函数的零点与方程的解1同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数零点与方程解，通过基础巩固、中档提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到参数运算的递进，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|零点存在性定理、具体函数零点求解|选择1-5题结合表格数据与图象，强化几何直观| |中档|零点个数判断、参数范围初步应用|填空8-10题涉及方程解与二次函数零点，提升运算能力| |提升|分段函数零点、综合构造与论证|解答12-13题含参数讨论与函数构造，发展模型意识|

函数的零点与方程的解1 一、选择题 1．【2026·河北衡水高一期末】若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y －5 2 8 12 －5 －10 则函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有(　　) A．1个　 B．2个　　　 C．3个　 D．4个 【答案】B 【解析】结合题意可知f(1)·f(2)<0，f(4)·f(5)<0，故f(x)在[1,6]上至少有2个零点．] 2．【2026·河南·专题练习】已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A．，0 B．－2,0 C． D．0 【答案】D 【解析】当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D. 3.【2026·山东济南高一月考】函数f(x)＝12－2x－3x的零点有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】f(x)＝12－2x－3x在R上单调递减，f(2)＝12－4－6＝2，f(3)＝12－8－9＝－5，f(2)·f(3)<0，所以零点所在的区间是(2，3)，所以该函数只有1个零点． 4．【2026·江西南昌高一联考】已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有对应值如表： x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88 则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】因为函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且f(2)>0，f(3)<0，由函数零点存在定理得，(2，3)内至少存在1个零点，因为f(3)<0，f(4)>0，由函数零点存在定理得，(3，4)内至少存在1个零点，因为f(4)>0，f(5)<0，由函数零点存在定理得，(4，5)内至少存在1个零点．综上，函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个． 5．【2026·江西南昌高一联考】下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　) A　　 　B　　　　C　　　 D 【答案】D 【解析】结合函数零点的定义可知选项D没有零点． 6．【2026·河南·专题练习】函数f(x)＝logax－x＋2(0<a<1)的零点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】在同一直角坐标系中画出函数y＝logax(0<a<1)和y＝x－2的图象，如图，由图象可知，两个函数图象只有一个交点，故函数f(x)＝logax－x＋2(0<a<1)的零点的个数为1，故选B. 7．(多选)【2026·河北衡水高一期末】若函数f(x)＝恰有三个零点，则a的值可能为(　　) A．－1 B．6 C．1 D．2 【答案】BCD 【解析】函数f(x)＝恰有三个零点，x≥0时，f(x)＝x2－6x＝x(x－6)，函数有两个零点0和6，则x<0时，f(x)＝x＋a有一个零点－a，所以－a<0，即a>0，B、C、D选项都符合． 2、 填空题 8．【2026·河北衡水高一期末】设是方程的解，且，则________. 【答案】 【解析】令，且在上递增，，在内有解，，故答案为. 9．【2026·江西南昌高一联考】已知函数f(x)＝x2－bx＋3. (1)若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的零点为________； (2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，则b的取值范围为_______． 【答案】(1)1和3　(2)(4，＋∞)　 【解析】(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3. (2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图． 需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4. 故b的取值范围为(4，＋∞)．] 10.【2026·河南·专题练习】写出一个同时满足下列两个条件的函数：f(x)＝ ． ①f(x＋1)是R上的偶函数； ②f(x)在R上有三个零点． 【答案】f(x)＝(x－1)2－|x－1|(答案不唯一) 【解析】根据题意，f(x＋1)是R上的偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，若f(x)在R上有三个零点，即f(x)的图象与x轴有3个不同的交点，故必有f(1)＝0，f(x)＝(x－1)2－|x－1|符合上述两个条件． 3、 解答题 11．【2026·河北衡水高一期末】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点． (1)f(x)＝－x2＋2x－1； (2)f(x)＝x4－x2； (3)f(x)＝4x＋5； (4)f(x)＝log3(x＋1). 【解析】 (1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1. (2)令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，1和－1. (3)令4x＋5＝0，则4x＝－5， 因为4x>0，－5<0， 所以方程4x＋5＝0无实数解． 所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点． (4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0， 所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0. 12.【2026·山东济南高一月考】函数在R上无零点，求实数a的取值范围． 【解析】 （1）当a＝0时，f（x）＝–1，符合题意；（2）若a≠0，则f（x）为二次函数，∴＝a2+4a<0，解得–4<a<0．故a的范围是（–4，0]． 13.【2026·河北衡水高一期末】(1)求函数f(x)＝的零点； (2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 【解析】 (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2. (2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a. 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)． 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0， 解得x＝0或x＝－. 所以函数g(x)的零点为0和－. 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的零点与方程的解1 一、选择题 1．【2026·河北衡水高一期末】若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y －5 2 8 12 －5 －10 则函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有(　　) A．1个　 B．2个　　　 C．3个　 D．4个 2．【2026·河南·专题练习】已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A．，0 B．－2,0 C． D．0 3.【2026·山东济南高一月考】函数f(x)＝12－2x－3x的零点有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．【2026·江西南昌高一联考】已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有对应值如表： x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88 则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．【2026·江西南昌高一联考】下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　) A　　 　B　　　　C　　　 D 6．【2026·河南·专题练习】函数f(x)＝logax－x＋2(0<a<1)的零点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 7．(多选)【2026·河北衡水高一期末】若函数f(x)＝恰有三个零点，则a的值可能为(　　) A．－1 B．6 C．1 D．2 2、 填空题 8．【2026·河北衡水高一期末】设是方程的解，且，则________. 9．【2026·江西南昌高一联考】已知函数f(x)＝x2－bx＋3. (1)若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的零点为________； (2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，则b的取值范围为_______． 10.【2026·河南·专题练习】写出一个同时满足下列两个条件的函数：f(x)＝ ． ①f(x＋1)是R上的偶函数； ②f(x)在R上有三个零点． 3、 解答题 11．【2026·河北衡水高一期末】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点． (1)f(x)＝－x2＋2x－1； (2)f(x)＝x4－x2； (3)f(x)＝4x＋5； (4)f(x)＝log3(x＋1). 12.【2026·山东济南高一月考】函数在R上无零点，求实数a的取值范围． 13.【2026·河北衡水高一期末】(1)求函数f(x)＝的零点； (2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 学科网（北京）股份有限公司 $