专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示（6类必考点）训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间点坐标为基础，系统梳理向量运算及共线、垂直等性质的坐标表示，通过分层考点训练构建空间向量坐标运算的知识网络，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间直角坐标系|5题|坐标对称、轴上点坐标|点坐标→向量坐标基础| |向量运算坐标表示|5题|加减、数乘、数量积计算|向量运算规则坐标化| |共线/垂直坐标表示|各5题|共线参数求解、垂直条件应用|向量关系→坐标条件转化| |模与夹角坐标表示|11题|模长计算、夹角余弦值求解|数量积→模与夹角公式应用|

专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示 【考点导航】 【知识梳理】 1、空间点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2、 向量线性运算、数量积运算坐标表示 设向量则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 数量积 向量的数量积等于对应坐标之积的和 3、向量共线、垂直、模、夹角的坐标表示 设，，则有下表： 向量表示 坐标表示 共线 ，， 垂直 ＝0(≠0，≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 夹角 【考点1：空间直角坐标系】 1．（26-27高二上·辽宁营口·开学考试）点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东深圳·期末）空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________． 4．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 5．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）在空间直角坐标系中,已知点,求直线与平面的交点的坐标__________. 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 1．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 2．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 1．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 3．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知向量，，且，则__________． 4．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 5．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，若，则__________. 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 1．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 2．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．（25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知向量，向量，若，则__________． 5．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 1．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 3．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知向量，且，则（    ） A． B．3 C． D．16 4．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，，且，，____ ． 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 3．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 5．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示 【考点导航】 【知识梳理】 1、空间点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2、 向量线性运算、数量积运算坐标表示 设向量则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 数量积 向量的数量积等于对应坐标之积的和 3、向量共线、垂直、模、夹角的坐标表示 设，，则有下表： 向量表示 坐标表示 共线 ，， 垂直 ＝0(≠0，≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 夹角 【考点1：空间直角坐标系】 1．（26-27高二上·辽宁营口·开学考试）点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 2．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 3．（25-26高一下·广东深圳·期末）空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】因为点和点关于轴对称，所以. 4．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 【答案】 【详解】设，由知，点M到A、B两点距离相等. 由两点之间距离公式可得：， 解之得，所以点M的坐标为. 5．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）在空间直角坐标系中,已知点,求直线与平面的交点的坐标__________. 【答案】 【分析】先设出P点坐标，根据三点共线可得,再根据向量共线的坐标表示列方程组即可求得P点坐标. 【详解】设直线与平面的交点为,则, 即, 即, , , , 直线与平面的交点的坐标为 【考点2：空间向量运算的坐标表示】 1．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 2．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 3．（25-26高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过向量法则简化表达式，再用坐标运算得到结果即可. 【详解】根据题意，点，，，则. 故选：B. 4．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 5．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据向量数量积的运算律和向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 故选：D. 【考点3：空间向量平行（共线）的坐标表示】 1．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则. 故选：B 3．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知向量，，且，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 4．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【答案】 【分析】由向量共线的坐标表示求解 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 5．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，若，则__________. 【答案】3 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 即，解得，. 故答案为：. 【考点4：空间向量垂直的坐标表示】 1．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 2．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 3．（25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，即. 4．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知向量，向量，若，则__________． 【答案】4 【详解】，，， ，即， 解得． 5．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 【答案】/ 【详解】因为，所以，解得. 【考点5：空间向量长度的坐标表示】 1．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据向量共面的条件，，使得，再列方程组求解即可． 【详解】解：向量，，共面， ，使得， ，解得， ，． 3．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知向量，且，则（    ） A． B．3 C． D．16 【答案】B 【分析】由向量垂直与平行的坐标表示求得，然后由模的坐标表示计算出模． 【详解】因为向量，且， 所以解得， 则， 所以， 所以． 故选：B． 4．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 5．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，，且，，____ ． 【答案】 【分析】先求出的值，再写出的坐标，进行计算即可. 【详解】因为⊥，所以， 解得，可得， 又因为，且， 所以，解得，，则， 又因为，所以， 由模长公式得． 【考点6：空间向量夹角的坐标表示】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 【答案】1 【分析】利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以 ， 因为，所以，解得 . 3．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积为零判断AD，根据模长公式求解判断B，根据向量夹角的余弦公式求解判断C. 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 5．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以， 故D错误. 6．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $