(三)空间向量与立体几何综合- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(苏教版)  

高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（三） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 1,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) 9 ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 判断线面关系 易 0.80 2 选择题 5 求两平行平面间的 距离 分 0.72 3 选择题 5 利用坐标法判断点在 易 0.70 面内 选择题 由向量的线性表示 4 分 0.55 求参 5 选择题 5 求异面直线所成的角 分 0.45 利用空间向量求球的 6 选择题 0.28 表面积 你 7 选择题 6 基底的概念 易 0.75 8 选择题 6 空间向量的新定义题 中 0.45 9 填空题 与空间向量有关的开 0.71 放题 邻 10 填空题 由点到直线的距离求 / / 点的坐标 L L 0.45 利用空间向量证明线 11 解答题 13 面平行，求点到平面的 / / / 易 0.75 距离 由三点共线，四点共面 12 解答题 15 中 0.60 求参 证明面面垂直，求线面 13 解答题 20 0.40 角及二面角 ·61· ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 9 叁考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】由已知可得n=-4a,所以a∥n,所以l⊥ a.故选B. E 2.B【解析】依题意，平行平面a,β间的距离即为点O 到平面8的距离，而OA=(1,2,2),所以平行平面a,3 y 间的距离d= n·OA 1 1 n √(-1)+1+02√2 B K 怎放透且 6.C【解析】取PD的中点G,连接EG,GC,BE,因为 E为PA的中点，所以EG∥AD,又AD∥BC,所以 3.A【解析】由题意可得AB=(-2,2,0),AC= EG∥BC,所以平面EBCG为过E,B,C三点的平面， （一2,0,2)，设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), CG与PN的交点即为点F.因为G为PD的中点，N 则n·A店-=0 为CD的中点，所以点F为△PCD的重心，且PF n…A亡-o即 -2x+22=0令x=1,则n -2.x+2y=0 名PN.因为PML平面ABCD,以点M为坐标原点， 3 41,),设P(分，2)小则A市=(-是，1)， MD,MP的方向分别为y,之轴正方向，建立如图所示 的空间直角坐标系， 所以n·A护=-号×1十×1+1X1=0,所以点 (公1)在平面ABC内，故A正确：设Q(20, 2),则A夜=(0,0,2)，所以n·AQ=2,所以点 (2,0,2)不在平面ABC内，故B错误：设M(1,2,0), 则A=(-1,2,0),所以n·AM=1,所以点 (1,2,0)不在平面ABC内，故C错误；设V(2,2,2), 则AN=(0,2,2),所以n·AN=4,所以点 (2,2,2)不在平面ABC内，故D错误.故选A. 则C(353,0)D(0,6.0).P(00,6).N(3y。 4.D【解析】由E是棱PC的中点，得A花=号(A市+ 号0）M0.00).由i=号示.得F(5,32) AO)-名A市+多（店+A)=2A+号AB+ 设经过F,M,C,D四点的球的球心为O(x,y,z),则 OM=OC 专心所以x=方y=方，=方则x一y- OM=OD,即 OM-OF 一放选D, x2+y2十z=(x-3√5)+(y-3)2+x2 5.A【解析】以B为原点，BC,BA,BF的方向分别为 x2+y2+2=x2+(y-6)2+2 ,解 xy,心轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， x2+y2+2=(x-√5)2+(y-3)2+(x-2) 在正四棱台EFGH一MNPQ中，点V到平面EFGH r=3 的距离为√(W3)2-(2√2-√2)2=1，则K(3,0,0), 得y=3,故球0的半径为OM=V3+9+4= F(0,0,2),N(1,1,3),Z(3,2,3),KZ=(0,2,3), x=一2 F=11,1),因此1cos<K之，下成1=K立：交 4,因此经过F,M,C,D四点的球的表面积为 4πOM2=4π×16=64x.故选C. KZFNI 二、选择题 10+2+31_539 39 ,所以异面直线KZ与FN所成 7.ACD【解析】对于A,因为{a,b,c}是空间向量的一 /13×3 个基底，则{a,2b,3c}可以构成空间向量的一个基 角的余孩值为故选人 底，故A正确：对于B,因为a十26=子× [3(2b+3c)+(3a-9c)],则{a+2b,2b+3c,3a ·62- 高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 9c}不能构成空间向量的一个基底，故B错误：对于 C,显然不存在实数入，g使得a十b十c=入(b+c)十c D 成立，则{a十b十c,b十c,c)能构成空间向量的一个基 底，故C正确；对于D,设a十b=x(b十c)+y(c十a) x=1 =a+xb+(x+y)c,其中x,y∈R,则y=1,无 (x+y=0 解，则{a十b,b十c,c十a}能构成空间向量的一个基 底，故D正确.故选ACD. 由题得D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0), 8.BC【解析】对于A,若向量a=(一1,3，一7)。= C(0,1,0),C(0,1,1),DA=(1,0,0),AC -e1+3e2-7e,向量b=(3,-2,4)。=3e1-2e2+ (-1,1,0),设AP=AC,A∈R,则DP=DA+入AC 4e,则a十b=2e1+e2-3e=(2,1,-3)g,故A错误； =(1,0,0)+1(-1,1,0)=(1-λ，，0)，即 对于B,若向量a=(2,6,-3),向量b=(3,-1, P(1-A,A,0),BP=（-A,1-1,0),BC= 0)吾，此时在空间直角坐标系中a·b=2×3十6× (-1,0,1),BP在BC上的投影向量的模长为 (-1)=0,故B正确：对于C,若向量OA=(1,0, 0),O=(0,1,0),0心=(0,0,1)，则三棱锥 B驴·BC1=,则点P到直线BC的距离为 BC ② O一ABC是棱长为1的正四面体，如图所示，取AB 的中点H,连接OH,HC, √-() √-x0+a-1D2- √层-2以+1=√(a-号)+百，当-号 时，点P到直线BC1的距离最短，所以点P的坐标 B 为(3号0) 四、解答题 11.解：(1)由AA1⊥底面ABCD,AD⊥AB,得AB,AD, 在等边△OAB,△ABC中，易知OH⊥AB,HC⊥AB, AA两两垂直， OH=HC-停，则∠OHC即为二面角0-AB=C的 则以A为坐标原点，A言，AD,AA的方向分别为x, y,之轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， ZA 平面角，在△OHC中，由余弦定理得cos∠OHC= 一=3，所以二面角 1 2OH·HC 2× 0-AB-C的余弦值为了，放C正确：对于D若向量 a=(x,y,0),=xe1十e2,b=(1,2,0)m=e1+2e2,当 D x:y=1:2时，y=2x,则a=(x,y,0)g=xe1+2xe2= B x(e+2e)=b,此时a∥b,显然0=否不成立，故D 错误.故选BC. 可得A00.0.B(2.02).E(侵号2小 三、填空题 F(0,1,1),C(1,1,0),D(0,1,2), (3分) 9.① 一号（或巴2》【解标】若选@：由a/8得m 则cE=1,-1,2).C亦=(-1.0,10.D立=（号， ,显然a≠0,6≠0.则兰=2=己，解得a -.0). -6=4da-26=-号若选@：曲a1R.得m 设平面CBF的法向量为m=(x,y,之)， n,则m·n=0,则a-2-2b=0,解得a一2b=2. CB·m=x-y+2x=0 10.(兮，号0）【解析】如图， 则 CF·m=-x+g=0 令x=1,可得y=3,x=1,即m=(1,3,1),(6分) 因为DE·m=0,可得D,龙m, ·63 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 又D1E丈平面CB1F, 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 所以DE∥平面CB,F. (8分) 2 (2)因为AB1=(2,0,2), 平面CB,F的一个法向量为m=(1,3,1), 所以点A到平面CB,F的距离d=AB·m m 4_41I T11 (13分) 则A(-√5,0,0)，B(√5,2,0)，C(√5,0,0)，P(0, 12.解：(1)由题可得A范-O店-OA-a+b十 0,1), (a-2b+c)=(p-1)a+3b+(q-1)c, 所以BC=(0,-2,0).PC=(3,0,-1),PA= AC=OC-OA=2a+b-2c-(a-2b+c)=a+3b (-√5,0，-1)， (7分) -3c, 设平面PBC的法向量为n1=(x,y,名)， 因为A,B,C三点共线， 所以存在实数m,使得AB=mA亡， 则n·BC-0 -2y1=0 V3x1-≈1=0 所以(p-1)a+3b+(q-1)c=m(a+3b-3c), n·P心=0则 (4分) 令x1=1,得y出=0，≈=3，则n1=（1,0√3)， p-1=m, n=1, 设直线PA与平面PBC所成角为0， 即3=3m, 解得p=2, =23 (q-1=-3m, (q=-2, 所以sin0=cosn,Pi1=,m·PA n·PA 2×2 所以p,q的值分别为2，一2. (7分) (2)因为O,A,B,C四点共面， 2 所以存在入，∈R,使得Oi=入OA+OC, 即p0+b+ge=入(a-2b+c)+u(2a+b-2c) 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。 (λ+2)a+(4-2入)b+(A-2)c, (12分) p=1+2, (3)设AQ=λAB=(2√5,2,0)，入∈(0,1)， 于是有1=-2入， (12分) 易知平面BCQ的一个法向量为n=(0,0,1), (q=1-2u, 因为PC=(3,0,-1),C0=CA+A0=(-2V3, 所以6p+10q=6(入+2μ)+10（入-2）=16以-8 =16入-8(1+2)=-8， 0,0)+(2√31,2x,0)=(2√31-23,2λ，0)， 即6p十10q的值为-8. (15分) 设平面PCQ的法向量为n2=(x2y2,2), 13.解：(1)在等腰梯形ABCD中，过C作CF⊥AB,交 则/n:·C= |(2√3λ-2√3)x2+2λ2=0 ,则 AB于点F,如图所示， n2·Pc=0 V3x2-2=0 令，=1，得=③1+5，=3， 入 则n:=（1,一31+5w5) (18分) 因为平面PCQ与平面BCQ所成二面角的余弦值 根据对称性可得BF=1, FB 1 所以cos∠ABC-BC=Z,可得∠ABC=60, 所以 =cosn,=Tm·TT n·ng 所以AC=BC+AB-2BC·ABcos.∠ABC=12, 即AC=23, ,解得入=弓以=-1舍)… 所以AC+BC=AB,即AC⊥BC, (3分) 1xV+()+ 因为平面PAC⊥平面BAC,平面PAC∩平面BAC =AC,BCC平面BAC, 所以à-号成.即8号 所以BC⊥平面PAC, 又BCC平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(5分) (2)取AC的中点O,AB的中点E,连接OE, 易知OP⊥平面ABC,OE⊥AC, 以O为坐标原点，O心，OE,OP的方向分别为x,y,之 ·64·高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (三)空间向量与立体几何综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.若直线l的一个方向向量为a=(1,0,2),平面a的一个法向量为n= (一4,0，一8)，则 A.l∥a B.ILa C.ICa D.l与a斜交 2.若两平行平面α，B分别经过坐标原点O和点A(1,2,2),且两平面的一个法向量为 n=(一1,1,0)，则两平面间的距离是 A司 B号 C.1 D.2 3.已知空间直角坐标系中，A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),则下列哪个点在平面 ABC内 A(合) B.(2,0,2) C.(1,2,0) D.(2,2,2) 4.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若AE= xAB+yAD+:AP,则x-y-x= D A.2 B.1 c D.- 5.青铜豆最早见于商代晚期，盛行于春秋战国时期，它不仅可以作为盛放食物的铜器， 还是一件十分重要的礼器.图①为河南出土的战国青铜器一方豆，豆盘以上是长方体 容器和正四棱台的斗形盖，图②是与主体结构相似的几何体，其中AB=4,MN=BF =2,FN=区，点K为C上一点，且C-,点Z为PQ的巾点，则异面直线KZ与 FN所成角的余弦值为 M A.539 B.239 E 39 13 c.53 D.23 A 26 13 B 图① 图② 数学（苏教版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.在四棱锥P一ABCD中，AD∥BC,E,N分别为PA,CD的中点，经过E,B,C三点的 平面交PN于点F,M为AD上一点，且PM⊥平面ABCD,△MCD为等边三角形， CD=6,∠PDM=45°，则经过F,M,C,D四点的球的表面积为 E A.32π B.48π C.64π D.96π 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.若{a,b,c}是空间向量的一个基底，则下列各组中能构成空间向量的一个基底的是 A.{a,2b,3c} B.{a+2b,2b+3c,3a-9c} C.(a+b+c,b+c;c D.(a+b,b+c,c+a 8.设Ox,0y,0x是空间中两两夹角均为0(9∈(0，）的三条数轴，e,ec,分别是与 x,y,z轴正方向同向的单位向量，若OP=xe1十e2十eg(x,y,z∈R),则把有序数对 (x,y,之)，叫作向量OP在坐标系O一xyz中的坐标，则下列结论正确的是 A.若向量a=(-1,3,-7),b=(3,-2,4)g,则a+b=(2,1,3) B.若向量a=(2,6,一3)，b=(3,一1,0)，则a·b=0 C.若向量OA=(1,0,0),OB=(0,1,0),OC=(0,0,1),则二面角O-AB-C的 余弦值为 D.若向量a=(x,y,0),b=(1,20),则当且仅当xy=12时，0=否 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.平面a,3的一个法向量分别为m=(a,1,-2),n=(1,-2,b),请在①a∥B,②a⊥3中 选择一个填在横线上，并写出答案，若选 ,则a-2b= 10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B,C,D,中，以D为原点，DA,DC,DD的方向分 别为x轴，y轴，之轴正方向建立空间直角坐标系，若直线AC上的点P到直线BC 的距离最短，则P点坐标为 高二同步周测卷三 数学（苏教版）选择性必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 13.(本小题满分20分) 11.(本小题满分13分) 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2AD=2CD=4,将△DAC沿AC翻折 如图，已知在四棱柱ABCD-AB,C,D,中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,AA,⊥ 至△PAC,使得平面PAC⊥平面BAC. 底面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA=2,AD=DC=1,E是B,C,的中点，F是 (1)求证：平面PAC⊥平面PBC; DD1的中点. (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； (1)求证：DE∥平面CBF; (3)若点Q在棱AB上（不包含端点），且平面PCQ与平面BCQ所成二面角的余弦 (2)求点A到平面CB1F的距离. 值为，求架的值。 12.(本小题满分15分) 已知向量a,b,c是空间中不共面的三个向量，OA=a一2b十c,OB=a十b十ge, OC=2a+b-2c. (1)若A,B,C三点共线，求p,q的值； (2)若O,A,B,C四点共面，求6p+10g的值， 数学（苏教版）选择性必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷三 数学（苏教版）选择性必修第二册第4页（共4页）