30.2 三角形的内切圆 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦三角形内切圆核心概念，通过基础辨析、情境应用到综合推理的三层设计，强化从概念理解到逻辑推理的知识巩固路径，培养数学抽象与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|内心概念、内切圆半径计算|以实际情境题（如第1题口袋公园）考查概念辨析，培养数学眼光| |提升层|内切圆与三角形边长关系、内心性质综合应用|结合折叠（第6题）、内心与外接圆（第7题），发展几何直观与运算能力| |综合层|内切圆性质证明、多知识点综合应用|通过尺规作图（第14题）和逻辑证明（第15题），强化推理意识与数学表达|

30.2三角形的内切圆同步练习 一、单选题 1.上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园，要在 公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路AB、ACBC的距离都相等，则凉亭H是△ABC 的() A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三角形的内心 D.三角形的外心 2.如图，点0是△ABC的内心，若∠A=40°，则∠BOC等于() A.110° B.115 C.125 D.130 3.一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为() A. 5 B.1 C.3 D.5 4.如图所示，⊙0内切于△ABC,切点分别为点D,点E,点F,己知AB=BC, ∠B=40°，连接DE,EF,则∠DEF的度数为() D A.40° B.55° C.65 D.70° 5.如图，在△4BC中，AB=I2,AC=6,O0为△1BC 的内切圆，且半径为 ,若 试卷第1页，共3页 △ABC 4V7 的面积为 万，则BC的长为《) A.7 B.8 C.9 D.10 6.如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，点C恰好与△ABC的内心I重合，若∠ACB=40°， 则∠EIA+∠FIB=() E A.210° B.220° C.230° D.240° 7.如图，△ABC中，∠BAC=60°，BC=3,内心为1，连接AI并延长交△ABC的外接圆 于D,若∠ABD=45°，则AI=() D A.3-1 B.1 c.6-2 p.6-5 二、填空题 8.己知△ABC的三边长为AB=2,BC=3,AC=4,则三角形内切圆半径为 9.如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点.若AD=I,BC=5,则△ABC的周 长为一 试卷第2页，共3页 10.如图，己知△ABC的周长是20，点O为三角形内心，连接OB、OC,OD⊥BC于点 D,且OD=3,则△ABC的面积是 B D C 11.如图，已知点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接OB,LA.若 ∠0BC=20°，则∠CAI=°. A B 12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC,BE=BC,DE=8, O是△CDE的外心，如图所示，则O到△ABC的三边距离之和是一 E A O B 三、解答题 13.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5cm, BC=7cm,CA=6cm. 试卷第3页，共3页 D (1)求AF的长. (2已知ac=66cm ,求OD的长 14.(1)尺规作图：如图，己知△ABC.求作：△ABC的内切圆⊙0.（要求：不写作法， 保留作图痕迹). B (2)△ABC的内切圆OO与BC,CAAB分别相切于点D,E,F,且AB=5cm,BC=7cm ,CA=6cm,求AF的长. 15.如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆OO交于点D,与AC交 于点E,延长CD,BA相交于点F,∠ADF的平分线交AF于点G. 试卷第4页，共3页 C D E (I)求证：DG∥AC (2)求证：AD=ID 试卷第5页，共3页 参考答案 1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.A 7.D 【详解】解：如图，设△ABC的外接圆的圆心为O,连接AO,BO,DO,BI, E D 在△ABC中，∠BAC=60°，BC=3,内心为1， .AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD=30°， ∴.∠BOD=60°， .OB=OD ∴.△OBD是等边三角形， .DB=OD=OB=OA. .∠BAD=∠CAD=30°， .BD=CD OD L BC, 服=cE-ac 2 ∠BAD=∠CBD=30° 3√5V5 DE=BE.tan30°=二×- 23 答案第1页，共2页 DB-2DE-3 .∠DBI=∠DBC+∠CBI,∠DIB=∠IAB+∠IBA, I是△ABC的内心， .∠IBA=∠CBI, .∠DBI=∠DIB DI=DB=3 .∠ABD=45°， .∠AOD=90°， 04=OD-DB= :D=V20A=V6 :4I=4D-DI=6- 故选：D 5 8.6 【详解】解：过点C作CD⊥AB,垂足为D,连接AI,BI,CI,设△ABC内切圆的半径 为r, 设AD=x,则BD=2-x, 由勾股定理得：CD=AC2-AD2CD2=BC-BD 42-x2=32-(2-x)2 答案第2页，共2页 解得：x=2.75 CD=AC2-AD=4-2.753 4 .SAABC=SAAOC+S△ABo+S△Bco :2×ABxCD 1 2×ACxr+ 2*2x35 1 1 ×4×r+二×2×r+-×3×r 4 2 2 2 解得： 6 5 故答案为：6. 9.12 解：OO是△ABC的内切圆，D、E、F为切点， .'AD=AE,CE=CF,BD=BF ∴.△ABC的周长=AD+AE+BD+BF+CE+CF=2AD+2BF+2CF=2AD+2BC, .AD=1,BC=5, .△ABC的周长=2×1+2×5=12： 故答案为：12 10.30 解：如图，连接OA,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F, A E 点为三角形内心， 0 OD⊥BC ∴OD=OE=OF=3, ∴.SHBc=SAOB+S。Aoc+SBOC 答案第3页，共2页 xAB.OE+-XAC.OF+xBC.OD 2 0D(4B+AC+BC) =*3x20 =30 故答案为：30. 11.35 【详解】连接OC, B .OB=OC .∠OCB=∠OBC=20°， .∠B0C=180°-2×20°=140°， :∠BAC=)∠B0C=70°， 2 ,点I是△ABC的内心， CI=584c=分m=35 故答案为：35. 12.12 【详解】解：由题意点O是EC、CD垂直平分线的交点， AD=AC.BE=BC. .EC的垂直平分线经过B且平分∠ABC,CD的垂直平分线经过A且平分∠BAC, ∴.O是△ABC的内心， 则r=(4C+Bc-4B)-=4D+8E-AB)=DE=4, ∴.点0O到△ABC的三边的距离之和是3r=12, 答案第4页，共2页 故答案为12 13. 【详解】(1)解：，△ABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, ∴AF=AE,BF=BD,CD=CE, 设AF=AE=x, BF=BD=5-x,EC=DC=6-x, 根据题意得：5-x+6-x=7 解得：x=2cm Af=2cmBD=5-x=5-2=3(cm）EC=6-x=6-2=4(cm) 则AF的长为2cm: (2)解：：AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm, 半周长s=B+BC+C4_5+7+6=9m）. 2 2 又Sac=66cm2 6√6=r.9 36 3, 2W6 cm 则OD的长为3 14. 【详解】解：(1)如图所示 答案第5页，共2页 (2)如图所示， :△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切与点D,E,R, .'AE=AF,BF=BD,CD=CE AB=5cm,BC 7cm,CA=6cm .BF=(5-AF)cm. .BD=(5-AF)cm 则CD=[7-(5-AF)]=(2+AF)cm. .CE=(2+AF)cm, 则AE=[6-(2+AF】=(4-AF)cm, 即AF=4-AF, 解得AF=2cm. 15. 【详解】(1)证明：：点I是△ABC的内心， .∠2=∠7， 答案第6页，共2页 C G ,DG平分∠ADF, Ajoe .∠ABC+∠ADC=180°， .∠ADF=∠ABC, .∠1=∠2， ∠3=∠2， ∠1=∠3， .DG∥AC: (2)证明：：点I是△ABC的内心， .∠5=∠6， :∠4=∠7+∠5=∠3+∠6， 即∠4=∠DAI, .AD =ID 答案第7页，共2页