专题14坐标平面内图形的轴对称和平移精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学坐标平面内图形的轴对称和平移，系统梳理点关于坐标轴的轴对称坐标规律（如P(a,b)关于x轴对称点为(a,-b)）、点的平移坐标规律（左减右加横坐标，上加下减纵坐标），从点的变换到图形整体变换形成递进学习支架，涵盖作图流程、复合变换及全等性质。 资料特色在于结构化知识梳理与分层题型设计，通过口诀强化记忆培养数学语言表达，重点辨析与错误总结发展推理意识，动点及规律题提升创新意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，深化数形结合思想。

专题14坐标平面内图形的轴对称和平移精讲学案 核心立意 掌握点关于坐标轴的轴对称、点平移的坐标变换法则；理解图形变换等价于全部关键点同步做坐标运算；能根据坐标绘制变换后图形，可由前后坐标逆向判定变换方式；掌握轴对称与平移的简单复合变换；认识轴对称、平移属于全等变换，体会数形结合思想。 点关于坐标轴的轴对称坐标规律 设点\P(a,b) 关于x轴对称：P1(a,-b)，横坐标不变，纵坐标取相反数 关于y轴对称：P2(-a,b)，纵坐标不变，横坐标取相反数 补充：点关于原点对称属于拓展内容，不属于本节新课考点。 图形轴对称作图标准流程 原理：图形轴对称，所有顶点同步执行相同对称变换 ①提取原图形全部顶点坐标； ②计算每个顶点的对称点坐标； ③坐标系描出全部对称点； ④严格按照原有顶点顺序依次连线，得到对称图形。 点的平移坐标规律 设点P(a,b) 向右平移h个单位：(a+h, b) 向左平移h个单位：(a-h, b) 向上平移k个单位：(a, b+k) 向下平移k个单位：(a, b-k) 记忆口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标 图形平移作图标准流程 原理：图形整体平移，全部顶点平移方向、平移距离完全一致 ①提取原图形全部顶点坐标； ②按平移规则算出各顶点平移后的坐标； ③描出平移后的全部顶点； ④严格按照原有顶点顺序依次连线，得到平移图形。 由坐标逆向判定平移 选取一组对应点对比横、纵坐标： 横坐标增大→向右平移；横坐标减小→向左平移 纵坐标增大→向上平移；纵坐标减小→向下平移 结论：仅需一组对应点，即可确定整个图形的平移方向与距离。 轴对称与平移的复合变换 变换顺序不可随意调换：先平移后轴对称、先轴对称后平移，所得图形位置一般不相同。 操作方法：对每一个顶点，按照变换先后顺序分步计算坐标。 全等变换性质 轴对称、平移只改变图形位置；不改变图形形状、大小；变换前后图形全等，对应线段相等，对应角相等。 重点辨析 1. 对称规则区分：x轴对称改变纵坐标；y轴对称改变横坐标，二者不可混淆。 2. 图形变换是整体操作：必须对全部顶点执行变换，只改动部分顶点无法得到正确变换图形。 3. 平移特性：平移只改变位置，不会产生翻转、旋转。 4. 复合变换顺序：先后顺序会影响最终结果，不可颠倒变换步骤。 5. 全等判定：全等只代表形状大小不变，图形位置必然发生改变。 1. 对称变换记反：x轴对称改动横坐标，y轴对称改动纵坐标。 2. 平移混淆横纵坐标：左右平移改动纵坐标，上下平移改动横坐标。 3. 平移符号出错：向左、向下平移误用加号；向右、向上平移误用减号。 4. 作图连线不遵循原有顶点顺序，造成图形扭曲变形。 5. 逆向求平移：坐标相减顺序颠倒，平移方向、距离计算错误。 6. 复合变换随意调换先后顺序，导致坐标计算出错。 7. 误认为轴对称、平移会改变图形的形状或大小。 题型 考察方向 难度 题型一 坐标系中的对称 ★ 题型二 坐标与图形变化 —— 轴对称 ★★ 题型三 坐标系中的平移 ★★ 题型四 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 ★ 题型五 由平移方式确定点的坐标 ★ 题型六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 ★★ 题型七 已知图形的平移，求点的坐标 ★★ 题型八 已知平移后的坐标求原坐标 ★★ 题型九 坐标系中的动点问题 ★★★ 题型十 中点坐标 ★★ 题型十一 点坐标规律探索 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：坐标系中的对称 解题思路：①提取已知点坐标；②套用x轴、y轴对称坐标变换公式；③输出对称点坐标。 1．在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（    ） A．点A与点B关于轴对称 B．点A与点B关于轴对称 C．点A与点B关于直线对称 D．点A与点B关于直线对称 【答案】B 【详解】解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴点与点关于轴对称． 2．如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键． 根据点关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变相反数；点关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变相反数，设点P坐标，根据对称点即可求值． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P关于x轴的对称点为， ∴； ∵关于y轴的对称点为， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：C． 3．已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，依据关于轴的对称点的坐标特点以及关于轴的对称点的坐标特点求解即可； 【详解】解：点与点关于轴对称 点 点与点关于轴对称 ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 题型二：坐标与图形变化 —— 轴对称 解题思路：①提取图形全部顶点坐标；②逐个计算各顶点对称点坐标；③按原顶点顺序描点连线，绘制对称图形。 4．已知点，那么点P关于x轴对称的的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的对称规律，用到关于x轴对称的点的坐标性质：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，直接根据性质求解即可． 【详解】解：∵点坐标为，关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 5．若点关于轴的对称点是，则______________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求出的值. 【详解】解：点与点关于轴对称， . 6．已知，则关于y轴的 对称点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列方程组求解得到点坐标，再利用关于轴对称点的坐标规律计算对称点坐标． 【详解】解∶  ∵，，且 ∴，解得， ∴点的坐标为， ∵关于轴对称的点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴关于轴的对称点坐标是． 7．在平面直角坐标系中，①点与关于轴对称；②点 与关于轴对称；③与点关于轴对称的点在第二象限；④点关于轴对称，则的值为．其中描述正确的是(   ) A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称与坐标变化．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，逐项分析判定，即可求解． 【详解】解： 关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同． ① 与：横坐标，故不关于轴对称，错误． ② 与：横坐标互为相反数，纵坐标相同，故关于轴对称，正确． ③ 点关于轴对称的点为，在第一象限，不在第二象限，错误． ④ 与关于轴对称，则横坐标相同，；纵坐标互为相反数，， ，正确． 正确的是②④． 故选：C． 题型三：坐标系中的平移 解题思路：①提取图形全部顶点坐标；②依据平移规则计算各顶点平移后坐标；③按原有顶点顺序描点连线，绘制平移后图形。 8．已知线段轴，且，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质．根据平行于y轴的点的横坐标相同可得点B的横坐标，再分点B在点A的上方与下方两种情况讨论求解． 【详解】解：∵轴，即轴，点A的坐标为， ∴点B的横坐标为， ∵， ∴点B在点A的上方时，点B的纵坐标为6，点B的坐标为， 点B在点A的下方时，点B的纵坐标为，点B的坐标为， 综上所述，点B的坐标为或． 故选：A． 9．如图，以龙卷风中心为圆心，半径为1的圆圈范围内（图中虚线圈内）会受到龙卷风影响．若龙卷风中心沿直线匀速行进，则14时点P处的树木______受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 【答案】会 【分析】本题考查了坐标与图形. 延长龙卷风行进路径，判断即可. 【详解】延长龙卷风行进路径，可知14时点P处的树木会受到龙卷风的影响， 故答案为：会 10．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．边长为2的正方形如图摆放，将其在第一象限内平移，则正方形内部（不含边界）的整点的个数最多有_____个． 【答案】4 【分析】当正方形的顶点不是整点时，就能保证有更多的整点位于正方形内部． 【详解】解：正方形内部（不含边界）的整点的个数最多有4个，如图所示． 11．如图，平面直角坐标中，直线分别与两坐标轴的正半轴相交，为直线AB上的一个动点，在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是（   ） A．x增大，y也增大 B．x增大，y却减小 C．x减小，y却增大 D．x减小，y也减小 【答案】B 【分析】本题主要考查点的平移，熟练掌握平移的特征是解题的关键．根据“右加左减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是x增大，y却减小， 故选B． 题型四：求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 解题思路：①判定平移方向；②左右平移变更横坐标（左减右加）；③上下平移变更纵坐标（上加下减）；④代入运算得到目标坐标。 12．点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据坐标平移的变化规律计算，向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加，即可得到对应点的坐标． 【详解】解：坐标平移的变化规律为：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减． ∵点的坐标为， ∴向左平移个单位长度后，横坐标变为， ∴再向上平移个单位长度后，纵坐标变为， ∴对应点的坐标为． 13．将点向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点Q，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平移的坐标变化规则：左右平移时横坐标左减右加，上下平移时纵坐标上加下减，根据规则计算即可得到结果． 【详解】解：∵点坐标为，平移规则为向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故选：A． 14．在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】左平移横坐标减，下平移，纵坐标减，得新点坐标． 【详解】解：左平移3个单位长度，横坐标变为，向下平移2个单位长度，纵坐标变为，点B的坐标为； 故选：D 【点睛】本题考查直角坐标系平移与坐标变化；掌握平移方向与坐标加减的法则是解题的关键． 15．将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点重合，则的值为______________． 【答案】 【分析】左减右加横坐标，上加下减纵坐标；根据平移后坐标列方程求出、的值，再代入计算． 【详解】解：点向左平移个单位，横坐标变为；向上平移个单位，纵坐标变为． 平移后点坐标为，与重合， 故，． 由，得； 由，得． ． 题型五：由平移方式确定点的坐标 解题思路：①读取平移方向与单位长度；②横坐标执行左减右加；③纵坐标执行上加下减；④计算得到平移后点的坐标。 16．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向上平移2个单位后得到点，则的坐标是______________． 【答案】 【分析】根据点平移的坐标变化规律，右移横坐标相加，上移纵坐标相加，分步计算得到对应点坐标． 【详解】解：∵点先向右平移个单位长度， ∴点的横坐标为， ∵再向上平移个单位长度， ∴点的纵坐标为， ∴的坐标是． 17．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据点平移的坐标变化规律，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少，计算即可得到答案． 【详解】解：∵点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 18．如图，第一象限内有两点，，将线段平移使点P落在y轴上，点Q落在x轴上，则点P平移后的对应点的坐标是_______________． 【答案】 【分析】根据轴上的点横坐标为，轴上的点纵坐标为，平移后点P落在y轴上，点Q落在x轴上，进而可求坐标． 【详解】解：由轴上的点横坐标为，轴上的点纵坐标为， ∵平移后点P落在y轴上，点Q落在x轴上， ∴得横坐标平移量为， 平移后点Q纵坐标为0， 得纵坐标平移量为， 因此点P平移后的纵坐标为， ∴点P平移后的对应点的坐标是． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，各顶点落在三个不同的象限，下列，的取值正确的个数有（     ） ，；②，；③，；④，； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据平移的性质得出平移后的点的坐标，然后再根据点所在象限一一判断即可． 【详解】解：的三个顶点的坐标分别为，，，将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后， 当，时，则点，，对应的点为：，，，对应的象限为：第四象限，第一象限，第二象限，符合题意： ②，；则点，，对应的点为：，，，对应的象限为：第四象限，第一象限，第三象限，符合题意： ③，；则点，，对应的点为：，，，对应的象限为：第四象限，第二象限，第二象限，不符合题意： ④，；则点，，对应的点为：，，，对应的象限为：第四象限，第二象限，第三象限，符合题意： 综上：①②④符合题意． 题型六：已知点平移前后的坐标，判断平移方式 解题思路：①计算前后点横坐标差值，判断左右平移方向与距离；②计算前后点纵坐标差值，判断上下平移方向与距离；③汇总得到完整平移方式。 20．在平面直角坐标系中，点平移后的坐标为，则点平移的方向为（   　 ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】B 【详解】解：∵点平移前坐标为，平移后坐标为， ∴横坐标不变，纵坐标减小1， ∴点的平移方向为向下． 21．将三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式：______________________________． 【答案】先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度（或先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度） 【分析】根据已知点平移前后的坐标特征，即可确定三角形的平移方式． 【详解】解：点平移后的对应点为， 横坐标加，符合向右平移个单位长度的坐标变化规律，纵坐标减，符合向下平移个单位长度的坐标变化规律， 三角形的平移方式为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度（或先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度） ． 22．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了________个单位，的面积为________． 【答案】 4 8 【分析】本题考查点的平移的坐标变化，平移的性质，平行线间三角形等积变换，掌握平移的性质是解题的关键． 由点A与点的坐标可得线段平移了4个单位长度．连接，由平移的性质得到，．过点作轴于点N，则，进而得到． 【详解】解：∵，， ∴线段平移了4个单位长度． 连接， ∵平移4个单位长度得到， ∴，． 过点作轴于点N，则， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4；8． 题型七：已知图形的平移，求点的坐标 解题思路：①选取一组对应点，确定图形整体平移量；②将平移量作用于待求点；③运算得到对应点坐标。 23．如图，在中，点，，将向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则点B的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则点B的对应点的坐标为． 24．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，根据点，，确定平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴正方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到正方形， ∵， ∴，即：点的坐标为； 故答案为：． 