第5章二元一次方程组单元练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级上册数学二元一次方程组单元卷，立足单元复习，以农耕劳动、粤BA赛事、巢湖旅游等真实情境为载体，覆盖概念理解、建模应用等核心素养，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10小题|二元一次方程定义、方程组解、实际问题建模（如菜苗采购）|结合粤BA赛事积分（题9）考查方程应用，体现数学思维| |填空题|5小题|方程概念、加密问题、相反数解|融入算盘文化（题15），考查数学眼光与符号意识| |解答题|8小题|解方程组、纠错、一次函数综合、实际应用|23题以巢湖旅游住宿调查为情境，考查建模与数据分析，落实数学语言表达现实世界的素养|

2026~2027学年北师大版八年级上册数学第5章二元一次方程组单元练习 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x2+x＝4 B．4x＝2y﹣3 C．xy﹣2x＝1 D．1+3y＝2 2．下列二元一次方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 3．在等式y＝kx+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝8，则这个等式是（　　） A．y＝3x+2 B．y＝﹣3x+2 C．y＝3x﹣2 D．y＝﹣3x﹣2 4．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进10捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需175元；购进3捆A种菜苗所需的费用和购进2捆B种菜苗所需费用相等．设购进一捆A种菜苗x元，一捆B种菜苗y元，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 5．某市举办花展，如图，在长为14m、宽为10m的长方形展厅里划出三个形状、大小完全一样的小长方形（阴影部分）摆放水仙花，则每个小长方形的周长为（　　） A．16m B．14m C．12m D．8m 6．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b（a＜0）相交于点P（20，25），则根据图象可知关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C．无解 D．不能确定 7．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．加密规则如下：明文a，b，c对应的密文分别为a+1，2b﹣4，3c+9．例如明文1，﹣2，3对应的密文为2，﹣8，18．若接收方收到密文4，﹣6，9，则解密得到的明文为（　　） A．3，0，﹣1 B．3，﹣1，0 C．5，﹣16，36 D．4，﹣2，3 8．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（　　） A．x﹣3y＝﹣1 B．2x+5y＝3 C．2x﹣y＝3 D．2x+3y＝﹣4 9．广东省城市篮球联赛（简称“粤BA”），是广东省篮球协会于2026年对广东省男子篮球联赛进行全面升级的城市篮球联赛．如表所示，是常规赛第七轮结束后的部分球队积分榜信息，则胜一场的积分是（　　） 排名 球队 胜场 负场 积分 1 中山 6 1 13 … … … … … 3 珠海 4 3 11 … … … … … 7 江门 3 4 10 8 阳江 2 5 9 … … … … … A．1分 B．2分 C．3分 D．4分 10．在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x、y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，则该格点多边形的面积可表示为S＝N+aL+b，其中a，b为常数，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4．若某格点多边形对应的N＝99，L＝44，则S值为（　　） A．120 B．110 C．105 D．100 二．填空题（共5小题） 11．若mx+3y|m﹣1|＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值为　 　 ． 12．在一场趣味数学游戏中，玩家输入两个数字m，n，游戏系统根据加密规则生成两个密文：m+2n﹣p，2m+n﹣p．若玩家收到的密文为16和13，已知m+n＝10，则p的值是　 　 ． 13．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则m的值为 　 　 ． 14．如图，正比例函数y＝﹣2x与一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，a），则关于x，y的二元一次方程组的解为　 　 ． 15．算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位…，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．解二元一次方程组：． 17．解方程组：． 18．下面是小贤同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2，得4x﹣6y＝﹣14，③…第一步 ②×3，得9x+6y＝﹣12，④…第二步 ③+④，得13x＝﹣26，解得x＝﹣2，…第三步 把x＝﹣2代入①，得y＝﹣1，…第四步 ∴原方程组的解为第五步 （1）小贤求解二元一次方程组的方法叫作　 　 法，以上求解步骤中，第　 　 步开始出现错误． （2）请写出此题正确的解答过程． 19．一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象恒过定点（1，1）． （1）若图象还经过（2，3），求该一次函数的表达式； （2）若当﹣3≤x≤4时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 20．中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆A型和3辆B型汽车需要75万元，3辆A型和2辆B型汽车需要85万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ （2）该公司准备用正好200万元购进这两种型号的汽车（两种汽车都要购进），请写出有哪几种购买方案． （3）若销售A、B两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和1.2万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 21．活动：二元一次方程的“图象”，在平面直角坐标系中，二元一次方程x﹣y＝0的一个解可以用一个点（1，1）表示出来．标出一些以方程x﹣y＝0的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现这些点落在同一条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程x﹣y＝0的解．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．二元一次方程的图象是一条直线． （1）根据上述结论，在同一平面直角坐标系画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象； （2）点P（t，m）、Q（1﹣2t，n）分别是2x+y＝4、x﹣y＝﹣1图象上的点． ①m﹣n是否为定值？若是，则求出m﹣n的值；若不是，则说明理由． ②点R在y轴上，当t＝2时，S△PQR＝3，求出R的坐标． 22．规定：形如关于x、y的方程x+ky＝b与kx+y＝b的两个二元一次方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1；由这两个二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． 【初步探究】（1）若关于x，y的方程组为共轭二元一次方程组，求a，b的值； 【深入探究】（2）解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为　 　 ；的解为　 　 ， 【延伸发现】（3）若共轭二元方程组的解是，猜想m与n的数量关系，并说明理由． 23．综合与实践 【问题背景】巢湖素有“皖中明珠”之美誉，旅游度假资源丰富．某校八年级（1）班同学为了完成老师布置的综合与实践作业——制作《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》，分成了若干个学习小组，先通过携程、飞猪、美团、去哪儿等在线旅游平台提供的相关信息对巢湖市优质度假区、高档宾馆、精品民宿等三种不同类型的住宿资源进行了“金牌旅游住宿”的名称界定；然后，从中各选取两家通过电话咨询了解住宿的位置优势以及不同房间的基本住宿价格；最后，结合平台用户评分和商家电话介绍，在这三种住宿资源类型中均选择了假期预订量最高的家庭房进行了实地调查，希望给《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》的制作提供可靠的数据来源． 【材料收集与整理】各学习小组在同一天奔赴不同金牌旅游住宿地进行调查，获取到度假区和高档宾馆类型的金牌旅游住宿均会结合市场需求根据房型实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨25%；精品民宿的定价也有淡季、旺季之分，但上涨比例相对灵活；通过各旅游平台下单、电话预定、现场订房的优惠差距可忽略不计．此外，不同类型的金牌旅游住宿费用差距较大，环境风格差异明显，消费群体有区别．具体材料如下： 材料一：度假区离巢湖市中心约15公里，离高铁站、高速公路收费站均在6公里以内．度假区的一房别墅住宿，可享受一站式家庭旅游体验，同时赠送温泉疗养项目，采用标准化管理．第一学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 度假区 淡季 旺季 未入住一房别墅间数 10 0 该房型日总收入（元） 9600 24000 材料二：高档宾馆在巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施、餐饮服务、交通服务等均符合标准化管理，品质有保障．第二学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 高档宾馆 淡季 旺季 未入住家庭房间数 5 0 该房型日总收入（元） 5600 10500 材料三：精品民宿距巢湖市中心约20公里，没有明确标注“家庭房”房型，但有适合亲子家庭的替代方案一：适合4个亲子家庭自行组团整体合租的集住宿、休闲、运动、书吧于一体的门庭小院，小院为稀缺型旅游住宿资源只有一座；方案二：在有儿童游乐和手工体验区的民宿公共区选择客栈标准间+大床房组合（两者价格一样，各有20间可供选择）．第三学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 精品民宿 淡季 旺季 一座门庭小院价格 2000 2600 客栈标准间单价 300 360 【数据分析与运用】 任务1：（1）该度假区的一房别墅有多少间？一房别墅旺季每间价格为多少元？该高档宾馆旺季家庭房每间价格为多少元？ 任务2：（2）请通过计算说明该精品民宿旺季比淡季每间（座）上涨是否符合25%的标准？ 任务3：（3）如果有位游客在网络上看到了该校八（1）班同学分享的《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》视频，想在春节期间来巢湖亲子游，你会给他推荐哪种类型的金牌旅游住宿资源呢？请你说明理由． 2026~2027学年北师大版八年级上册数学第5章二元一次方程组单元练习 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A、未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、是二元一次方程，故此选项符合题意； C、含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．【解答】解：A、， ①+②得：4x＝6，即x＝1.5， 把x＝1.5代入①得：y＝0.5， 不合题意； B、， ①+②×2得：7x＝7，即x＝1， 把x＝1代入①得：y＝2， 符合题意； C、， ①+②得：4x＝﹣6，即x＝﹣1.5， 把x＝﹣1.5代入①得：y＝﹣0.5， 不合题意； D、， ②﹣①得：2x＝﹣2，即x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①得：y＝﹣4， 不合题意， 故选：B． 3．【解答】解：分别把当x＝2时，y＝﹣4，当x＝﹣2时，y＝8代入等式y＝kx+b得， ， ①﹣②得，4k＝﹣12， 解得k＝﹣3， 把k＝﹣3代入①得，﹣4＝﹣3×2+b， 解得b＝2， 分别把k＝﹣3，b＝2的值代入等式y＝kx+b得，y＝﹣3x+2， 故选：B． 4．【解答】解：∵购进10捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需175元， ∴10x+5y＝175； ∵购进3捆A种菜苗所需的费用和购进2捆B种菜苗所需费用相等， ∴3x＝2y． ∴根据题意可列出方程组． 故选：D． 5．【解答】解：设小长方形的长为xm，宽为ym， 由图形可得，， 解得， ∴小长方形的长为6m，宽为2m， ∴小长方形的周长为2（x+y）＝2×（6+2）＝16（m）， 故选：A． 6．【解答】解：由函数图象可知，直线y＝x+5在直线y＝ax+b相交于点（20，25），∴根据图象可知关于x，y的方程组的解是． 故选：B． 7．【解答】解：根据题意得：， 解得：， ∴解密得到的明文为3，﹣1，0． 故选：B． 8．【解答】解：把代入x+2y＝1得： ﹣1+2a＝1， 2a＝2， a＝1， ∴方程组的解为：， A．把代入x﹣3y＝﹣1， 左边＝﹣1﹣3×1＝﹣4，右边＝﹣1， ∵左边≠右边， ∴*表示的方程不可能是x﹣3y＝﹣1， 故此选项不符合题意； B．把代入2x+5y＝3， 左边＝2×（﹣1）+5×1＝3，右边＝3， ∵左边＝右边， ∴*表示的方程可能是2x+5y＝3， 故此选项符合题意； C．把代入2x﹣y＝3， 左边＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3，右边＝3， ∵左边≠右边， ∴*表示的方程不可能是2x﹣y＝3， 故此选项不符合题意； D．把代入2x+3y＝﹣4， 左边＝2×（﹣1）+3×1＝1，右边＝﹣4， ∵左边≠右边， ∴*表示的方程不可能是2x+3y＝﹣4， 故此选项不符合题意； 故选：B． 9．【解答】解：设胜一场积x分，负一场积y分，根据题意可得： ， 由第一个方程得y＝13﹣6x， 将y＝13﹣6x代入第二个方程得2x+5（13﹣6x）＝9， 解得x＝2， 验证可知x＝2，y＝1符合所有球队积分数据， 因此胜一场的积分是2分． 故选：B． 10．【解答】解：对于△ABC，S＝1，N＝0，L＝4， ∴0+4a+b＝1，即4a+b＝1 ①， 对于四边形DEFG，其面积， 内部格点数N＝1（点（2，4）），边界格点数L＝6（点D，E，F，G及DE中点（3，3），EF中点（3，4））， ∴6a+b＝2 ②， 联立①②得， 解得， ∴， 当N＝99，L＝44时，． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：由题意得|m﹣1|＝1且m≠0， 解得m＝2． 故答案为：2． 12．【解答】解：根据题意得：， ①+②得：3m+3n﹣2p＝29， ∵m+n＝10， ∴3×10﹣2p＝29， 解得：p， ∴p的值是． 故答案为：． 13．【解答】解：由题意，得：y＝﹣x， ∴原方程组化为：，即：， ∴2m﹣3＝5m﹣12， ∴m＝3； 故答案为：3． 14．【解答】解：由条件可得a＝2， ∴点A（﹣1，2）， ∴观察图象可知，则关于x，y的二元一次方程组的解为． 故答案为：． 15．【解答】解：设个位数字为x，十位数字为y，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，列出方程组得：， 解得：， ∴这个三位数为615． 故答案为：615． 三．解答题（共8小题） 16．【解答】解：， 由①×2﹣②得y＝2， 将y＝2代入①解得x＝5， ∴方程组的解为． 17．【解答】解：方程组化简为， ①×3+②×4，得17x＝﹣17， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①，得﹣3﹣4y＝﹣7， 解得：y＝1， 所以方程组的解为． 18．【解答】解：（1）小贤求解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，以上求解步骤中，第四步开始出现错误， 故答案为：加减消元；四； （2）， ①×2，得4x﹣6y＝﹣14③， ②×3，得9x+6y＝﹣12④， ③+④，得13x＝﹣26， 解得x＝﹣2， 把x＝﹣2代入①，得y＝1， 所以方程组的解为． 19．【解答】解：（1）由题意得，， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝2x﹣1； （2）代入点（1，1），得a+b＝1， ∴b＝1﹣a， ∴一次函数的表达式为y＝ax+1﹣a， ∴当x＝﹣3时，y＝﹣3a+1﹣a＝﹣4a+1；当x＝4时，y＝4a+1﹣a＝3a+1， 当a＜0时，y随着x的增大而减小， 则函数y在x＝﹣3取得最大值，在x＝4取得最小值， ∴﹣4a+1﹣（3a+1）＝6， 解得； 当a＞0时，y随着x的增大而增大， 则函数y在x＝4取得最大值，在x＝﹣3取得最小值， ∴3a+1﹣（﹣4a+1）＝6， 解得； ∴综上，a的值为或． 20．【解答】解：（1）设A种型号的汽车每辆的进价为x万元，B种型号的汽车每辆的进价为y万元， 依题意得：， 解得：， 答：A种型号的汽车每辆的进价为15万元，B种型号的汽车每辆的进价为20万元； （2）设购进A种型号的汽车a辆，B种型号的汽车b辆， 依题意得：15a+20b＝200， 整理得：， 由题意可知：a、b为正整数， ∴40﹣4b＞0，即b＜10，且40﹣4b需被3整除， 当b＝1时，； 当b＝4时，； 当b＝7时，； ∴共有3种购买方案：方案1：购进A种型号的汽车12辆，B种型号的汽车1辆；方案2：购进A种型号的汽车8辆，B种型号的汽车4辆；方案3：购进A种型号的汽车4辆，B种型号的汽车7辆； （3）方案1的利润：1×12+1.2×1＝12+1.2＝13.2（万元）； 方案2的利润：1×8+1.2×4＝8+4.8＝12.8（万元）； 方案3的利润：1×4+1.2×7＝4+8.4＝12.4（万元）； ∵13.2＞12.8＞12.4， ∴方案1获利最大，最大利润是13.2万元； 答：方案1获利最大，最大利润是13.2万元． 21．【解答】解：（1）令2x+y＝4中的x、y分别等于零，得到（0，4），（2，0）， 连接两点即可得到图象； 令x﹣y＝﹣1中的x、y分别等于零，得到（0，1），（﹣1，0）， 连接两点即可得到图象，如图所示：（解法不一） （2）①2t+m＝4， ∴m＝﹣2t+4， 把点Q（1﹣2t，n）代入x﹣y＝﹣1，得：1﹣2t﹣n＝﹣1， ∴n＝﹣2t+2， ∴m﹣n＝（﹣2t+4）﹣（﹣2t+2）＝2， ∴m﹣n是定值，值为2． ②点P（t，m）、Q（1﹣2t，n）分别是2x+y＝4、x﹣y＝﹣1图象上的点， 当t＝2时，2×2+m＝4，解得m＝0， ∴P（2，0）； ∴1﹣2t＝1﹣4＝﹣3，n＝﹣2t+2＝﹣2， ∴Q（﹣3，﹣2）， 当点R在y轴正半轴上时，过点Q，P分别作y轴、x轴的垂线，过点R作x轴的平行线，交点分别为E，F点，连接QR，PR． 设R的坐标为（0，k）， ∵S△PQR＝3， ∴S△PQR＝S梯形EQPF﹣S△QER﹣S△PFR＝3， ∴， ， 解得：， ∴， 当点R在y轴负半轴上时， 同理S△PQR＝S梯形EQPF﹣S△QER﹣S△PFR＝3， ， 解得：k＝﹣2， ∴R（0，﹣2）； 综上，点R在y轴上，当t＝2时，S△PQR＝3时，R（0，﹣2）或． ∴R（0，﹣2）或． 22．【解答】解：（1）∵方程组为共轭二元一次方程组， ∴，解得； （2）对于方程组， x+2y＝6方程两边同时乘2，得2x+4y＝12，再用方程2x+4y＝12减去2x+y＝6得： （2x+4y）﹣（2x+y）＝12﹣6， 去括号得2x+4y﹣2x﹣y＝6， 合并同类项得3y＝6， 解得y＝2； 把y＝2代入x+2y＝6得x+2×2＝6， 解得x＝2； ∴的解为； 对于方程组，解得； 故答案为：，； （3）由条件可知， ∴m+kn＝km+n， ∴m﹣km＝n﹣kn， ∴m（1﹣k）＝n（1﹣k）， ∵k≠1， ∴m＝n． 23．【解答】解：（1）设该度假区的一房别墅有y间，淡季的房价为x元， 根据题意列二元一次方程组得，，解得， 故x（1+25%）＝960×1.25＝1200， 故度假区一房别墅有20间，一房别墅旺季每间价格为1200元； 设该高档宾馆淡季家庭房每间价格为m元，共有n间， 根据题意列二元一次方程组得，，解得， 故m（1+25%）＝560×1.25＝700， 故高档宾馆旺季家庭房每间价格为700元； （2）设一座门庭小院价格上涨p%，客栈标准间单价上涨q%， 根据题意列一元一次方程得， 2000（1+p%）＝2600， 解得p＝30，q＝20， 故精品民宿旺季门庭小院价格上涨30%，客栈标准间价格上涨20%，均不符合25%的标准； （3）推荐高档宾馆，理由是其位于巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施等齐全且品质有保障，旺季每间价格700元较为适中（答案不唯一，合理即可）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $