4.5.1函数的零点与方程的解同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念理解到综合应用，适配新授课知识巩固，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|函数零点概念及判定|选择/填空题直接考查零点定义（如第1题求零点）、概念辨析（第3题多选题）| |提升层|零点存在定理应用|结合函数性质判断零点区间（第6题）、利用数据表格分析（第7题），培养推理能力| |综合层|零点综合应用|含参数零点分布（第11题）、不同函数零点比较（第12题），体现数学建模与综合思维|

4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 第1课时　函数的零点与方程的解 考点一　函数的零点 1.[2026·江苏淮安高中协作体高一期中] 函数f(x)=x2-4x的零点为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(0,0),(4,0) B.0,4 C.(0,0),(-4,0) D.0,-4 2.若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,f(2)=0,则函数f(x)的零点有 (　 ) A.一个 B.两个 C.至少两个 D.无法判断 3.(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.函数f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0) B.函数f(x)=2x-1的零点为0 C.函数f(x)的零点是函数f(x)的图象与x轴的交点 D.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的实数根 4.[2026·贵州黔东南州高一联考] 函数f(x)=ln x-1的零点是　　　　.  5.已知函数f(x)=x2+2x-5,求函数f(x)在区间(0,+∞)上的零点个数. 考点二　零点存在定理及应用 6.[2026·天津南开中学高一期末] 函数f(x)=0.4x-的零点所在区间是 (　 ) A.(0,0.4) B.(0.4,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) 7.根据下表中的数据,可以判定方程ln x-=0的根所在的区间是 (　 ) x 1 2 e 3 4 ln x 0 0.69 1 1.10 1.39 3 1.5 1.10 1 0.75 A.(3,4) B.(e,3) C.(2,e) D.(1,2) 8.(多选题)若函数f(x)在R上的图象连续不断,且f(1)>0,f(2)<0,f(3)<0,则下列说法正确的是 (　 ) A.函数f(x)在区间(1,2)上有且只有1个零点 B.函数f(x)在区间(2,3)上一定没有零点 C.函数f(x)在区间(2,3)上可能有零点 D.函数f(x)在区间(1,3)上至少有1个零点 考点三　函数零点的应用 9.函数f(x)=ln x+x-a在(1,e)上存在一个零点,则实数a的取值范围是 (　 ) A.1<a<e B.1<a<1+e C.a<1或a>e D.a<1或a>1+e 10.已知x0是函数f(x)=-log2x的零点,若0<a<x0,则 (　 ) A.f(a)=0 B.f(a)<0 C.f(a)>0 D.f(a)的符号不确定 11.已知二次函数f(x)=x2-2ax+4,分别求出下列条件成立的情况下,实数a的取值范围. (1)两个不同的零点均大于1; (2)一个零点大于1,一个零点小于1; (3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内. 12.已知函数f(x)=2x+3x,g(x)=2x+log3x,h(x)=2x+x3的零点分别为a,b,c,则 (　 ) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a 13.[x]表示不超过x的最大整数,例如[1]=1,[-3.5]=-4,[2.1]=2.若x0是函数f(x)=ln x+2x-6的零点,则[x0]= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 14.(多选题)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点-1,1,x0,且函数g(x)=ax2+bx+c,则下列判断正确的是 (　 ) A.x0=-a B.函数g(x)可能不存在零点 C.函数g(x)可能有一个零点 D.函数g(x)可能有两个零点 15.已知函数f(x)=x+-a没有零点,则a的取值范围是　　　　.  16.已知函数f(x)=2ax2+4x+1,若函数f(x)在(-1,1)上有且仅有一个零点,则实数a的取值范围为　　　　.  17.已知f(x)=log3(x+1)-log3(x-1). (1)求g(x)=f(x)-2的零点; (2)若关于x的方程f(x)=log3 有解,求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 第1课时　函数的零点与方程的解 1.B　[解析] 由f(x)=x2-4x=0,解得x=0或x=4,故函数f(x)的零点为0,4.故选B. 2.B　[解析] 因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上有且仅有一个零点-2.综上,函数f(x)有两个零点.故选B. 3.BD　[解析] 对于A,函数的零点是数,不是点,故A错误;对于B,令2x-1=0,得x=0,故B正确;对于C,D,函数f(x)的零点是方程f(x)=0的实数根,是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,故D正确,C错误.故选BD. 4.e　[解析] 令f(x)=ln x-1=0,解得x=e,故f(x)的零点是e. 5.解:因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, f(1)=12+21-5=-2<0,f(2)=22+22-5=3>0, 所以函数f(x)在(1,2)上存在唯一的零点,所以函数f(x)在(0,+∞)上的零点个数是1. 6.B　[解析] 因为y=0.4x在R上单调递减,y=在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)=0.4x-在[0,+∞)上单调递减,又f(0.4)=0.40.4-0.40.5>0,f(0.5)=0.40.5-0.50.5<0,所以f(0.4)·f(0.5)<0,所以函数f(x)=0.4x-的零点所在区间是(0.4,0.5).故选B. 7.B　[解析] 令f(x)=ln x-,易知f(x)为增函数,由表中的数据可知f(e)<0,f(3)>0,所以f(e)f(3)<0,所以函数f(x)的零点在(e,3)内,即方程ln x-=0的根所在的区间是(e,3). 8.CD　[解析] 因为函数f(x)在R上的图象连续不断,且f(1)>0,f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)上至少有1个零点,故A错误,D正确;函数f(x)在区间(2,3)上可能有零点,也可能没有零点,故B错误,C正确.故选CD. 9.B　[解析] 因为函数f(x)=ln x+x-a在(0,+∞)上单调递增,且在(1,e)上存在一个零点,所以 解得1<a<1+e.故选B. 10.C　[解析] 因为x0是函数f(x)=-log2x的零点,所以f(x0)=-log2x0=0.因为y=是减函数,y=log2x是增函数,所以f(x)=-log2x是减函数,所以当0<a<x0时,f(a)>f(x0)=0.故选C. 11.解:(1)若f(x)的两个不同的零点均大于1,则解得2<a<, 故实数a的取值范围是. (2)若f(x)的一个零点大于1,一个零点小于1,则f(1)=5-2a<0,解得a>,故实数a的取值范围是. (3)若f(x)的一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内,则解得<a<, 故实数a的取值范围是. 12.A　[解析] 由题可知,a,b,c分别为y=3x,y=log3x,y=x3的图象与y=-2x的图象的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中,作出y=3x,y=log3x,y=x3,y=-2x的图象,如图所示,由图可知a<c<b,其中c=0.故选A. 13.B　[解析] 因为函数f(x)=ln x+2x-6为增函数,且f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以x0∈(2,3),所以[x0]=2.故选B. 14.ACD　[解析] 因为-1和1是f(x)的零点,所以解得所以f(x)=x3+ax2-x-a=x(x2-1)+a(x2-1)=(x+a)(x2-1),因为x0为函数f(x)的零点,所以x0=-a,故A正确;当a=0时,g(x)=-x,此时g(x)有一个零点,故C正确;当a≠0时,g(x)=ax2-x-a,因为Δ=1+4a2>0,所以g(x)有两个零点,故D正确;综上,g(x)可能有一个零点或两个零点,故B错误.故选ACD. 15.(-4,4)　[解析] 令f(x)=x+-a=0,则x+=a,若函数f(x)没有零点,则函数y=x+的图象与直线y=a没有交点.在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x+的图象与直线y=a,如图所示.由图可知,若函数y=x+的图象与直线y=a没有交点,则-4<a<4,故a的取值范围是(-4,4). 16.∪{2}　[解析] 当a=0时,f(x)=4x+1,此时f(x)的零点为-,符合题意.当a≠0时,f(x)=2ax2+4x+1的图象的对称轴为直线x=-,令Δ=16-8a=0,得a=2,此时f(x)=4x2+4x+1,f(x)的零点为-,符合题意;令Δ=16-8a>0,得a<2.若-≤-1,则0<a≤1,因为f(0)=1,且f(x)在(-1,1)上有且仅有一个零点,所以f(-1)=2a-3<0,解得a<,所以0<a≤1;若-1<-<0,则1<a<2,因为f(0)=1,且f(x)在(-1,1)上有且仅有一个零点,所以f(-1)=2a-3≤0,解得a≤,所以1<a≤;若->0,则a<0,因为f(0)=1,且f(x)在(-1,1)上有且仅有一个零点,所以f(-1)=2a-3<0,且f(1)=2a+5≥0,解得-≤a<,所以-≤a<0.综上,实数a的取值范围为∪{2}. 17.解:(1)由题知f(x)的定义域为(1,+∞), 则g(x)=f(x)-2=log3(x>1), 令g(x)=0,得=1,解得x=, 所以g(x)的零点为. (2)由题知,关于x的方程=在(1,+∞)上有解且a>0, 所以a==x-1++3≥3+2=3+2,当且仅当x=+1时等号成立,所以a的取值范围为[3+2,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $