30.2 三角形的内切圆 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学同步练，聚焦“三角形的内切圆”，分层梯度清晰，从概念辨析到综合应用，适配新授课知识巩固与能力提升，培养几何直观、推理能力与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆|内心定义、角度计算、直角三角形内切圆半径|选择填空为主，如概念辨析（1题）、基础角度（2题）及半径计算（3题），夯实基础| |★★☆|切线长定理、图形综合计算、内外切圆关系|结合图形（11题切线长定理）、跨知识点应用（15题中线与内切圆半径比），衔接基础与提升| |★★★|外接圆与内切圆综合、内心证明与计算|解答题为主，如18题内外心距离计算、19题切线与内心证明，培养逻辑推理与综合应用能力|

第三十章 直线与圆 30.2 三角形的内切圆 难度：★☆☆ 1. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的内心是三条角平分线的交点 B. 三角形的外心一定在三角形内部 C. 三角形的内心到三个顶点的距离相等 D. 三角形的内心是三条边的垂直平分线的交点 2. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，则△ABC的内心O与顶点A、B、C形成的∠BOC的度数为（ ）。 A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的内心一定在三角形内部 B. 三角形的内心到三边的距离相等 C. 三角形的内心是三条角平分线的交点 D. 三角形的内心到三个顶点的距离相等 5. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=80°，则△ABC的内心O与顶点A、B、C形成的∠AOC的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的内切圆半径为______。 7. 在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，则△ABC的内心O与顶点A、B、C形成的∠BOC=______。 8. 在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，则△ABC的内切圆半径与斜边上的高之和为______。 9. 在△ABC中，∠A=80°，∠C=40°，则△ABC的内心O与顶点A、B、C形成的∠AOB=______。 10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，内切圆半径为2，斜边AB=10，则△ABC的周长为______。 难度：★★☆ 11. 如图，△ABC的内切圆⊙I与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若⊙I的半径为r，∠FDE=α，则AF+CD−AC=______。 12.如图，△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠C=45°，点O为△ABC内心，连接BO并延长交AC于点D，过点A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，则CF=（ ） A. B. 1 C. −1 D. 13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径为______。 14. 在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，⊙O是△ABC的内切圆，则∠BOC=______。 15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC = 90°，AD 为中线，若 AB = 6，AC = 8，设 △ABD 与 △ACD 的内切圆半径分别为 r₁、r₂，则 = ______。 16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，内切圆半径为2，则BC=______。 17. 等边三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为______。 难度：★★★ 18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8。 （1）求△ABC的外接圆半径R； （2）求△ABC的内切圆半径r； （3）求外心O到内心P的距离OP。 19.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD是⊙O的两条切线，切点为B、D，连接AD、OC，OC交⊙O于E，交BD于F。 （1）求证：E是△BCD的内心； （2）若BC=4，CE=2，EM⊥BC于M点，求EM的长。 20. 已知 △ABC△ABC 内接于 ⊙O，它的内心为点 D，连接 AD交弦 BC 于点 EE，交 ⊙O 于点 FF，已知 BE=5，CE=4，EF=3，求线段 DE 的长。 21. 如图，点 I 为 △ABC 的内心，连接 AI 并延长交 △ABC 的外接圆于点 D，点 E 为弦 AC 的中点，连接 EI、IC。若 IC = 6，ID = 5。求线段 DC 的长； 参考答案 1. A 2. B 3. A 4. D 5. B 6. 2 7. 115° 8. 解析：斜边AB=17，内切圆半径r==3，斜边上的高h== ，和为3 + = = 。 9. 100° 10. 24 解析：在Rt△中，内切圆半径r = ，即2 = ，得a+b=14，周长=a+b+c=14+10=24。 11. 0 解析：由切线长定理，设：AF = AE = x，BF = BD = y，CE = CD = z。则 AC = AE + CE = x + z，∴ AF + CD − AC = x + z − (x + z) = 0。 12. C 13. 2 14. 120° 15. 16. 8 解析：设BC=x，斜边AB=。由r= ，得2=()/2，即4=6+x−，=x+2，两边平方得36+x²=x²+4x+4，x=8。 17. 1∶2 18. （1）解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8， 由勾股定理，得斜边AB==10。 ∵ 直角三角形的外心是斜边的中点， ∴ 外接圆半径 R=AB/2=5。 （2）解：设内切圆半径为r， S△ABC= ×AC×BC=×8×6=24。 半周长 p=(6+8+10)=12。 由 S=p·r，得 24=12r，r=2。 （3）解：建立平面直角坐标系，以C为原点，CA为x轴正方向，CB为y轴正方向。 则 C(0,0)，A(8,0)，B(0,6)。 外心O为斜边AB的中点，O(4,3)。 内心P到两直角边的距离等于内切圆半径r=2， ∴ P(2,2)。 由两点间距离公式： OP===。 19.(1) 证明： ∵ ∠CBE + ∠OBE = 90°，∠EBF + ∠OEB = 90°， 且 ∠OBE = ∠OEB（等边对等角）， ∴ ∠CBE = ∠EBF。 (2) 设⊙O的半径为 R， 由 (R+2)² = 4² + R²，解得 R=3。 ∴ EM = FE = 3 − 1.8 = 1.2。 20. 解析：连接BD、BF。 ∵ ∠C = ∠F（同弧AB所对的圆周角相等），∠BEF = ∠AEC（对顶角相等）， ∴ △BEF ∽ △AEC， ∴ = ，即 = ， 解得 AE = 。 ∵ D 为△ABC的内心， ∴ AF、BD分别为∠BAC、∠ABC的平分线， ∴ ∠BAF = ∠CAF，∠ABD = ∠CBD。 又∵ ∠FBC = ∠FAC（同弧FC所对的圆周角相等）， 且 ∠FAC = ∠BAF， ∴ ∠FBC = ∠BAF。 在△FBE和△FAB中， ∠F = ∠F（公共角），∠FBE = ∠FAB（已证）， ∴ △FBE ∽ △FAB， ∴ =， ∴ BF² = EF·AF = 3 × (3 + ) = 3 × = 29， ∴ BF = 。 又∵ ∠BDF = ∠BAF + ∠ABD（三角形外角定理）， ∠DBF = ∠CBD + ∠FBC， 且 ∠BAF = ∠FBC，∠ABD = ∠CBD， ∴ ∠BDF = ∠DBF， ∴ DF = BF = 。 ∴ DE = DF − EF = − 3。 21. 解： ∵ I 为 △ABC 的内心，AI 的延长线交外接圆于 D， ∴ D 为弧 BC 的中点（不含 A 的弧）， ∴ DB = DC = DI（内心常用结论：D 是△ABC 外接圆上弧 BC 的中点，且 D 到 B、C、I 的距离相等）。 又∵ ID = 5， ∴ DC = ID = 5。 学科网（北京）股份有限公司 $