专题01 空间向量线性运算及坐标运算八类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以四大核心运算为基础，通过题型模版系统提炼解题通法，构建从基础参数求解到综合最值探究的知识逻辑链，培养数学思维与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心框架|围绕线性运算、共面定理等四大核心，强调坐标分量匹配与几何意义核验|从运算规则到应用原则，构建逻辑底线| |题型归纳|8题型（每题型1典例+3变式）|线性运算用坐标对应法，共面定理用充要条件，模长最值用平方转化等|从基础参数到复杂情景，形成递进式应用链| |压轴挑战|19题（选择/填空/解答）|综合运用多核心运算，结合新定义与动态几何|从单一知识到跨模块综合，提升思维上限|

专题01 空间向量线性运算及坐标运算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由空间向量线性运算求参数 题型五、与空间向量的模长有关的最值或范围 题型二、由空间向量共面定理求参数 题型六、与空间向量夹角有关的最值与范围 题型三、由空间向量共面定理求体积或其最值 题型七、空间向量数量积求模长（较复杂情景） 题型四、求空间向量数量积的最值或范围 题型八、与空间向量运算有关的新定义 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 空间向量相关计算与参数求解是高中立体几何核心重难点，所有题型均围绕向量线性运算、共面定理、数量积运算、模与夹角计算公式四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是向量坐标运算时分量对应匹配计算，二是求解最值、参数范围时必须结合几何实际意义核验取值边界，所有参数计算结果最终均需合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由空间向量线性运算求参数 典例1 （25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 题型模版 1.特征：题干给出向量加减、数乘的线性等式，向量坐标内含未知参数，依靠向量相等的坐标对应关系求解参数数值 2.方法：依照空间向量线性运算法则展开计算各个坐标分量，利用相等向量横纵竖坐标分别对应相等列出方程组，求解参数后核验平行向量比例式分母为0的特殊情况 变式1-1（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 变式1-2（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的线性运算以及空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以 ， 因为、、不共面，所以，所以，故. 变式1-3（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将利用线性运算表示成，由此可解出，即可求解的值. 【详解】在平行六面体中，M为AB的中点，， 有， 又，则， 所以． 故选：C 类型二、由空间向量共面定理求参数 典例2 （25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）在直三棱柱中，，，.若点满足，且点在平面内，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量面的推论可求出的值. 【详解】因为点在平面内，设，其中、， 所以， 整理可得， 因为、、不共面，且， 所以，故，因此， 故选：A. 题型模版 1.特征：告知三个空间向量共面或者空间四点共面，依托共面的线性表达式求解式子内的参数 2.方法：把全部向量改写为坐标形式，代入的共面充要条件，分坐标维度建立方程联立求解参数，四点共面可转化为两组共起点向量共面处理 变式2-1（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据空间向量的线性运算得到，利用四点共面可知，即可得到的值. 变式2-2（2024·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合已知可得，利用共面求. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 因为共面，所以，解得. 故选：D. 变式2-3（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中， .直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，通过四点共面，即可求解. 【详解】依题意，，在四棱台中， ， 设，则四点共面， . 故选：A 题型三、由空间向量共面定理求体积或其最值 典例3 （2026·海南海口·模拟预测）已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 【答案】 【分析】设，其中，由空间四点共面定理可得，再由，得，结合基本不等式求解即可. 【详解】设，其中， 取空间基底, 因为底面是平行四边形， 所以 , 又因为为的中点， 所以, 又因为四点共面， 所以 , 所以，解得， 又因为, 又因为， ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以四棱锥体积的最小值为8. 题型模版 1.特征：几何体的底面由一组共面向量确定，几何体体积表达式中带有参数，需要求出体积取值或是体积对应的最值 2.方法：利用共面向量叉乘模长计算底面面积，结合法向量求出几何体高度，写出含参体积函数，借助二次函数、基本不等式求解最值，同时结合立体几何结构约束参数范围 变式3-1（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】以空间向量为工具，将几何中的共面问题转化为向量系数关系，再将体积比问题转化为函数最值问题，通过代数方法求解即可. 【详解】设平面与棱分别交于点，设，其中， 直线与平面交于点， 由点为外接球的球心，有， 又由，得到， 因为四点共面，所以，即. 易知：，其中为棱之间的夹角， 下面求的取值范围， 由，又，可得，其中， 令，则，因此， 又因为，，所以. 故的最大值为， 故选：B. 变式3-2（24-25高三上·江苏常州·阶段检测）如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点为线段上靠近的三等分点，点为线段上靠近的三等分点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】连接，令，得到，根据F， P，Q， R四点共面，结合基本不等式，求得，设点到平面的距离为，得到点到平面的距离为，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，连接，可得 ； 令，则，所以， 由F， P，Q， R四点共面，可得， 当且仅当时取等号，所以； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又因为，， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥体积相关问题的求解，解题关键是能够结合空间向量的知识，利用四点共面得到的最小值，进而代入体积公式求解. 变式3-3（2026·河南许昌·模拟预测）空间向量四点共面定理：已知，，为空间中的一组基底，空间中任一向量（，，），若，，，四点共面，则.如图所示，正方体的棱长为2，点，分别为，的中点，则三棱锥的体积为______. 【答案】/ 【分析】连接交平面于点，利用给定结论及空间向量基本定理可得，再利用三棱锥的体积求解即可. 【详解】 连接，与平面交于点， 设，则有， 由于，，三点共线，设， 另一方面，易得， 显然，， 可得，即， 所以. 故答案为： 题型四、求空间向量数量积的最值或范围 典例4 （25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 根据二次函数性质可知当时取得最小值，此时最小值为. 所以的最小值为. 题型模版 1.特征：向量坐标包含可变参数，求解两向量数量积的取值区间、最大值与最小值 2.方法：代入坐标公式展开化简数量积解析式，整理为常规函数形式，结合参数自身限制区间分析函数值域，搭配向量夹角余弦的范围辅助界定边界 变式4-1（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 【答案】 【分析】设正方体的中心为，连接，设，连接，由已知线面关系可证得平面，从而可得，，根据空间向量的数量积计算，从而可得其最小值. 【详解】设正方体的中心为，连接，设，连接，    因为正方体中，所以平面， 因为平面， ， 又平面，所以平面， 因为P是棱的中点，正方体的中心为， 所以，则四边形为平行四边形，则， 故平面，由于平面， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，所以|，所以， 因为E，F是矩形内的任意两点，所以，当且仅当E，F为或的两端点时，等号成立， 则，即的最小值是. 故答案为：. 变式4-2（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，并求出的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当取得最小值时，取得最小值， 当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 变式4-3（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 题型五、与空间向量的模长有关的最值或范围 典例5 （25-26高二下·上海·期末）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，且等号能成立，则________． 【答案】 【分析】依题意可根据单位向量设出，根据条件求出，再设出，分别求出，再求出模长. 【详解】对任意，且等号能成立，则到组成平面的最短距离为. 设，由，，得. 设，则最短距离，故. 由得； 代入，得，解得. . 题型模版 1.特征：向量由含参向量组合而成，求解该向量模长的取值范围以及对应最值 2.方法：优先对模长平方消去根号进行运算，展开数量积得到整式函数，使用配方法、单调性求解平方的最值，最终对结果开根号得到模长真实范围 变式5-1（25-26高二上·重庆·期末）在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将点 的坐标用表示，代入约束条件后，把转化为关于的二次代数式，再通过代数配方求出最小值. 【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, 所以， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 将其看作关于的二次式，， 则当时最小值为， 则当时取得最小值，此时. 故选：A. 变式5-2（24-25高二下·河南周口·期末）如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为______． 【答案】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，得，，且，，由已知及向量数量积的坐标运算得，结合向量模长的坐标运算得，且，即可求最值. 【详解】设为下底面中心，构建如下图示的空间直角坐标系， 结合题设知，，且，， 所以，，故， 所以，可得， 而，则 ， 又，故时，. 故答案为： 变式5-3已知正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，要使的最小即要最大，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果. 【详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，， ， 又得：即； 又平面，故为与平面所成角，要使最小，只需最小，即最大， 令， ， 当时，最大，则， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：构建空间直角坐标系，设，由垂直关系结合向量垂直坐标表示得到参数m、n的数量关系，将问题转化为求与平面所成角正切值最大，再应用三角换元，用三角函数表示出，根据正弦函数性质求最值. 题型六、与空间向量夹角有关的最值与范围 典例6 （25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B    题型模版 1.特征：向量带有参数，求解两向量夹角的取值区间、最大最小值，易和异面直线夹角考查结合出题 2.方法：套用夹角余弦公式写出含参余弦表达式，依据余弦在上单调递减的性质，由余弦值域反向推导夹角范围，严格区分向量夹角与异面直线夹角的取值区间 变式6-1（25-26高二下·福建厦门·期末）已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的定义和坐标运算可得，再结合即可得出，最后利用夹角公式求最值. 【详解】由题可知①， 又②，①②联立， 结合，得，. 因为， 所以当时，取得最大值为. 故选：A 变式6-2（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 变式6-3（24-25高二上·广东·期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，设中点为，中点为，由得，确定点的轨迹，由数量积的定义计算向量夹角的余弦值，结合参数范围得余弦值范围，从而角的范围． 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有、、， 设，、、，设中点为，中点为，由得，则， 即， 又，同理可得， 即，即， 即，故有， 且，，， ， 故， 由可得， 故，故. 故选：B. 题型七、空间向量数量积求模长 典例7 （25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 题型模版 1.特征：向量为多个向量加减混合的复杂结构式，需要依靠数量积运算求解整体向量的模长 2.方法：对复杂向量整体平方，利用完全平方公式展开数量积运算，代入已知模长、数量积数值完成计算，最后对计算结果开方得到目标模长 变式7-1（2026高二·全国·专题练习）如图是缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，，分别为，的中点，且，，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过，，又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知垂直关系将线段表示为向量和，再利用向量数量积为零的性质计算模长，得到各段长度相等后，求和得出总长度. 【详解】依题意，，， 所以，，， 又， 所以 ， 所以， 同理可得， 所以丝线缠一圈的长度为． 故选：C. 变式7-2（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 【答案】 【分析】将向量分解为，利用向量模长公式展开计算，结合二面角的大小得到向量夹角，进而求出的长度. 【详解】由题意可知，且，，二面角的大小为， 故与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为. 所以 因此. 故答案为： 变式7-3（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】A 【分析】由图得，再根据向量数量积的运算律和定义代入数据即可得到答案. 【详解】由题意得， 所以． 因为，二面角的大小为， 所以，． 因为， 所以， 所以. 故选：A. 题型八、与空间向量运算有关的新定义 典例8 （24-25高二上·陕西西安·期中）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，．    (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程，求可得的长. （2）过点作交的延长线于点，证明为二面角的平面角，解三角形求其余弦值，结合二面角与二面角互补可得结论. （3）过点作，证明平面，过点作交于点，在上取点，使得，证明，结合条件可求. 【详解】（1）因为底面为矩形，所以， 因为平面，底面，所以. 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成的角， 设，则. 在中，. 又，所以，解得或（舍去），所以. （2）在平面内，过点作交的延长线于点，连接. 因为底面，底面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为为的中点，，四边形为矩形， 所以，所以，所以。 所以，设二面角的平面角为，则， 所以，所以. 所以二面角的平面角的正弦值为.    （3）存在符合条件的点，依题意得，， 又，所以. 又，所以，又平面，所以平面. 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，得， 又平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得. 连接，所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，易知，所以， 所以.    题型模版 1.特征：题干给出课本没有的全新向量运算规则，结合新运算求解参数、最值、化简式子等问题 2.方法：逐条拆解题干给出的新运算规则，对应x、y、z三个坐标分量分步运算，解题全程严格遵循题干定义，不能混用常规向量运算公式推导化简 变式8-1（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）在一个长8m，宽6m，高3m的房间内点处安装一个Wi-Fi路由器．假设在点处，信号强度，其中是路由器天线的主方向向量（垂直向下）．只有当（即信号向下传播）时才有信号．则该房间内地面上信号强度的最大值是__________．（说明：） 【答案】16 【分析】根据给定信息，利用空间向量数量积的坐标表示求出，再利用空间向量模的坐标表示求出的最小值，进而求出地面上信号强度的最大值. 【详解】依题意，，而，则， 当点在地面上时，，，， 而，当且仅当时取等号， 因此， 所以该房间内地面上信号强度的最大值是16. 变式8-2（25-26高二上·上海松江·期中）在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【答案】(1) (2), 2 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设分别为与同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到 ，从而得到求向量的斜坐标；②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【详解】（1）， 的斜坐标为． （2）设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 变式8-3（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知，，定义.若直四棱柱的底面为矩形，，，为侧面（包含边界）内一动点，且，则的最大值为______. 【答案】10 【分析】建立空间坐标系，表示出，，根据题意得出，利用三角换元，结合辅助角公式可得答案． 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，即，结合题意可知，点在矩形内以点为圆心，半径为1的圆弧上，且满足，． ，化简得：． 设，，则，，即，，故 ，， 故，当时，有最大值． 故答案为：10 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高二下·福建厦门·阶段检测）在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，，，利用空间向量基本定理有，进而可得，利用判别式即可求解. 【详解】设，，，则有， 由，， 所以，， 所以 ， 即 ， 所以， 整理得， 所以， 则，解得，则棱的最大值为4. 故选：D. 2．（24-25高三下·云南丽江·阶段检测）如图，正方形 的边长为2， 为边 的中点.将 沿 所在直线进行翻折，使得二面角 为 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作垂足为 ，过点作，垂足为，则翻折后与的夹角为，再由解题即可. 【详解】过点作垂足为 ，过点作，垂足为，则翻折后与的夹角为， 因为正方形 的边长为2， 为边 的中点， 所以，易得，， 因为与相似，则， 所以,，所以 , 又， 所以 ，所以. 故选：D 3．（第2讲向量虽自由基底定空间）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，有，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】由向量的数量积的几何意义及向量模的意义，构造直角三角形从而求出向量的模. 【详解】设空间向量，， 根据， 可知为在，所在平面上的投影向量，且，. ，且，， 如图    所以，即， 同理得，解得，， ，， 由此可得， ，即. 故选：C． 4．（25-26高三上·河北·阶段检测）空间内三条直线满足，，且，，记，，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直关系和向量线性运算可求得，，结合向量数量积定义和角度关系可得；利用可求得，由可得结果. 【详解】， ，，，，， ，，，， ，， ， ，，，， ， ，即. 故选：A. 5．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）将边长为的正方形沿对角线折起，使点到达的位置，连接，得到三棱锥是线段上的动点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用角参数结合空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图，取棱的中点，连接，则. 以为原点，所在直线分别为轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，， 所以. 设，， 则，， 故. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是.    故选：B 6．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 7．（2026·湖南·三模）在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先看出，，，分别是四面体四个面的重心，因此四面体与四面体的体积比为．再求出平行六面体的体积，并利用四面体的体积是该平行六面体体积的，即可求得结果． 【详解】由题意可知，，，，分别是四面体四个面的重心，如图． 在任意四面体中，连接四个面的重心得到的小四面体与原四面体对应边平行，且相似比为，所以体积比为 因此 下面求．设平行六面体的体积为． 底面是边长为，夹角为的菱形，所以 设到底面的距离为．由于与，的夹角都为，所以在底面上的射影在的角平分线上． 设该射影为，则与，的夹角均为． 由，可得 解得 所以 故平行六面体的体积为 四面体由平行六面体的四个交错顶点组成，其体积为平行六面体体积的，故 于是 8．（24-25高二上·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，表示出相关向量，再利用四点共面时空间向量的基本定理列方程组求解即可. 【详解】 由题意可得， 因为所以，且 ，， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用空间向量的基本定理得到下列方程. 二、填空题 9．（24-25高二上·四川成都·期中）已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则__________，__________. 【答案】 2 【分析】问题转化为当且仅当时取到最小值，利用数量积求向量的模，且当模最小时，求出相关的数值. 【详解】，由于，所以， 问题等价于当且仅当时取到最小值， . 则，解得，，. 故答案为：2；. 【点睛】方法点睛：涉及向量的模，通常用到求解. 10．（24-25高三上·福建三明·期中）在四面体中，，，，的中点为，的中点为，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】设出线段的长度，然后利用勾股定理表示出和，进而利用表示出线段的长度，然后转化为函数求最值即可，但是要注意确定解析式中自变量的取值范围. 【详解】如图所示，连接和，根据和可知， 和.不妨设，则根据勾股定理可知，，其中根据三角形中三边的长度关系可知，， 解得.因为，所以. 因为，所以，即. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：求取值范围的问题常常用函数法求解，解决本题的关键就是建立出关于长度的解析式，然后转化为函数求最值问题处理即可. 11．（25-26高二上·湖南·阶段检测）空间内不共面的三条直线满足，且，记，已知，则___________． 【答案】 【分析】根据题意得出，，利用向量夹角公式建立方程求出，再由勾股定理得解. 【详解】如图， 由得， 由得 ， 由可得， 由可得， 而，得． 由得， 即，即，解得， 故由勾股定理得 ， 故答案为：． 12．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据内切球半径求得正四面体的棱长，利用向量数量积运算以及球的几何性质求得的取值范围. 【详解】设正四面体的棱长为，设是等边三角形的中心，连接， 则平面，且球的球心， ， 则， 所以，解之得， 所以,， 由向量运算的三角形法则可得， 所以， 而，则． 由题设可知，所以. 故答案为： 13．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算法则，将转化为，则题意求得的取值范围，即可得到的取值范围. 【详解】分别取，的中点，，则，即，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面． 又， 因为三棱锥的棱长均为4，所以三棱锥是正四面体，其每个面均为边长为的正三角形. 所以，. 因为， 所以，. 所以的取值范围为． 故答案为：． 14．（2026高三下·新疆·竞赛）已知四面体，点在内，满足的面积之比，在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为__________. 【答案】10 【分析】设，由题意结合向量共线定理可得，进而可得，于是，进而可求四面体与的体积之比. 【详解】如图，设，且表示到的距离，表示到的距离， 由的面积之比，所以， 设表示到的距离，表示到的距离， 同理，即，    则，即， 所以， 因为B，，F三点共线，则，解得， 由，可得，则，且， 于是，即， 若分别表示到平面的距离， 所以. 15．（24-25高二上·山东潍坊·期中）在四面体中，点，分别为，的重心，过作直线与棱，交于点，已知，，则_______.若四面体的体积为3，则四棱锥的体积最大值为_______. 【答案】 【分析】根据三点共线列方程，由此求得.先求得四棱锥的体积的表达式，然后利用基本不等式求得体积的最大值. 【详解】设是的中点，所以三点共线，三点共线， ，， 所以，由于三点共线， 所以. 依题意，. . 由于，所以到平面的距离是到平面的距离的三分之一， 所以 ，当且仅当时等号成立. 所以四棱锥的体积最大值为. 故答案为：； 【点睛】思路点睛： 通过重心与中点确定共线关系：首先通过重心的性质确定共线关系，这是解题的基础步骤. 利用体积表达式结合不等式求解最大值：通过建立四棱锥的体积表达式，结合基本不等式，确定体积的最大值，这种方法有效地将空间几何问题转化为代数问题. 16．（25-26高二上·上海·阶段检测）正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为________． 【答案】5 【分析】先对原等式进行化简，设，进而化简得到，然后确定点在以为直径的球面上，在以为直径的球面上，并求出半径，最后确定结果即可. 【详解】因为向量，满足，， 化简得. 设，则， 化简得. 因此，点在以为直径的球面上，半径为 在以为直径的球面上，半径为, 分别取的中点，则，故. 故答案为：5. 17．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）蚌埠又名“珠城”，《尚书•禹贡》中就有“淮夷蚌珠”的记载，这表明4000多年前的夏禹时代，蚌埠所在的淮河沿线就已是产珠之地，珍珠的镶嵌工艺亦历史悠久，在某工艺模型中，已知半径为1的球内切于正四面体ABCD，线段MN是球的一条动直径，点是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据向量运算规则将化为的组合表达式，并进一步可得，再将求的取值范围转为求的取值范围即可，而的最大值为正四面体的外接球半径，最小值为正四面体的内切球半径，求出这两个半径即可． 【详解】设内切球球心为O，可知O为MN的中点，则，，， 所以， 设正四面体ABCD的棱长为a，外接球半径为R，如图所示，    可知H为正三角形ABC的外心，则， 在和中，， 解得，， 设正四面体ABCD的内切球半径为r，内切球半径为图中OH，所以， 解得，又的最大值为外接球半径R，最小值为内切球半径r， 所以，进一步可得，即的取值范围为． 故答案为：． 18．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算转化为平面向量，结合三角函数恒等变换与三角函数性质求最值即可. 【详解】如图：过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆，，，    设点在圆，上的射影点为，，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由， 则，当且仅当时取等， 如图在圆所在平面，取点为圆与轴负半轴交点，建立平面直角坐标系.    则，设，， 所以，， 则 当，时，等号成立. 故， 所以的最小值为. 19．（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，设，，则四棱锥体积的最小值为______. 【答案】4 【分析】根据向量的线性运算及共面定理可得，由等体积法求得,,根据，结合基本不等式求解即可. 【详解】由于四边形是平行四边形，可得, 则, 根据题意, 而,,,四点共面， 所以，可得， , , , 当且仅当，即时取等号. 三、解答题 20．（23-24高一下·重庆渝中·期中）定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为，终点为的空间向量记作，其大小称为的模，记作等于两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量，均有 ，，；对任意实数和空间向量，均有；对任意三点，均有等．已知体积为的三棱锥的底面均为，在中，是内一点，．记． (1)若到平面的距离均为1，求； (2)若是的重心，且对任意，均有． （i）求的最大值； （ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意均有求证：不可能对任意及均成立． （参考公式： ） 【答案】(1) (2)（i）； （ii）由（i）知，，所以对任意， 均有，故，记， 则， 所以， 由于任意均有， 所以，所以． 假设对任意及均成立． 则对于，均有， 所以，与矛盾， 所以假设不成立，即不可能对任意及均成立． 【分析】（1）由三棱锥的体积公式结合图形和题意计算即可； （2）（i）由是的重心，得到，再由余弦定理和基本不等式得到，然后由是的重心知，进而得到，最后结合题意求出结果即可；（ii）由（i）知，结合题意可得；再假设对任意及均成立，可得，二者互相矛盾，可得证. 【详解】（1）如图，在中，． 因为，所以， 所以在中，， 所以在中，， 所以，所以的面积为， 所以，所以． （2）（i）因为是的重心，所以的面积为， 在中，由余弦定理得，， 即，由基本不等式知， ，所以， 故 ，等号当且仅当时成立， 又由是的重心知，， 所以， 所以，所以， 所以，等号当且仅当， 且平面时成立，所以的最大值为． （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是能根据题意证明和矛盾. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量线性运算及坐标运算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由空间向量线性运算求参数 题型五、与空间向量的模长有关的最值或范围 题型二、由空间向量共面定理求参数 题型六、与空间向量夹角有关的最值与范围 题型三、由空间向量共面定理求体积或其最值 题型七、空间向量数量积求模长（较复杂情景） 题型四、求空间向量数量积的最值或范围 题型八、与空间向量运算有关的新定义 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 空间向量相关计算与参数求解是高中立体几何核心重难点，所有题型均围绕向量线性运算、共面定理、数量积运算、模与夹角计算公式四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是向量坐标运算时分量对应匹配计算，二是求解最值、参数范围时必须结合几何实际意义核验取值边界，所有参数计算结果最终均需合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由空间向量线性运算求参数 典例1 （25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 题型模版 1.特征：题干给出向量加减、数乘的线性等式，向量坐标内含未知参数，依靠向量相等的坐标对应关系求解参数数值 2.方法：依照空间向量线性运算法则展开计算各个坐标分量，利用相等向量横纵竖坐标分别对应相等列出方程组，求解参数后核验平行向量比例式分母为0的特殊情况 变式1-1（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 变式1-2（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 类型二、由空间向量共面定理求参数 典例2 （25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）在直三棱柱中，，，.若点满足，且点在平面内，则（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：告知三个空间向量共面或者空间四点共面，依托共面的线性表达式求解式子内的参数 2.方法：把全部向量改写为坐标形式，代入的共面充要条件，分坐标维度建立方程联立求解参数，四点共面可转化为两组共起点向量共面处理 变式2-1（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____． 变式2-2（2024·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 变式2-3（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中， .直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 题型三、由空间向量共面定理求体积或其最值 典例3 （2026·海南海口·模拟预测）已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 题型模版 1.特征：几何体的底面由一组共面向量确定，几何体体积表达式中带有参数，需要求出体积取值或是体积对应的最值 2.方法：利用共面向量叉乘模长计算底面面积，结合法向量求出几何体高度，写出含参体积函数，借助二次函数、基本不等式求解最值，同时结合立体几何结构约束参数范围 变式3-1（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 变式3-2（24-25高三上·江苏常州·阶段检测）如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点为线段上靠近的三等分点，点为线段上靠近的三等分点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为__________. 变式3-3（2026·河南许昌·模拟预测）空间向量四点共面定理：已知，，为空间中的一组基底，空间中任一向量（，，），若，，，四点共面，则.如图所示，正方体的棱长为2，点，分别为，的中点，则三棱锥的体积为______. 题型四、求空间向量数量积的最值或范围 典例4 （25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 题型模版 1.特征：向量坐标包含可变参数，求解两向量数量积的取值区间、最大值与最小值 2.方法：代入坐标公式展开化简数量积解析式，整理为常规函数形式，结合参数自身限制区间分析函数值域，搭配向量夹角余弦的范围辅助界定边界 变式4-1（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 变式4-2（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 变式4-3（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、与空间向量的模长有关的最值或范围 典例5 （25-26高二下·上海·期末）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，且等号能成立，则________． 题型模版 1.特征：向量由含参向量组合而成，求解该向量模长的取值范围以及对应最值 2.方法：优先对模长平方消去根号进行运算，展开数量积得到整式函数，使用配方法、单调性求解平方的最值，最终对结果开根号得到模长真实范围 变式5-1（25-26高二上·重庆·期末）在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式5-2（24-25高二下·河南周口·期末）如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为______． 变式5-3已知正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则的最小值为__________. 题型六、与空间向量夹角有关的最值与范围 典例6 （25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 题型模版 1.特征：向量带有参数，求解两向量夹角的取值区间、最大最小值，易和异面直线夹角考查结合出题 2.方法：套用夹角余弦公式写出含参余弦表达式，依据余弦在上单调递减的性质，由余弦值域反向推导夹角范围，严格区分向量夹角与异面直线夹角的取值区间 变式6-1（25-26高二下·福建厦门·期末）已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 变式6-2（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式6-3（24-25高二上·广东·期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型七、空间向量数量积求模长 典例7 （25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 题型模版 1.特征：向量为多个向量加减混合的复杂结构式，需要依靠数量积运算求解整体向量的模长 2.方法：对复杂向量整体平方，利用完全平方公式展开数量积运算，代入已知模长、数量积数值完成计算，最后对计算结果开方得到目标模长 变式7-1（2026高二·全国·专题练习）如图是缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，，分别为，的中点，且，，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过，，又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈的长度为（     ） A． B． C． D． 变式7-2（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 变式7-3（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 题型八、与空间向量运算有关的新定义 典例8 （24-25高二上·陕西西安·期中）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，．    (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值． 题型模版 1.特征：题干给出课本没有的全新向量运算规则，结合新运算求解参数、最值、化简式子等问题 2.方法：逐条拆解题干给出的新运算规则，对应x、y、z三个坐标分量分步运算，解题全程严格遵循题干定义，不能混用常规向量运算公式推导化简 变式8-1（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）在一个长8m，宽6m，高3m的房间内点处安装一个Wi-Fi路由器．假设在点处，信号强度，其中是路由器天线的主方向向量（垂直向下）．只有当（即信号向下传播）时才有信号．则该房间内地面上信号强度的最大值是__________．（说明：） 变式8-2（25-26高二上·上海松江·期中）在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 变式8-3（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知，，定义.若直四棱柱的底面为矩形，，，为侧面（包含边界）内一动点，且，则的最大值为______. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高二下·福建厦门·阶段检测）在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 2．（24-25高三下·云南丽江·阶段检测）如图，正方形 的边长为2， 为边 的中点.将 沿 所在直线进行翻折，使得二面角 为 ，则 （     ） A． B． C． D． 3．（第2讲向量虽自由基底定空间）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，有，则（    ） A． B．2 C． D．3 4．（25-26高三上·河北·阶段检测）空间内三条直线满足，，且，，记，，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）将边长为的正方形沿对角线折起，使点到达的位置，连接，得到三棱锥是线段上的动点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 7．（2026·湖南·三模）在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 9．（24-25高二上·四川成都·期中）已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则__________，__________. 10．（24-25高三上·福建三明·期中）在四面体中，，，，的中点为，的中点为，则的取值范围为______. 11．（25-26高二上·湖南·阶段检测）空间内不共面的三条直线满足，且，记，已知，则___________． 12．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是______. 13．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为______． 14．（2026高三下·新疆·竞赛）已知四面体，点在内，满足的面积之比，在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为__________. 15．（24-25高二上·山东潍坊·期中）在四面体中，点，分别为，的重心，过作直线与棱，交于点，已知，，则_______.若四面体的体积为3，则四棱锥的体积最大值为_______. 16．（25-26高二上·上海·阶段检测）正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为________． 17．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）蚌埠又名“珠城”，《尚书•禹贡》中就有“淮夷蚌珠”的记载，这表明4000多年前的夏禹时代，蚌埠所在的淮河沿线就已是产珠之地，珍珠的镶嵌工艺亦历史悠久，在某工艺模型中，已知半径为1的球内切于正四面体ABCD，线段MN是球的一条动直径，点是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则的取值范围是__________． 18．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 19．（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，设，，则四棱锥体积的最小值为______. 三、解答题 20．（23-24高一下·重庆渝中·期中）定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为，终点为的空间向量记作，其大小称为的模，记作等于两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量，均有 ，，；对任意实数和空间向量，均有；对任意三点，均有等．已知体积为的三棱锥的底面均为，在中，是内一点，．记． (1)若到平面的距离均为1，求； (2)若是的重心，且对任意，均有． （i）求的最大值； （ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意均有求证：不可能对任意及均成立． （参考公式： ） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $