精品解析：河北冀州中学2025-2026学年高三一轮反馈检测（二）数学试题

河北冀州中学2025-2026学年高三一轮反馈检测（二） 数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设，则集合中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，求得即可判断元素个数. 【详解】因为集合，所以，有6个元素. 故选：D 2. 已知为虚数单位，且复数 满足，则＝（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法、乘方运算求出 ，再根据复数的模长求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以 所以 所以. 答案：A 3. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，，，利用平方关系求得，，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以，， ，， 所以， 故选：C. 4. 在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量将线段的长度转化为求解向量的模长度，结合条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】如图，由题知，， 又因为是平行六面体，则， 所以，则 ， ∴，即， 故选：A. 5. 在的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简得到，求得二项式的展开式的通项为，进而求得展开式中含的项，得到答案. 【详解】由， 又由二项式的展开式的通项为，其中， 所以展开式中含的项为： ， 所以展开式中含的系数为. 故选：A. 6. 记O为坐标原点，已知椭圆 的左右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据椭圆的定义得，结合直角三角形的判定定理、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，则， 因为， 所以， 因为， 所以是直角三角形， 在直角三角形中， 有 ， 所以， 在直角三角形中， 有 . 故选：A 7. 已知数列满足，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可判断A选项；利用递推公式求出的值，可判断B选项；利用递推公式结合可判断C选项；利用等差数列的定义求出的通项公式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，即，C对； 对于D选项，由题意可知，数列为等差数列，首项为，公差为， 所以，D错. 故选：C. 8. 在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 为的最小正周期 C. 为曲线的对称轴 D. 为曲线的对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的有界性，结合二倍角公式即可求解A，代入验证即可求解BCD. 【详解】对于A：若的最大值为，则 与同时取得最大值， 当 取得最大值时，，可得取不到， 当取得最大值时，，此时，， 所以 与不可能同时取得最大值，故选项A不正确； 对于B：因为 的最小正周期是 ，的最小正周期是， 且， ， 所以 为的最小正周期，故选项B正确； 对于C：， ， 所以、不恒相等，所以不是曲线的对称轴，故选项C不正确； 对于D：， 所以对于任意的恒成立， 所以为曲线的对称中心，故选项D正确； 故选：BD. 10. 关于函数，下列描述正确的有（ ） A. 函数 在区间 上单调递增 B. 函数 的图象关于直线对称 C. 若，但，则 D. 函数 有且仅有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象变换，可得图像，利用图象注意检测选项，可得答案. 【详解】由函数，轴下方图象翻折到上方可得函数的图象， 将轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象， 将函数图象向右平移个单位，可得函数的图象， 则函数的图象如图所示. 由图可得函数 在区间 上单调递增，A正确； 函数 的图象关于直线对称，B正确； 若，但，若，关于直线对称，则，C错误； 函数 有且仅有两个零点，D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于两点，的内切圆与相切于点，则下列选项正确的是（ ） A. 线段的最小值为 B. 的内切圆与直线相切于点 C. 当时，双曲线的离心率为 D. 当点关于点的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出直线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式可判断A，根据双曲线的定义和内切圆性质可判断B，由题可得进而可判断C，根据条件可得渐近线与x轴的夹角为可判断D. 【详解】设双曲线的右焦点为，， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，则， 当直线斜率存在时，设直线的方程为 联立，消去，得， ， 由，解得或， 所以 ， 所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为，故A错误； 设的内切圆与三角形三边的切点分别是，由切线长性质，可得 ， 因为，所以，所以与重合， 即的内切圆与直线AB相切于点，故B正确； 由题可知双曲线的渐近线为，，则， 由上可知，所以，所以，故C正确； 若关于P点的对称点在另一条渐近线上时，则渐近线与x轴的夹角为，则其渐近线方程为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题A选项的关键是采用设线法联立双曲线方程，利用弦长公式证明出双曲线焦点弦中通径最短的结论. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知单调递减的等比数列满足，则 ___________. 【答案】6 【解析】 【分析】由题可得公比 ，利用等比数列的性质求解判断. 【详解】因为数列是单调递减的等比数列，所以公比 ， 因为，所以， 若，则，不合题意； 若，则，合题意； 所以. 故答案为：6. 13. 若直线 是曲线的一条切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线与曲线的切点，根据曲线在点处导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率列出方程即可求解. 【详解】设直线 与曲线相切于，则； 所以，解得，所以； 又，所以，解得. 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数，满足 ，且 ，则不等式 的解集为_____ 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，对函数求导，根据已知条件得出函数在上的单调性，然后将所求不等式等价得出，最后利用单调性解出不等式即可. 【详解】设， 则， 由已知当时，， 即，又 ， 所以， 所以在上单调递减， 又，所以， 由，则， 因为，所以， 即， 又因为在上单调递减， 所以， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，中，为上一点，． （1）若为钝角， 与 均为等腰三角形，求的面积; （2）若，求AD． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用三角形面积公式求解. （2）法1，利用三角形面积公式可得，再利用和角的余弦公式，结合直角三角形边角关系列式求解；法2，利用余弦定理、垂直关系的向量表示并结合数量积的运算律列出方程组求解. 【小问1详解】 令 ， ， 由为钝角， 为等腰三角形，得， 又 为等腰三角形，且，则， 在 中，，则， 所以的面积为. 【小问2详解】 法1：在中，由，得，而 ，， 由，得， 由，得， 则， 因此，即，又， 所以. 法2：在中，，由余弦定理得， 而，即，又，则， 即，于是，解得， 则，解得， 所以. 16. 已知函数的图象关于点对称，数列满足. （1）求实数a的值； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用函数图象的对称性列式求出值. （2）由（1）中信息，利用倒序相加法求出，进而求出，再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 由函数的图象关于点对称，得， 则，即， 因此，所以. 【小问2详解】 由（1）知，而当 时，， 则， 于是，当时， ，即，满足上式，因此， ， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，分别是棱的中点，侧面 底面，． （1）证明：； （2）证明：平面平面 ； （3）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为，是中点，所以 又因为侧面 底面，是交线，且 ，所以 面， 因为 面，从而， 又 ，所以面 ， 由（1）知，所以面 ， 又因为面 ，所以平面平面 ． （2）证明：因为侧面 底面，交线为，在面内作的垂线，则该垂线垂直于面以该垂线为 轴，为坐标原点建立如图的空间直角坐标系： 则， 是中点，所以， 由（2）知面 ，是面 的一个法向量， 设平面的法向量为，， 则即，不妨令，可得 所以 所以二面角的正弦值是． （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理和平行四边形判定即可.（2）通过线面垂直推出面面垂直.（3）找两个平面的法向量，求夹角正弦值. 【小问1详解】 证明：因为、分别是棱、中点，所以 且 ， 又且 所以且 ，四边形是平行四边形，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 某企业生产的系列玻璃器皿产品成功入选“一带一路十周年·国礼品牌”．其中某型号高脚杯的轴截面为抛物线C，如图1所示．往高脚杯中缓慢倒水，当杯中的水深为1cm时，水面宽度为4cm，如图2所示．以O为坐标原点建立平面直角坐标系，P，Q是抛物线C上异于点O的两点，且满足 ． （1）求抛物线C的方程； （2）求证：直线PQ过定点； （3）过点O作PQ的垂线，垂足为H．是否存在一个定点到点H的距离为定值?如果存在，求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明如下： 设直线PQ的方程为 ，， 联立，得 ． ， ，因为 ，所以． ． 因为 ，所以 ，解得 ，或 ． 因为不经过点，所以 舍去． 所以直线的方程为 ，所以直线过定点． （3）存在点到点H的距离是定值． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入方程，求抛物线方程； （2）首先设直线PQ的方程为 ，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示 ，即可求解； （3）根据（2）的结果，以及垂直关系，求出点的轨迹方程，即可求解定点. 【小问1详解】 设抛物线的方程为， 由题知，代入抛物线方程，可得 ， 解得，所以，抛物线C的标准方程为 ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在定点，理由如下： 由（2）得直线过定点，过点作的垂线，垂足为． 所以 ，定点在上，即 ， 故点在以为直径的圆周上，圆心为的中点． 因为，所以中点坐标为，即为圆心的坐标， 因为圆心到圆周上的点H的距离等于半径1， 故存在点到点H的距离是定值． 19. 已知函数 . （1）若 ，求函数的单调区间； （2）对任意实数 不等式 恒成立，求实数b的取值范围； （3）若是的两个不同的极值点， 且 求实数a的取值范围. 【答案】（1） 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性，从而求得单调区间； （2）分离参数，并构造函数，再利用导数判断的单调性，并求得其在上的最大值，即可求得参数的范围； （3）依题可得函数有两个不同的零点，结合判别式和韦达定理，由题干条件等价转化，推得，从而得到关于的不等关系，求解即可. 【小问1详解】 当 时，，则， 由 可得或，由 可得 . 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 即， 设， 由题意知，对任意的恒成立. 则 ， 因为时，恒成立， 故当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故，则有 ，故的取值范围为 . 【小问3详解】 由，可得， 因是的两个不同的极值点，则方程有两异根， 则有（*），故 . 而， 即， 也即，即， 将（*）代入上式，可得，解得. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北冀州中学2025-2026学年高三一轮反馈检测（二） 数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设，则集合中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知为虚数单位，且复数 满足，则＝（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 记O为坐标原点，已知椭圆 的左右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，记，则（ ） A. B. C. D. 8. 在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 为的最小正周期 C. 为曲线的对称轴 D. 为曲线的对称中心 10. 关于函数，下列描述正确的有（ ） A. 函数 在区间 上单调递增 B. 函数 的图象关于直线对称 C. 若，但，则 D. 函数 有且仅有两个零点 11. 已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于两点，的内切圆与相切于点，则下列选项正确的是（ ） A. 线段的最小值为 B. 的内切圆与直线相切于点 C. 当时，双曲线的离心率为 D. 当点关于点的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知单调递减的等比数列满足，则 ___________. 13. 若直线 是曲线的一条切线，则__________. 14. 已知定义在上的函数，满足 ，且 ，则不等式 的解集为_____ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，中，为上一点，． （1）若为钝角， 与 均为等腰三角形，求的面积; （2）若，求AD． 16. 已知函数的图象关于点对称，数列满足. （1）求实数a的值； （2）设，求数列的前n项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，分别是棱的中点，侧面 底面，． （1）证明：； （2）证明：平面平面 ； （3）若，求二面角的正弦值． 18. 某企业生产的系列玻璃器皿产品成功入选“一带一路十周年·国礼品牌”．其中某型号高脚杯的轴截面为抛物线C，如图1所示．往高脚杯中缓慢倒水，当杯中的水深为1cm时，水面宽度为4cm，如图2所示．以O为坐标原点建立平面直角坐标系，P，Q是抛物线C上异于点O的两点，且满足 ． （1）求抛物线C的方程； （2）求证：直线PQ过定点； （3）过点O作PQ的垂线，垂足为H．是否存在一个定点到点H的距离为定值?如果存在，求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 19. 已知函数 . （1）若 ，求函数的单调区间； （2）对任意实数 不等式 恒成立，求实数b的取值范围； （3）若是的两个不同的极值点， 且 求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $