专题16一次函数的意义及图象与性质精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦一次函数核心知识，系统梳理一次函数与正比例函数的定义及从属关系，涵盖参数求解方法、两点法图象绘制、k和b的几何意义（增减性、象限判断）、平移规则及两直线平行判定，构建从概念到性质再到应用的完整学习支架。 资料亮点在于“标准解题模板”与“常见误区”设计，通过定义辨析、参数求解步骤培养推理意识，题型分层（基础到提升）结合实例（如平移问题、象限判断）发展模型意识，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题16一次函数的意义及图象与性质精讲学案 核心立意 区分一次函数、正比例函数的定义与从属关系，熟练掌握参数求解方法；掌握一次函数图象画法、坐标轴交点求法；明确 k、b 的几何意义，精准判断函数增减性、直线经过象限；掌握函数平移规则与两直线平行判定标准，建立解析式与图象的数形对应关系。 一次函数、正比例函数定义与判定 1. 一次函数：形如 y=kx+b（k、b 为常数，k0）。 2. 正比例函数：形如y=kx（k 为常数，k0）。 3. 从属关系：正比例函数是特殊的一次函数（b=0），一次函数不一定是正比例函数。 4. 有效函数判定三条件：自变量次数为1、自变量无分母/根号/高次、一次项系数 k0。 定义法求参数（标准解题模板） 一次函数成立条件 ①自变量次数等于1；②一次项系数不为0。 正比例函数成立条件 ①自变量次数等于1；②一次项系数不为0；③常数项为0。 ①按次数要求列方程，求出参数取值； ②检验一次项系数，舍去使 k=0 的无效解； ③正比例函数额外核验常数项为0。 一次函数图象绘制（两点法） 1. 图象形态：一次函数图象为直线；正比例函数图象为过原点的直线。 2. 固定取点步骤： ①令 x=0，求y轴交点 (0,\ b)； ②令 y=0，求x轴交点 (-,\ 0)； ③两点连线，得到完整一次函数图象。 一次函数平移规律 1. 上下平移规则：上加下减常数项。 2. 平移核心性质：只改变常数项 b，斜率 k 保持不变。 3. 推论：上下平移后的直线与原直线互相平行。 系数 k 的唯一作用（决定增减性） 1. k>0：图象左低右高，y 随 x 增大而增大； 2. k<0：图象左高右低，y 随 x 增大而减小； 3. 固定结论：b 不影响函数增减性。 k、b 组合判断直线经过象限 1. k>0, b>0：第一、二、三象限 2. k>0,b=0：第一、三象限 3. k>0, b<0：第一、三、四象限 4. k<0, b>0：第一、二、四象限 5. k<0, b=0：第二、四象限 6. k<0, b<0：第二、三、四象限 两直线平行完整判定（本节必考） 设两条直线：l1:y=k1x+b1、l2:y=k2x+b2 1. 平行充要条件：k1=k2 且 b1 b2 2. 原理：k 相等→倾斜角度相同；b 不等→直线不重合。 3. 做题判断流程： ① k1k2 → 直线不平行； ②k1=k2 b1 b2→ 直线平行； ③k1=k2 b1b2 → 直线重合，不属于平行。 重点辨析 1. 常数函数辨析：k=0 时，y=b 为常数函数，不是一次函数。 2. 从属关系辨析：正比例函数一定属于一次函数，一次函数只有 b=0 时为正比例函数。 3. 参数意义辨析：b 只决定直线与 y 轴交点位置，与增减性、倾斜角度无关。 4. 平移辨析：平移只改位置不改倾斜度，所以平移后的直线必然平行。 5. 象限辨析：k 定升降趋势，b 定截距位置，必须结合两者判断象限。 6. 平行辨析：斜率相等只是必要条件，截距不等才是平行的完整条件，避免重合误判。 1. 求参数只看次数为1，遗漏 k0 的限制，导致答案错误。 2. 误将常数函数当作一次函数。 3. 坐标轴交点横纵坐标写反。 4. 错误认为 b 可以决定函数增减性。 5. 平移过程中错误改动 k 的值。 6. 判断平行只看 k 相等，忽略 b1 b2，混淆平行与重合。 题型 考察方向 难度 题型一 正比例函数的定义 ★ 题型二 识别一次函数 ★ 题型三 根据一次函数的定义求参数 ★★ 题型四 列一次函数解析式并求值 ★★ 题型五 求一次函数解析式 ★★ 题型六 正比例函数的图象 ★★ 题型七 正比例函数的性质 ★★ 题型八 判断一次函数的图象 ★★ 题型九 根据一次函数解析式判断其经过的象限 ★★ 题型十 已知函数经过的象限求参数范围 ★★★ 题型十一 一次函数图象与坐标轴的交点问题 ★★ 题型十二 求一次函数自变量或函数值 ★★ 题型十三 一次函数图象平移问题 ★★★ 题型十四 判断一次函数的增减性 ★★ 题型十五 根据一次函数增减性求参数 ★★★ 题型十六 由一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ★★★ 题型十七 比较一次函数值的大小 ★★★ 题型十八 一次函数的规律探究问题 ★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：正比例函数的定义 解题思路：①对照标准形式y=kx(k≠0)；②检验自变量次数等于1；③检验常数项为0；④检验系数k≠0，四项同时满足。 1．下列函数中，是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知y是x的正比例函数，当时，，那么这个函数的表达式为________． 3．下列各关系中，符合正比例关系的是（　　） A．正方形的周长C和它的一边长a B．距离s一定时，速度v和时间t C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y D．正方体的体积V和棱长m 题型二：识别一次函数 解题思路：①将解析式整理为y=kx+b标准形式；②检验自变量次数为1；③检验一次项系数k≠0；④b可取任意实数，正比例函数是b=0的特殊一次函数。 4．下列是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（     ） A．正方形的面积与边长的关系 B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 题型三：根据一次函数的定义求参数 解题思路：①根据自变量次数等于1列方程；②根据一次项系数不为0列不等式；③联立方程与不等式求解；④剔除不满足条件的解。 7．已知函数为一次函数，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数y＝（m﹣1）＋2x＋1为一次函数，则m＝____． 9．若直线经过点和，且，则n的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四：列一次函数解析式并求值 解题思路：①梳理题干中的数量等量关系；②写出y=kx+b形式的函数解析式；③确定自变量的取值范围；④将已知自变量代入解析式计算函数值。 10．甲，乙两车分别从A，B两地沿直路同向匀速行驶，两车相距y（单位：m）与行驶时间x（单位：s）（0≤x≤60）的部分对应值如下表，则y与x的对应关系可用解析式表示为______． 时间 0 5 10 15 20 两车相距 300 275 250 225 200 11．如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 12．已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 题型五：求一次函数解析式 解题思路：①设出函数解析式y=kx+b；②把两组已知点坐标代入解析式得到二元一次方程组；③解方程组求出k、b的值；④回代写出完整解析式；⑤正比例函数仅需一组点即可求解。 13．直线与轴交于点，与轴交于点，则直线的函数解析式为___________． 14．若直线：上的任意一点与直线：上的任意一点满足，则称与互为“相伴直线”．直线的“相伴直线”是________． 15．小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表 x … 0 1 2 … y … 4 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（    ） A．4 B．1 C． D． 16．已知关于的一次函数（为非零常数）． （1）无论为什么实数，此图象总是经过一个定点，则定点的坐标是________； （2）平面内还有两点，，此图象与线段有交点，则的取值范围是________． 题型六：正比例函数的图象 解题思路：①确定正比例函数图象是过原点的直线；②选取(0,0)和另外一个简易坐标点；③过两点绘制向两端无限延伸的直线。 17．已知，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 18．将的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是__________． 19．如图为某函数的图像，当时，图像上存在个不同的点使得恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型七：正比例函数的性质 解题思路：①观察系数k的正负；②k>0时，图象经过一、三象限，y随x增大而增大；③k<0时，图象经过二、四象限，y随x增大而减小。 20．正比例函数的图象（     ） A．必过点 B．必过点 C．必过点 D．必过点 21．若正比例函数，函数随的增大而减小，则的值可能是（     ） A．0 B．2 C．3 D． 22．如图，春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转动．已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，k为常数，n为转速（单位：转/分钟），U为电源电压（单位：），为电枢磁通（单位：）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数．若一台直流电动机在的电压下的空载转数为240转/分钟，则在的电压下，该电动机的空载转速为_____转/分钟． 23．如图是通过甲，乙，丙，丁四个不同电阻（）的电流（）与其两端电压（）变化的关系图象，根据图象及电学知识，可判断甲，乙，丙，丁中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型八：判断一次函数的图象 解题思路：①分析系数k的符号，判断直线升降趋势；②分析常数项b的符号，判断直线与y轴交点位置；③结合k、b两个条件确定图象大致形态。 24．在平面直角坐标系中，一次函数的图像大致是（     ） A． B． C． D． 25．已知直线经过一定点，则定点的坐标是______． 26．两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A． B． C．D． 题型九：根据一次函数解析式判断其经过的象限 解题思路：①由k的符号判断函数增减趋势；②由b的符号判断直线与y轴交点位置；③综合k、b条件，确定直线经过的象限；④注意b=0时为正比例函数的特殊情形。 27．一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 28．如果直线的图象如图所示，那么直线不经过第______象限． 29．正比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A．B． C．D． 题型十：已知函数经过的象限求参数范围 解题思路：①根据图象经过的象限，反向推导k、b需要满足的符号条件；②列出对应的不等式组；③解不等式组得到参数的取值范围。 30．已知一次函数（b为常数）的图象经过第四象限，则b的取值范围为（     ） A． B． C． D．无法确定 31．直线经过一、二、三象限，那么经过______象限． 32．已知过点的直线不经过第四象限，设，则S的取值范围为（     ） A． B． C． D． 33．如图，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十一：一次函数图象与坐标轴的交点问题 解题思路：①求与y轴交点：令x=0，计算对应的y值；②求与x轴交点：令y=0，解关于x的方程；③写出交点坐标。 34．如图，直线l是一次函数的图象，若点在直线l上，则m的值是______． 35．若直线与坐标轴围成的三角形的面积为9，则__________． 36．一次函数与的图象交于x轴上同一点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 37．如图，直线分别与轴、轴相交于点，，点在平面内，，点，则长度的最小值是(     ) A． B． C． D． 题型十二：求一次函数自变量或函数值 解题思路：①确认自变量在函数定义域内；②已知自变量，代入解析式直接计算函数值；③已知函数值，代入解析式解方程求自变量。 38．下列各点不在函数上的是（     ） A． B． C． D． 39．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“和谐点”．若时，直线上有“和谐点”，则的取值范围是________． 40．如图，在平面直角坐标系中，，，点P在x轴上．要使的值最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型十三：一次函数图象平移问题 解题思路：①上下平移改变常数项b，k保持不变；②向上平移，b加上平移单位；③向下平移，b减去平移单位；④左右平移针对x整体，遵循左加右减；⑤平移后整理得到新的函数解析式。 41．将一条直线向上平移5个单位长度后得直线，则平移前这条直线的解析式为__________． 42．把直线向右平移1个单位后所得直线的表达式为（     ） A． B． C． D． 43．将一次函数的图象向左平移个单位，若平移后的图象恰好经过点，则的值为_________． 44．如图，在中，，顶点，，点C在y轴的正半轴上，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为________．    题型十四：判断一次函数的增减性 解题思路：①观察一次项系数k的符号；②k>0，y随x的增大而增大；③k<0，y随x的增大而减小。 45．已知函数，随着的增大而___________； 46．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 47．如图是函数的图象，当时，则函数值y的取值范围是________． 48．已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型十五：根据一次函数增减性求参数 解题思路：①根据增减性确定k的符号；②列出关于参数的不等式；③解不等式得到参数取值范围。 49．在函数（为常数）中，若函数值随自变量的增大而增大，则常数的值可以为__________．（填写一个具体的实数） 50．在式子中，每增加1，增加，没变，因此也增加．在一次函数中，当由2增加到3时，函数值由5增加到7，则的值为（     ） A．2 B．3 C．5 D．7 51．已知一次函数，当时，的最大值为5，则的值为_______． 52．已知一次函数，当时，，则的值为（     ） A．4 B． C．或 D．或 题型十六：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 解题思路：①先确定系数k的正负，明确增减性；②结合函数值的大小关系；③根据增减性推出对应自变量的大小关系。 53．已知，两点都在关于的一次函数的图象上，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 54．已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是______． 55．对于一次函数，下表列出5组自变量与其对应的函数值，其中恰好有一个函数值有误，则这个错误的函数值是（   ） 0 1 2 3 3 6 9 13 15 A．3 B．6 C．13 D．15 56．已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型十七：比较一次函数值的大小 解题思路：①判断k的符号确定增减性；②对比两个自变量的大小；③依据增减性直接比较对应函数值大小。 57．已知一次函数的图象经过，两点，则__________．（填“”“”或“”） 58．气象站记录显示，某地的气温  （）随时间  （小时）的变化规律符合函数关系  ；若时间满足，则对应的气温， 的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 59．若点和点在一次函数的图象上，则________（用“>”、“<”或“=”连接）． 60．已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是(    ) A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 题型十八：一次函数的规律探究问题 解题思路：①提取题目中的点坐标或者对应数据；②分析变量之间变化规律；③利用待定系数法求出一次函数解析式；④代入解析式求解所求问题。 61．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，……按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（    ） A． B． C．D． 62．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 63．如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线，交直线于点，过点作y轴的平行线，交直线于点，再过点作x轴的平行线，交直线于点，过点作y轴的平行线，交直线于点，，依此类推，得到直线上的点，，，与直线上的点，，，，则的长为（    ） A．640 B．128 C．256 D．512 解答题 1．一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为． (1)写出用表示的函数表达式． (2)当时，求的值． 2．如图，已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)点的坐标是，连接． ①是_______三角形（按角分类）； ②点是轴上的点，若，直接写出点的坐标 3．已知一次函数，请回答下列问题： (1)当y随x的增大而减小时，求k的取值范围； (2)当时，该函数的图象经过哪几个象限？ 4．已知关于的一次函数． (1)若函数的图象平行于直线，求的值； (2)若函数的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 5．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． 6．一次函数的图象，如图所示． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果这个一次函数的图象向上平移m个单位得到的图象恰与它向右平移n个单位得到的图象完全相同，求、之间的等式关系． 7．已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，函数的最大值与最小值的差是否会随着的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由． 8．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求k，的值； (2)若一次函数的图象与x轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求y的取值范围． 9．已知函数的图象为L，L经过点和． (1)求b，c的值； (2)过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N（点M和点N不重合）． ①若，，直接写出线段的长； ②若线段的长在上有最小值，求a的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16一次函数的意义及图象与性质精讲学案 核心立意 区分一次函数、正比例函数的定义与从属关系，熟练掌握参数求解方法；掌握一次函数图象画法、坐标轴交点求法；明确 k、b 的几何意义，精准判断函数增减性、直线经过象限；掌握函数平移规则与两直线平行判定标准，建立解析式与图象的数形对应关系。 一次函数、正比例函数定义与判定 1. 一次函数：形如 y=kx+b（k、b 为常数，k0）。 2. 正比例函数：形如y=kx（k 为常数，k0）。 3. 从属关系：正比例函数是特殊的一次函数（b=0），一次函数不一定是正比例函数。 4. 有效函数判定三条件：自变量次数为1、自变量无分母/根号/高次、一次项系数 k0。 定义法求参数（标准解题模板） 一次函数成立条件 ①自变量次数等于1；②一次项系数不为0。 正比例函数成立条件 ①自变量次数等于1；②一次项系数不为0；③常数项为0。 通用解题步骤 ①按次数要求列方程，求出参数取值； ②检验一次项系数，舍去使 k=0 的无效解； ③正比例函数额外核验常数项为0。 一次函数图象绘制（两点法） 1. 图象形态：一次函数图象为直线；正比例函数图象为过原点的直线。 2. 固定取点步骤： ①令 x=0，求y轴交点 (0,\ b)； ②令 y=0，求x轴交点 (-,\ 0)； ③两点连线，得到完整一次函数图象。 一次函数平移规律 1. 上下平移规则：上加下减常数项。 2. 平移核心性质：只改变常数项 b，斜率 k 保持不变。 3. 推论：上下平移后的直线与原直线互相平行。 系数 k 的唯一作用（决定增减性） 1. k>0：图象左低右高，y 随 x 增大而增大； 2. k<0：图象左高右低，y 随 x 增大而减小； 3. 固定结论：b 不影响函数增减性。 k、b 组合判断直线经过象限 1. k>0, b>0：第一、二、三象限 2. k>0,b=0：第一、三象限 3. k>0, b<0：第一、三、四象限 4. k<0, b>0：第一、二、四象限 5. k<0, b=0：第二、四象限 6. k<0, b<0：第二、三、四象限 两直线平行完整判定（本节必考） 设两条直线：l1:y=k1x+b1、l2:y=k2x+b2 1. 平行充要条件：k1=k2 且 b1 b2 2. 原理：k 相等→倾斜角度相同；b 不等→直线不重合。 3. 做题判断流程： ① k1k2 → 直线不平行； ②k1=k2 b1 b2→ 直线平行； ③k1=k2 b1b2 → 直线重合，不属于平行。 重点辨析 1. 常数函数辨析：k=0 时，y=b 为常数函数，不是一次函数。 2. 从属关系辨析：正比例函数一定属于一次函数，一次函数只有 b=0 时为正比例函数。 3. 参数意义辨析：b 只决定直线与 y 轴交点位置，与增减性、倾斜角度无关。 4. 平移辨析：平移只改位置不改倾斜度，所以平移后的直线必然平行。 5. 象限辨析：k 定升降趋势，b 定截距位置，必须结合两者判断象限。 6. 平行辨析：斜率相等只是必要条件，截距不等才是平行的完整条件，避免重合误判。 1. 求参数只看次数为1，遗漏 k0 的限制，导致答案错误。 2. 误将常数函数当作一次函数。 3. 坐标轴交点横纵坐标写反。 4. 错误认为 b 可以决定函数增减性。 5. 平移过程中错误改动 k 的值。 6. 判断平行只看 k 相等，忽略 b1 b2，混淆平行与重合。 题型 考察方向 难度 题型一 正比例函数的定义 ★ 题型二 识别一次函数 ★ 题型三 根据一次函数的定义求参数 ★★ 题型四 列一次函数解析式并求值 ★★ 题型五 求一次函数解析式 ★★ 题型六 正比例函数的图象 ★★ 题型七 正比例函数的性质 ★★ 题型八 判断一次函数的图象 ★★ 题型九 根据一次函数解析式判断其经过的象限 ★★ 题型十 已知函数经过的象限求参数范围 ★★★ 题型十一 一次函数图象与坐标轴的交点问题 ★★ 题型十二 求一次函数自变量或函数值 ★★ 题型十三 一次函数图象平移问题 ★★★ 题型十四 判断一次函数的增减性 ★★ 题型十五 根据一次函数增减性求参数 ★★★ 题型十六 由一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ★★★ 题型十七 比较一次函数值的大小 ★★★ 题型十八 一次函数的规律探究问题 ★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：正比例函数的定义 解题思路：①对照标准形式y=kx(k≠0)；②检验自变量次数等于1；③检验常数项为0；④检验系数k≠0，四项同时满足。 1．下列函数中，是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正比例函数的定义为：形如（是不为的常数）的函数叫做的正比例函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、符合的形式，其中，属于正比例函数； 选项B、常数项不为，属于一次函数，不是正比例函数； 选项C、中，的指数为2，不符合正比例函数的定义； 选项D、是反比例函数，不符合正比例函数的形式． 2．已知y是x的正比例函数，当时，，那么这个函数的表达式为________． 【答案】 【分析】先设正比例函数的一般形式，代入已知的，的值求解比例系数，即可得到函数表达式． 【详解】解：设该正比例函数表达式为 （）， 将 ， 代入得 ， 解得 ， 因此这个函数的表达式为． 3．下列各关系中，符合正比例关系的是（　　） A．正方形的周长C和它的一边长a B．距离s一定时，速度v和时间t C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y D．正方体的体积V和棱长m 【答案】A 【分析】根据正比例函数定义即可得答案． 【详解】A．根据正方形的周长公式可得，这是一个正比例函数； B．根据速度路程时间可得，这是一个反比例函数； C．根据剩下的长度总长减去的长度可得，这是一个一次函数； D．根据正方体的体积公式，可得，是一个三次函数，不是正比例函数． 故选：A． 【点睛】本题考查正比例函数定义和表达式，掌握其概念是解题关键． 题型二：识别一次函数 解题思路：①将解析式整理为y=kx+b标准形式；②检验自变量次数为1；③检验一次项系数k≠0；④b可取任意实数，正比例函数是b=0的特殊一次函数。 4．下列是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从自变量次数、解析式是否为整式两个角度逐项判断即可． 【详解】解：A．中的次数为2，不是一次函数，不符合题意； B．符合一次函数的定义，符合题意； C．为分式，不是一次函数，不符合题意； D．含二次根式，不是一次函数，不符合题意． 5．下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（     ） A．正方形的面积与边长的关系 B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 【答案】A 【分析】均匀变化的本质是两个变量满足一次函数关系，即自变量每增加1个单位，因变量的变化量恒定，据此分析各选项的函数关系即可得出答案． 【详解】解：首先明确，均匀变化要求自变量每增加1个单位时，因变量的变化量始终相等，对应函数为一次函数， 对各选项分析如下： A：设正方形边长为，面积为，可得，当从1增加到2，增加，当从2增加到3，增加，变化量不相等，不是均匀变化； B：设作业本单价为（为常数），购买数量为，总花费为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量增加，变化量恒定，是均匀变化； C：设汽车速度为（为常数），行驶时间为，路程为，可得，是一次函数，变化量恒定，是均匀变化； D：设书总页数为，每天读页（为常数），读书天数为，剩余页数为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量减少，变化量恒定，是均匀变化； 因此选A． 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 【答案】C 【分析】本题考查一次函数定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义（形如，），逐一判断即可． 【详解】解：①可化为，符合一次函数定义； ②不符合一次函数定义； ③可化为，符合一次函数定义； ④化简为（），定义域不全为实数，不符合一次函数定义； ⑤展开化简为，符合一次函数定义； ⑥不符合一次函数定义． 综上，①、③、⑤符合条件，共3个，选C． 故选：C． 题型三：根据一次函数的定义求参数 解题思路：①根据自变量次数等于1列方程；②根据一次项系数不为0列不等式；③联立方程与不等式求解；④剔除不满足条件的解。 7．已知函数为一次函数，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据形如，其中为常数，的函数是一次函数；可知：． 8．已知函数y＝（m﹣1）＋2x＋1为一次函数，则m＝____． 【答案】１ 【分析】根据一次函数的定义：形如的函数建立关于所满足的条件，求解即可． 【详解】解：当即时，是一次函数，符合题意； 当时，根据一次函数的定义可得：， 解得， ∴此时m无解， 综上所述， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的概念，熟记一次函数的基本概念是解题关键． 9．若直线经过点和，且，则n的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意得出，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得：， ， ， ， 可以是5，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，利用函数图象上的点满足函数关系式，用n表示出k，得到关于n的不等式是解题的关键． 题型四：列一次函数解析式并求值 解题思路：①梳理题干中的数量等量关系；②写出y=kx+b形式的函数解析式；③确定自变量的取值范围；④将已知自变量代入解析式计算函数值。 10．甲，乙两车分别从A，B两地沿直路同向匀速行驶，两车相距y（单位：m）与行驶时间x（单位：s）（0≤x≤60）的部分对应值如下表，则y与x的对应关系可用解析式表示为______． 时间 0 5 10 15 20 两车相距 300 275 250 225 200 【答案】y=300-5x（0≤x≤60） 【分析】根据表格可得x=0时，y=300，时间x每增加5s，两车的相距y对应减少25m，由此可得y与x的关系式． 【详解】解：由题意可得：x=0时，y=300，时间x每增加5s，两车的相距y对应减少25m， ∴y=300-25×=300-5x， 故答案为：y=300-5x（0≤x≤60）． 【点睛】本题考查函数关系式，解题关键是理解表格中数据的变化规律． 11．如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】B 【分析】设正比例函数为，根据条件可得，再结合均为5代入计算即可． 【详解】解：设正比例函数为， 当输入为0时，， ，解得， ，解得， 当均为5时， ，解得， ． 12．已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，完全平方公式的变形运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，根据勾股定理可得，，根据完全平方公式的变形运算即可求解． 【详解】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上， ∴，即， ∴， ∵是直角的三边，为斜边， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 题型五：求一次函数解析式 解题思路：①设出函数解析式y=kx+b；②把两组已知点坐标代入解析式得到二元一次方程组；③解方程组求出k、b的值；④回代写出完整解析式；⑤正比例函数仅需一组点即可求解。 13．直线与轴交于点，与轴交于点，则直线的函数解析式为___________． 【答案】 【分析】将已知两点坐标代入所设解析式，求解方程组得到系数的值，即可得到直线的函数解析式． 【详解】解：设直线的函数解析式为， 将，代入解析式得：， 解得， 因此直线的函数解析式为． 14．若直线：上的任意一点与直线：上的任意一点满足，则称与互为“相伴直线”．直线的“相伴直线”是________． 【答案】 【分析】根据题中“相伴直线”的定义，设所求直线为，将，代入已知等式，利用等式对任意恒成立，求解参数即可得到结果． 【详解】解：设直线的“相伴直线”为．由题意得，对任意，都满足． 将，代入等式得： 整理得： ∵该等式对任意都成立， ∴． 解得． 因此直线的“相伴直线”为． 15．小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表 x … 0 1 2 … y … 4 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据点的坐标（任取两个），利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即可得出结论． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 将点和代入解析式得， 解得， ∴一次函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当时，， ∴这个错误的函数值是． 16．已知关于的一次函数（为非零常数）． （1）无论为什么实数，此图象总是经过一个定点，则定点的坐标是________； （2）平面内还有两点，，此图象与线段有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】（1）将一次函数变形：，即可求解； （2）先求出直线的解析式，再确定直线的解析式，数形结合即可作答． 【详解】解：（1）， 当时，， 即图象总是经过一个定点， 故定点的坐标是； （2）设直线的解析式为， 即有：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵，，两点的纵坐标相等， ∴，在直线上， 如图， 一次函数绕定点由直线处旋转至直线处时，一次函数始终与线段有交点， 结合图象可知：由直线处旋转至直线处时，一次函数的自变量系数a在逐渐减小， ∵为非零常数， ∴的取值范围是． 题型六：正比例函数的图象 解题思路：①确定正比例函数图象是过原点的直线；②选取(0,0)和另外一个简易坐标点；③过两点绘制向两端无限延伸的直线。 17．已知，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象是解题的关键；当时，在第三象限；当时，在第四象限；由此即可判断． 【详解】解：当时，在第三象限；当时，在第四象限； 故函数的图象在第三、四象限， 故选：D． 18．将的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标． 【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， 当正比例函数经过点A时，， 当经过点C时，， 解得， ∵直线与正方形有两个公共点， ∴k的取值范围是， 故答案为：． 19．如图为某函数的图像，当时，图像上存在个不同的点使得恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键． 设，判断出点，，……，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有4个交点，即可得到答案． 【详解】解：设， 则……，， 即点，，……，在正比例函数上， 如图，正比例函数的图象与某函数的图象（）最多有4个交点， ∴k的最大取值为4， 故选：C． 题型七：正比例函数的性质 解题思路：①观察系数k的正负；②k>0时，图象经过一、三象限，y随x增大而增大；③k<0时，图象经过二、四象限，y随x增大而减小。 20．正比例函数的图象（     ） A．必过点 B．必过点 C．必过点 D．必过点 【答案】A 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，若计算得到的纵坐标与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，反之不在，据此验证各选项即可． 【详解】解：A、当时，， ∴正比例函数的图象必过点，该选项符合题意； B、当时，， ∴正比例函数的图象不过点，该选项不符合题意； C、当时，， ∴正比例函数的图象不过点，该选项不符合题意； D、当时，， ∴正比例函数的图象不过点，该选项不符合题意； 21．若正比例函数，函数随的增大而减小，则的值可能是（     ） A．0 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据随增大而减小得到的取值范围，再选出符合条件的选项即可． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而减小， ∴， 观察选项，只有，满足的要求． 22．如图，春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转动．已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，k为常数，n为转速（单位：转/分钟），U为电源电压（单位：），为电枢磁通（单位：）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数．若一台直流电动机在的电压下的空载转数为240转/分钟，则在的电压下，该电动机的空载转速为_____转/分钟． 【答案】720 【分析】根据公式及，为定值，可知与成正比例关系．利用已知条件求出的值，确定与的函数关系式，再代入计算即可． 【详解】解：，且与值一定， 是的正比例函数． 当时，转/分钟， ， ． 当时，． 23．如图是通过甲，乙，丙，丁四个不同电阻（）的电流（）与其两端电压（）变化的关系图象，根据图象及电学知识，可判断甲，乙，丙，丁中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，由得，，如图，取， 则是关于的正比例函数，而，则随着的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：由得，， 如图，取， 则是关于的正比例函数， 而， ∴随着的增大而增大， ∴甲，乙，丙，丁中电阻最大的是丁， 故选：D． 题型八：判断一次函数的图象 解题思路：①分析系数k的符号，判断直线升降趋势；②分析常数项b的符号，判断直线与y轴交点位置；③结合k、b两个条件确定图象大致形态。 24．在平面直角坐标系中，一次函数的图像大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数，中一次项系数k，常数项b代表的几何意义分析图像特征进行选择． 【详解】解：一次函数中一次项系数为2，则y随x的增大而增大，直线呈上升趋势，排除选项A，D；常数项为1，表示函数图像与y轴的交点在x轴上方，排除选项C．符合条件的图像为选项B． 25．已知直线经过一定点，则定点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了恒过定点的直线，对直线解析式进行参数分离是解题的关键．将直线整理为，代入可得，即可求出定点坐标． 【详解】解：， 当，即时，， 直线恒过定点， 定点的坐标是． 故答案为：． 26．两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：A、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论一致，故本选项正确，符合题意； C、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型九：根据一次函数解析式判断其经过的象限 解题思路：①由k的符号判断函数增减趋势；②由b的符号判断直线与y轴交点位置；③综合k、b条件，确定直线经过的象限；④注意b=0时为正比例函数的特殊情形。 27．一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先确定一次函数解析式中、的符号，再判断图象经过的象限． 【详解】解：∵中，，， ∴该函数图象经过第一、二、四象限，如图所示： ∴该函数图象不经过第三象限． 28．如果直线的图象如图所示，那么直线不经过第______象限． 【答案】四 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据图象得到、的正负，即可得到直线的图象性质，即可解题． 【详解】解：由题知，，， ，则直线的图象如下： 直线不经过第四象限， 故答案为：四． 29．正比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限及直线与y轴交点作判断即可． 【详解】解：A、由图得：，而中，与y轴交于正半轴，则，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图得：，而中，，则，与y轴交于负半轴，则，一致，故本选项符合题意； C、由图得：，而中，与y轴交于负半轴，则，矛盾，故本选项不符合题意； D、正比例函数图象必过原点，而图中直线均不过原点，故本选项不符合题意． 题型十：已知函数经过的象限求参数范围 解题思路：①根据图象经过的象限，反向推导k、b需要满足的符号条件；②列出对应的不等式组；③解不等式组得到参数的取值范围。 30．已知一次函数（b为常数）的图象经过第四象限，则b的取值范围为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象性质，利用一次项系数的符号确定直线必过的象限，再结合题目条件判断b的取值范围即可． 【详解】解：∵ 一次函数中，一次项系数 ， ∴ 该函数图象一定经过第一，第三象限． ∵ 函数图象经过第四象限，说明直线与轴的交点在轴的负半轴， 又∵ 一次函数 中，b是直线与轴交点的纵坐标， ∴ ． 31．直线经过一、二、三象限，那么经过______象限． 【答案】一、三、四 【分析】先根据直线经过的象限得到和的符号，再根据符号判断直线经过的象限. 【详解】解：∵直线经过一、二、三象限， ∴，且直线与轴交于正半轴，可得， 对于直线， ∵， ∴直线经过第一、三象限， ∵， ∴，即直线与轴交于负半轴， ∴直线经过一、三、四象限． 32．已知过点的直线不经过第四象限，设，则S的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将代入得到，然后得到，根据题意得到，，求出，进而求解即可． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∴， ∵直线不经过第四象限， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 33．如图，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据函数图象经过的象限以及与轴的交点位置判断的正负，再结合函数过特定点得到与的关系，进而分析各选项． 【详解】由一次函数的图象可得：，， 由一次函数的图象可得：，， ，选项A错误，不符合题意； 函数的图象比函数的图象更陡， ， ，选项B正确，符合题意； ，， ，选项C错误，不符合题意； ，， ，选项D错误，不符合题意； 故选：B． 题型十一：一次函数图象与坐标轴的交点问题 解题思路：①求与y轴交点：令x=0，计算对应的y值；②求与x轴交点：令y=0，解关于x的方程；③写出交点坐标。 34．如图，直线l是一次函数的图象，若点在直线l上，则m的值是______． 【答案】 0 【分析】直接根据图象即可得出结果. 【详解】解：由图象可知，直线l过点， 又点在直线l上， ∴. 35．若直线与坐标轴围成的三角形的面积为9，则__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，分别求出直线与轴轴的交点坐标，根据三角形面积公式列方程求解即可. 【详解】解：当时，， 当时，，解得， 直线与轴轴的交点坐标分别为，； 根据题意得 ， 整理得， 解得，即. 36．一次函数与的图象交于x轴上同一点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】x轴上所有点的纵坐标为0，先分别求出两个一次函数与x轴交点的横坐标，由于交点是同一点，因此横坐标相等，整理变形即可得到的值． 【详解】解：∵两个一次函数的图象交于x轴上同一点，交点在x轴上， ∴交点纵坐标， 分别令两个函数的，求解横坐标： 对于，令，得，解得， 对于，令，得，解得， ∵两个交点是同一点，横坐标相等， ∴， 整理得． 37．如图，直线分别与轴、轴相交于点，，点在平面内，，点，则长度的最小值是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形三边关系、勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确找到满足最小值时动点的位置是解题的关键．取的中点H，连接，，根据三边关系可得，确定当和在同一条直线上时，的值最小，即，利用一次函数图象的性质求出M，N，H的坐标，利用勾股定理求出，最后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出，计算即可求解． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，， 当和在同一条直线上时，的值最小，即，   直线分别与x轴、y轴相交于点M，N， 当时，， 当时，， 解得：， ，， ，， 在中，， H是的中点， ，即， ，， ， 又点的坐标为，， ， ． 故选：C． 题型十二：求一次函数自变量或函数值 解题思路：①确认自变量在函数定义域内；②已知自变量，代入解析式直接计算函数值；③已知函数值，代入解析式解方程求自变量。 38．下列各点不在函数上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入，得， ∴ 点不在函数图象上，故A选项符合题意； 将，，分别代入解析式，得对应值为，，，均与对应选项纵坐标一致， ∴ 选项B，C，D中的点均在函数图象上，均不符合题意． 39．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“和谐点”．若时，直线上有“和谐点”，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据“和谐点”定义得到和谐点满足，联立直线方程得到与的关系，结合的取值范围即可求出的取值范围． 【详解】解：∵“和谐点”满足坐标关系，直线上存在“和谐点”， ∴联立方程得 整理得 ， ∵， ∴ ，即． 40．如图，在平面直角坐标系中，，，点P在x轴上．要使的值最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，利用对称性求解等知识，找关于x轴对称点，连接，交轴于点P，即点A，B，P三点共线时，的值最小，此时，设直线的解析式为：，利用待定系数法求出一次函数解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】解：找关于x轴对称点，连接，交轴于点P， 即点A，B，P三点共线时，的值最小， 此时， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 则设直线的解析式为：， 令，则， ∴， 故选C． 题型十三：一次函数图象平移问题 解题思路：①上下平移改变常数项b，k保持不变；②向上平移，b加上平移单位；③向下平移，b减去平移单位；④左右平移针对x整体，遵循左加右减；⑤平移后整理得到新的函数解析式。 41．将一条直线向上平移5个单位长度后得直线，则平移前这条直线的解析式为__________． 【答案】 【分析】设平移前直线的解析式为，再根据直线平移“上加下减”的规律反向推导即可得到平移前的直线解析式． 【详解】解：设平移前直线的解析式为， ∴向上平移5个单位长度后，所得直线解析式为， ∵平移后得到直线， ∴，解得， ∴平移前直线的解析式为． 42．把直线向右平移1个单位后所得直线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的平移规律为：左加右减自变量，上加下减常数项，按规律计算即可得到结果． 【详解】解：把直线向右平移1个单位后所得直线的表达式为． 43．将一次函数的图象向左平移个单位，若平移后的图象恰好经过点，则的值为_________． 【答案】 【分析】首先明确一次函数图象左右平移的规则：向左平移个单位时，将函数解析式中的替换为，据此写出平移后的函数解析式．因为平移后的图象经过点，所以该点坐标满足平移后的函数解析式，将、代入平移后的解析式，得到关于的一元一次方程．求解上述一元一次方程，即可得到的值． 【详解】解：将原函数向左平移个单位后， 新函数解析式为： ，整理得， 将代入解析式 ， 解得， ． 44．如图，在中，，顶点，，点C在y轴的正半轴上，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为________．    【答案】 【分析】先求出的长，可求出点C的坐标，再求出直线的解析式，再结合平移的性质可得到直线的解析式，即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将向右平移得到， ∴， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为． 题型十四：判断一次函数的增减性 解题思路：①观察一次项系数k的符号；②k>0，y随x的增大而增大；③k<0，y随x的增大而减小。 45．已知函数，随着的增大而___________； 【答案】 减小 【分析】根据一次函数一次项系数的符号即可判断随的变化趋势． 【详解】解：由，可得， ， 随着的增大而减小． 46．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数增减性比较函数值大小． 【详解】解：， 随的增大而减小． ， ． 47．如图是函数的图象，当时，则函数值y的取值范围是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论：①当时，函数，②当时，函数，利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：①当时，函数， ， 随的增大而减小， 当时，；当时，； 当时，； ②当时，函数， ， 随的增大而增大， 当时，；当时，； 当时，； 综上可知，当时，则函数值y的取值范围是． 48．已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，由直线方程可知，，因此随增大而减小．由，得，再逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵直线，， ∴随增大而减小． ∵， ∴． A，若，因为，所以或； 当时，由于，无法确定和的符号，例如，若直线与x轴交点在和之间，则，故不能确定的正负 故选项A不符合题意； B，若，则异号，但不能确定的正负，故选项B不符合题意； 对于选项C：若， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴恒成立； 对于选项D，若，则同号，但不能确定的正负，故选项D不符合题意； 故选：C． 题型十五：根据一次函数增减性求参数 解题思路：①根据增减性确定k的符号；②列出关于参数的不等式；③解不等式得到参数取值范围。 49．在函数（为常数）中，若函数值随自变量的增大而增大，则常数的值可以为__________．（填写一个具体的实数） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的增减性得到的取值范围，再选取一个满足条件的具体实数即可． 【详解】解：根据一次函数的性质，当函数值随自变量的增大而增大时，可得， 因此任意大于的实数都符合要求，此处取． 50．在式子中，每增加1，增加，没变，因此也增加．在一次函数中，当由2增加到3时，函数值由5增加到7，则的值为（     ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】先求出的增加量和的增加量，根据题意每增加1，也增加即可求出． 【详解】解：∵由2增加到3，由5增加到7， ∴的增加量为，的增加量为， ∵每增加1，的增加量等于， ∴． 51．已知一次函数，当时，的最大值为5，则的值为_______． 【答案】或 【分析】先根据一次函数的定义确定，根据的正负分类讨论，确定最大值对应的自变量取值，列方程求解即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， ①当时，一次函数随的增大而增大， ∴当时，的最大值在处取得， 代入得 ， 解得； ②当时，一次函数随的增大而减小， ∴当时，的最大值在处取得， 代入得 ， 解得， 则的值为或． 52．已知一次函数，当时，，则的值为（     ） A．4 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质与待定系数法求解析式，一次函数的增减性由的符号决定，需分和两种情况讨论，分别求出后计算即可． 【详解】∵一次函数的增减性与的符号有关，因此分两种情况讨论： ①当时，随的增大而增大， ∴当时，；当时，， 可得， 解得， ∴. ②当时，随的增大而减小， ∴当时，；当时，， 可得， 解得， ∴. 综上，的值为或． 题型十六：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 解题思路：①先确定系数k的正负，明确增减性；②结合函数值的大小关系；③根据增减性推出对应自变量的大小关系。 53．已知，两点都在关于的一次函数的图象上，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”． 根据一次函数的解析式可得，则随的增大而减小，进而根据的坐标即可求解． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵，两点都在关于的一次函数的图象上，， ∴， 故选：B． 54．已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的解析式，，因此随的增大而减小．点的纵坐标小于点的纵坐标，故点的横坐标大于点的横坐标． 【详解】解：∵中，， ∴随的增大而减小． ∵点和点都在一次函数的图象上， ∴ 故答案为：． 55．对于一次函数，下表列出5组自变量与其对应的函数值，其中恰好有一个函数值有误，则这个错误的函数值是（   ） 0 1 2 3 3 6 9 13 15 A．3 B．6 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数．根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2． 第4个应是增加了3，即为12． 这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系． ∴这个计算有误的函数值是13， 故选：C． 56．已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想以及举反例的方法是解题的关键． 先求出此直线交y轴于，交x轴于，画出图象，结合一次函数的增减性逐项判断即可解答， 【详解】解：当时，，则此直线交y轴于， 当时，，解得：，则此直线交x轴于， 当时，；当时，； 画出一次函数的图象如图所示： ， A．若且， ∴或， 当时，若，则，即，即A选项不符合题意； B．若且， ∴或或， 当时，若，则，即，即B选项不符合题意； C．若且， ∴， 当，则，即，即C选项不符合题意； D．若且， ∴， ∴，即，即D选项符合题意． 故选：D． 题型十七：比较一次函数值的大小 解题思路：①判断k的符号确定增减性；②对比两个自变量的大小；③依据增减性直接比较对应函数值大小。 57．已知一次函数的图象经过，两点，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵在一次函数中，一次项系数， ∴随的增大而增大， 又∵一次函数的图象经过，两点，且， ∴． 58．气象站记录显示，某地的气温  （）随时间  （小时）的变化规律符合函数关系  ；若时间满足，则对应的气温， 的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵直线中， ∴y 随 x 的增大而增大． ∵ ， ∴． 59．若点和点在一次函数的图象上，则________（用“>”、“<”或“=”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．根据一次函数的解析式求出和的值，即可比较大小． 【详解】解：点和点在一次函数的图象上， ， ， 故． 故答案为：． 60．已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是(    ) A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 【答案】D 【分析】根据题意可得，，进而根据选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，，为直线上的三个点， ∴， ∵，， ∴ A. 若， 则，即同号，当时，，当时，，故该选项不正确，不符合题意； B. 若， 则异号，同理可得或 C. 若， 则同号，同理可得或 D. 若， 则异号，只能是，则， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型十八：一次函数的规律探究问题 解题思路：①提取题目中的点坐标或者对应数据；②分析变量之间变化规律；③利用待定系数法求出一次函数解析式；④代入解析式求解所求问题。 61．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，……按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出，，，根据坐标的变化即可找出变化规律，．即可得出点的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出坐标的变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是关键． 【详解】解：依题意 结合等腰三角形的性质，结合图象得出点、、、、在轴上，且，，， ， 把代入 得出 ∴ 直线， 当时，则 ， ∵， ∴， 把，则 即， ∵ ∴把，则 即， ， ，． ∴的坐标为 故选：D 62．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴， ， ， …… ∴， ∴． 63．如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线，交直线于点，过点作y轴的平行线，交直线于点，再过点作x轴的平行线，交直线于点，过点作y轴的平行线，交直线于点，，依此类推，得到直线上的点，，，与直线上的点，，，，则的长为（    ） A．640 B．128 C．256 D．512 【答案】C 【分析】对于直线，令，求出y的值，确定出的纵坐标，即为的纵坐标，代入中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，归纳总结即可求解． 【详解】解：对于直线，令，则，即， ∵轴， ∴的纵坐标为2， 将代入中得：，即， ∴， ∵轴， ∴的横坐标为2， 将代入得：，即， ∴与的纵坐标为4， 将代入中得：，即， ∴， 同理：， 则， 故选：C． 【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数的性质，以及坐标与图形性质，弄清题中的规律是解本题的关键． 解答题 1．一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为． (1)写出用表示的函数表达式． (2)当时，求的值． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据长方体体积公式求解即可； （2）把代入（1）中表达式，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为， ∴． （2）解：∵，， ∴． 2．如图，已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)点的坐标是，连接． ①是_______三角形（按角分类）； ②点是轴上的点，若，直接写出点的坐标 【答案】(1) (2)①直角；②点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①利用勾股定理及其逆定理计算即可判断； ②设点的坐标为，得到，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：①∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形； ②∵，，， ∴，， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 3．已知一次函数，请回答下列问题： (1)当y随x的增大而减小时，求k的取值范围； (2)当时，该函数的图象经过哪几个象限？ 【答案】(1) (2) 该函数图象经过第一、三、四象限 【分析】（1）根据一次函数增减性，y随x增大而减小说明一次项系数小于0，列不等式求解得到k的取值范围； （2）当时，分别判断一次项系数和常数项的符号，再根据一次函数的图象性质判断函数图象经过的象限． 【详解】（1）解：∵一次函数，y随x的增大而减小， ∴， ∴； （2）解：当时，， ，即一次项系数为正数， 又， ， ，即常数项为负数， ∵一次函数的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴该函数的图象经过第一、三、四象限． 4．已知关于的一次函数． (1)若函数的图象平行于直线，求的值； (2)若函数的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）平行直线斜率相等，列方程求出； （）结合函数过一二三象限的符号要求，解不等式组得取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象平行于直线， ， ； （2）函数图象经过第一、二、三象限， 且， ， 的取值范围是． 5．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设这个一次函数的解析式为，将，两点代入求解即可； （2）分别求出当时和当时的y值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过，两点． ∴ 解得， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：由（1）可知 ∵ ∴当时，； 当时，， ∵ ∴随的增大而减小 ∴当时，函数值的取值范围为． 6．一次函数的图象，如图所示． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果这个一次函数的图象向上平移m个单位得到的图象恰与它向右平移n个单位得到的图象完全相同，求、之间的等式关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，将和分别代入，得到方程组，再解方程组即可； （2）根据平移规律，得到关于、的等式，化简即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，直线经过点和点， 将和分别代入， 得， 解得，， 这个一次函数的解析式为． （2）解：根据题意可得，， 化简得，． ∴、之间的等式关系为． 7．已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，函数的最大值与最小值的差是否会随着的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)函数的最大值与最小值的差为 (3)不变，定值为 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）将点坐标代入解析式即可求出结果； （2）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可； （3）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可； 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ，解得． （2）解：∵，所以随的增大而减小， ∴当时，的最大值为10；当时，的最小值为2， ∴函数的最大值与最小值的差为． （3）解：定值为，理由如下： ∵，所以随的增大而减小， ∴当时，的最大值为， 当时，的最小值为， ∴最大值与最小值的差为：． 8．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求k，的值； (2)若一次函数的图象与x轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)的值为1，的值为2 (2)2 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）先分别求出当时和当时，的值，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴的值为1，的值为2． （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 将代入函数得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵轴轴， ∴一次函数的图象与坐标轴围成的的面积为． （3）解：∵一次函数的解析式为， ∴当时，；当时，， 又∵在一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，． 9．已知函数的图象为L，L经过点和． (1)求b，c的值； (2)过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N（点M和点N不重合）． ①若，，直接写出线段的长； ②若线段的长在上有最小值，求a的取值范围． 【答案】(1)b的值为，c的值为1 (2)①1；② 【分析】（1）根据已知条件将点和分别代入图象为L的函数解析式即可求得结果； （2）①先将已知条件代入，得到图象为L的函数解析式，点T的坐标和直线的解析式，再分别令，求得点M和点N的坐标，从而利用纵坐标之差求出线段的长度； （3）根据题意先分析出和的图象，再由点M和点N不重合得到，从而分情况讨论出线段的表达式，最后对线段进行分类讨论，结合图象并利用解一元一次不等式求得a的取值范围． 【详解】（1）解：∵L经过点， ∴，解得：， 又∵L经过点，且， ∴，解得：， ∴b的值为，c的值为1． （2）解：①由（1）知，， 当，时， ，，直线为， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴； ②由题意知， 如图，当时： ∴与均呈上升趋势， ∵点M和点N不重合， ∴， 又∵过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N， 如图，此时分情况讨论： （i）当时，； （ii）当时，， 同理，如图，当时，与时，线段的表达式相同， 对于线段的长进行分类讨论： （i）如图，当时， 此时恒成立，存在最小值，在取得， ∴； （ii）如图，当时， ∴， ∴， 解得：， ∴a的取值范围是； （iii）如图，当时， ∴无论和在任何位置都肯定不存在最小值， ∴此时恒不成立， 综上所述，a的取值范围是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $