专题03 空间向量及其运算的坐标表示（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题03 空间向量及其运算的坐标表示 常考题型·精准突破 题型1 空间直角坐标系及相关概念 题型2 空间向量的坐标表示 题型3 空间点的对称问题 题型4 空间向量运算的坐标表示 题型5 空间向量平行的坐标表示 题型6 空间向量垂直的坐标表示 题型7 空间夹角的计算 题型8 空间距离的计算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 题型1 空间直角坐标系及相关概念 ( 解题贴士 ： 求空间一点 P 的坐标的两种方法 （ 1 ） 利用点在坐标轴上的投影求解 ； （ 2 ） 利用单位正交基底表示向量 ， 的坐标就是点 P 的坐标 . ) 【例1】已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，若＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A的坐标为（　　） A.（12，14，10） B.（10，12，14） C.（14，10，12） D.（4，2，3） 【变式1】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，建立空间直角坐标系如图所示，试写出各顶点的坐标. 【变式1】如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3. （1）以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标； （2）以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标. ◆题型2 空间向量的坐标表示 ( 解题贴士 ： 用坐标表示空间向量的步骤 ) 【例2】（25-26高二上·山东德州·开学考试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【变式1】棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，以为正交基底，求下列向量的坐标： (1)； (2)． 【变式2】（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    【变式3】已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． ◆题型3 空间点的对称问题 ( 解题贴士 ： 空间点的对称问题的解题策略 （ 1 ） 空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题 ， 要掌握对称点的变化规律 ， 才能准确求解 ； （ 2 ） 对称点的问题常常采用 “ 关于谁对称 ， 谁保持不变 ， 其余坐标相反 ” 这个结论 . ) 【例3】（25-26高一下·吉林长春·期末）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）点关于点的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·四川·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 . ◆题型4 空间向量运算的坐标表示 ( 解题贴士 ： 空间向量坐标运算的规律及注意点 （ 1 ） 由点的坐标求向量坐标 ： 空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定 ； （ 2 ） 直接计算问题 ： 首先将空间向量用坐标表示出来 ， 然后代入公式计算 ； （ 3 ） 由条件求向量或点的坐标 ： 把所求向量或点的坐标设出来 ， 通过解方程 （ 组 ）， 求出其坐标 . ) 【例4】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 ◆题型5 空间向量平行的坐标表示 ( 解题贴士 ： 向量平行的应用 （ 1 ） 已知向量平行 ， 可构造方程 （ 组 ） 求参数 ； （ 2 ） 利用向量法证明空间线面的平行关系 （ 3 ） 证明平行的关键是构造向量之间的线性关系 ； ) 【例1】（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A．6 B．8 C．2 D． 【变式1】（25-26高一下·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式2】（25-26高一下·河北承德·期末）已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式3】（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ◆题型6 空间向量垂直的坐标表示 ( 解题贴士 ： 向量垂直的应用 （ 1 ） 已知向量垂直 ， 可构造方程 （ 组 ） 求参数 ； （ 2 ） 利用向量法证明空间线面的垂直关系 （ 3 ） 证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理 ， 将垂直问题转化为线线垂直 ， 然后利用向量的数量积为零证明 . ) 【例6】（25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【变式2】（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． ◆题型7 空间夹角的计算 ( 解题贴士 ： 利用空间向量的坐标运算解决夹角问题的一般步骤 第一步 ， 建系 ： 根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系 ； 第二步 ， 求坐标 ：① 求出相关点的坐标 ；② 写出向量的坐标 ； 第三步 ， 计算 ： 结合公式进行计算 ； 第四步 ， 转化 ： 转化为夹角问题 . ) 【例7】（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）已知，，，，. (1)求，，； (2)求与所成角的余弦值. ◆题型8 空间距离的计算 ( 解题贴士 ： 利用空间向量的坐标运算解决距离问题的一般步骤 第一步 ， 建系 ： 根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系 ； 第二步 ， 求坐标 ：① 求出相关点的坐标 ；② 写出向量的坐标 ； 第三步 ， 计算 ： 结合公式进行计算 ； 第四步 ， 转化 ： 转化为距离问题 . ) 【例1】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【变式1】（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【变式2】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知向量. (1)求； (2)求的最小值. 【变式3】（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 综合攻坚·知能拔高 1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 5．在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 6．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 7．在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．已知棱长为1的正方体，点是棱上的动点（含端点），是棱上的动点，满足，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 9．（多选）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 10．（多选）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 11．（多选）在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（    ） A．向量的模长为2 B．向量的坐标为 C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为 12．（多选）在棱长为4的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，则（   ） A．平面 B．M，N，P，四点共面 C． D．三棱锥的体积为 13．在空间直角坐标系中，，，，且，则___________． 14．已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 15．如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 16．已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 17．已知空间四点，，，. (1)若、、、四点共面，求的值； (2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围. 18．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 19．如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上． (1)证明：平面； (2)若平面，求线段PM长度． 20．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设是侧面内（含边界）一点，且，求长度的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量及其运算的坐标表示 常考题型·精准突破 题型1 空间直角坐标系及相关概念 题型2 空间向量的坐标表示 题型3 空间点的对称问题 题型4 空间向量运算的坐标表示 题型5 空间向量平行的坐标表示 题型6 空间向量垂直的坐标表示 题型7 空间夹角的计算 题型8 空间距离的计算 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 题型1 空间直角坐标系及相关概念 ( 解题贴士 ： 求空间一点 P 的坐标的两种方法 （ 1 ） 利用点在坐标轴上的投影求解 ； （ 2 ） 利用单位正交基底表示向量 ， 的坐标就是点 P 的坐标 . ) 【例1】已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，若＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A的坐标为（　　） A.（12，14，10） B.（10，12，14） C.（14，10，12） D.（4，2，3） 【答案】A　 【解析】＝8（i＋j）＋6（j＋k）＋4（k＋i）＝12i＋14j＋10k，故点A的坐标为（12，14，10）. 【变式1】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，建立空间直角坐标系如图所示，试写出各顶点的坐标. 【解】因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以底面正方形的对角线长为4， 正四棱锥的高为2.所以正四棱锥各顶点的坐标分别为A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），D（0，－2，0），P（0，0，2）. 【变式1】如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3. （1）以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标； （2）以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标. 【解】（1）在正方形ABCD中，AB＝6， ∴AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3. （2）∴各点坐标分别为A（3，0，0），B（0，3，0），C（－3，0，0），D（0，－3，0），O（0，0，0），O1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，3，4），C1（－3，0，4），D1（0，－3，4），M（0，3，2），N（－3，0，3）. 同理，A（6，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），D（0，0，0），A1（6，0，4），B1（6，6，4），C1（0，6，4），D1（0，0，4），O（3，3，0），O1（3，3，4），M（6，6，2），N（0，6，3）. ◆题型2 空间向量的坐标表示 ( 解题贴士 ： 用坐标表示空间向量的步骤 ) 【例2】（25-26高二上·山东德州·开学考试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，所以，，所以．故选D 【变式1】棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，以为正交基底，求下列向量的坐标： (1)； (2)． 【解】（1）， ，，． （2），； ， ，． 【变式2】（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    【解】易知的中线长为，则， ， 设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为，则， ..    【变式3】已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 【解】因为，所以可设．由于是的中点， 所以， 又因为是的中点， 所以，所以． ◆题型3 空间点的对称问题 ( 解题贴士 ： 空间点的对称问题的解题策略 （ 1 ） 空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题 ， 要掌握对称点的变化规律 ， 才能准确求解 ； （ 2 ） 对称点的问题常常采用 “ 关于谁对称 ， 谁保持不变 ， 其余坐标相反 ” 这个结论 . ) 【例3】（25-26高一下·吉林长春·期末）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点，，所以线段的中点，点关于平面对称的点的坐标为. 【变式1】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）点关于点的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点关于点的对称点的坐标是，即.故选：A 【变式2】（25-26高二上·四川·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据空间直角坐标系的特征，可得点关于x轴对称的点坐标是. 故选：A. 【变式3】已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 . 【答案】（2，－3，1） 【解析】点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）. ◆题型4 空间向量运算的坐标表示 ( 解题贴士 ： 空间向量坐标运算的规律及注意点 （ 1 ） 由点的坐标求向量坐标 ： 空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定 ； （ 2 ） 直接计算问题 ： 首先将空间向量用坐标表示出来 ， 然后代入公式计算 ； （ 3 ） 由条件求向量或点的坐标 ： 把所求向量或点的坐标设出来 ， 通过解方程 （ 组 ）， 求出其坐标 . ) 【例4】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标：因此. 【变式1】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 【变式2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量， 可得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 【变式3】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，，则. ◆题型5 空间向量平行的坐标表示 ( 解题贴士 ： 向量平行的应用 （ 1 ） 已知向量平行 ， 可构造方程 （ 组 ） 求参数 ； （ 2 ） 利用向量法证明空间线面的平行关系 （ 3 ） 证明平行的关键是构造向量之间的线性关系 ； ) 【例1】（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A．6 B．8 C．2 D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以，，所以． 【变式1】（25-26高一下·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，，因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，，所以. 【变式2】（25-26高一下·河北承德·期末）已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】由，得，使得， 则， ，解得.解得：，故. 【变式3】（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因，则， 又，且，则＝＝，解得． ◆题型6 空间向量垂直的坐标表示 ( 解题贴士 ： 向量垂直的应用 （ 1 ） 已知向量垂直 ， 可构造方程 （ 组 ） 求参数 ； （ 2 ） 利用向量法证明空间线面的垂直关系 （ 3 ） 证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理 ， 将垂直问题转化为线线垂直 ， 然后利用向量的数量积为零证明 . ) 【例6】（25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，即. 【变式1】（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【解析】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 【变式2】（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】已知向量，，则，， ，由与互相垂直， 则，解得，故D正确. ◆题型7 空间夹角的计算 ( 解题贴士 ： 利用空间向量的坐标运算解决夹角问题的一般步骤 第一步 ， 建系 ： 根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系 ； 第二步 ， 求坐标 ：① 求出相关点的坐标 ；② 写出向量的坐标 ； 第三步 ， 计算 ： 结合公式进行计算 ； 第四步 ， 转化 ： 转化为夹角问题 . ) 【例7】（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则有， ， 解得，由题得，故.故选：B 【变式1】（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 【变式2】（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，所以，， 所以与所成角的余弦值是.故选：C. 【变式3】（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）已知，，，，. (1)求，，； (2)求与所成角的余弦值. 【解】（1）因为，，， 若，则存在实数，使得， 可得，解得， 即，， 若，则，解得，即. （2）因为，，， 则，， 可得，，， 所以与所成角的余弦值为. ◆题型8 空间距离的计算 ( 解题贴士 ： 利用空间向量的坐标运算解决距离问题的一般步骤 第一步 ， 建系 ： 根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系 ； 第二步 ， 求坐标 ：① 求出相关点的坐标 ；② 写出向量的坐标 ； 第三步 ， 计算 ： 结合公式进行计算 ； 第四步 ， 转化 ： 转化为距离问题 . ) 【例1】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【解析】由向量加法得，所以. 【变式1】（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】因为向量，， 所以,又因为，所以，故，故选：B 【变式2】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知向量. (1)求； (2)求的最小值. 【解】（1）由题意得， 则. （2）由题意得，则， ，则，当时取等号， 即时，取得最小值. 【变式3】（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为 综合攻坚·知能拔高 1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以，. 2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点关于平面Oxy对称的点的坐标为. 3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ，所以向量在向量上的投影向量：，故A正确. 4．已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 【答案】B 【解析】因为，所以，解得，所以. 5．在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 【答案】C 【解析】由， 得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，解得.故的值为. 6．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【解析】由，，，构成梯形，得四点共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 得，解得. 当时，， 所以，且，所以空间四点构成梯形.所以. 7．在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 又， 所以，所以. 8．已知棱长为1的正方体，点是棱上的动点（含端点），是棱上的动点，满足，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【解析】如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 所以， 则， 当且仅当时等号成立，则的最小值为0.故选：A 9．（多选）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】ABD 【解析】由空间直角坐标系对称性知：点关于轴的对称点是， 点关于平面的对称点是， 点关于轴的对称点是， 点关于原点的对称点是. 所以选项ABD正确，选项C错误. 10．（多选）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【解析】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 11．（多选）在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（    ） A．向量的模长为2 B．向量的坐标为 C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为 【答案】CD 【解析】对于A，因为正方体的棱长为，则，所以A错误， 对于B，因为题设没有给定确定的空间直角坐标系，建系不一样，的坐标不同， 建立如图所示的空间直角坐标系，易知，所以，故B错误， 对于C，由正方体的性质知平面，所以C正确， 对于D，由正方体的性质知平面，又平面，则， 所以异面直线与所成角为，故D正确. 12．（多选）在棱长为4的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，则（   ） A．平面 B．M，N，P，四点共面 C． D．三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    已知正方体棱长为4，M，N，P分别为棱，，的中点， 则， ，设平面的法向量为， 则，令，则， ， 即平面的法向量，且平面， 故平面，故A正确； 平面，平面，且平面平面， 若M，N，P，四点共面，则， 则，即，显然不存在唯一的使得成立， 不平行于，故M，N，P，四点不共面，故B错误； ， ，故，故C正确； ， 则，， ， ， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设点到平面的距离为，则， ，故D正确． 13．在空间直角坐标系中，，，，且，则___________． 【答案】1 【解析】在空间直角坐标系中，，，，则， 又因为，所以，所以. 14．已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由，，， 则， 因为是锐角， 所以，且不共线， 则，解得且， 则实数a的取值范围为. 15．如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 【答案】 【解析】在直三棱柱中，平面，且，所以两两垂直， 因此，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意，可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以， 所以的坐标为， 从而． 16．已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 【解】（1）因为、、，，， 所以，， 则． （2）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 17．已知空间四点，，，. (1)若、、、四点共面，求的值； (2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围. 【解】（1）由题意，得，, ，，，四点共面， 存在实数使得， 即， 则，解得，，， 故的值为. （2），，      设直线和直线的夹角为， ，              因为，，所以，所以， 所以两直线和的夹角余弦值的范围是 . 18．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 19．如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上． (1)证明：平面； (2)若平面，求线段PM长度． 【解】（1）因为与都是等腰直角三角形，，， 所以， 中，， 故，即 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面 （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，如图所示 ， ，， 设，则， 因为平面，，所以可由和线性表示， 设，则，解得 所以，所以 20．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设是侧面内（含边界）一点，且，求长度的取值范围． 【解】（1）连接，因为，分别为，的中点，所以，   又平面，平面，所以平面． （2）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，   因为，， 所以，，，， 则，，．   因为点在侧面内（含边界），所以可设，，， 则，所以．   由，得， 即，即，所以， 由，得，则．   ， 因为，所以，则，所以，   所以，所以长度的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $