4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移（第1课时+轴对称）（6大基础题型+3大巩固提升）（题型专练）数学浙教版2024八年级上册

4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移 （第1课时+坐标平面内图形的轴对称） 题型一：利用关于x轴对称的特点求点坐标 1．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标的对称，利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案，解题的关键是熟知关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故选：． 2．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）点关于x轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律．熟练掌握平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律是解题的关键． 关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据此性质来求解点关于x轴对称的点的坐标即可． 【详解】解：关于x轴对称的点的坐标为， 故选：D． 3．（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特征、各象限内点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出点关于x轴对称的点的坐标，再判断其所在象限即可． 【详解】点关于x轴对称的点为， 该点落在第一象限， 故选A． 4．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点关于轴的对称点的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于轴对称的点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案． 【详解】解：点， 点关于轴的对称点的坐标是， 故选：． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据点的坐标确定平面直角坐标系，关于x轴对称点的坐标特征，先由点A的坐标，画出平面直角坐标系，从而得到点B的坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征确定出点C的坐标即可． 【详解】解：如图，根据点坐标为，建立直角坐标系， 点与点关于轴对称， ， 故选：C 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，关于直线的对称点为，则点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化－对称及关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟悉关于x轴、直线对称时点的坐标变化规律是解题的关键．根据题意，用m表示出点的坐标，据此进行判断即可． 【详解】解：由题知， 点关于x轴的对称点的坐标可表示为， 点关于直线的对称点的坐标可表示为， 因为，， 所以点在第三象限． 故选：C． 7．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线，全等三角形的判定和性质，关于x轴对称的点坐标的特征．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过B点作轴于点，则，即，可求B点坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标即可． 【详解】解：如图，过B点作轴于点，则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于轴的对称点的坐标为， 故选：C． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果点和点关于x轴对称，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查两点关于x轴对称的点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标相等． 根据题意得到，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ，， ∴． 故答案为：9． 9．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 【答案】0 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 10．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江西上饶·期中）若点与点关于轴对称，则：的立方根 ． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称点的特征，代数式的值，立方根，掌握关于轴对称点的特征，代数式的值，立方根是解题关键．根据关于轴对称的两点坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出、的值，进而求出，最后根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ， 的立方根为， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知点与点关于x轴对称，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形轴对称变换，乘方的运算，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴； 故答案为：． 13．（24-25八年级上·全国·期末）已知点与点关于x轴对称，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征及二元一次方程组的解法，解题的关键在于根据对称条件建立方程组．根据关于x轴对称的点的坐标特征，点P和点Q的横坐标相等，纵坐标互为相反数，从而建立方程组求解a和b的值． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ， 解得 ， 故答案为：1，． 14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）与关于x轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：由题意得，在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 题型二：利用关于y轴对称的特点求点坐标 1．（24-25八年级上·全国·期末）已知点关于y轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标与轴对称，解一元一次不等式组，熟练掌握点的坐标与轴对称变换规律是解题关键．先判断出点在第二象限，再根据第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：点关于y轴的对称点在第一象限， 点在第二象限， ，， 解得：， 故选：D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据点坐标与轴对称变换规律可得，，则可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若与点关于轴对称．则 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，直接利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得出, 的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， 解得：， 则． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）若点和点关于轴对称，则点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了轴对称，判断点所在的象限，关于y轴对称对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴， 解得， ∴在第一象限， 故答案为：一． 5．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若点和点关于轴对称，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点的坐标规律． 根据关于轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得C点坐标，再根据点所在象限可得答案． 【详解】解：由点和点关于轴对称，得： ，， 解得：，， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，点与点关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，有理数的乘方； 根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等求出，，再根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若点与点关于y轴对称，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，列式计算即可． 本题考查了点的对称，有理数的加法，根据对称点的坐标特点，规范计算即可． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴， 解得， 故， 故答案为：1． 题型三：平面直角坐标系中其他对称轴 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 【详解】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 题型四：格子中的对称问题求面积 1．（24-25八年级上·广西桂林·阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． (1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见详解， (2)见详解， (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）如图，即为所求， 点的坐标为； （3）的面积． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点、、的坐标： ； ； ； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)4 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得出答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵点、，关于y轴的对称点、、， ∴，，． 故答案为：；；． （3）解：的面积为． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为____________ (3)求的面积； (4)已知点P为x轴上的一点，若时，则点P的坐标为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了点的坐标与轴对称变换，三角形的面积等知识点，熟练掌握点的坐标变换规律是解题的关键． （1）先根据点的坐标描出点A，B，C，再顺次连接即可； （2）根据点的坐标关于y轴对称的变换规律即可； （3）利用割补法求的面积； （4）设点，则，利用三角形的面积公式可得一个关于m的绝对值方程，解方程即可． 【详解】（1）如图所示： （2）点D与点C关于y轴对称，， 点D的坐标为． （3） ， ． 的面积等于11． （4）设，则， 由得， 解得或． 点P的坐标为或． 4．（24-25八年级上·天津红桥·期中）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)请在图中作，使和关于轴对称，点、、的对应点分别为、、；并请写出、、的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析，、、 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形，求三角形面积． （1）先找出A、B、C的对应点、、，然后顺次连接、、即可得到答案，根据、、的位置，写出、、的坐标即可； （2）用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； ∴、、； （2）解：． 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，已知点C在x轴上，且，点A关于x轴的对称点为点D． (1)在图中画出点C，D，点C的坐标为 ，点D的坐标为 ； (2)连接，求四边形的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)22 【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，以及割补法求几何图形的面积，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律． （1）根据点C在x轴上，且，可得点C的坐标，根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点D的坐标； （2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图： 点C在x轴上，且， 点C的坐标为， 点A关于x轴的对称点为点D，点A的坐标为， 点D的坐标为； 故答案为：，； （2）解：如图： 四边形的面积为：． 6．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)写出点、、的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3) 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形．熟练掌握作轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形是解题的关键． （1）利用轴对称的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作答即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意得，，． （3）解：由题意知． ∴的面积为． 7．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． (1)作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中． 请回答下列问题： (1)在图中作出关于y轴对称的图形，点的坐标为________； (2)若点与点关于x轴对称，则________， ________； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析， (2)， (3)4 【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称，割补法求面积； （1）根据轴对称的性质找出点A，B，C关于y轴对称的点，，，顺次连接即可得到，然后根据所作图形可得点的坐标； （2）根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数列式求解即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为． 故答案为：； （2）∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （3）． 9．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，三点在格点上． (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标为 ； (2)的面积为 ； 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图、三角形的面积等知识点，掌握轴对称变换的定义与性质是，解题的关键． （1）先作出关于x轴的对称点，然后再顺次连接即可；然后再确定点的坐标即可； （2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为． 故答案为：． （2）解：的面积为． 故答案为：． 题型五：格子中的对称问题求最值 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 【答案】(1)的坐标为，图见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； （2）解： ； （3）解：如图，点P即为所求． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将的三个顶点的横坐标乘，纵坐标乘2，得到对应的点，，，请画出． (2)的面积为__________；的面积为__________（直接写出结果）． (3)点P为x轴上一点，且的值最小，画出点P，并求出点P的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)； (3)点P的坐标为，画图见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的图形变换(坐标缩放)、三角形面积计算、最短路径问题(将军饮马模型) ，解题的关键是掌握坐标变换规律、利用割补法或底高公式计算三角形面积、运用轴对称性质转化最短路径问题． （1）画：根据坐标变换规则，分别计算的坐标(横坐标，纵坐标，再在坐标系中描点并连接； （2）求与的面积：先判断的形状垂直x轴，可作底)，用“底高”计算面积是经缩放得到，面积比为缩放比的平方(横纵缩放比分别为2，面积比为； （3）找x轴上使最小的点P：利用轴对称，作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为P，再求的直线解析式，令得P的坐标． 【详解】（1）解：由坐标变换规则计算各点坐标：     →；     →；     →；   在平面直角坐标系中描出，顺次连接三点，即得． （2）解：① 计算的面积：   ∵ 、， ∴ 轴,长度；   过作的垂线，水平距离为；   ∴ 高．   ② 计算的面积：   是经“横缩放2倍、纵缩放2倍”得到，面积比；   ∴ ．   故答案为：；． （3）解：作点关于x轴的对称点，则；   设直线的解析式为，代入、：         解得：，；    ∴ 直线的解析式为．   令，则， ∴；   ∴ 点P的坐标为，在x轴上描出如图所示．   3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，且、、． (1)在图中画出线段关于y轴对称的线段，并直接写出点的坐标为 ； (2)在（1）的基础上，直接写出的面积为 ； (3)在x轴上有一条长度是1的运动线段（点M在点N左边），使得最小，请画出点M．（保留必要的画图的痕迹）． 【答案】(1)见解析， (2)5.5 (3)见解析 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及最短路线问题，画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形． （1）根据轴对称的性质，得到线段的端点关于y轴对称的点，再连接即可；根据点的位置即可得出点的坐标； （2）根据割补法即可得到的面积； （3）作点B关于x轴的对称点，作轴，使得，连接交x轴于一点，则该交点即为点M． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求，点的坐标为； 故答案为：； （2）解：的面积为； 故答案为：； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，作轴，使得，连接交x轴于一点，则该交点即为点M，连接， 由，，可得四边形为平行四边形，故， 由轴对称的性质，可得，故（最短）， 而的长为定值，故此时最小． 4．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的图形（用刻度尺作图，禁止反复涂抹）； (2)求的面积； (3)在轴上作一点，使得的值最小．画出点（在（1）问坐标系作图，保留作点的过程痕迹），并直接写出最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，图见解析 【分析】此题重点考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、三角形的面积公式、勾股定理等知识，正确地画出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键． （1）先找到点，，关于轴的对称点分别为、、，再画出即可； （2）取点、、，画出正方形，由求得； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，所以，则的值最小，取点，连接、，求得，则的最小值为． 【详解】（1）解：点，，， 点，，关于轴的对称点分别为、、， 连接、、， 就是所求的三角形． （2）解：取点、、，连接、、、， ， 的面积为． （3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 点就是所求的点， 的最小值为． 理由：取点，连接、、， 被轴垂直平分， ， ， 的值最小， ，， ， 的最小值为． 5．（24-25八年级上·云南大理·期末）已知：如图，三个点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形；写出各顶点坐标； (2)求的面积． (3)在x轴上找一点P，使得它到点A和点C的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，再根据各顶点在坐标系中的位置写出顶点坐标即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）作点关于轴的对称点,连接，交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：的面积为． （3）解：如图，作点关于轴的对称点,连接，交x轴于点P，连接， 则，此时点P到点A和点C的距离和最小，故点P即为所求作． 6．（24-25七年级上·全国·期末）已知如图，在平面直角坐标系中，其中，，，试解答下列各题： (1)作出关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标；（ ）；（ ）；（ ）． (2)在x轴上画出点P，使最小． 【答案】(1)见解析，，2；，1；，3 (2)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）先得出点A、B、C分别关于y轴对称的点，然后顺次连接即可； （2）作点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，由可得点P为所要求作的点． 【详解】（1）如图所示，即为所求， ∴，，； （2）如图所示，点P即为所求． 7．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)点P为y轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为_________． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——轴对称变换及最短路径问题． （1）利用关于y轴对称的点的坐标得到的坐标，然后描点即可； （2）连接交y轴于P点，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件，从而得到P点坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）如图，根据轴对称的性质可知，，连接交y轴于P点，此时点P即为所求作，P点坐标为． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形． (2)写出点，，的坐标（直接写答案）________；________；________ (3)在x轴上找出点P，求的最小值（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【分析】本题考查轴对称作图，根据轴对称写出点的坐标； （1）分别作出A，B，C关于y轴的对应点，，，然后连接得到即可． （2）根据，，的位置写出坐标即可． （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所作． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：，，的坐标分别为，，， 故答案为：，，； （3）解：如图，点P即为所作． 9．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴的对称图形；若点是线段上的一点，则点在线段上的对应点的坐标为______； (2)借助图中网格，请只用直尺（不含刻度）在轴上找一点，使得的周长最短． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用轴对称求线段的最值，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先根据轴对称的性质找到对应点位置，再顺次连接，根据关于轴对称的点的坐标特点可得其对称点的坐标； （2）根据轴对称找最短路径，在网格中找到A点关于y轴的对称点，再连接，与y轴交于P，此时最小，则最小，即的周长最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； ∵点是线段上的一点， ∴点在线段上的对应点的坐标为． （2）解：如图，点即为所求； 题型六：对称问题之中点坐标问题 1．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，该图形为中心对称图形，以其对称中心为坐标原点建立平面直角坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质即可得解，熟练掌握中心对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意以及中心对称的性质可得，若点的坐标为，则点的坐标为， 故答案为：． 2．（2025·广东肇庆·一模）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·江西抚州·期中）公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 题型一：轴对称综合之线段和最短问题 1．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图：作于交于，连接，根据等边三角形的判定与性质可得，点C关于的对称点为点B，从而得出当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为即可解答． 【详解】解：如图：作于交于，连接， ∵在中，，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴，， ∴点C关于的对称点为点B， ， ， ∴当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为， ∴的最小值是6． 故选：B． 2．（2025·安徽马鞍山·三模）在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查轴对称求最短距离，角平分线的判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质；能够通过给的面积关系，确定点的位置是解题的关键． 设点到的距离为，点到的距离为，根据面积比求得，则点在的角平分线上，作点关于的对称点，当、、三点共线，且时，的值最小，此时最小值为，在等边三角形中求出的长即可． 【详解】解：设点到的距离为，点到的距离为， ， ， 点在的角平分线上， 作点关于的对称点， ， 当、、三点共线，且时，的值最小，此时最小值为， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等腰三角形，是的高线，且．点，分别是上任意一点，连接，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的对称性，将转化为，则，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即的长度，再通过三角形面积公式求出．本题主要考查了等腰三角形的性质以及垂线段最短，熟练掌握等腰三角形三线合一和利用面积法求线段长度是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵ ，， ∴ 是的垂直平分线， ∴ ， ∴ ． 根据垂线段最短，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度． ∵ ， ，，， ∴ ， 解得． ∴ 的最小值为． 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，轴对称的性质；作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，根据轴对称的性质以及垂线段最短可得的最小值为，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接， ∴， ∴当和重合时，， ∵ ∴的最小值为 ∵，，． ∴ ∵ ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，在等边中，是的中线，是上一个动点，则最小值的是（　　） A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据等边三角形的性质得到，，点关于的对称点为点，如图所示，连接，当点三点共线时，取最小值，最小值为，由此即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，是的中线，， ∴，， ∴点关于的对称点为点， 如图所示，连接， ∴， ∴当点三点共线时，取最小值，最小值为， ∴最小值的是， 故选：B ． 6．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到是解题的关键．作点E关于对称的点M，连接，与交于点F，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：作点E关于对称的点M，连接，与交于点F， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，平分， ∴M在上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当时，最小，且为， ∵， ∴，即点M为中点， ∵是等边三角形， ∴平分， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，，为小正方形顶点，直线经过小正方形顶点，，，，在直线上求一点使最短，则点应位于（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最短，据此结合图形可得答案． 【详解】解：如图所示，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最短， 由图可知，交直线l于点P， ∴点应选在C点， 故选：C． 8．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，，，E为上一点，且，平分交于D．若P是上的动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．作点E关于的对称点，连接交于，连接，由对称可得，所以，且当、、依次共线时的值最小，最小值为，作于H，利用等面积法和勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接交于，连接， 由对称可得， ∴，且当、、依次共线时的值最小，最小值为，作于H． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 【答案】8 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于的对称点，连接，当点，P，F三点共线，时，的值最小，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接， ， ， 当点，P，F三点共线，时，的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：8． 10．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，是边的中线，E是边上的动点，F是边上的动点．若的面积为48，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，理解转化思想和掌握三角形的面积公式是解题的关键．先根据轴对称的性质和垂线段最短确定最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：过A作于F，交于E，连接， ∵是边的中线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值即为线段的长， ∵的面积为：， 解得：， 则的最小值为， 故答案为：． 11．（2025·内蒙古·二模）如图，两条平行线之间的距离为2，线段在上滑动，且，C为上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用轴对称的性质求线段和的最小值，过点B作点B关于直线的对称点，连接交于点，可得出当点A，，三点共线时，值最小，此时，利用轴对称的性质得出，，再利用勾股定理即可得出． 【详解】解：过点B作点B关于直线的对称点，连接交于点， 当点A，，三点共线时，值最小，此时， 根据轴对称的性质可知，， ∵两条平行线之间的距离为2， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为：， 故答案为： 12．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，，是的平分线．若点P和Q分别是线段和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称-最短问题、勾股定理、三角形面积公式等知识点，学会利用轴对称解决最短问题以及等面积法求线段的长度是解题的关键． 如图：作关于直线的对称点，过C作于F，通过轴对称把问题转化为两点之间线段最短及垂线段最短，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图：作关于直线的对称点，过C作于F， ∵是的平分线 ∴点在直线上， ∵点和点关于直线AD对称， ∴， ∴， 点随着点的运动而运动，当且仅当点和点F重合时有最小值， 在中，，，， ∴，即， ∴， ∴的最小值，即的最小值． 故答案为：． 题型二：轴对称综合之线段和周长最小问题 1．（23-24八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，已知，是内部的一点，且，点，分别是射线和射线上的动点，则的周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，对称的性质，两点间线段最短等知识，利用对称性把求三角形周长的最小值转化为折线段的最小值是解题的关键． 【详解】解：如下图所示， 分别作点关于，的对称点，，连接，，，，， 由对称的性质可得：，，，，， ，， 是等边三角形， ， ， 当、在线段上时，的周长的最小，最小值为线段的长， 即最小值为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，在四边形中，，在、上分别找一点、，当的周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短问题的关键． 延长到使得，延长到使得，连接，，得出当、、、依次共线时，的周长最小为，此时，推出，进而得出的度数． 【详解】解：如图，延长到使得，延长到使得，连接，， ， ∴关于对称，关于对称， ， ， 同理：， 的周长，且当、、、依次共线时，的周长最小为， 此时，∵，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，点位于内部，点和分别在射线，上．若，，点到的距离为，到的距离为，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、、、、、、，当点、同时在上时，的周长最小． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接、、、、、、， ∵点关于的对称点为，，， ∴，，， ∵点关于的对称点为， ∴，，， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点、同时在上时取“”， 此时的值最小，即的周长最小，最小值为的长，为， ∴的周长的最小值为． 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为 ． 【答案】30 【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形性质等知识，作点C关于的对称点E，作，使得，连接，使得，连接，，．则，，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：作点C关于的对称点E，作，使得，连接，，．则，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵E，C关于对称， ∴， ∴， ∴的最小值为13， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵与的周长的和为： ， ∴与的周长的和的最小值为． 故答案为：30． 5．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，边长为6的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在右侧作等边，连接，则的周长最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，连接， ∴， ∵为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∵两点之间线段最短， ∴当点E在点处时，的周长最小，且最小值为的长， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴周长的最小值是． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，点是内部一点，且，分别在边，上各取一点，，分别连接，，三点组成三角形，则最小周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，由轴对称的性质可得，，，，，从而可得当、、、在同一直线上时，的周长最小，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、， 由轴对称的性质可得：，，，，， ∴的周长， ∴当、、、在同一直线上时，的周长最小，为， ∵， ∴， ∴， ∴最小周长为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图，四边形中，，，，，点是边上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，作点关于的对称点，连接证明，再计算周长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接 ，， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， 的最小值为， 的周长最小值为． 题型三：轴对称综合之角度问题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①② 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）①根据（1）中结论得出，继而得出，最后利用直角三角形的性质进行求解即可； ②利用轴对称的性质得出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一得， 垂直平分线段， ∴； （2）解：①∵， ， 由（1）得， ， ∴， 即， 由（1）得为等腰直角三角形， ， ， ∵， ∴为直角三角形， ∴； ②∵点与点关于直线对称， ， 又, ∴， ∴， ∴， 解得． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 1．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）过和两点的直线一定（　　） A．垂直于x轴 B．平行于x轴 C．经过原点 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中直线的位置与点坐标的关系，解题的关键是根据两点纵坐标相同判断直线与轴的位置关系． 通过观察、两点坐标的特征，根据坐标与直线位置关系来判断直线情况． 【详解】两点的纵坐标相等，横坐标不相等，所以过两点的直线一定平行于轴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系中对称的点的坐标变化规律，理解横纵坐标的变化规律是解题关键．根据关于y轴对称点的坐标特征：横坐标取相反数，纵坐标不变即可求解。 【详解】解：关于轴的对称点的坐标为：， 故选：B． 3．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，每个象限内点的坐标特点，解分式方程以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点横坐标的绝对值纵坐标的绝对值．根据基本作图可判断平分，则利用第一象限的角平分线上点的坐标特征得到，然后解关于的分式方程即可． 【详解】解：由作法得平分， 即点P在第一象限的角平分线上， 所以， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故选：D． 4．（24-25八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值是（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征．根据关于y轴对称的点的坐标特点：两个点关于y轴对称时，它们的纵坐标相同，横坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：D． 5．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于x轴对称，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据关于x轴对称的点的规律，关于y轴对称的点的规律，可得答案． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴点坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标是， 故选：B． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决最小值问题． 利用轴对称的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 利用网格找到点关于的对称点，连接，交于点，即为点， 点即为点，此时，，最小， 故选：B． 7．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，已知，，顶点），规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后，的对角线交点M的坐标变为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形变换规律问题，解题的关键在于熟练掌握平移与关于坐标轴对称的点的坐标特征． 先求得M点坐标，再根据题意列出经过变换后M点的坐标，然后发现规律即可得解． 【详解】解：∵中，点是对角线交点，且，， ∴，即 经过1次变换后M点的坐标为， 经过2次变换后M点的坐标为， 经过3次变换后M点的坐标为， …， 经过n次变换后M点的坐标为， 则时，M点的坐标为，即． 故选：B． 8．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）已知点，关于y轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，代数式求值，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： ①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； ②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； ③关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：点，关于y轴对称， ，， 故答案为： 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，以长方形的中心为原点建立坐标系．点的坐标是，则点的坐标是 ，点的坐标是 ，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形与坐标、轴对称图形的性质，利用数形结合求解是解题的关键．根据关于坐标轴对称的点的坐标特征，结合图形可得出答案． 【详解】解：如图所示，以长方形的中心为原点建立坐标系，即长方形关于坐标轴对称， ∵点的坐标是， ∴点B与点A关于x轴对称，则； 点C与点B关于x轴对称，则． 点D与点A关于x轴对称，则; 故答案为：，，． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，理解新定义并掌握坐标点关于轴对称的规律是解题的关键．根据题目的定义，可求出有序数对的“阶结伴数对”为 ，再利用与关于轴对称，得到，联立两个等式即可求出的值． 【详解】解：由题意得，有序数对的“阶结伴数对”为 ， 有序数对（）与它的“阶结伴数对”关于轴对称， 与关于轴对称， ， ， ， 又， ， 解得：． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）已知点，； (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，代数式求值． （1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点A、B关于x轴对称， ∴， 解得， ∴，； （2）解：∵点A、B关于y轴对称， ∴， 解得， ∴． 12．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，． (1)若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； (2)在平面直角坐标系中画出； (3)的面积为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，关于y轴对称的点的特征等，数形结合是解题的关键． （1）关于y轴对称，根据“横坐标互为相反数，纵坐标相等”求解即可； （2）根据点的坐标在平面直角坐标系中找到相应位置，并依次连接即可； （3）直接利用三角形面积公式求解即可； 【详解】（1）若点与点关于轴对称，， 点的坐标为． 故答案为：． （2）如图所示： （3）由图知，． 故答案为：2． 13．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，的坐标分别为，，和． (1)画出关于轴对称的（点，分别是点，的对应点），并写出点的坐标； (2)在图中的平面直角坐标系中画出点，使得以，，，四点组成的四边形是轴对称图形，且对称轴是轴，并写出点的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)见详解， 【分析】本题考查了轴对称的性质，轴对称和轴对称图形，坐标变换，解题的关键是正确理解坐标系中对称的性质． （1）根据轴对称的特征得出点的位置再顺次连接即可得解； （2）根据轴对称的特征得出点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：关于轴对称的，如图1即为所求； 由图可知，； （2）如图2，四边形即为所求， 由图可知，． 14．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上作一点P，使得的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作图-轴对称变换． （1）首先确定A、B、C三点关于轴对称的对称点位置，再连接即可； （2）连接交直线于点P，则，即可知的周长最小． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：连接交直线于点P，点P即为所求． ， ∴此时最小，的周长最小， ∴点P即为所求． 15．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，，，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． (1)如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； (2)过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______． 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】（1）分别写出，，，关于轴对称的坐标，即可得出答案，然后再写出相应的中点坐标，求出其距离即可； （2）①过点作轴的垂线，那么该直线为，然后写出点，关于直线的对称点为，，据题意可知，点，，在矩形的外面，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和讨论即可得出答案；②点，关于直线的对称点为，，根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和分别讨论出的范围，进而得到的范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，，关于轴对称的坐标分别为，，在矩形的内部，，关于轴对称的坐标分别为，，不在矩形的内部， 那么矩形关于轴的对称线段的是，如图所示： 那么、的中点为，，即、， 那么、之间的距离为，该线段到矩形的对称距离为， 故答案为：，； （2）解：①过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，，在矩形的外面， ，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 综上，； 故答案为：； ②过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 综上，； 则线段到矩形的对称距离的取值范围是； 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移 （第1课时+坐标平面内图形的轴对称） 题型一：利用关于x轴对称的特点求点坐标 1．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）点关于x轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点关于轴的对称点的坐标（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，关于直线的对称点为，则点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果点和点关于x轴对称，那么 ． 9．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 10．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 11．（24-25七年级下·江西上饶·期中）若点与点关于轴对称，则：的立方根 ． 12．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知点与点关于x轴对称，那么的值为 ． 13．（24-25八年级上·全国·期末）已知点与点关于x轴对称，则 ， ． 14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）与关于x轴对称的点的坐标为 ． 题型二：利用关于y轴对称的特点求点坐标 1．（24-25八年级上·全国·期末）已知点关于y轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若与点关于轴对称．则 4．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）若点和点关于轴对称，则点在第 象限． 5．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若点和点关于轴对称，则点在第 象限． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，点与点关于y轴对称，则的值为 ． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若点与点关于y轴对称，则的值是 ． 题型三：平面直角坐标系中其他对称轴 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 题型四：格子中的对称问题求面积 1．（24-25八年级上·广西桂林·阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． (1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点、、的坐标： ； ； ； (3)求的面积． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为____________ (3)求的面积； (4)已知点P为x轴上的一点，若时，则点P的坐标为_______． 4．（24-25八年级上·天津红桥·期中）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)请在图中作，使和关于轴对称，点、、的对应点分别为、、；并请写出、、的坐标； (2)求的面积． 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，已知点C在x轴上，且，点A关于x轴的对称点为点D． (1)在图中画出点C，D，点C的坐标为 ，点D的坐标为 ； (2)连接，求四边形的面积． 6．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)写出点、、的坐标； (3)求的面积． 7．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． (1)作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； (2)求的面积． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中． 请回答下列问题： (1)在图中作出关于y轴对称的图形，点的坐标为________； (2)若点与点关于x轴对称，则________， ________； (3)求的面积． 9．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，三点在格点上． (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标为 ； (2)的面积为 ； 题型五：格子中的对称问题求最值 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将的三个顶点的横坐标乘，纵坐标乘2，得到对应的点，，，请画出． (2)的面积为__________；的面积为__________（直接写出结果）． (3)点P为x轴上一点，且的值最小，画出点P，并求出点P的坐标． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，且、、． (1)在图中画出线段关于y轴对称的线段，并直接写出点的坐标为 ； (2)在（1）的基础上，直接写出的面积为 ； (3)在x轴上有一条长度是1的运动线段（点M在点N左边），使得最小，请画出点M．（保留必要的画图的痕迹）． 4．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的图形（用刻度尺作图，禁止反复涂抹）； (2)求的面积； (3)在轴上作一点，使得的值最小．画出点（在（1）问坐标系作图，保留作点的过程痕迹），并直接写出最小值． 5．（24-25八年级上·云南大理·期末）已知：如图，三个点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形；写出各顶点坐标； (2)求的面积． (3)在x轴上找一点P，使得它到点A和点C的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹） 6．（24-25七年级上·全国·期末）已知如图，在平面直角坐标系中，其中，，，试解答下列各题： (1)作出关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标；（ ）；（ ）；（ ）． (2)在x轴上画出点P，使最小． 7．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)点P为y轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为_________． 8．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形． (2)写出点，，的坐标（直接写答案）________；________；________ (3)在x轴上找出点P，求的最小值（保留作图痕迹） 9．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴的对称图形；若点是线段上的一点，则点在线段上的对应点的坐标为______； (2)借助图中网格，请只用直尺（不含刻度）在轴上找一点，使得的周长最短． 题型六：对称问题之中点坐标问题 1．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，该图形为中心对称图形，以其对称中心为坐标原点建立平面直角坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 2．（2025·广东肇庆·一模）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 ． 3．（24-25九年级下·江西抚州·期中）公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为 ． 题型一：轴对称综合之线段和最短问题 1．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A．5 B．6 C．8 D．9 2．（2025·安徽马鞍山·三模）在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等腰三角形，是的高线，且．点，分别是上任意一点，连接，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C． D． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，在等边中，是的中线，是上一个动点，则最小值的是（　　） A． B．5 C． D．10 6．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，，为小正方形顶点，直线经过小正方形顶点，，，，在直线上求一点使最短，则点应位于（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 8．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，，，E为上一点，且，平分交于D．若P是上的动点，则的最小值等于 ． 9．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 10．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，是边的中线，E是边上的动点，F是边上的动点．若的面积为48，则的最小值为 ． 11．（2025·内蒙古·二模）如图，两条平行线之间的距离为2，线段在上滑动，且，C为上任意一点，则的最小值为 ． 12．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，，是的平分线．若点P和Q分别是线段和上的动点，则的最小值是 ． 题型二：轴对称综合之线段和周长最小问题 1．（23-24八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，已知，是内部的一点，且，点，分别是射线和射线上的动点，则的周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，在四边形中，，在、上分别找一点、，当的周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，点位于内部，点和分别在射线，上．若，，点到的距离为，到的距离为，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为 ． 5．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，边长为6的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在右侧作等边，连接，则的周长最小值为 ． 6．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，点是内部一点，且，分别在边，上各取一点，，分别连接，，三点组成三角形，则最小周长为 ． 7．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图，四边形中，，，，，点是边上一动点，则周长的最小值为 ． 题型三：轴对称综合之角度问题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 1．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）过和两点的直线一定（　　） A．垂直于x轴 B．平行于x轴 C．经过原点 D．以上都不对 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．5 4．（24-25八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值是（   ） A． B． C．3 D．1 5．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于x轴对称，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 7．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，已知，，顶点），规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后，的对角线交点M的坐标变为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）已知点，关于y轴对称，则 ． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，以长方形的中心为原点建立坐标系．点的坐标是，则点的坐标是 ，点的坐标是 ，点的坐标是 ． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 11．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）已知点，； (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 12．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，． (1)若点与点关于轴对称，则点的坐标为______； (2)在平面直角坐标系中画出； (3)的面积为______． 13．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，的坐标分别为，，和． (1)画出关于轴对称的（点，分别是点，的对应点），并写出点的坐标； (2)在图中的平面直角坐标系中画出点，使得以，，，四点组成的四边形是轴对称图形，且对称轴是轴，并写出点的坐标． 14．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上作一点P，使得的周长最小． 15．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，，，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． (1)如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； (2)过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$