21．某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为，高度为．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 22．我们把关于x、y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组． (1)若关于x、y的方程组为共轭方程组，则a=　 　，b=　 　． (2)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为　 　 ；的解为　 　 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．已知． (1)求直线的解析式； (2)若平面直角坐标系内有一点，使得，请直接写出点P的坐标； (3)线段OA上是否存在一个点M，使得?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D A C D C B A 11． 12．（答案不唯一） 13． 14． 15． 16． 【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：方程组整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17．9 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先利用待定系数法求出函数解析式，进而求出点的坐标，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为 当时，，解得：， 点C的坐标为 ∴， ． 18．(1) (2) 【知识点】二元一次方程的定义、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． （2）解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 19．(1) (2)， 【知识点】二元一次方程的定义、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 20．（1）；（2）15元/件；（3）销售价为35元/件时，每天获得的利润最大，最大利润1750元 【分析】（1）由图可知，一次函数的图象经过（20，100）和（30，80）两点，利用待定系数法可求得k、b的值； （2）利用“（售价-进价）×销售数量=销售利润”可以解决售价问题； （3）探究W与x之间的函数关系，利用函数解决W的最值问题即可． 【详解】解：（1）设． ∵图象经过（20，100）和（30，80）两点， ∴，解得，． ∴． （2）由题意得，． 解得，． ∵， ∴（不合题意，舍去）． ∴若想要每天获得550元的利润，销售价应该定为15元/件． （3）． ∴W是关于x的二次函数． ∵，抛物线开口向下， ∴当x<40时，y随x的增大而增大． 又∵， ∴当时，=1750． ∴当销售价为35元/件时，每天获得的利润最大，最大利润1750元． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质和应用等知识点．熟知待定系数法的流程是基础，掌握二次函数的性质是求最值的关键． 21．(1) (2)获得等级的学生有17人，等级的学生有13人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． （1）根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式即可． （2）设获得等级的学生有人，等级的学生有人．由题意，得，解方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式得， 故答案为：． （2）解：设获得等级的学生有人，等级的学生有人． 由题意，得 解得 答：获得等级的学生有17人，等级的学生有13人. 22．(1)-1，1 (2)， (3)m=n 【分析】（1）根据共轭方程组的定义，得出1-a=2，b+2=3，解方程即可； （2）利用加减消元法求解； （3）将代入，得出，解关于的二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：由定义可得：1-a=2，b+2=3， ∴a=-1，b=1， 故答案为：-1，1； （2）解方程组 ①×2-②得：3y=3， ∴y=1， 将y=1代入①得，x+2=3， ∴x=1， ∴方程组的解为：； ③×2-④×3得：-5y=10， ∴y=-2， 将y=-2代入③得：3x-4=-10， ∴x=-2， ∴方程组的解为：； 故答案为：，； （3）将代入， 得， ∴m+kn=km+n， ∴m-km=n-kn， m（1-k）=n（1-k）， ∵k≠1， ∴m=n． 故答案为：m=n． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是理解共轭二元一次方程和共轭二元一次方程组的定义． 23．(1) (2)P点坐标为或 (3)存在， 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． （1）求出，，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）过B点作直线的平行线为，P点在直线上；直线关于直线的对称直线为，P点在直线上； （3）在x轴上取点H，连接BH，使，过点H作交直线BG于点G，过点B作轴，过点G作轴，过点H作轴，则≌，设，求得，再由G点在直线上，求出n，则，推导出，求出直线与直线的交点即为 【详解】（1）解：， ，， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， ； （2）过B点作直线的平行线为， ， 点在直线上， ， ， ； 直线关于直线的对称直线为， ， 点在直线上， ， ； 综上所述：P点坐标为或； （3）存在点M，理由如下： 在x轴上取点H，连接，使， 过点H作交直线于点G，过点B作轴，过点G作轴，过点H作轴， ， ， ， ， ， ≌， ，， 设， ，， ， ， 解得， ， ，， ， 与x轴的交点为， 直线的解析式为， 当时，， 答案第8页，共8页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $