浙教版2026-2027学年九年级数学上学期第一次学情自测模拟卷提分训练（浙江省专用）

**基本信息** 浙教版九年级数学月考模拟卷，聚焦二次函数与概率，通过投实心球轨迹、销售利润计算等实际情境题，融合基础运算与探究推理，提升数学应用与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义/图像变换、概率事件判断|结合图像辨析（如第7题函数图像），考查抽象能力| |填空题|6/18|抛物线性质、概率计算、新定义（伴随直线）|第16题新定义关联图像性质，培养创新意识| |解答题|8/72|二次函数应用（投实心球/利润）、概率模型（摸球/传球）、综合探究|20题实心球运动轨迹建模（数学眼光），24题交点距离探究（推理能力）|

浙教版2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷提分训练（浙江省专用） 测试范围：第1章二次函数、第2章随机事件的概率(考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 B．为实数， C．打开电视，正在播放动画片 D．任选三角形的两边，其差小于第三边 3．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是(　　) A．y=(x+1)2+1 B．y=(x﹣3)2+1 C．y=(x﹣3)2﹣5 D．y=(x+1)2+2 4．二次函数 的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．设抛物线C1：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（ ） A． B． C． D． 6．已知点，和都在抛物线（m是常数，且）上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．函数和函数 (k是常数，且) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A．   B．  C． D．   8．盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（    ） A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黄球的可能性最小 9．若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（    ） x y 3 5 3 A．5 B． C． D． 10．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11．从拼音“”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为______． 12．若二次函数的图象过点，则_______ 13．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需_____秒．    14．若抛物线与x轴交于和，则的值是_________． 15．已知二次函数（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是_____． 16．定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则________（用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则__________． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共5只，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1） (2)试估算口袋中白球有多少只？ (3)从中先摸出一球，不放回，再摸出一球；请利用树状图或列表计算这两只球颜色不同的概率是多少？ 18．A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人． (1)用列表法或画树状图法求两次传球后，球恰在B手中的概率； (2)用列表法或画树状图法求三次传球后，球恰在A手中的概率． 19．如图，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，y的取值范围． 20．掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 21．如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C． (1)求m和n的值； (2)当时，求的取值范围； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 22．国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，若销售量y（件）与销售单价x（元）的关系是一次函数（如图）． (1)请直接写出y关于x的函数表达式_________． (2)设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润总销售额总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 23．如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 24．已知函数的图象与函数的图象在同一个平面直角坐标系中．解答下列问题： (1)当时，求函数表达式； (2)求证：函数的顶点在函数图象上； (3)小慧说函数的图象与函数的图象一定有两个交点，而且这两个交点间的距离为定值．请说明这种说法是正确的，并求出这个定值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D A B A B D B 11． 12．2 13．36 14． 15．−2≤a＜4 16． 17．【详解】（1）当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； （2）由（1）摸到白球的概率为0.6， 所以可估计口袋中白种颜色的球的个数（只）； （3）画树状图为：      共有20种等可能的结果分别是：白白，白白，白红，白红，白白，白白，白红，白红，白白，白白，白红，白红，红白，红白，红白，红红，红白，红白，红白，红红．   其中两只球颜色不同占12种， 所以两只球颜色不同的概率． 18．【详解】（1）解：画树状图如图 共有4种等可能的结果．两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况， ∴两次传球后，球恰在B手中的概率为； （2）画树状图如图 共有8种等可能的结果．三次传球后，球恰在A手中的有2种情况， ∴三次传球后，球恰在A手中的概率为． 19．【详解】（1）把，代入中， 得：， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为， 图象如下， ∴结合图象可知：当时，y的取值范围：． 20．【详解】（1）解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． （2）解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 21．【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点、， ∴，，解得：． （2）解：由（1）可知，， ∵二次函数的图象过点，， 则，解得：， ∴， ∵， ∴当时，有最小值； 当时，有最大值0； ∴当时，． （3）解：一次函数与二次函数的图象相交于点、， ∴由函数图象可得：当时，自变量x的取值范围或． 22．【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， ∵函数图象经过点和， ∴， 解得：． 故y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； （2）解：由题意可得出： ， 自变量取值范围：． ，． 函数图象开口向下，对称轴是直线． ，此时随的增大而增大， 当时，； 故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元． 23．【详解】（1）解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 24．【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴当时，函数表达式为．    (2) 证明：设， ∴的顶点坐标为，   把代入得，， ∴的顶点在直线上． (3)解：如图所示，与相交于点，，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点． 显然，长是点，的横坐标之差的绝对值，长是点，的纵坐标之差的绝对值． ∴当时，， 整理得， 则, ， ， ∴． 因此，小慧的说法是正确的，这个定值为． 学科网（北京）股份有限公司 $