25．随着打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图是利用打印技术打印好的字样的艺术字，点的坐标为，点的坐标为，若将5G艺术字模型沿着方向平移，使点落到点处，则平移后点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平移后点落到点处，可以确定平移路径，向下平移个单位长度，向右平移个单位长度，再根据平移路径确定的坐标． 【详解】解：点的坐标为，平移到点处，点的坐标为，向下平移个单位长度，向右平移个单位长度， 点向下平移个单位长度，向右平移个单位长度，点的对应点为，的横坐标为，纵坐标为，∴的坐标为． 题型八：已知平移后的坐标求原坐标 解题思路：①执行平移逆运算；②右移变左减、左移变右加；③上移变下减、下移变上加；④计算得到原始坐标。 26．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可以得到，向下平移可以得到则点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：将点向左平移得到，左右平移过程中纵坐标不变， 点的纵坐标为， 又将点向下平移得到，上下平移过程中横坐标不变， 点的横坐标为， 点的坐标为． 27．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，逆向思考，把点先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后可得到A点坐标． 【详解】解：在坐标系中，点先向右平移4个单位得，再把向下平移2个单位后的坐标为，则A点的坐标为． 故选：A． 28．在平面直角坐标系中，将线段先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，是线段上一点，点平移后的对应点为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】点平移的坐标变化规律“左减右加，上加下减”． 【详解】解：由题意可知，点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到对应点.， 因此将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点， 则点的坐标为，即． 29．小明和小亮在玩“你来说，我来猜”的游戏． 小明经过思考给出了正确答案，这个游戏的谜底是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】平面直角坐标系中一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可确定点P的纵坐标，在y轴上的点的横坐标为0，结合向右平移时横坐标加上平移距离可得点P的横坐标． 【详解】解：∵点P到x轴的距离为3个单位长度， ∴点P的纵坐标的绝对值为3，即点P的纵坐标为3或， ∵点P向右平移4个单位长度后落在y轴上， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或． 题型九：坐标系中的动点问题 解题思路：①写出动点初始坐标；②结合运动方向、速度，建立动点坐标表达式；③依据题干条件列等式求解；④校验结果满足题意。 30．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 31．如图，，，，，动点在线段上，动点在轴上，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，根据题意可得，，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是， ，，， ，， ， ， ． 32．如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短的性质，计算出面积即可计算出的最小值． 【详解】解：点为直线上一动点，根据垂线段最短的性质，当时，线段的值最小． 已知，，，， 过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为 ， ∴，，， ，，， 观察图形可知， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十：中点坐标 解题思路：①获取线段两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)；②代入中点公式：横坐标，纵坐标；③计算得到中点坐标。 33．若，是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则值为_______． 【答案】10 【分析】本题考查了线段中点的坐标计算，正确理解线段中点的坐标计算是解题的关键．利用线段中点的计算公式计算，即得答案． 【详解】解：是线段的中点， ， 解得， ． 故答案为：10． 34．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 【答案】或 【分析】线段轴，是的中点，点的横坐标、点的横坐标与点的横坐标相同，都等于，点的纵坐标加上或者减去，即为点的纵坐标． 【详解】解：因为点的坐标为，若线段轴，是的中点， 所以点的横坐标、点的横坐标与点的坐标相同，等于， ，， 若点在点的上方，此时点的坐标为，即 ， 若点在点的下方，此时点的坐标为，即 ． 35．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算和的坐标即可. 【详解】解：设坐标为， ∵点关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，，即， 设坐标为， ∵关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为. 36．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意可得，，分两种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵三角形中，， ∴，， ∵动点C从点O出发，沿，三角形的面积等于三角形一半， ∴当点在上运动时，，， ∴， ∴，即此时点的坐标为； 当点在上运动时，设点到的距离为，则，， ∴， ∴，即点为的中点， ∴此时点的坐标为，即； 综上所述，点C的坐标为或． 题型十一：点坐标规律探索 解题思路：①列举前若干点坐标；②分别归纳横、纵坐标变化周期或递推规律；③利用规律推导指定序号点坐标；④代入已知项验证规律有效性。 37．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出点P每秒走个半圆，然后求出点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、、0为一个周期依次循环，进而求解即可． 【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的弧长为， ∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点P每秒走个半圆， ∴运动时间为1秒时，点P的坐标为； 运动时间为2秒时，点P的坐标为， 运动时间为3秒时，点P的坐标为， 运动时间为4秒时，点P的坐标为， 运动时间为5秒时，点P的坐标为， 运动时间为6秒时，点P的坐标为， …， ∴点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、、0为一个周期依次循环， ∵， ∴第秒时，点P的坐标是． 38．如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第15次运动到的点的坐标是_________． 【答案】 【分析】通过观察可知右下标是（除外）：数字4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，由此判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在第二象限， 由变化规律可得：、、、等等在第二象限， 且坐标分别为、、、， ∴点的坐标是． 39．如图所示，点，，，，…，根据这个规律，可得点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察点的横坐标为连续自然数，纵坐标以2、0、、0为周期循环，根据2025除以4的余数确定纵坐标，即可作答． 【详解】解：结合图象，观察点，，，等各点的坐标规律可知：各点的横坐标依次为连续自然数，纵坐标以2、0、、0为周期循环，周期为， ∵， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同，也为2， ∴的坐标为． 解答题 1．平面坐标系中求图形的面积 如图，点A，B的坐标分别是，．若将线段平移至的位置，点C与点D的坐标分别是和，求线段在平移过程中扫过的图形面积． 【答案】线段在平移过程中扫过的图形面积为24 【分析】连接，直接利用平移中点的变化规律求出，的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积的面积求解即可． 【详解】解：连接，点B到的距离记为， 点、的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，C与D坐标分别是和， 可知将线段向右平移个单位，向上平移4个单位得到的位置， ，， 与D坐标分别是和， ∴轴， ∴， 线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积 的面积 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点A，B，C的对应点分别为，，． (1)画出三角形； (2)点是三角形内一点，三角形平移到三角形后，点P的对应点为，则点的坐标为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别画出A，，C三点平移后的对应点，，，再依次连接即可； （2）根据平移规则，点P的横坐标减2，纵坐标减4，即得到点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：由平移知，点的坐标为． 3．已知点． (1)当，满足怎样的条件时，点在第二象限？ (2)若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，求，的值． 【答案】(1)当且时，点在第二象限； (2) 【分析】本题考查了点的坐标特征，点的坐标的平移法则，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据第二象限的点的特征：横坐标小于零，纵坐标大于零，得出，，求解即可得出结果； （2）根据点的坐标的平移法则：左减右加，上加下减，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点在第二象限， ∴，， 解得，， 即当且时，点在第二象限； （2）解：∵点先向下平移个单位长度，纵坐标变为；再向右平移个单位长度，横坐标变为，得到点， ∴， 解得：． 4．在平面直角坐标系中，已知，，，且 ，，为线段的中点．（参考公式：若两点，，则其中点坐标为） (1)直接写出，，的值； (2)如图1，把点向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度至点，当点恰好落在射线上时，求的值； (3)如图2，点在经过点且平行于轴的直线上，设其横坐标为，连接，，记的面积为，当时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）根据算术平方根与绝对值的非负性质，两个非负数相加为0则各自均为0，先求出a、c的值，再将a代入等式，通过一元一次方程计算得到b． （2）先用中点坐标公式求出中点D的坐标，结合平移坐标变化规律写出平移后点E的坐标；通过作辅助线构造等腰直角三角形，推导出射线上点横纵坐标的等量关系，再把E点坐标代入该关系式，解一元一次方程求出d并检验取值范围． （3）分情况讨论：当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为与过且平行于轴的直线交于，；当在的左边时，过作轴的垂线与过且平行于轴的直线交于，，再建立不等式组解答即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴，；，． 又，即 ， ∴． （2）解：是线段中点，，， 由中点坐标公式： ，即， 点向右平移个单位，横坐标加；向上平移个单位，纵坐标加， 点坐标：，， 即， 过作竖直线，过作水平线，两线交于， ，， 为等腰直角三角形． 射线上任意一点，从出发向右水平距离 = 向上竖直距离． 设射线上一点坐标为，则： 水平距离：，竖直距离：， 得等量关系：， 在射线上，将，代入得： ， ， ，符合题意， （3）如图，当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，与过且平行于轴的直线交于， 由题意可得，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图，当在的左边时，过作轴的垂线与过点且平行于轴的直线交于， 由题意可得， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，或． 5．如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形； (2)将向左平移5个单位再向上平移1个单位得到，直接写出、、的坐标； (3)在y轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3)解：如图，点即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出； （2）根据点的平移规律，左减右加，上加下减，写出、、的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点. 【详解】（1）略 （2）解：由图可知：； ∴， 即； （3）略 6．对于平面直角坐标系中的点，若点（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”．例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“3属派生点”的坐标为______； (2)若点P的“5属派生点”的坐标为，求点P的坐标； (3)若点P在x轴的正半轴上，设点P的坐标为（，t为整数），点P的“k属派生点”满足，同时点到x轴的距离是线段长度的2倍（O为坐标原点），求k的值及满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)，满足条件的点的坐标为、、 【分析】（1）直接代入“属派生点”的坐标公式计算； （2）设点坐标，根据定义列二元一次方程组求解； （3）先表示出的坐标，结合点到轴的距离条件得的可能值，再根据不等式组和的限制求解． 【详解】（1）解：由“属派生点”定义，点的“属派生点”横坐标为，纵坐标为，故的坐标为； （2）解：设点的坐标为， ∵点P的“5属派生点”的坐标为， ∴， 解得， 故点的坐标为． （3）解：∵点的坐标为（，为整数）， ∴，根据“属派生点”定义，的坐标为，即， ∵点到轴的距离是线段长度的倍， ∴， ∵， ∴， 即或， ∵点P的“k属派生点”满足， ∴， 当时，，解得，结合，且为整数，得，符合题意； 当时，，解得，与矛盾，舍去； 综上所述，，满足条件的点的坐标为、、． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14坐标平面内图形的轴对称和平移精讲学案 核心立意 掌握点关于坐标轴的轴对称、点平移的坐标变换法则；理解图形变换等价于全部关键点同步做坐标运算；能根据坐标绘制变换后图形，可由前后坐标逆向判定变换方式；掌握轴对称与平移的简单复合变换；认识轴对称、平移属于全等变换，体会数形结合思想。 点关于坐标轴的轴对称坐标规律 设点\P(a,b) 关于x轴对称：P1(a,-b)，横坐标不变，纵坐标取相反数 关于y轴对称：P2(-a,b)，纵坐标不变，横坐标取相反数 补充：点关于原点对称属于拓展内容，不属于本节新课考点。 图形轴对称作图标准流程 原理：图形轴对称，所有顶点同步执行相同对称变换 ①提取原图形全部顶点坐标； ②计算每个顶点的对称点坐标； ③坐标系描出全部对称点； ④严格按照原有顶点顺序依次连线，得到对称图形。 点的平移坐标规律 设点P(a,b) 向右平移h个单位：(a+h, b) 向左平移h个单位：(a-h, b) 向上平移k个单位：(a, b+k) 向下平移k个单位：(a, b-k) 记忆口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标 图形平移作图标准流程 原理：图形整体平移，全部顶点平移方向、平移距离完全一致 ①提取原图形全部顶点坐标； ②按平移规则算出各顶点平移后的坐标； ③描出平移后的全部顶点； ④严格按照原有顶点顺序依次连线，得到平移图形。 由坐标逆向判定平移 选取一组对应点对比横、纵坐标： 横坐标增大→向右平移；横坐标减小→向左平移 纵坐标增大→向上平移；纵坐标减小→向下平移 结论：仅需一组对应点，即可确定整个图形的平移方向与距离。 轴对称与平移的复合变换 变换顺序不可随意调换：先平移后轴对称、先轴对称后平移，所得图形位置一般不相同。 操作方法：对每一个顶点，按照变换先后顺序分步计算坐标。 全等变换性质 轴对称、平移只改变图形位置；不改变图形形状、大小；变换前后图形全等，对应线段相等，对应角相等。 重点辨析 1. 对称规则区分：x轴对称改变纵坐标；y轴对称改变横坐标，二者不可混淆。 2. 图形变换是整体操作：必须对全部顶点执行变换，只改动部分顶点无法得到正确变换图形。 3. 平移特性：平移只改变位置，不会产生翻转、旋转。 4. 复合变换顺序：先后顺序会影响最终结果，不可颠倒变换步骤。 5. 全等判定：全等只代表形状大小不变，图形位置必然发生改变。 1. 对称变换记反：x轴对称改动横坐标，y轴对称改动纵坐标。 2. 平移混淆横纵坐标：左右平移改动纵坐标，上下平移改动横坐标。 3. 平移符号出错：向左、向下平移误用加号；向右、向上平移误用减号。 4. 作图连线不遵循原有顶点顺序，造成图形扭曲变形。 5. 逆向求平移：坐标相减顺序颠倒，平移方向、距离计算错误。 6. 复合变换随意调换先后顺序，导致坐标计算出错。 7. 误认为轴对称、平移会改变图形的形状或大小。 题型 考察方向 难度 题型一 坐标系中的对称 ★ 题型二 坐标与图形变化 —— 轴对称 ★★ 题型三 坐标系中的平移 ★★ 题型四 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 ★ 题型五 由平移方式确定点的坐标 ★ 题型六 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 ★★ 题型七 已知图形的平移，求点的坐标 ★★ 题型八 已知平移后的坐标求原坐标 ★★ 题型九 坐标系中的动点问题 ★★★ 题型十 中点坐标 ★★ 题型十一 点坐标规律探索 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：坐标系中的对称 解题思路：①提取已知点坐标；②套用x轴、y轴对称坐标变换公式；③输出对称点坐标。 1．在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（    ） A．点A与点B关于轴对称 B．点A与点B关于轴对称 C．点A与点B关于直线对称 D．点A与点B关于直线对称 2．如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 题型二：坐标与图形变化 —— 轴对称 解题思路：①提取图形全部顶点坐标；②逐个计算各顶点对称点坐标；③按原顶点顺序描点连线，绘制对称图形。 4．已知点，那么点P关于x轴对称的的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．若点关于轴的对称点是，则______________． 6．已知，则关于y轴的 对称点的坐标是__________． 7．在平面直角坐标系中，①点与关于轴对称；②点 与关于轴对称；③与点关于轴对称的点在第二象限；④点关于轴对称，则的值为．其中描述正确的是(   ) A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 题型三：坐标系中的平移 解题思路：①提取图形全部顶点坐标；②依据平移规则计算各顶点平移后坐标；③按原有顶点顺序描点连线，绘制平移后图形。 8．已知线段轴，且，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A．或 B． C． D．或 9．如图，以龙卷风中心为圆心，半径为1的圆圈范围内（图中虚线圈内）会受到龙卷风影响．若龙卷风中心沿直线匀速行进，则14时点P处的树木______受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 10．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．边长为2的正方形如图摆放，将其在第一象限内平移，则正方形内部（不含边界）的整点的个数最多有_____个． 11．如图，平面直角坐标中，直线分别与两坐标轴的正半轴相交，为直线AB上的一个动点，在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是（   ） A．x增大，y也增大 B．x增大，y却减小 C．x减小，y却增大 D．x减小，y也减小 题型四：求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 解题思路：①判定平移方向；②左右平移变更横坐标（左减右加）；③上下平移变更纵坐标（上加下减）；④代入运算得到目标坐标。 12．点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标是________． 13．将点向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点Q，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 15．将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点重合，则的值为______________． 题型五：由平移方式确定点的坐标 解题思路：①读取平移方向与单位长度；②横坐标执行左减右加；③纵坐标执行上加下减；④计算得到平移后点的坐标。 16．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向上平移2个单位后得到点，则的坐标是______________． 17．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，则点的坐标为__________． 18．如图，第一象限内有两点，，将线段平移使点P落在y轴上，点Q落在x轴上，则点P平移后的对应点的坐标是_______________． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，各顶点落在三个不同的象限，下列，的取值正确的个数有（     ） ，；②，；③，；④，； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型六：已知点平移前后的坐标，判断平移方式 解题思路：①计算前后点横坐标差值，判断左右平移方向与距离；②计算前后点纵坐标差值，判断上下平移方向与距离；③汇总得到完整平移方式。 20．在平面直角坐标系中，点平移后的坐标为，则点平移的方向为（   　 ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 21．将三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式：______________________________． 22．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了________个单位，的面积为________． 题型七：已知图形的平移，求点的坐标 解题思路：①选取一组对应点，确定图形整体平移量；②将平移量作用于待求点；③运算得到对应点坐标。 23．如图，在中，点，，将向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则点B的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为_____． 25．随着打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图是利用打印技术打印好的字样的艺术字，点的坐标为，点的坐标为，若将5G艺术字模型沿着方向平移，使点落到点处，则平移后点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型八：已知平移后的坐标求原坐标 解题思路：①执行平移逆运算；②右移变左减、左移变右加；③上移变下减、下移变上加；④计算得到原始坐标。 26．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可以得到，向下平移可以得到则点的坐标为________． 27．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 28．在平面直角坐标系中，将线段先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，是线段上一点，点平移后的对应点为，则点的坐标为________． 29．小明和小亮在玩“你来说，我来猜”的游戏． 小明经过思考给出了正确答案，这个游戏的谜底是（   ） A． B． C．或 D．或 题型九：坐标系中的动点问题 解题思路：①写出动点初始坐标；②结合运动方向、速度，建立动点坐标表达式；③依据题干条件列等式求解；④校验结果满足题意。 30．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 31．如图，，，，，动点在线段上，动点在轴上，则的最小值是_______． 32．如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型十：中点坐标 解题思路：①获取线段两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)；②代入中点公式：横坐标，纵坐标；③计算得到中点坐标。 33．若，是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则值为_______． 34．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 35．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 36．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 题型十一：点坐标规律探索 解题思路：①列举前若干点坐标；②分别归纳横、纵坐标变化周期或递推规律；③利用规律推导指定序号点坐标；④代入已知项验证规律有效性。 37．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 38．如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第15次运动到的点的坐标是_________． 39．如图所示，点，，，，…，根据这个规律，可得点的坐标是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．平面坐标系中求图形的面积 如图，点A，B的坐标分别是，．若将线段平移至的位置，点C与点D的坐标分别是和，求线段在平移过程中扫过的图形面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点A，B，C的对应点分别为，，． (1)画出三角形； (2)点是三角形内一点，三角形平移到三角形后，点P的对应点为，则点的坐标为________． 3．已知点． (1)当，满足怎样的条件时，点在第二象限？ (2)若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，求，的值． 4．在平面直角坐标系中，已知，，，且 ，，为线段的中点．（参考公式：若两点，，则其中点坐标为） (1)直接写出，，的值； (2)如图1，把点向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度至点，当点恰好落在射线上时，求的值； (3)如图2，点在经过点且平行于轴的直线上，设其横坐标为，连接，，记的面积为，当时，求的取值范围． 5．如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形； (2)将向左平移5个单位再向上平移1个单位得到，直接写出、、的坐标； (3)在y轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 6．对于平面直角坐标系中的点，若点（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”．例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“3属派生点”的坐标为______； (2)若点P的“5属派生点”的坐标为，求点P的坐标； (3)若点P在x轴的正半轴上，设点P的坐标为（，t为整数），点P的“k属派生点”满足，同时点到x轴的距离是线段长度的2倍（O为坐标原点），求k的值及满足条件的点P的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $