4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦坐标平面内图形的轴对称和平移，系统梳理点关于x轴、y轴对称的坐标规律（横或纵坐标变号），点左右（横变）、上下（纵变）平移的坐标规则，构建从点变换到图形作图的学习支架，衔接参数计算、逆向推导等综合应用。 该资料通过“易错提醒”规避混淆对称与平移规则等问题，“解题贴士”结合口诀（如“左减右加”）强化推理意识，多样题型（如动点、规律探究）培养空间观念与应用意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过随练查漏补缺，提升数形结合能力。

第四章 图形与坐标 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移 课标要点 1.掌握平面直角坐标系内点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，能快速求对称点坐标。 2.掌握点左右、上下平移的坐标变化规律，理解图形平移与点坐标变化的对应关系。 3.能根据坐标变换规律，作出图形轴对称、平移后的对应图形。 4.体会数形结合思想，掌握图形变换与坐标转化的解题方法。 学习重难点 重点： 1.熟记点的轴对称、平移坐标变换规律； 2.熟练求解变换后的点坐标； 3.能根据坐标变化完成图形变换作图。 难点： 1.混淆轴对称与平移的坐标变化规则，易错写坐标； 2.连续多次变换时坐标推导出错； 3.根据图形变换逆向推导原点点坐标。 知识点 平面直角坐标中的对称（重点） 1. 关于坐标轴对称的点的坐标特点： ①关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称⇔横坐标相同，纵坐标互为相反数； ②关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称⇔纵坐标相同，横坐标互为相反数。 易错提醒 1）混淆x轴、y轴对称的坐标变号规律； 2）原点对称只变其中一个坐标，出现漏变号错误； 3）图形对称作图只描点不连线，或连线顺序错乱； 4）对称点坐标计算正负出错，尤其负数坐标对称变换。 随学随练 1．（25-26八年级上·广东中山·期中）点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 2．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标规律. 利用规律求出和的值. 再代入计算即可得到结果． 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相等， 又点与点关于轴对称， ，， ． 知识点 平面直角坐标中的平移（重点） 1. 对于平面直角坐标系上任意一点P 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 平移变换 向左平移个单位 向右平移个单位 向上平移个单位 向下平移个单位 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 特别提醒 平移只改变点的位置，不改变图形形状、大小、方向；坐标规律：左右平移变横坐标（右加左减），上下平移变纵坐标（上加下减），所有关键点平移规则统一。 教材延伸 中点坐标公式：若点则线段AB的中点坐标为。 随学随练 1．（25-26七年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“右移横坐标加，下移纵坐标减”的规律计算即可得到结果． 【详解】解：已知点，先向右平移4个单位长度，横坐标变为， 再向下平移2个单位长度，纵坐标变为， ∴． 2．（25-26七年级下·河北承德·期末）点向上平移个单位长度得到的点在轴上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解 向上平移个单位长度后，得到， 的坐标为，即， 又 轴上的点的纵坐标为，且在轴上， ， 解得． 3．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】平移变换与坐标的变化，平移中点的变化规律是横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．先根据点及其对应点的坐标确定平移规律，再利用该规律求出点的对应点的坐标． 【详解】解：∵线段是由线段经过平移得到的，点的对应点为， ∴横坐标的变化为，即横坐标减3，纵坐标的变化为，即纵坐标加2， ∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 拓展 平面直角坐标系中两种轴对称坐标规律 对称类型 原始坐标与对称后坐标 坐标变化核心规律 关于x轴对称 点 → 横坐标不变，纵坐标取相反数，x轴为水平对称轴，上下翻转变纵轴符号 关于y轴对称 点 → 纵坐标不变，横坐标取相反数，y轴为竖直对称轴，左右翻转变横轴符号 活学活用 1．已知点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，先求解，的值，再代入计算代数式的值即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得：，， ∴． 2．点关于轴的对称点的坐标是 ___________ ． 【答案】 【分析】根据点关于轴对称时，横纵坐标变化规律解答即可． 【详解】解：坐标系中点关于轴对称点的坐标特征是：横坐标不变，纵坐标变为其相反数， 点关于轴的对称点的坐标是． 拓展 坐标平移变换规律总结 平移方向 坐标变换规则（a＞0） 规律核心解读 向左平移个单位 水平左移，横坐标减小，纵坐标保持不变 向右平移个单位 水平右移，横坐标增大，纵坐标保持不变 向上平移个单位 竖直上移，纵坐标增大，横坐标保持不变 向下平移个单位 竖直下移，纵坐标减小，横坐标保持不变 通用记忆口诀：左减右加，上加下减；水平平移只变横坐标，竖直平移只变纵坐标。 活学活用 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ______ ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据点的平移规则，向左平移横坐标减少，向上平移纵坐标增加，计算即可． 【详解】解：点向左平移3个单位，得到点，即； 再向上平移3个单位，得到点，即； 故答案为：． 2．将平移得到，若对应点的像为，则的像坐标为__________. 【答案】 【分析】此题考查了平移，先由对应点的像为得到平移规律是向下平移5个单位，据此即可求出答案. 【详解】解：∵对应点的像为， ∴平移规律是向下平移5个单位， 则的像坐标为， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，先根据点与其对应点的坐标确定平移规律，再将该平移规律应用到点，即可求出点的对应点的坐标． 【详解】解：由点平移得到点，可得横坐标的变化为，即向左平移1个单位，纵坐标的变化为，即向上平移5个单位． 根据平移的性质，线段平移时对应点的平移规律相同， 则点的对应点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 题型 求对称后点的坐标 解题贴士 熟记对称口诀：①关于x轴对称：横不变、纵变号；②关于y轴对称：纵不变、横变号；③关于原点对称：横、纵全变号，直接代入坐标计算。 ▌例1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵点， ∴点P关于x轴对称的点的坐标是． ▌例2．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【分析】关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点关于轴对称时，对称点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数． 【详解】解:∵点关于轴对称的坐标规律为横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，原点坐标为， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为，即对称点坐标为． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·湖南永州·期末）点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平面直角坐标系中，点关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·北京昌平·期末）已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是_________． 【答案】 【分析】关于轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据规律解答即可. 【详解】解：根据关于轴对称的点的坐标规律，点横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，可得点关于轴对称的点的坐标是. 题型 由点的对称求参数 解题贴士 根据对称坐标变化规律，列出横、纵坐标对应相等或互为相反数的等式，解方程求出参数值。 ▌例1．（2026·广东广州·二模）若点关于轴对称的点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标规律得到对称点坐标，再结合第四象限点的坐标特征列不等式求解m的取值范围． 【详解】解：∵关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点坐标为， ∵第四象限内点的纵坐标小于，该对称点在第四象限， ∴， ∴． ▌例2．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点与点关于轴对称，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数求出m、n的值，进行计算即可 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴ ▌对点练1-1．（2026·河南平顶山·三模）如图是一幅轴对称的鲤鱼剪纸，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，并且点关于轴对称，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴， 解得， ． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·河北衡水·期中）点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题利用关于y轴对称的点的坐标特征求出的值，再代入所求代数式计算即可，用到的性质是：关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数 【详解】解：∵ 点与点关于轴对称 ∴ 根据关于y轴对称的点的坐标特征可得 ， 解得 ， 将，代入得 ． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数求出，的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·湖南常德·期中）在平面直角坐标系中，点，点 (1)若点A关于y轴对称的点在第二象限的角平分线上，求a的值． (2)若点A，B关于x轴对称，求的值． (3)若点A向上平移2个单位长度后，与点B关于y轴对称，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在第二象限角平分线上的坐标特征：横坐标和纵坐标互为相反数，据此列式计算即可求解； （2）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此列式计算即可求解； （3）关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点关于y轴对称的点为， ∴点在第二象限的角平分线上， ∴，   解得； （2）解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴； （3）解：∵点向上平移2个单位长度后得到点， ∴点， ∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴ ． 题型 由对称前后坐标确定对称方式 解题贴士 对比新旧坐标：仅纵坐标变号→关于x轴对称；仅横坐标变号→关于y轴对称；横竖均变号→关于原点对称。 ▌例1．（25-26八年级下·湖南湘潭·期末）已知点，，则下列说法正确的是（    ） A．直线平行于轴 B．直线平行于轴 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 【答案】A 【详解】解：已知点，， ∵点和点的纵坐标相等，横坐标不相等， ∴直线平行于轴，不平行于轴，故A符合题意，B不符合题意； 若两点关于轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，两点横坐标不相等，故C不符合题意； 若两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，与不互为相反数，故D不符合题意． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）在一幅轴对称图形中，某点的坐标为，其对称点的坐标为，则该轴对称图形的对称轴是（   ） A．x轴 B．y轴 C．直线 D．直线 【答案】B 【详解】解：和横坐标互为相反数，纵坐标相同，对称轴为y轴． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·河北沧州·期中）已知点 ，则下列说法正确的是（    ） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 【答案】B 【详解】已知点 ， ， ∵点和点的横坐标相等，纵坐标不相等，也不互为相反数， ∴直线平行于轴，不平行于轴，故A不符合题意，B符合题意． 若两点关于轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，与不互为相反数，故C不符合题意． 若两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，两点横坐标相同，不满足条件，故D不符合题意． 选B． 题型 求平移后点的坐标 解题贴士 平移口诀：左右平移变横坐标（右加左减），上下平移变纵坐标（上加下减）；按平移距离依次计算新坐标。 ▌例1．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）将点向左平移1个单位，得到的点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减计算即可． 【详解】解：∵将点向左平移1个单位，平移不改变纵坐标，横坐标需要减1， ∴平移后点的横坐标为，纵坐标为， ∴平移后得到的点的坐标为． ▌例2．（25-26八年级下·广东清远·期末）将点沿着轴正方向平移个单位长度到达点，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据点在平面直角坐标系中的平移规律解答即可． 【详解】解：已知点的坐标为，将点沿轴正方向平移个单位长度， 则平移后纵坐标不变，横坐标增加， 故点的坐标为． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律，平移规律为：左右平移改变横坐标，右移加、左移减；上下平移改变纵坐标，上移加、下移减，按照规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵点向右平移个单位，横坐标加，再向下平移个单位，纵坐标减 ∴的横坐标为，的纵坐标为 ， ∴点的坐标为． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【详解】解：点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 点的坐标为，即． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·河南周口·期末）点向左平移5个单位，向上平移2个单位后对应点坐标______． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中点的平移规律为：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，根据平面直角坐标系中点的平移规律，利用平移规则计算平移后点的横纵坐标即可得到结果． 【详解】 解：点， 向左平移5个单位，向上平移2个单位后坐标为：，即为． 题型 由平移前后坐标确定平移方式 解题贴士 用新坐标减原坐标：横坐标差值为正向右、负向左；纵坐标差值为正向上、负向下，精准描述平移方向与单位。 ▌例1．（25-26七年级下·天津河北·期末）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段的端点，的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段，则线段到线段的平移方式为（     ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】根据线段平移时，所有点平移方式一致，点的平移遵循“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”，可直接根据坐标变化判断平移方式． 【详解】解：∵线段的端点，的横坐标都加，纵坐标都减， ∴线段到线段的平移方式为向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度． ▌例2．（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点的坐标分别是，将线段平移后得到线段（点M，N分别平移到点，的位置），若点的坐标为，则点的坐标为____． 【答案】 【分析】比较的横坐标、纵坐标，可知平移后横坐标加2，纵坐标加2，由于点平移规律相同，坐标变化也相同，即可得的坐标． 【详解】解：由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同， 由点M到点可知平移后点的横坐标加2，纵坐标加2， 故点的坐标为，即． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段的端点，的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段，则线段到线段的平移方式为（     ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【详解】解：∵线段所有端点横坐标都加，纵坐标都减， ∴线段到线段的平移方式为向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合点A和点的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：∵点平移后的对应点是， ∴线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∵点， ∴点B的对应点D的坐标是，即． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·天津武清·期末）将三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式：______________________________． 【答案】先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度（或先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度） 【分析】根据已知点平移前后的坐标特征，即可确定三角形的平移方式． 【详解】解：点平移后的对应点为， 横坐标加，符合向右平移个单位长度的坐标变化规律，纵坐标减，符合向下平移个单位长度的坐标变化规律， 三角形的平移方式为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度（或先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度） ． 题型 由平移后的坐标求原坐标 解题贴士 逆向平移求解：与题目平移方向相反、数值不变，右移变左移、上移变下移，反向加减还原原坐标。 ▌例1．（25-26七年级下·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移规律即可求出点M的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 点向左平移3个单位长度后得到点， 根据平移规律可得：， 解得：， 点的坐标为． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，点是由点向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，根据已知平移结果逆推计算原坐标即可． 【详解】解：设点的坐标为， 点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到， 根据平移规律可得：，， 解得，， 点的坐标为． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，把点向左平移可以得到点，把点向上平移可以得到点，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】 根据向左平移时点的纵坐标不变，可得点的纵坐标，根据向上平移时点的横坐标不变，可得点的横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：将点向左平移可得到点， 点的纵坐标为， 将点向上平移可得到点， 点的横坐标为， 点的坐标为． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末）在平面直角坐标系中有点A，将它向右平移2个单位长度后，对应点的坐标为，则点A的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵将点A向右平移2个单位长度后，对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即. 题型 由点的平移求参数 解题贴士 根据平移坐标变化规则，建立含参数的方程，求解参数取值；多条件联立验证取值合理性。 ▌例1．（25-26八年级下·广西贵港·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，得到点，则m的值是（     ） A．8 B．5 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】向左平移时横坐标减小，纵坐标不变，据此列方程求解即可. 【详解】解：∵将点向左平移3个单位长度，得到点， 根据点平移的坐标规律：向左平移横坐标减，纵坐标不变， ∴， 解得 . ▌对点练1-1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】平移中点的变化规律为横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，根据规律求出a，b的值，再计算即可． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点， ∴根据平移规律得，， ∴． ▌对点练1-2．（2026·广东广州·三模）把平面直角坐标系上一点向上平移3个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则_______． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，以及坐标轴上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵点向上平移3个单位， ∴平移后的点的坐标为， ∵平移后的点恰好在轴的正半轴上， ∴， ∴． ▌对点练1-3．（2026·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，已知点，将点P沿x轴正方向平移a个单位后，再向下平移5个单位，得到点，则的值为______． 【答案】0 【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】由题意得， ∴ ∴． 题型 中点坐标 解题贴士 易错：①误用差值计算，记成减法公式；②坐标代入顺序错乱；③已知中点求端点不会逆向变形。 ▌例1．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 【答案】 【分析】利用平面直角坐标系中两点中点坐标的计算公式，分别计算中点的横坐标和纵坐标即可求解． 【详解】解：∵，， ∴线段的中点坐标是，即． ▌对点练1-1．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 【详解】解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ______． 【答案】 【分析】本题考查了中点坐标公式． 根据中点坐标公式，直接计算两点横纵坐标的平均值． 【详解】解：点和点的中点坐标公式为，即． 故答案为：． 题型 坐标系中的动点问题 解题贴士 易错：①动点坐标代数式表达错误；②忽略动点运动范围、起止边界，出现增根；③分段运动不分段讨论；④单位、运动方向判断错误。 ▌例1．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线经过点，，动点P在y轴上，则的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据垂线段最短可知，当时，最小，由点的坐标可求出的最小值． 【详解】解：如图， 当时，最小， ∵，， ∴轴， ∵点P在y轴上，且， ∴， ∴． ∴的最小值是2． ▌例2．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、且实数a，b满足，过点B作轴交y轴于点C．点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动．点Q从O点出发，以每秒2个单位长度的速度向y轴正方向运动． (1)直接写出点A的坐标_________，点B的坐标_________； (2)动点P、Q分别在射线、上运动，连接、，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出、的值，从而得到点、的坐标； （2）表示出秒时点和点的坐标，用含的式子表示出和的面积，根据题意列出关于的方程，求出的值即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴的坐标，的坐标； （2）解：∵轴交轴于点，， ∴，， 设运动时间为秒，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 【答案】或或 【分析】先计算出的面积，再分点C在x轴和点C在y轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等求出的长度，结合点C不与B重合的条件，即可得到点C的坐标． 【详解】解：由题意得，， 计算可得． 当点C在x轴上时， ， ， 解得， 点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ， ， 解得， 又点C不与点B重合， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在以为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，且．是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． (1)填空：_____，_____； (2)求出点在运动过程中的面积（用含的式子表示）； (3)是否存在一点，使的面积等于20？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8，6 (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）因为绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，所以可据此求出m、n的值． （2）先根据长方形的性质确定各点坐标，再按动点P的运动路径分两种情况：P在上、P在上，分别确定不同时间段t的取值范围，结合三角形面积公式或割补法表示出的面积S． （3）针对不同阶段的S的表达式，分别令，求解对应的t值，再根据t的取值范围判断解是否有效，进而求出对应P点的坐标． 【详解】（1）解：根据非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数， 若和为0， 则绝对值和算术平方根均为0， 可得：，， ∴， 解得，． （2）解：，，点运动速度为每秒2个单位，分两种情况讨论： ①当点在上（）：，的底为，高为的纵坐标， ∴ ②当点在上（）：坐标为， 长方形面积减去周围三个三角形面积， 可得： ． 综上，． （3）解：存在，点的坐标为或，推导如下： 若，令， 解得，符合范围， 此时； 若，令， 解得，符合范围， 此时． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是5，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动，到达点后，、同时停止运动． (1)点的坐标为_____； (2)当时，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (3)当点满足时，求的值； (4)当点满足四边形的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为9，纵坐标为5，即可得解； （2）根据题意写出坐标即可； （3）设经过t秒后，轴，此时P，Q两点的横坐标相等，据此列方程求解即可； （4）设经过t秒，四边形的面积为30，此时，，再结合梯形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，且轴， 点的横坐标为9， 点是第一象限的点，且点到轴的距离是5， 点的纵坐标为5， 点的坐标为； （2）解：过点作轴的平行线，动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动， 当时，点向左移动3个单位长度，且点的纵坐标为5， 点的坐标为，即； 动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动， 当时，点的坐标为； （3）解：设经过t秒，轴，此时P，Q两点的横坐标相等， 由题意可知，P、Q两点的横坐标分别为、t， 则， 解得： （4）解：设经过t秒，四边形的面积为30，此时，， ， ，， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为，即． 题型 坐标系中规律探究问题 解题贴士 依次写出前几个点的坐标，观察横、纵坐标的周期、奇偶、等差、循环规律，归纳通项，求解指定序号点的坐标。 ▌例1．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出点P每秒走个半圆，然后求出点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、、0为一个周期依次循环，进而求解即可． 【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的弧长为， ∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点P每秒走个半圆， ∴运动时间为1秒时，点P的坐标为； 运动时间为2秒时，点P的坐标为， 运动时间为3秒时，点P的坐标为， 运动时间为4秒时，点P的坐标为， 运动时间为5秒时，点P的坐标为， 运动时间为6秒时，点P的坐标为， …， ∴点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、、0为一个周期依次循环， ∵， ∴第秒时，点P的坐标是． ▌例2．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，，则点的横坐标是_____． 【答案】675 【分析】根据点的移动可知点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1，据此即可解答． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，，， ∴点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1， ∵， ∴点的横坐标为． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点的坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到在x轴正半轴上，纵坐标为0，根据 ，……得到横坐标为，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可以看出，…，每4个为一组， ∵， ∴在x轴正半轴上，纵坐标为0， ∵ ， ……， ∴当时，的横坐标为4， 当时，的横坐标为5， 当时，的横坐标为6， ……， 当时，横坐标为， ∵， ∴， 则， ∴的坐标是． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A．（10，10） B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点的坐标求出四边形各边的长度及周长，再用细线总长度除以周长求出余数，根据余数确定细线另一端在四边形边上的具体位置，进而求出坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴四边形的周长为， ∵， ∴细线另一端在绕四边形第21圈的第26个单位长度的位置， ∵从点出发，按的方向绕行，且， ∴细线另一端落在边上，且距离点为26个单位长度， ∴该点的横坐标为，纵坐标为， 即细线另一端所在位置的点的坐标是． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）在平面直角坐标系中，对点进行如下规则的操作：横坐标乘以再减1，纵坐标加1，得到点．第一次操作得到的点记为，对点坐标继续进行一次相同规则的操作，得到的点记为，对点再进行相同操作得到的点记为，…，以此类推，第n次操作得到的点记为．现有点，对进行2026次这样的操作后得到的点的坐标为______． 【答案】 【分析】先计算前几次操作后的点坐标，归纳坐标变化规律，再根据规律确定第2026次操作后的坐标． 【详解】解：已知初始点为，按照操作规则依次计算得： 第次操作后，横坐标： ，纵坐标：，即； 第次操作后，横坐标： ，纵坐标：，即； 第次操作后，横坐标： ，纵坐标：，即； 第次操作后，横坐标： ，纵坐标：，即． 归纳规律： 1. 纵坐标：每次操作纵坐标加，第次操作后纵坐标为； 2. 横坐标：操作次后，若为偶数，横坐标为；若为奇数，横坐标为； 因为是偶数，因此的横坐标为，纵坐标为． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中半径为1的圆从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆上一点由原点到达点，圆心也由点到达点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出沿x轴向右滚动一周，圆心向右运动的距离，再求出沿横轴向右滚动2025周，圆心A向右移动的距离，又滚动过程中，圆心的纵坐标不变，问题可得解． 【详解】解：根据题意可知，滚动过程中，圆心的纵坐标不变，即为， 根据题意，沿x轴向右滚动一周，圆心A向右运动的距离为：， ∴从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆心A向右移动的距离为， ∴点的坐标为． 题型 在坐标系中作图形的平移、对称 解题贴士 选取图形关键点，求出平移/对称后的对应点坐标，在坐标系中描点，按原图顺序依次连线，得到变换后图形。 ▌例1．（25-26八年级下·湖南永州·期末）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形的三个顶点都在格点上，点，请解答下列问题： (1)先将三角形向左平移5个单位，再向下平移6个单位后得到三角形，请画出三角形； (2)请画出三角形关于y轴对称的三角形； (3)请直接写出、的坐标． 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)解：如图所示即为所求， (3)解：（2）可得，， 【分析】（1）利用平移的性质“上加下减，左减右加”得出，，的坐标，画图即可； （2）利用关于y轴对称的点“横坐标相反，纵坐标相同”得出，，的坐标，画图即可； （3）由（2）可得，的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，，， 由平移的性质得，即， ，即， ，即， 图略； （2）解：根据关于y轴对称的点坐标性质得，即， ，即， ，即， 图略； （3）略． ▌例2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，． (1)将向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的图形； (2)画出关于轴的对称图形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别将三点向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，然后依次连接即可； （2）先找到三点关于轴对称的，然后依次连接即可． 【详解】（1）解：下图即为所求； （2）解：下图即为所求． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，C的坐标分别为． (1)请在网格中画出相应的平面直角坐标系； (2)请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，． 【分析】（1）根据点A，C的坐标分别为找到直角坐标系的原点，以此构造平面直角坐标系即可； （2）先找出A、B、C三点关于y轴对称的对称点，连接三点画出三角形即可，进而写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示： 则． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将经过平移得到，点B的对应点的坐标为，点A，C的对应点分别为，． (1)请在图中画出； (2)点是边上的一点，经过平移后，点P的对应点是点，则点的坐标为________． 【答案】(1) (2) 【分析】先根据点B和对应点的坐标确定整个图形的平移规律，再根据平移规律作出平移后的三角形，最后推导点对应点的坐标即可． 【详解】（1）解：已知中，平移后对应点的坐标为， 因此的平移规律为：向右平移6个单位，向下平移5个单位； ∵，， ∴，， 在平面直角坐标系中描出，，顺次连接，，，即可得到； 作图略． （2）解：根据平移规律，点平移后，横坐标加6，纵坐标减5，因此对应点的坐标为． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为． (1)画出三角形，并写出点的坐标为______． (2)写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系，作图-平移变换，掌握平移方式是解答的关键． （1）根据点的一定变化即可画出平移后的图形； （2）根据点平移的规律：上加下减，右加左减即可判断． 【详解】（1）解：由于三角形中任意一点平移后的对应点为，则三角形先向右平移2个单位长度，然后向上平移3个单位长度，即可得到三角形，如图所示； 则点的坐标为； （2）解：由（1）知，三角形先向右平移2个单位长度，然后向上平移3个单位长度，即可得到三角形；或先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点A，B，C的坐标分别是，，． (1)与关于轴对称，点A，B，C的对应点分别为，，，请画出． (2)平移得到，点A，B，C的对应点分别是，，，边上一点平移后对应点为，则先向________（填“左”或“右”）平移________个单位长度，再向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度得到．请根据题意，画出． (3)在（2）的基础上连接，则的长为________． 【答案】(1)图形如下： (2)右，4，下，6；图见上面； (3) 【分析】本题考查了平移作图，轴对称作图，利用勾股定理求线段长度，解题的关键是根据相关基础知识，确定相应点的位置． （1）根据轴对称的性质，确定出，，的位置，顺次连接，即可求解； （2）根据点平移的坐标的变化规律，求出平移方式，然后确定出，，的坐标，顺次连接即可； （3）利用勾股定理，求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：如图： 由勾股定理可得，． 基础通关 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将点向右平移6个单位长度，横坐标为，再向下平移4个单位长度，纵坐标为，即点的坐标为． 2．（25-26七年级下·海南·期末）如图，中，点，，．将先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后（点A，B，C的对应点分别为点，，）三个顶点的坐标分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵将先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，点，，， ∴，，，即，，． 3．（25-26八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点先向左平移再向下平移可能移动到下列哪个点的位置（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，向左平移横坐标减小，向下平移纵坐标减小，先确定平移后点坐标的范围，再判断选项即可． 【详解】解：设平移后点的坐标为， ∵点P坐标为，且点P先向左平移，再向下平移， ∴平移后点的横坐标小于原横坐标，纵坐标小于原纵坐标，即，， 观察四个选项，只有D选项满足，，符合要求． 4．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据该规律即可求解． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特征是横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点，横坐标为，纵坐标为，即坐标为． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A坐标是，经平移后，得到其对应点，若的内部任意一点D坐标是，则其对应点坐标一定是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据顶点A及其对应点的坐标，确定平移规律，再根据平移规律得到点D对应点的坐标． 【详解】解：∵顶点A坐标是，平移后对应点坐标是， ∴横坐标变化为，纵坐标变化为， 即平移方式为向左平移3个单位，纵坐标不变， ∵点D坐标是， ∴对应点的坐标为． 6．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若点和关于x轴对称，则的值是______． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数确定a和b的值，再计算即可． 【详解】解： ∵ 点和关于x轴对称， ∴，， ∴． 7．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度后，得到的点在轴上，则的值为________． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中的点的平移规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”以及轴上的点的坐标特征为纵坐标为0，列出关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：∵将点向下平移个单位长度后，得到的点在轴上， ∴，解得． 8．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是_________． 【答案】 【分析】先得出平移方式，再根据点坐标的平移变换规律求解即可． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式是先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点平移后的对应点的坐标是，即． 9．（25-26七年级下·广东江门·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴平行且经过点，若点也在该直线上，请写出一个符合条件的点的坐标______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行于轴的直线上点的坐标特征，可知直线上所有点的纵坐标相等，确定纵坐标后，任取一个横坐标即可得到符合条件的点的坐标． 【详解】解：直线与轴平行， 直线上所有点的纵坐标相等， 又直线经过点， 直线上任意点的纵坐标都为， 任取横坐标为，可得符合条件的点的坐标为（答案不唯一）． 10．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出三角形； (2)将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，顶点，，经过这种变换后分别得到点，，，在图中画出三角形，并写出点，，的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2)，，，图形见解析 【分析】（1）在坐标系中确定点，顺次连接即可得； （2）根据平移规律，向右平移4个单位长度，横坐标加4，再向上平移2个单位长度，纵坐标加2，依次确定，，的坐标，在坐标系中描出后，顺次连接． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得， 平移后为， 平移后为． 如图所示， 11．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出向左平移5个单位长度后得到的； (2)在图中作出关于轴对称的，并写出，，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，， 【分析】（1）将三个顶点向左平移5个单位长度得到其对应点，再顺次连接即可； （2）作出A、B、C关于x轴对称的对应点，然后顺次连接，然后写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ∴，，． 12．（25-26七年级下·广西贺州·期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是；点是内一点，当随着点平移到点时． (1)请画出平移后新； (2)直接写出三个顶点的坐标； (3)若三角形外有一点M经过同样的平移后得到点，则点的坐标是 ，若连接线段，则这两条线段之间的关系是 ． 【答案】(1)图见解析 (2)，， (3)，平行且相等 【分析】（1）先确定平移方式，再画出点，顺次连接即可； （2）根据点坐标的平移变换规律即可得； （3）设点的坐标是，则，求出的值即可，再根据平移的性质即可得． 【详解】（1）解：∵随着点平移到点， ∴平移方式是：先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， 画出平移后新如图所示： ． （2）解：由（1）已得：平移方式是先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵， ∴，，， 即，，． （3）解：设点的坐标是， ∵三角形外有一点经过同样的平移后得到点， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 如图，连接线段， 由平移的性质得：线段与之间的关系是平行且相等． 素养提升 1．（25-26七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，将线段AB平移得到线段，其中点A的对应点为点C．若，，则的值为（     ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】平移后所有点的横纵坐标变化量相同，根据平移规律得到和的表达式，即可计算出的值． 【详解】解：∵线段平移得到线段，平移过程中所有点的横纵坐标变化量相同， 由的对应点为，可得横坐标变化量为：， 由的对应点为，可得纵坐标变化量为：， ∴对点横坐标，有，得， 对点纵坐标，有，得， ∴． 2．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，已知点，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点B的对应点D的坐标确定平移规律，再利用平移规律即可确定点C的坐标． 【详解】解：∵将线段平移后得到了线段，点， ∴线段向右平移7个单位，再向下平移2个单位得到线段，点A的对应点为点C， ∵， ∴点C的横坐标为，纵坐标为， ∴点C的坐标为． 3．（2026·山东菏泽·二模）新春佳节，班级文化长廊布置喜庆国风装饰，整齐悬挂着四个样式相同、寓意吉祥团圆的中国结，既装点教室又传承传统民俗文化．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点，，，的坐标分别是，，，．为让排布规整对称、尽显中式对称美学，下列平移中，能使四个“中国结”关于轴对称的是（     ） A．将向右平移个单位 B．将向右平移个单位 C．将向右平移个单位 D．将向右平移个单位 【答案】A 【分析】根据平移的性质求出平移后的坐标，根据关于轴对称点的坐标特点解答即可． 【详解】解：A．将向右平移个单位可得，能使四个“中国结”关于轴对称，符合题意， B．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， C．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， D．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， 4．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）已知点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： 点与点关于轴对称， ，， ． 5．（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中点的平移与关于轴对称点的坐标规律，灵活运用平移和对称的坐标变化规律是解题的关键．根据点的平移规律，向右平移横坐标加、纵坐标不变，可求出点的坐标；再根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变、纵坐标互为相反数，进而求出点关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，根据点的平移规律：向右平移横坐标加，纵坐标不变，可得平移后点的坐标为 已知的坐标为，因此可得，， 解得，，即点的坐标为， 根据关于轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 6．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）在平面直角坐标系中，某机器人从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向每次移动个单位长度，行走路线如图所示，第次移动到， 第次移动到，第次移动到， 第次移动到，则第次移动至点的坐标是 _______． 【答案】 【分析】根据图象，得到动点的纵坐标，每4个一个循环，得到规律，进行求解即可． 【详解】解：由图可知的纵坐标以，，，四个一组进行循环， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴的坐标是， ∴的坐标是． 7．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】由已知坐标可得点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，据此解答即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化， ∴点的横坐标为， ， ∴点的纵坐标为， 的坐标为． 8．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)求出点A，B的坐标； (2)点P运动t秒后，是否存在点P到x轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得出答案； （2）分四种情况：当点P运动到上时，当点P运动到上时，当点P运动到上时，当点P运动到上时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ，， ，， ∴，； （2）解：存在． ①当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得，不符合题意，舍去； ②当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得， ∴点P的坐标为； ③当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得， ∴点P的坐标为； ④当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得，不符合题意，舍去； 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或． 9．（25-26七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）根据中点坐标公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式建立方程求解即可； （3）分三种情况：与中点重合，与中点重合和与中点重合，根据中点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，为线段的中点， ∴点E的横坐标为，纵坐标为， ∴点E的坐标为； （2）解：设点为的坐标， 由题意得，，， 解得，， ∴点的坐标为； （3）解：设，， ①与中点重合时，则，， ，， ∴； ②与中点重合时，则，， ，， ∴； ③与中点重合时，则，， ，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 迁移创新 1．（25-26七年级下·河南三门峡·期末）2026年2月，北京大学研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．如图，搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点O出发，按以下指令移动．指令1：向北移动4米到点A；指令2：右转，向东移动3米到点B；指令3：右转，向南移动2米到点C；指令4：右转，向西移动5米到点D．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点O与点C之间的距离大于3米 D．点D位于点O的北偏东方向 【答案】D 【分析】以起点为原点，建立平面直角坐标系，规定：东为轴正方向，北为轴正方向，计算各点坐标，逐一判断即可． 【详解】以起点为原点，建立平面直角坐标系，规定：东为轴正方向，北为轴正方向，如图所示， ，向北走4米得；右转向东走3米得；再右转向南走2米得；再右转向西走5米得； 选项A：直线是竖直线（沿轴方向），直线是水平线（），竖直直线与水平直线垂直，结论正确，不符合题意； 选项B：直线是水平线（），直线也是水平线，两条水平线互相平行，结论正确，不符合题意； 选项C：由勾股定理，，结论正确，不符合题意； 选项D：点，横坐标为负（西方向）、纵坐标为正（北方向），因此在的北偏西方向，不是北偏东，结论错误，符合题意． 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据物体与像关于平面镜对称，求出、的值，再求代数式的值即可． 【详解】解：物体与像关于平面镜对称， 可得：， 解得：， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形与坐标 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移 课标要点 1.掌握平面直角坐标系内点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，能快速求对称点坐标。 2.掌握点左右、上下平移的坐标变化规律，理解图形平移与点坐标变化的对应关系。 3.能根据坐标变换规律，作出图形轴对称、平移后的对应图形。 4.体会数形结合思想，掌握图形变换与坐标转化的解题方法。 学习重难点 重点： 1.熟记点的轴对称、平移坐标变换规律； 2.熟练求解变换后的点坐标； 3.能根据坐标变化完成图形变换作图。 难点： 1.混淆轴对称与平移的坐标变化规则，易错写坐标； 2.连续多次变换时坐标推导出错； 3.根据图形变换逆向推导原点点坐标。 知识点 平面直角坐标中的对称（重点） 1. 关于坐标轴对称的点的坐标特点： ①关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称⇔横坐标相同，纵坐标互为相反数； ②关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称⇔纵坐标相同，横坐标互为相反数。 易错提醒 1）混淆x轴、y轴对称的坐标变号规律； 2）原点对称只变其中一个坐标，出现漏变号错误； 3）图形对称作图只描点不连线，或连线顺序错乱； 4）对称点坐标计算正负出错，尤其负数坐标对称变换。 随学随练 1．（25-26八年级上·广东中山·期中）点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 知识点 平面直角坐标中的平移（重点） 1. 对于平面直角坐标系上任意一点P 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 平移变换 向左平移个单位 向右平移个单位 向上平移个单位 向下平移个单位 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 特别提醒 平移只改变点的位置，不改变图形形状、大小、方向；坐标规律：左右平移变横坐标（右加左减），上下平移变纵坐标（上加下减），所有关键点平移规则统一。 教材延伸 中点坐标公式：若点则线段AB的中点坐标为。 随学随练 1．（25-26七年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北承德·期末）点向上平移个单位长度得到的点在轴上，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是__________． 拓展 平面直角坐标系中两种轴对称坐标规律 对称类型 原始坐标与对称后坐标 坐标变化核心规律 关于x轴对称 点 → 横坐标不变，纵坐标取相反数，x轴为水平对称轴，上下翻转变纵轴符号 关于y轴对称 点 → 纵坐标不变，横坐标取相反数，y轴为竖直对称轴，左右翻转变横轴符号 活学活用 1．已知点与点关于轴对称，则________． 2．点关于轴的对称点的坐标是 ___________ ． 拓展 坐标平移变换规律总结 平移方向 坐标变换规则（a＞0） 规律核心解读 向左平移个单位 水平左移，横坐标减小，纵坐标保持不变 向右平移个单位 水平右移，横坐标增大，纵坐标保持不变 向上平移个单位 竖直上移，纵坐标增大，横坐标保持不变 向下平移个单位 竖直下移，纵坐标减小，横坐标保持不变 通用记忆口诀：左减右加，上加下减；水平平移只变横坐标，竖直平移只变纵坐标。 活学活用 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ______ ． 2．将平移得到，若对应点的像为，则的像坐标为__________. 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为______． 题型 求对称后点的坐标 解题贴士 熟记对称口诀：①关于x轴对称：横不变、纵变号；②关于y轴对称：纵不变、横变号；③关于原点对称：横、纵全变号，直接代入坐标计算。 ▌例1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·湖南永州·期末）点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·北京昌平·期末）已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是_________． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 题型 由点的对称求参数 解题贴士 根据对称坐标变化规律，列出横、纵坐标对应相等或互为相反数的等式，解方程求出参数值。 ▌例1．（2026·广东广州·二模）若点关于轴对称的点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点与点关于轴对称，则的值为_____． ▌对点练1-1．（2026·河南平顶山·三模）如图是一幅轴对称的鲤鱼剪纸，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，并且点关于轴对称，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 ▌对点练1-2．（25-26八年级下·河北衡水·期中）点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．0 B． C． D．1 ▌对点练1-3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）点与点关于轴对称，则______． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·湖南常德·期中）在平面直角坐标系中，点，点 (1)若点A关于y轴对称的点在第二象限的角平分线上，求a的值． (2)若点A，B关于x轴对称，求的值． (3)若点A向上平移2个单位长度后，与点B关于y轴对称，求的值． 题型 由对称前后坐标确定对称方式 解题贴士 对比新旧坐标：仅纵坐标变号→关于x轴对称；仅横坐标变号→关于y轴对称；横竖均变号→关于原点对称。 ▌例1．（25-26八年级下·湖南湘潭·期末）已知点，，则下列说法正确的是（    ） A．直线平行于轴 B．直线平行于轴 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 ▌对点练1-1．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）在一幅轴对称图形中，某点的坐标为，其对称点的坐标为，则该轴对称图形的对称轴是（   ） A．x轴 B．y轴 C．直线 D．直线 ▌对点练1-2．（25-26八年级下·河北沧州·期中）已知点 ，则下列说法正确的是（    ） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 题型 求平移后点的坐标 解题贴士 平移口诀：左右平移变横坐标（右加左减），上下平移变纵坐标（上加下减）；按平移距离依次计算新坐标。 ▌例1．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）将点向左平移1个单位，得到的点的坐标是（） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·广东清远·期末）将点沿着轴正方向平移个单位长度到达点，则点的坐标为_______． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·河南周口·期末）点向左平移5个单位，向上平移2个单位后对应点坐标______． 题型 由平移前后坐标确定平移方式 解题贴士 用新坐标减原坐标：横坐标差值为正向右、负向左；纵坐标差值为正向上、负向下，精准描述平移方向与单位。 ▌例1．（25-26七年级下·天津河北·期末）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段的端点，的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段，则线段到线段的平移方式为（     ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 ▌例2．（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点的坐标分别是，将线段平移后得到线段（点M，N分别平移到点，的位置），若点的坐标为，则点的坐标为____． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段的端点，的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段，则线段到线段的平移方式为（     ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 ▌对点练1-2．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·天津武清·期末）将三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式：______________________________． 题型 由平移后的坐标求原坐标 解题贴士 逆向平移求解：与题目平移方向相反、数值不变，右移变左移、上移变下移，反向加减还原原坐标。 ▌例1．（25-26七年级下·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，点是由点向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，把点向左平移可以得到点，把点向上平移可以得到点，则点的坐标是________． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末）在平面直角坐标系中有点A，将它向右平移2个单位长度后，对应点的坐标为，则点A的坐标为______． 题型 由点的平移求参数 解题贴士 根据平移坐标变化规则，建立含参数的方程，求解参数取值；多条件联立验证取值合理性。 ▌例1．（25-26八年级下·广西贵港·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，得到点，则m的值是（     ） A．8 B．5 C．2 D．-2 ▌对点练1-1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点，则（    ） A． B．1 C．2 D． ▌对点练1-2．（2026·广东广州·三模）把平面直角坐标系上一点向上平移3个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则_______． ▌对点练1-3．（2026·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，已知点，将点P沿x轴正方向平移a个单位后，再向下平移5个单位，得到点，则的值为______． 题型 中点坐标 解题贴士 易错：①误用差值计算，记成减法公式；②坐标代入顺序错乱；③已知中点求端点不会逆向变形。 ▌例1．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． ▌对点练1-1．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ______． 题型 坐标系中的动点问题 解题贴士 易错：①动点坐标代数式表达错误；②忽略动点运动范围、起止边界，出现增根；③分段运动不分段讨论；④单位、运动方向判断错误。 ▌例1．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线经过点，，动点P在y轴上，则的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌例2．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、且实数a，b满足，过点B作轴交y轴于点C．点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动．点Q从O点出发，以每秒2个单位长度的速度向y轴正方向运动． (1)直接写出点A的坐标_________，点B的坐标_________； (2)动点P、Q分别在射线、上运动，连接、，当时，求点P的坐标． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在以为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，且．是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． (1)填空：_____，_____； (2)求出点在运动过程中的面积（用含的式子表示）； (3)是否存在一点，使的面积等于20？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是5，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动，到达点后，、同时停止运动． (1)点的坐标为_____； (2)当时，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (3)当点满足时，求的值； (4)当点满足四边形的面积为30时，求点的坐标． 题型 坐标系中规律探究问题 解题贴士 依次写出前几个点的坐标，观察横、纵坐标的周期、奇偶、等差、循环规律，归纳通项，求解指定序号点的坐标。 ▌例1．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，，则点的横坐标是_____． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点的坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A．（10，10） B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）在平面直角坐标系中，对点进行如下规则的操作：横坐标乘以再减1，纵坐标加1，得到点．第一次操作得到的点记为，对点坐标继续进行一次相同规则的操作，得到的点记为，对点再进行相同操作得到的点记为，…，以此类推，第n次操作得到的点记为．现有点，对进行2026次这样的操作后得到的点的坐标为______． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中半径为1的圆从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆上一点由原点到达点，圆心也由点到达点，则点的坐标为______． 题型 在坐标系中作图形的平移、对称 解题贴士 选取图形关键点，求出平移/对称后的对应点坐标，在坐标系中描点，按原图顺序依次连线，得到变换后图形。 ▌例1．（25-26八年级下·湖南永州·期末）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形的三个顶点都在格点上，点，请解答下列问题： (1)先将三角形向左平移5个单位，再向下平移6个单位后得到三角形，请画出三角形； (2)请画出三角形关于y轴对称的三角形； (3)请直接写出、的坐标． ▌例2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，． (1)将向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的图形； (2)画出关于轴的对称图形； ▌对点练1-1．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，C的坐标分别为． (1)请在网格中画出相应的平面直角坐标系； (2)请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将经过平移得到，点B的对应点的坐标为，点A，C的对应点分别为，． (1)请在图中画出； (2)点是边上的一点，经过平移后，点P的对应点是点，则点的坐标为________． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为． (1)画出三角形，并写出点的坐标为______． (2)写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点A，B，C的坐标分别是，，． (1)与关于轴对称，点A，B，C的对应点分别为，，，请画出． (2)平移得到，点A，B，C的对应点分别是，，，边上一点平移后对应点为，则先向________（填“左”或“右”）平移________个单位长度，再向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度得到．请根据题意，画出． (3)在（2）的基础上连接，则的长为________． 基础通关 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·海南·期末）如图，中，点，，．将先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后（点A，B，C的对应点分别为点，，）三个顶点的坐标分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点先向左平移再向下平移可能移动到下列哪个点的位置（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A坐标是，经平移后，得到其对应点，若的内部任意一点D坐标是，则其对应点坐标一定是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若点和关于x轴对称，则的值是______． 7．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度后，得到的点在轴上，则的值为________． 8．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是_________． 9．（25-26七年级下·广东江门·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴平行且经过点，若点也在该直线上，请写出一个符合条件的点的坐标______． 10．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出三角形； (2)将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，顶点，，经过这种变换后分别得到点，，，在图中画出三角形，并写出点，，的坐标． 11．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出向左平移5个单位长度后得到的； (2)在图中作出关于轴对称的，并写出，，的坐标． 12．（25-26七年级下·广西贺州·期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是；点是内一点，当随着点平移到点时． (1)请画出平移后新； (2)直接写出三个顶点的坐标； (3)若三角形外有一点M经过同样的平移后得到点，则点的坐标是 ，若连接线段，则这两条线段之间的关系是 ． 素养提升 1．（25-26七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，将线段AB平移得到线段，其中点A的对应点为点C．若，，则的值为（     ） A． B． C．1 D．5 2．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，已知点，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东菏泽·二模）新春佳节，班级文化长廊布置喜庆国风装饰，整齐悬挂着四个样式相同、寓意吉祥团圆的中国结，既装点教室又传承传统民俗文化．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点，，，的坐标分别是，，，．为让排布规整对称、尽显中式对称美学，下列平移中，能使四个“中国结”关于轴对称的是（     ） A．将向右平移个单位 B．将向右平移个单位 C．将向右平移个单位 D．将向右平移个单位 4．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）已知点与点关于轴对称，则______． 5．（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 6．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）在平面直角坐标系中，某机器人从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向每次移动个单位长度，行走路线如图所示，第次移动到， 第次移动到，第次移动到， 第次移动到，则第次移动至点的坐标是 _______． 7．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为_________． 8．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)求出点A，B的坐标； (2)点P运动t秒后，是否存在点P到x轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（25-26七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 迁移创新 1．（25-26七年级下·河南三门峡·期末）2026年2月，北京大学研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．如图，搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点O出发，按以下指令移动．指令1：向北移动4米到点A；指令2：右转，向东移动3米到点B；指令3：右转，向南移动2米到点C；指令4：右转，向西移动5米到点D．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点O与点C之间的距离大于3米 D．点D位于点O的北偏东方向 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $