专题 5.5 一次函数的简单应用（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦一次函数的简单应用核心知识点，系统梳理从通过图象求解析式及求值，到行程问题、最大利润问题、方案问题等实际应用的脉络，搭建从函数性质到现实问题解决的学习支架。 资料以★、★★分层标注题型，结合鲸的长度关系、手机套餐选择等真实情境例题，培养学生用数学眼光抽象数量关系的能力和模型意识。同步练习分基础巩固与巩固提升，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升运算与推理能力。

专题 5.5 一次函数的简单应用 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【★★题型一】一次函数的简单应用——通过观察图象求出一次函数解析式并求值 2 【★★题型二】一次函数的实际应用——行程问题 3 【★题型三】一次函数的实际应用——利用一次函数图象求二元一次方程组的解 4 【★★题型四】一次函数的实际应用——最大利润问题 5 【★★题型五】一次函数的实际应用——面积问题 6 【★★题型六】一次函数的简单应用——方案问题 8 【★★题型七】一次函数的实际应用——选择实惠的手机套餐 9 【★★题型八】一次函数的实际应用——几何问题 11 二．同步练习​ 11 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 12 【★★巩固提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 16 一.知识梳理与题型分类精析 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 一次函数简单应用知识点： 一、核心前提：一次函数的实际应用价值 日常生活与生产实践中，诸多问题的数量关系可通过一次函数刻画，这是运用一次函数解决实际问题的基础前提。 二、一次函数解决实际问题的核心步骤： （1）判断关系：先确定问题中两个变量是否为一次函数关系； （2）求表达式：若确定是一次函数关系，求解对应的函数表达式； （3）获结果：运用一次函数的图象和性质，推导所需结果。 三、判断两变量为一次函数关系的常用方法——图象法 （1）收集数据：通过实验、测量等方式，获取足够数量的两个变量的对应值； （2）描点绘图：建立合适的直角坐标系，以各对应值为坐标描点，进而画出函数图象； （3）判断类型：观察所绘图象的特征，判断函数是否为一次函数类型。 要点说明 通过图象法获得的一次函数表达式，通常是近似值。 【★★题型一】一次函数的简单应用——通过观察图象求出一次函数解析式并求值 步骤 1：通过描点（将 x、y 对应值作为坐标）画出图象，观察是否近似成直线，初步判断为一次函数； 步骤 2：用待定系数法（选取两组数据代入一次函数一般式\（y = kx + b\））求解表达式； 步骤 3：验证其余数据是否近似符合该表达式，确定函数关系。 【例题1】（浙教版八上181页例题1）生物学家测得7条成熟的雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x（图3-10）的数据如下表（单位：m）： 吻尖到喷水孔的长度 1.78 1.91 2.06 2.32 2.59 2.82 2.95 全长 10.00 10.25 10.72 11.52 12.50 13.16 13.90 问能否用一次函数刻画这两个变量x和y的关系？如果能，请求出这个一次函数的表达式． 【变式1】（根据浙教版八上183页作业题第3题改编）科学家用一些金鱼做实验，测试不同水温对“鱼的呼吸速率”（即开闭鳃盖的次数与时间的比）的影响，得到统计图如图所示．若设温度为，平均呼吸速率为v（次/分），你能用其他恰当的方式表示v与t的关系吗？ 【变式2】（2024·陕西榆林·模拟预测）生物学家测得某种成熟的雄性鲸（如图1）的全长（单位：，且）与吻尖到喷水孔的长度（单位：）之间满足一次函数关系，其函数图象如图2所示： 请你根据图中信息，解答下列问题： （1）求与之间的函数关系式； （2）若某条这种成熟的雄性鲸的全长为，那么它的吻尖到喷水孔的长度为多少？ 【★★题型二】一次函数的实际应用——行程问题 【例题2】（根据浙教版八上184页例题2改编）（2025·浙江丽水·一模）如图，小丽和小庆去某风景区游览，其主要景点位于同一条公路边，其中古刹到塔林的路程为，塔林到草甸的路程为，草甸到飞瀑的路程为．小丽骑电动自行车从“古刹”出发，沿景区公路匀速去“草甸”，车速为．同一时刻，小庆乘电动汽车从“飞瀑”出发，沿景区公路匀速前往“古刹”．设两人相距的路程为，时间为， s关于t的部分函数图象如图所示． （1）求小庆乘电动汽车的速度； （2）求图中a的值； （3）何时两人相距的路程等于？ 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）甲、乙两辆汽车同时从相距千米的，两地沿同一条公路相向而行（甲由到，乙由到），（千米）表示汽车离地的距离，（分钟）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的与之间的关系． （1）求、分别表示的两辆汽车的与之间的关系式； （2）小时后，两车相距多少千米？ （3）点的实际意义是什么？此时甲车行驶的路程是多少千米？ 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量与行驶时间之间满足如下函数图象． （1）汽车行驶______后加油，中途加油______； （2）求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； （3）已知加油前、后汽车都以匀速行驶，如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？若够，请说明理由；若不够，请求出还应再加油多少升？ （1）相遇与追及问题：两物体路程相等，列方程求解时间； （2）距离差问题：求某时刻两物体的距离，即 列方程或不等式； （3）图像类问题：从一次函数图像中读取截距（初始位置）、斜率（速度）、交点（相遇时刻），结合图像信息验证函数关系式。 【★题型三】一次函数的实际应用——利用一次函数图象求二元一次方程组的解 【例题3】（根据浙教版八上184页作业题第1题改编）（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一个直角坐标系中，画出一次函数和的图象，并在图象中标出交点坐标． （2）求二元一次方程组的解． （3）交点坐标与方程组的解有关系吗？什么关系？请说明理由． 【变式2】已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 【★★题型四】一次函数的实际应用——最大利润问题 步骤 1：通过描点（将 x、y 对应值作为坐标）画出图象，观察是否近似成直线，初步判断为一次函数； 步骤 2：用待定系数法（选取两组数据代入一次函数一般式\（y = kx + b\））求解表达式； 步骤 3：验证其余数据是否近似符合该表达式，确定函数关系。 【例题4】（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元． （1）求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？ （2）该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？ 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）某商场购进甲、乙两种商品进行销售，设用元购进甲种商品工件，与之间的函数关系如图所示，乙种商品按元件的价格购进． （1）求当时，与之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品不少于件，甲、乙两种商品的总进货款不少于元，求的取值范围； （3）若甲、乙两种商品的销售价格分别为元件和元件，经销商将（）中购进的甲、乙两种商品全部销售完，获得的利润最多为元，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·四川·期中）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元） 型号 4 12 型号 5 16 （1）若公司有技术人员60人全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，问和服务器的安装数量各是多少台？ （2）由于公司规模扩大，技术人员增至65人，全部参与维护且每人负责一种服务器，要求型号超过4台．问和服务器的安装数量各是多少台时，安装总成本最少？ 【★★题型五】一次函数的实际应用——面积问题 （1）分析动点运动背景，设定变量； （2）建立动点坐标的一次函数表达式； （3）转化几何问题为函数关系； （4）求解方程 / 不等式，验证结果合理性. 【例题5】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． （1）求，两点的坐标； （2）若的面积等于面积的一半，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，两点，是直线上的一点，过点的另一条直线与轴相交于点． （1）求m，b的值； （2）求△的面积． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点为直线上一点，若的面积是面积的倍，求点的坐标． 【★★题型六】一次函数的简单应用——方案问题 （1）梳理题干信息，确定变量与方案； （2）分别建立各方案的一次函数关系式； （3）分析约束条件，确定自变量取值范围； （4）比较各方案函数，选择最优方案； （5）验证结果，规范作答. 【例题6】（根据浙教版八上184页作业题第5题改编）暑假期间，4名教师计划带领若干名学生外出旅游，他们联系了报价均为每人2000元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：教师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：4名教师全额收费，学生按七折收费． （1）设这4名教师带领x名学生去旅游，选择甲旅行社的总费用为（元），选择乙旅行社的总费用为（元），请分别写出，与x之间的函数表达式． （2）试问本次旅游应选择哪一家旅行社更合算？ 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买每人元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在千克以内（包含千克）按原价收费，超过千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． （1）当采摘量超过千克时，分别求出，与之间的函数关系式； （2）当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ （3）若采摘量为千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变） （1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【★★题型七】一次函数的实际应用——选择实惠的手机套餐 （1）梳理梯度规则，划分区间； （2）分段建立一次函数关系式； （3）判断问题所属区间，代入求解； （4）验证结果，规范作答。 【例题7】（根据浙教版八上189页综合实践活动选择实惠的手机套餐改编）（24-25八年级上·北京·期末）春节期间，某移动公司推出三种手机流量套餐的优惠方案，具体如下表所示： 每月基本 费用（元） 每月免费 使用流量（） 超出流量 每收费（元） 套餐 20 10 套餐 56 30 套餐 188 无限 其中，，，三种套餐每月所需的费用、、（元）与每月使用的流量之间的函数关系如图所示． （1）写出表中的值_________； （2）在套餐中，若每月使用的流量不少于，直接写出每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式___________； （3）如果从节省费用的角度考虑，根据图象与表达式可知：当且时，每月使用的流量的取值范围是__________． 【变式1】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）通讯公司有两种套餐供客户选择．套餐A：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是元；套餐B：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是元．小刚设套餐A的费用为（元），套餐B的费用为（元），通话时间为x（分钟）， （1）请直接写出（元）与x（分）之间的关系式为______，（元）与x（分）之间的关系式为______． （2）当通话时间为______分钟时，两种套餐费用相同，都是______元． （3）小刚父母都选了套餐B，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表， 9月话费（元） 10月话费（元） 11月话费（元） 小刚父亲 72 75 78 小刚母亲 38 42 28 根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）为响应“节能”“环保”“减排”号召，张明家购买了一台电动汽车，需要申请加装电表，有两种电表可供选择：一种是普通电表，一种是峰谷分时计费电表． 该市居民用电的收费标准（注：峰段8：00～22：00，谷段：22：00～次日8：00）： 计费档 户年用电量 普通电价/[元/] 峰谷电价/[元/] 峰段电价 谷段电价 第一档 0.53 0.56 0.28 第二档 0.58 0.61 0.33 第三档 0.83 0.86 0.58 （1）张明的朋友李斌家去年总用电量为，峰段用电量为，哪种计费方式电费较少？为什么？ （2）截至今年9月底，李斌家的用电量已经超过，已知李斌家10月共用电，峰段用电量为（单位：），写出峰谷计费方式的电费（单位：元）与之间的关系式？并计算李斌家10月峰段用电量为多少时，两种计费方式相同？ （3）张明通过调查发现：安装哪种电表，取决于峰段用电量占总用电量的比值，比值越大，越适合安装普通电表，否则，安装峰谷计费电表．若张明家年用电量为，峰段用电量与总用电量的比值为．请你直接写出张明安装电表的方案． 【★★题型八】一次函数的实际应用——几何问题 一次函数与几何结合的核心是：通过建立平面直角坐标系，将几何图形（线段、三角形、四边形等）的顶点、边转化为一次函数表达式（直线方程），利用函数性质如斜率、截距、交点等解决几何问题，如求边长、面积、点的坐标、图形位置关系。解题关键是几何问题转化为平面直角坐标系为背景的函数问题，进而代数求解转化为几何问题。 【例题8】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中， ，点 E，F 分别在边 上，且 ，连接相交于点 P ，则 的长为 ． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为 ． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，，，，点D为线段上的一个点，点E是线段上一点，若点C和点E关于所在直线对称，则D点的坐标为 ． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）已知直线与的交点坐标是，则关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，将直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，直线分别与轴、轴交于点、，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 4．（12-13八年级下·浙江·开学考试）甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为．他们行进的路程与乙出发后的时间之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到地 5．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）如图，点A、D分别在直线和上，轴，B、C都在x轴上，且四边形是长方形，已知点B的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山西晋中·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用。小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如表是小明记录的部分数据，当时间为时，对应的高度为（   ） … 0 1 2 … … 2 … A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为 ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数（k，b为常数，）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程的解为 ． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 10．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知蜡烛点燃后剩余的蜡烛长度（单位：cm）与燃烧时间（单位：min）之间的关系式为，则15的实际意义是 ． 11．（24-25九年级上·全国·期末）周末，小颖与小万相约爬山，两人同时从同一地点驾车出发沿相同路线行驶，小颖驾车行驶20千米后，休息了15分钟后继续朝目的地出发，如图表示的是小颖和小万分别距离目的地的距离s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系，两人出发后第二次相遇是在出发 分钟后． 12．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点M、则线段的长 ．    三、解答题 13．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）某学校八（2）班图书角有本图书，若该班每名学生借阅6本图书． （1）求余下图书数量（本）与该班学生人数之间的关系式； （2）试判断（1）中是的一次函数吗？若是，说明和的值及实际意义，若不是说明理由． 14．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，已知直线与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）点为直线上一动点，若有，求点的坐标． 15．（2022·广东中山·三模）某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． （1）、两款保温杯销售单价各是多少元？ （2）由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 16．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），过作轴交线段于点，使，设点的横坐标为． （1）求点、点的坐标； （2）如图2，当时，求的值； （3）如图3，连接，，在点运动的过程中，当时，的值为___________． 【★★巩固提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（    ） A．直线与y轴交点的坐标是 B．直线经过第一、三、四象限 C．与坐标轴围成的三角形面积为6 D．直线过点 2．（2025八年级上·全国·专题练习）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．一辆以电能作为动力来源的新能源汽车剩余的电量百分比与已行驶的路程的对应关系如图所示，当所剩电量百分比为时，该车已行驶的路程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．当时， C．的面积是4 D． 5．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，，轴，交轴于点，交直线于点．点在线段上，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，的长为（   ） A． B． C．3 D． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，已知直线，过轴上的点分别作垂直于轴的直线交于点，将、四边形、四边形的面积依次记为，则等于（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数．若一次函数过点，则一次函数与它的交换函数和y轴围成的三角形的面积为 ． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数（a为常数）． ①一次函数的图象一定经过点A，点A的坐标为 ； ②已知，，若一次函数的图象与线段有交点，则a的取值范围为 ． 9．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，，点是坐标轴上一点，且是直角三角形，满足这样条件的点有 个． 10．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点，点，直线，若A、B两点到直线l的距离相等，则k的值为 ． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）某社团新型小车直道竞速（匀速）稳定性测试时，甲、乙均从地出发至地，甲先出发3秒后乙才出发，最终甲先到达地．如图，轴代表甲出发的时间，轴代表两人之间的距离，则甲到达地时，乙距离地还有 米． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径画弧交于点C和点D，直线交x轴于点E，点P是直线上一动点，连接和，则的最小值是 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“獨宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． （1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ （2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ （3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 14．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图；在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）若点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q，若，求t的值． 15．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． （1）两地相距______，快车返回时速度为______； （2）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； （3）慢车出发多长时间后，两车相距． 16．（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量（） 单价（元） 第一档 3.5 第二档 5.0 第三档 6.5 （1）当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是1020元，求该户去年一年的用水量． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.5 一次函数的简单应用 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【★★题型一】一次函数的简单应用——通过观察图象求出一次函数解析式并求值 2 【★★题型二】一次函数的实际应用——行程问题 5 【★题型三】一次函数的实际应用——利用一次函数图象求二元一次方程组的解 9 【★★题型四】一次函数的实际应用——最大利润问题 11 【★★题型五】一次函数的实际应用——面积问题 15 【★★题型六】一次函数的简单应用——方案问题 19 【★★题型七】一次函数的实际应用——选择实惠的手机套餐 22 【★★题型八】一次函数的实际应用——几何问题 27 二．同步练习​ 32 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 32 【★★巩固提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 44 一.知识梳理与题型分类精析 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 一次函数简单应用知识点： 一、核心前提：一次函数的实际应用价值 日常生活与生产实践中，诸多问题的数量关系可通过一次函数刻画，这是运用一次函数解决实际问题的基础前提。 二、一次函数解决实际问题的核心步骤： （1）判断关系：先确定问题中两个变量是否为一次函数关系； （2）求表达式：若确定是一次函数关系，求解对应的函数表达式； （3）获结果：运用一次函数的图象和性质，推导所需结果。 三、判断两变量为一次函数关系的常用方法——图象法 （1）收集数据：通过实验、测量等方式，获取足够数量的两个变量的对应值； （2）描点绘图：建立合适的直角坐标系，以各对应值为坐标描点，进而画出函数图象； （3）判断类型：观察所绘图象的特征，判断函数是否为一次函数类型。 要点说明 通过图象法获得的一次函数表达式，通常是近似值。 【★★题型一】一次函数的简单应用——通过观察图象求出一次函数解析式并求值 【解题步骤】 步骤 1：通过描点（将 x、y 对应值作为坐标）画出图象，观察是否近似成直线，初步判断为一次函数； 步骤 2：用待定系数法（选取两组数据代入一次函数一般式\（y = kx + b\））求解表达式； 步骤 3：验证其余数据是否近似符合该表达式，确定函数关系。 【例题1】（浙教版八上181页例题1）生物学家测得7条成熟的雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x（图3-10）的数据如下表（单位：m）： 吻尖到喷水孔的长度 1.78 1.91 2.06 2.32 2.59 2.82 2.95 全长 10.00 10.25 10.72 11.52 12.50 13.16 13.90 问能否用一次函数刻画这两个变量x和y的关系？如果能，请求出这个一次函数的表达式． 【答案】能， 【分析】在直角坐标系中画出以表5-9中各对x与y的对应值为坐标的各点，观察这些点大致在一条直线上，判断y是关于x的一次函数．用待定系数法求出y关于x的函数表达式． 解：在直角坐标系中画出以表5-9中x的值为横坐标，y的值为纵坐标的7个点， 由图看出，这7个点几乎在同一条直线上， ∴函数近似看成一次函数，可以用一次函数来刻画这两个变量x和y的关系． 设这个一次函数为， ∵较多的点靠近或在点，所确定的直线上， ∴把点，分别代入， 得， 解得：， ∴所求的函数表达式为． 【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握以数对作为点的坐标在平面直角坐标系中描点画图，待定系数法求函数解析式． 【变式1】（根据浙教版八上183页作业题第3题改编）科学家用一些金鱼做实验，测试不同水温对“鱼的呼吸速率”（即开闭鳃盖的次数与时间的比）的影响，得到统计图如图所示．若设温度为，平均呼吸速率为v（次/分），你能用其他恰当的方式表示v与t的关系吗？ 【答案】（答案不唯一） 【分析】观察图象可知，图象近似直线，所以看作是一次函数，用待定系数法求表达式即可． 解：设， 由图象可知，当时，；当时，， ， 解得， v与t的关系为：． 【点拨】本题考查函数的表示形式：图象法、列表法、解析式法，解题的关键是熟知函数的三种形式． 【变式2】（2024·陕西榆林·模拟预测）生物学家测得某种成熟的雄性鲸（如图1）的全长（单位：，且）与吻尖到喷水孔的长度（单位：）之间满足一次函数关系，其函数图象如图2所示： 请你根据图中信息，解答下列问题： （1）求与之间的函数关系式； （2）若某条这种成熟的雄性鲸的全长为，那么它的吻尖到喷水孔的长度为多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上点的坐标特点，掌握待定系数法求函数解析式的步骤是解题关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）的结论解答即可； 解：（1）解：设与之间的函数关系式为 图象经过两点， 解得 与之间的函数关系式为 （2）当时，， 解得， 它的吻尖到喷水孔的长度为． 【★★题型二】一次函数的实际应用——行程问题 【例题2】（根据浙教版八上184页例题2改编）（2025·浙江丽水·一模）如图，小丽和小庆去某风景区游览，其主要景点位于同一条公路边，其中古刹到塔林的路程为，塔林到草甸的路程为，草甸到飞瀑的路程为．小丽骑电动自行车从“古刹”出发，沿景区公路匀速去“草甸”，车速为．同一时刻，小庆乘电动汽车从“飞瀑”出发，沿景区公路匀速前往“古刹”．设两人相距的路程为，时间为， s关于t的部分函数图象如图所示． （1）求小庆乘电动汽车的速度； （2）求图中a的值； （3）何时两人相距的路程等于？ 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了函数图象，求一次函数解析式，从函数图象获取相关信息是解题的关键． （1）由函数图象，先求出两人相遇前的速度的和，再减去小丽的速度即可； （2）先求出从相遇到终点的时间，加上相遇前的时间即可得a的值； （3）求出相遇前后两线段的函数解析式，再求出函数值为5时的自变量值即可求解． 解：（1）解：； 答：小庆乘电动汽车的速度为． （2）解：； 即a的值为． （3）解：设相遇前的函数表达式为，此时函数过点， 则有，解得：， 即函数表达式为； 当时，； 设相遇后到终点的函数表达式为，此时函数过点， 则有，解得：， 即函数表达式为； 当时，； 综上所述，或． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）甲、乙两辆汽车同时从相距千米的，两地沿同一条公路相向而行（甲由到，乙由到），（千米）表示汽车离地的距离，（分钟）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的与之间的关系． （1）求、分别表示的两辆汽车的与之间的关系式； （2）小时后，两车相距多少千米？ （3）点的实际意义是什么？此时甲车行驶的路程是多少千米？ 【答案】（1）的解析式为，的解析式为；（2）小时后，两车相距千米；（3）点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，此时甲车行驶的路程是千米 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求代入分别求出直线、的函数值即可得到答案； （3）点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，两者相遇时，距离地距离相同，即两直线函数值相同，则联立两直线解析式求出交点坐标，即可得到答案． 解：（1）解：设的解析式为，把点代入得， ， 的解析式为； 设的解析式为，把点、代入得 ， 解得， 的解析式为； （2）分钟， 在中，当时，， 在中，当时，， （千米）， 答：小时后，两车相距千米； （3）点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇， 当甲、乙两辆汽车相遇时，汽车离地的距离相同， 联立， 解得， （千米）， 答：点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，此时甲车行驶的路程是千米． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量与行驶时间之间满足如下函数图象． （1）汽车行驶______后加油，中途加油______； （2）求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； （3）已知加油前、后汽车都以匀速行驶，如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？若够，请说明理由；若不够，请求出还应再加油多少升？ 【答案】（1），；（2）；（3）油箱中的油不够用，还应再加油 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中正确获取信息是解题关键． （1）根据函数图象即可得； （2）设加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为，根据点，，利用待定系数法求解即可得； （3）先求出汽车每小时的耗油量，再求出汽车从加油站到达目的地所需的油量，与比较大小即可得出结论． 解：（1）解：由图可知，汽车行驶后加油，中途加油， 故答案为：，； （2）解：设加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为， 将点，代入得， 解得， 加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为； （3）解：汽车每小时耗油， 汽车从加油站到目的地耗油， ， 如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油不够用， ， 还应再加油． 【解题步骤】 （1）相遇与追及问题：两物体路程相等，列方程求解时间； （2）距离差问题：求某时刻两物体的距离，即 列方程或不等式； （3）图像类问题：从一次函数图像中读取截距（初始位置）、斜率（速度）、交点（相遇时刻），结合图像信息验证函数关系式。 【★题型三】一次函数的实际应用——利用一次函数图象求二元一次方程组的解 【例题3】（根据浙教版八上184页作业题第1题改编）（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用一次函数的交点解二元一次方程组．将点代入可求得，进而可求解． 解：由题意得： 当时，得：， 解得：， 点P的坐标为， 二元一次方程组即的解为：， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一个直角坐标系中，画出一次函数和的图象，并在图象中标出交点坐标． （2）求二元一次方程组的解． （3）交点坐标与方程组的解有关系吗？什么关系？请说明理由． 【答案】（1）图象见分析；（2）；（3）有关系，关系为交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解，理由见分析 【分析】本题考查画一次函数图象，解二元一次方程组，一次函数与二元一次方程组； （1）用描点法画出两一次函数的图象； （2）用加减消元法解二元一次方程组； （3）两一次函数图象的交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解. 解：（1）图象及交点坐标，如图所示， （2） 将得： 解得 将代入①得： 解得 ∴方程组的解为. （3）交点坐标与方程组的解有关系，关系为交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解，理由如下： ∵方程组中可变形为，可变形为， ∴方程组中的两个方程为两一次函数的解析式， ∵交点坐标是同时满足两个解析式的， ∴交点的横坐标与纵坐标满足两个方程， ∴交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解. 【变式2】已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象的交点坐标是两函数解析式组成方程组的解是解题的关键．利用函数图象的交点坐标为两函数解析式组成方程组的解进行回答即可． 解：∵方程组的解为， ∴一次函数与的交点P的坐标是． 故答案为：． 【★★题型四】一次函数的实际应用——最大利润问题 【解题步骤】 步骤 1：通过描点（将 x、y 对应值作为坐标）画出图象，观察是否近似成直线，初步判断为一次函数； 步骤 2：用待定系数法（选取两组数据代入一次函数一般式\（y = kx + b\））求解表达式； 步骤 3：验证其余数据是否近似符合该表达式，确定函数关系。 【例题4】（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元． （1）求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？ （2）该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？ 【答案】（1）修正带进价为8元/个，笔袋进价为10元/个；（2）元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，根据已知信息列式并正确解答是解题的关键． （1）设修正带进价为元／个，笔袋进价为元／个，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解． （2）设文具店修正带进货量为个，总利润为元，根据题意，列出w与t之间的函数关系，结合一次函数的性质以及t的取值范围，可知当时，w有最大值． 解：（1）解：设修正带进价为元／个，笔袋进价为元／个， 根据题意，可得，解得． 答：修正带进价为8元／个，笔袋进价为10元／个． （2）解：设文具店修正带进货量为个，总利润为元， 则 ， ， 随着的增大而减少， 又修正带的进货量不低于350个，且不高于450个，即， 当修正带的进货量为350个时，总利润的最大值为3650元． 答：该文具店总利润的最大值是3650元． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）某商场购进甲、乙两种商品进行销售，设用元购进甲种商品工件，与之间的函数关系如图所示，乙种商品按元件的价格购进． （1）求当时，与之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品不少于件，甲、乙两种商品的总进货款不少于元，求的取值范围； （3）若甲、乙两种商品的销售价格分别为元件和元件，经销商将（）中购进的甲、乙两种商品全部销售完，获得的利润最多为元，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与之间的函数关系式为，然后利用待定系数法即可求解； （）根据题意，得，然后结合，则得的取值范围为； （）设获得的利润为元，则，当的最大值为时，得，然后根据一次函数性质即可求解． 解：（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将，代入， 得， 解得， ∴当时，与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得， 解得， 又∵， ∴的取值范围为； （3）解：设获得的利润为元，则， 当的最大值为时，得， ∵， ∴，即， ∴随的减小而增大， 当时，值最大，， 解得， ∴的值为． 【变式2】（25-26八年级上·四川·期中）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元） 型号 4 12 型号 5 16 （1）若公司有技术人员60人全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，问和服务器的安装数量各是多少台？ （2）由于公司规模扩大，技术人员增至65人，全部参与维护且每人负责一种服务器，要求型号超过4台．问和服务器的安装数量各是多少台时，安装总成本最少？ 【答案】（1）服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是8台；（2）服务器的安装数量是10台，服务器的安装数量是5台时，安装总成本最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台，根据公司共有技术人员60人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设安排服务器的技术人员人，则安排服务器的技术人员人，安装总成本为万元，根据要求型号超过4台，求得，再根据题意列得，利用一次函数的性质求解即可． 解：（1）解：设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台． 根据题意可列：， 解得：， 答：服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是8台； （2）解：设安排服务器的技术人员人，则安排服务器的技术人员人，安装总成本为万元， ∴服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台， ∵要求型号超过4台， ∴，解得， 由题意得， ∵， ∴的值随的增大而减少， ∵，且和都是整数， ∴当时，有最小值为200万元， 此时，， ∴当服务器的安装数量是10台，服务器的安装数量是5台时，安装总成本最少． 【★★题型五】一次函数的实际应用——面积问题 【解题步骤】 （1）分析动点运动背景，设定变量； （2）建立动点坐标的一次函数表达式； （3）转化几何问题为函数关系； （4）求解方程 / 不等式，验证结果合理性. 【例题5】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． （1）求，两点的坐标； （2）若的面积等于面积的一半，求的值． 【答案】（1），；（2）或 【分析】（1）分别令、，求出对应的、，即可求解； （2）先确定，，得，然后分别求得，，然后建立关于的方程进行求解，继而得到关于的方程，可得答案． 解：（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点，， 当时，；当时，， ∴，； （2）∵点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为， ∴， ∵在射线上取点，使， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵的面积等于面积的一半，即， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，的值为或． 【点拨】本题是一次函数综合运用，考查了一次函数图象与坐标轴的交点，坐标与图形，三角形的面积等知识点，利用方程的思想解决问题是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，两点，是直线上的一点，过点的另一条直线与轴相交于点． （1）求m，b的值； （2）求△的面积． 【答案】（1）；（2）8 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入即可求出的值，再将点坐标代入，即可得到的值； （2）求出、的坐标即可求出三角形的面积． 解：（1）解：由条件可知， ， ， 将点坐标代入， 得：， ； （2）解：由（1）可知：， 当时，，， ，， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点为直线上一点，若的面积是面积的倍，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或． 【分析】本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式，三角形面积问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）待定系数法求出解析式即可； （）由（）得，直线的解析式为：，设点的坐标为，根据题意得，然后分当在轴上方时，当在轴下方时两种情况分析即可． 解：（1）解：∵点在直线上， ∴，解得， ∴， ∵点，在直线上， ∴，解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：由（）得，直线的解析式为：，设点的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 由的面积是面积的倍， ∴， 如图，当在轴上方时， ∴， ∵，解得：， ∴点的坐标为； 如图，当在轴下方时， ∴， ∵，解得：， ∴点的坐标为； ∴点的坐标为或． 【★★题型六】一次函数的简单应用——方案问题 【解题步骤】 （1）梳理题干信息，确定变量与方案； （2）分别建立各方案的一次函数关系式； （3）分析约束条件，确定自变量取值范围； （4）比较各方案函数，选择最优方案； （5）验证结果，规范作答. 【例题6】（根据浙教版八上184页作业题第5题改编）暑假期间，4名教师计划带领若干名学生外出旅游，他们联系了报价均为每人2000元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：教师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：4名教师全额收费，学生按七折收费． （1）设这4名教师带领x名学生去旅游，选择甲旅行社的总费用为（元），选择乙旅行社的总费用为（元），请分别写出，与x之间的函数表达式． （2）试问本次旅游应选择哪一家旅行社更合算？ 【答案】（1），；（2）当时，选择甲旅行社更合算，当时，选择甲、乙旅行社都一样，当时，选择乙旅行社更合算 【分析】（1）根据题意，列一次函数解析式； （2）利用一次函数比较进行方案选择． 解：（1）①选择甲旅行社：， ②选择乙旅行社：． （2）由（1）可得， 当时，，选择甲旅行社更合算， 当时，，选择甲、乙旅行社都一样， 当时，，选择乙旅行社更合算． 【点拨】本题考查了一次函数的实际应用问题，能够根据题意正确列出一次函数的解析式，并运用一次函数的性质进行问题分析是解决本题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买每人元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在千克以内（包含千克）按原价收费，超过千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． （1）当采摘量超过千克时，分别求出，与之间的函数关系式； （2）当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ （3）若采摘量为千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】（1），；（2）当采摘千克或千克时，两种方案的价格相同；（3）选择乙方案更划算，理由见分析 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，包括函数关系式的建立、方程求解以及方案优劣比较，熟练掌握一次函数的性质和方程思想是解答本题的关键． （1）根据甲、乙方案的收费规则，结合费用构成，分别推导采摘量超过千克时，与之间的函数关系式； （2）分采摘量不超过千克和超过千克两种情况，通过建立方程求解两种方案价格相同时的采摘量； （3）将采摘量代入两个函数关系式，计算出各自的总费用，通过比较费用大小确定更划算的方案． 解：（1）解：当采摘量超过千克时，， 根据题意，得 ． （2）解：当时， 令，则，解得 当时，令，则，解得 答：当采摘千克或千克时，两种方案的价格相同． （3）解：选择乙方案更划算．理由如下： 当时，， 因为，所以选择乙方案更划算． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变） （1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【答案】（1）A种树苗每棵40元，B种树苗每棵10元；（2），当购买A种树苗14棵、B种树苗28棵时，总费用最少，为840元 【分析】此题考查的是二元一次方程组的应用和一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用一次函数的增减性求最值是解题关键． （1）设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，根据题意，列出二元一次方程组即可求出结论； （2）根据题意，即可求出W与t的函数关系式，然后根据题意求出t的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出结论． 解：（1）解：设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元， 根据题意得，， 解得， 答：A种树苗每棵40元，B种树苗每棵10元； （2）解：设购买A种树苗t棵，则B种树苗为棵， ∴由题意得，总费用 ， ∵B种数量不超过A种的2倍， ∴ 解得， ∵在中，， ∴W随t的增大而增大， ∴t取最小值14时，总费用最低， ∴此时B种树苗数量：棵， ∴总费用元． 【★★题型七】一次函数的实际应用——选择实惠的手机套餐 【解题步骤】 （1）梳理梯度规则，划分区间； （2）分段建立一次函数关系式； （3）判断问题所属区间，代入求解； （4）验证结果，规范作答。 【例题7】（根据浙教版八上189页综合实践活动选择实惠的手机套餐改编）（24-25八年级上·北京·期末）春节期间，某移动公司推出三种手机流量套餐的优惠方案，具体如下表所示： 每月基本 费用（元） 每月免费 使用流量（） 超出流量 每收费（元） 套餐 20 10 套餐 56 30 套餐 188 无限 其中，，，三种套餐每月所需的费用、、（元）与每月使用的流量之间的函数关系如图所示． （1）写出表中的值_________； （2）在套餐中，若每月使用的流量不少于，直接写出每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式___________； （3）如果从节省费用的角度考虑，根据图象与表达式可知：当且时，每月使用的流量的取值范围是__________． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及求一次函数表达式、由函数图象解不等式等知识，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由（元）与每月使用的流量之间的函数图象可知，当流量从增加到时，费用从增加到，列式计算可得的值； （2）由超出流量每收费3元，可得出，化简即可得到每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式； （3）先求出套餐每月使用的流量不少于，每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式，再求出当套餐的收费等于套餐收费时的值，结合图象可得答案． 解：（1）解：由（元）与每月使用的流量之间的函数图象可知，当流量从增加到时，费用从增加到，则超出流量每收费， ∴， 故答案为：3； （2）解：由（1）知，在套餐中，若每月使用的流量不少于，超出流量每收费3元， ∴， ∴每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式为， 故答案为：； （3）解：由（1）知，在套餐中，若每月使用的流量不少于，超出流量每收费3元， ∴， 当套餐的收费等于套餐收费时，， 解得， ∴结合函数图象知，当且时，每月使用的流量的取值范围是， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）通讯公司有两种套餐供客户选择．套餐A：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是元；套餐B：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是元．小刚设套餐A的费用为（元），套餐B的费用为（元），通话时间为x（分钟）， （1）请直接写出（元）与x（分）之间的关系式为______，（元）与x（分）之间的关系式为______． （2）当通话时间为______分钟时，两种套餐费用相同，都是______元． （3）小刚父母都选了套餐B，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表， 9月话费（元） 10月话费（元） 11月话费（元） 小刚父亲 72 75 78 小刚母亲 38 42 28 根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由． 【答案】（1），；（2）；45；（3）小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱；理由见分析 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出y与x之间的关系式． （1）根据套餐每月的话费为月租加上通话费，套餐每月的话费为通话费，列出关系式即可． （2）根据两种套餐费用相同，列出关于的方程，求解即可． （3）根据关系式，列出当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时的不等式，解出通话时间小于分钟时，套餐更省钱，再结合小刚的父母的消费情况，列式计算其通话时间进行比较，即可解题． 解：（1）解：由题知，，． （2）解：因为两种套餐费用相同，所以， 解得：， （元）， 答：当通话时间为分钟时，两种套餐费用相同，且两种费用都是45元． （3）解：当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时， 有，解得，即如果通话时间小于分钟时，选套餐更省钱． 小刚父亲：当时，有，解得， 小刚父亲每月最低通话时间为分钟，即通话时间大于分钟， 选套餐不省钱． 小刚母亲：当时，有，解得， 小刚母亲每月最高通话时间为分钟，即通话时间小于分钟， 选套餐省钱． 综上所述，根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）为响应“节能”“环保”“减排”号召，张明家购买了一台电动汽车，需要申请加装电表，有两种电表可供选择：一种是普通电表，一种是峰谷分时计费电表． 该市居民用电的收费标准（注：峰段8：00～22：00，谷段：22：00～次日8：00）： 计费档 户年用电量 普通电价/[元/] 峰谷电价/[元/] 峰段电价 谷段电价 第一档 0.53 0.56 0.28 第二档 0.58 0.61 0.33 第三档 0.83 0.86 0.58 （1）张明的朋友李斌家去年总用电量为，峰段用电量为，哪种计费方式电费较少？为什么？ （2）截至今年9月底，李斌家的用电量已经超过，已知李斌家10月共用电，峰段用电量为（单位：），写出峰谷计费方式的电费（单位：元）与之间的关系式？并计算李斌家10月峰段用电量为多少时，两种计费方式相同？ （3）张明通过调查发现：安装哪种电表，取决于峰段用电量占总用电量的比值，比值越大，越适合安装普通电表，否则，安装峰谷计费电表．若张明家年用电量为，峰段用电量与总用电量的比值为．请你直接写出张明安装电表的方案． 【答案】（1）选择普通电表电费较少，理由见分析；（2），用电量为时，两种计费方式相同；（3）当时，选择安装普通计费电表；当时，两种电表的费用相同；当时，选择安装峰谷计费电表． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据计价表可直接进行求解； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设峰段电量为，谷段为，然后分类进行求解即可． 解：（1）解：普通电表：（元）， 峰谷计费：（元）， ， 因此，选择普通电表电费较少． （2）解：， ， 解得， 因此，小明家月峰段用电量为时，两种计费方式相同． （3）解：设峰段电量为，谷段为， 分档讨论： ①第一档（）：普通电费， 峰谷电费， 令相等得， 解得：， 当时，选普通电表； 当时，选峰谷电表； ②第二档（）：普通电费， 峰谷电费， 令相等得， 解得：， 当时，选普通电表； 当时，选峰谷电表； ③第三档（）：普通电费， 峰谷电费， 令相等得， 解得：， 当时，选普通电表； 当时，选峰谷电表， 综上，当时，选择安装普通计费电表；当时，两种电表的费用相同；当时，选择安装峰谷计费电表． 【★★题型八】一次函数的实际应用——几何问题 【解题步骤】 一次函数与几何结合的核心是：通过建立平面直角坐标系，将几何图形（线段、三角形、四边形等）的顶点、边转化为一次函数表达式（直线方程），利用函数性质如斜率、截距、交点等解决几何问题，如求边长、面积、点的坐标、图形位置关系。解题关键是几何问题转化为平面直角坐标系为背景的函数问题，进而代数求解转化为几何问题。 【例题8】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中， ，点 E，F 分别在边 上，且 ，连接相交于点 P ，则 的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查将几何问题代数化的解决方式，一次函数，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．建立适当的平面直角坐标系，得出，即可求的解析式，联立求得P点坐标，用勾股定理即可求长 解：∵，， ∴， 建立如图所示的平面直角坐标系， ∴ 设的解析式为，代入， ，解得， ∴解析式为， 设的解析式为，代入， ， 解得， ∴解析式为， 联立， 解得， ∴， 作轴， 由勾股定理得，． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，最短路径问题，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键． 作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则，可得当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长，再求出直线的解析式，即可求解． 解：如图，作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则， ∴， 即当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长， ∵、， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点． 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，，，，点D为线段上的一个点，点E是线段上一点，若点C和点E关于所在直线对称，则D点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，平面直角坐标系的坐标运算，待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点的求解．求出直线、的解析式是解题的关键． 根据勾股定理求出，结合点C和点E关于所在直线对称得出，进而得出点坐标，再求出中点坐标并结合点坐标求出直线解析式，然后再利用点、点坐标求出直线解析式，联立两条直线解析式求出的交点坐标即为点． 解：在中，根据勾股定理， 得， 点C和点E关于所在直线对称， 是的垂直平分线 ， 又点E是线段（轴）上一点， ， 的中点坐标为， 设直线的解析式为，将的中点坐标和分别代入， 得到， 解得， 直线的解析式为． 设直线的解析式为，将，，分别代入， 得到， 解得， 直线的解析式为． 联立直线与直线的解析式， 得到， 解得． D点的坐标为． 故答案为：． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解是． 故选：C． 2．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）已知直线与的交点坐标是，则关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的交点坐标就是函数解析式组成的二元一次方程组的解．根据题意求出两直线交点坐标，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 解：∵直线和的交点坐标为， ∴， ∴交点坐标为， ∴关于的二元一次方程组即的解为， 故选：D． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，将直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，直线分别与轴、轴交于点、，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移及性质，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键；由题意易得的解析式为，然后分别得出直线与x轴、y轴的交点坐标，进而问题可求解． 解：由直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，可知：的解析式为， ∴令时，则，解得：； 令时，则， ∴， ∴， ∴； 故选A． 4．（12-13八年级下·浙江·开学考试）甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为．他们行进的路程与乙出发后的时间之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到地 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像和性质． 根据图像信息分析结论即可． 解：A．由图像可判断，甲一小时走了，故甲的速度是，选项不符合题意． B．由图像可判断，乙4小时走了，故乙的速度是,选项符合题意． C．由图像可判断，乙先出发1小时，选项不符合题意． D．由图像可判断，乙比甲晚到地，选项不符合题意． 故选：B． 5．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）如图，点A、D分别在直线和上，轴，B、C都在x轴上，且四边形是长方形，已知点B的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征． 根据函数解析式求出点D坐标即可． 解：在中，当时，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴点D的纵坐标为3， 在中，当时，， ∴． 故选：D． 6．（25-26八年级上·山西晋中·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用。小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如表是小明记录的部分数据，当时间为时，对应的高度为（   ） … 0 1 2 … … 2 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 设水位是时间的一次函数解析式为，根据表格代入数据解方程组即可求出解析式，将代入即可求解． 解：设水位是时间的一次函数解析式为， 根据表格得，解得， 一次函数解析式为， 当时，． 故选：B． 二、填空题 7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积，根据即可求解． 解：，， ，． 直线与坐标轴围成的三角形面积为6， ，即 ． 解得． 故答案为：． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数（k，b为常数，）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，由一次函数经过得出当时，，即可求解． 解：由图象得， 一次函数经过， 当时，， 方程的解为， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出的值，进而得到点的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知蜡烛点燃后剩余的蜡烛长度（单位：cm）与燃烧时间（单位：min）之间的关系式为，则15的实际意义是 ． 【答案】蜡烛燃烧前的长度 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据一次函数的定义，常数项表示当自变量为零时的函数值，即燃烧时间为0时的蜡烛长度． 解：在关系式中，令，得， 这表示蜡烛在点燃前（燃烧时间为0时）的长度为，因此15的实际意义是蜡烛的初始长度． 故答案为：蜡烛燃烧前的长度． 11．（24-25九年级上·全国·期末）周末，小颖与小万相约爬山，两人同时从同一地点驾车出发沿相同路线行驶，小颖驾车行驶20千米后，休息了15分钟后继续朝目的地出发，如图表示的是小颖和小万分别距离目的地的距离s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系，两人出发后第二次相遇是在出发 分钟后． 【答案】60 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用．分别求出直线和的解析式，然后联立两函数解析式，即可求解． 解：根据题意得：点，， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：， 所以两人出发后第二次相遇是在出发1小时，即60分钟后． 故答案为：60 12．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点M、则线段的长 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，作，由题意得,；证，得，推出，设，则,根据，即可求解； 解：作，如图所示：    令，则；令，则； ∴,； ∵平分，且， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则, ∵， ∴，解得：； ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题 13．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）某学校八（2）班图书角有本图书，若该班每名学生借阅6本图书． （1）求余下图书数量（本）与该班学生人数之间的关系式； （2）试判断（1）中是的一次函数吗？若是，说明和的值及实际意义，若不是说明理由． 【答案】（1）；（2）是，见分析 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，其他问题（一次函数的实际应用），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题中的数量关系列出函数关系式； （2）根据（1）中的函数关系式判断，再说明和的值及实际意义． 解：（1）解：∵学校八（2）班图书角有本图书，该班每名学生借阅6本图书， ∴余下图书数量（本）与该班学生人数之间的关系式为； （2）（1）中的函数关系式是的一次函数， ，， 表示每增加一名学生，余下图书减少6本，表示原来的图书为本． 14．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，已知直线与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）点为直线上一动点，若有，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何图形，一次函数与一元一次方程， （1）将点代入直线，可得答案； （2）先根据一次函数与坐标轴的交点可得，进而求出，再求出，结合题意可得，然后设，根据面积相等得出答案． 解：（1）解：点在直线上， ∴，解得， 即； （2）解：直线与轴交于点， 将代入得， 解得， ，即； 又， ∴， ， ． 又， ， 设 ． ， 解得或， 或． 15．（2022·广东中山·三模）某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． （1）、两款保温杯销售单价各是多少元？ （2）由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元；（2）购进款保温杯40个，款保温杯80个，最大利润是1600元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元，根据用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同，进行列式计算，即可作答． （2）先理解款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，得出，解得，因为款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，进行列式化简得，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 解：（1）解：设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元， 依题意，得 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元） 答：款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； （2）解：设这批保温杯的销售利润是元，购进款保温杯个，则购进款保温杯个， 款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半， ． 解得， 依题意，得． ， 随的增大而减小． 时，取最大值，最大值是（元）． 此时， 答：购进款保温杯40个，款保温杯80个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1600元． 16．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），过作轴交线段于点，使，设点的横坐标为． （1）求点、点的坐标； （2）如图2，当时，求的值； （3）如图3，连接，，在点运动的过程中，当时，的值为___________． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． （1）分别令、代入一次函数中计算求解即可； （2）根据题意得出，进而得到，根据列方程计算求解即可； （3）过点作于点，结合图象表示出，根据直角三角形面积公式，列出方程计算求解即可． 解：（1）解：一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 令得，，解得，则点的坐标为， 令得，，则点的坐标为， 答：点、点的坐标为，； （2）解：根据题意得，点的横坐标为，则 当时， 则、 因此 由得： 解得， 答：的值为； （3）解：过点作于点，如图： 则 由于 则 即 解得： 故答案为：． 【★★巩固提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（    ） A．直线与y轴交点的坐标是 B．直线经过第一、三、四象限 C．与坐标轴围成的三角形面积为6 D．直线过点 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点、一次函数的图象与性质、一次函数的几何问题，把代入求得即可判断选项A；利用一次函数的图象与性质即可判断选项B；利用三角形的面积公式求解即可判断选项C；将代入计算即可判断选D． 解：A、∵当时，， ∴直线与y轴交点的坐标是，正确； B、∵，， ∴直线经过第一、三、四象限，正确； C、直线与y轴交点的坐标是， 当时，， ∴， ∴直线与x轴交点的坐标为， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为：，正确； D、当时，， ∴直线不过点，故不正确； 故选：D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．一辆以电能作为动力来源的新能源汽车剩余的电量百分比与已行驶的路程的对应关系如图所示，当所剩电量百分比为时，该车已行驶的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，再把代入计算即可． 解：设y与x之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得， ∴， 当时，即， 解得， 即当所剩电量百分比为时，该车已行驶的路程为384千米． 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，确定分段函数的解析式，并根据函数解析式确定函数图象是解题关键．分别求出慢车到达地、快车到达地、两车相遇时间，然后分、、三段求出函数关系式，再结合函数图象即可求解． 解：根据题意得：慢车从地到地所用时间为（小时）， 快车从地到地所用时间为（小时）， 两车同时出发，相遇时慢车所用时间为（小时）． 当时，﹔ 当时，； 当时，快车已到地，； 故选：C． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．当时， C．的面积是4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 解：A、一次函数中，即y随x的增大而减小，故原说法错误，不符合题意； B、当时，，即一次函数与x轴交点坐标为， 当时，，故原说法错误，不符合题意； C、当时，，即一次函数与y轴交点坐标为，即， 当时，，即一次函数与x轴交点坐标为，即， ，故原说法正确，符合题意； D、一次函数与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ，， 若，则， 不成立，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，，轴，交轴于点，交直线于点．点在线段上，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理等，掌握相关知识是解题的关键．先求出点的坐标，由此求出点坐标，的长度，再得到的长度，通过勾股定理得到的长，设，则，利用勾股定理求出的值即可． 解：一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ， ， ，， 将代入，得：， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，已知直线，过轴上的点分别作垂直于轴的直线交于点，将、四边形、四边形的面积依次记为，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及找规律，根据一次函数图象上点的坐标特征以及，从而确定面积的变化规律是解决问题的关键． 根据直线，以及三角形的面积可以得到、四边形的面积，根据数的变化找出变化规律为：，即可得到答案． 解：如图所示： 、直线， ，则； 、直线， ，则； 、直线， ，则； 、直线， ，则； ， 故选：C． 二、填空题 7．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数．若一次函数过点，则一次函数与它的交换函数和y轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了新定义以及一次函数的图象和性质，正确理解新定义是解题的关键．根据点在函数上，可求出k的值，进而得到原函数和交换函数的解析式．再求两函数与y轴的交点坐标及两函数的交点坐标，最后利用三角形面积公式计算面积． 解：∵一次函数过点，代入得，解得． ∴原函数为，其交换函数为． ，令时，，∴点． ，令时，，∴点． 联立方程，解得 ∴点， ∴． ∵点A和点B在y轴上，线段的长度为． 因此，三角形面积为． 故答案为：4． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数（a为常数）． ①一次函数的图象一定经过点A，点A的坐标为 ； ②已知，，若一次函数的图象与线段有交点，则a的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】该题考查了一次函数的图象和性质，①通过变形函数解析式，令含a的系数为零，求得定点坐标；②先根据一次函数定义确定，再将点，分别代入函数解析式，结合函数性质即可得到a的取值范围． 解：①， 当时，， 故一次函数的图象一定经过点． 故答案为：． ②∵是一次函数， ∴， 当点在一次函数图象上时，，解得：， 当点在一次函数图象上时，，解得：， ∵一次函数的图象与线段有交点， ∴且． 故答案为：且． 9．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，，点是坐标轴上一点，且是直角三角形，满足这样条件的点有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数与动点问题，准确分析求解是解题的关键． 根据已知条件求出一次函数解析式，当点在轴上，设，则根据和两种情况讨论，当点在轴上，设，当时求解即可． 解：，点在轴的负半轴， ， 直线过点， ， ， ， ， 当点在轴上， 当，点与原点重合，； 当，设， ，，， ，，， ， 解得：， ； 当点在轴上， 当，设， ，，， ，，， ， ， ； 符合条件的点的坐标是或或，有个； 故答案是：． 10．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点，点，直线，若A、B两点到直线l的距离相等，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数与几何等知识点． 分两种情况讨论，当点位于直线l的两侧，直线l交于点，通过证明进行求解；当点位于直线l的同侧，此时，那么根据一次函数的相同求解． 解：当点位于直线l的两侧，直线l交于点，如图： 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， 将代入，则， 解得； 当点位于直线l的同侧，此时， 设直线，则代入点，点， ， 解得， ∴， 故的值为或 故答案为：或． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）某社团新型小车直道竞速（匀速）稳定性测试时，甲、乙均从地出发至地，甲先出发3秒后乙才出发，最终甲先到达地．如图，轴代表甲出发的时间，轴代表两人之间的距离，则甲到达地时，乙距离地还有 米． 【答案】620 【分析】本题考查一次函数的实际应用，由甲3秒行驶180米，可得甲的速度；由甲出发13秒后两人相距380米，可得乙的速度；首先求出两地的距离，再根据乙的速度和运动时间可得乙距离地的距离． 解：∵甲3秒行驶180米， ∴甲的速度为（米／秒）； （米／秒） ∴乙的速度为（米／秒）； （米），（米）， （米） 即甲到达地时，乙距离地还有620米， 故答案为：620． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径画弧交于点C和点D，直线交x轴于点E，点P是直线上一动点，连接和，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与尺规作图、勾股定理及一次函数的图象与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质与尺规作图、勾股定理及一次函数的图象与性质是解题的关键；连接，由线段垂直平分线的性质可知，则有，要使的值最小，即的值最小，所以当点A、B、P三点共线时，的值最小，最小值为线段的长，然后根据勾股定理可进行求解． 解：连接，如图所示： 由题意可知：垂直平分， ∴， ∴， 要使的值最小，即的值最小，所以当点A、B、P三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 由一次函数可令时，则有，令时，则有， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“獨宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． （1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ （2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ （3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元；（2）方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；（3）方案一需要的资金最少，最少资金是2160元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 解：（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 14．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图；在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）若点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q，若，求t的值． 【答案】（1）；（2）4；（3）3 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可； （3）先根据题意得，，再根据，得，解方程即可． 解：（1）解：∵直线与相交于点， ∴， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，， ∴， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q， ∴，， ∵，， ∴， 解得． 【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． 15．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． （1）两地相距______，快车返回时速度为______； （2）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； （3）慢车出发多长时间后，两车相距． 【答案】（1）330；100；（2）2.8；（3）或 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式、一元一次方程的应用，读懂函数图象获取必要的信息是解题的关键． （1）根据图象求出快车和慢车的速度差，结合慢车的速度为，求出快车的速度，再利用公式：路程速度时间，求出两地的距离；设快车返回时速度为，根据图象的信息列出方程，求出的值即可解答； （2）计算出两车相遇时慢车行驶的距离，再用此时的距离除以快车返回的速度即可求解； （3）根据图象可知两车有2次相距的情况，故分2种情况并利用一次函数的知识求解即可． 解：（1）解：由图可得，快车和慢车的速度差为， ∵慢车的速度为， ∴快车的速度为， ∴两地相距； ， 设快车返回时速度为， 则， 解得， ∴快车返回时速度为； 故答案为：330；100； （2）解：两车相遇时，慢车行驶的距离为， ∴快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需时间为， 故答案为：2.8； （3）解：两车第一次相距时，慢车出发时间为； 快车到达乙地卸装货物结束时，和慢车的距离为， ∴点的坐标为， 设线段的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴线段的解析式为， 令，则， 解得， ∴当慢车出发后，两车第二次相距； 答：慢车出发或后，两车相距． 16．（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量（） 单价（元） 第一档 3.5 第二档 5.0 第三档 6.5 （1）当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是1020元，求该户去年一年的用水量． 【答案】（1）；（2）该户这一年的水费是920元；（3）该户去年一年的用水量是 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用水量处于第二档，列出方程求解即可． 解：（1）解：当时，第一档的水费为元，超过部分的水量为，这部分按单价5元计费． 所以水费，化简可得：， 即当时，与之间的关系式为； （2）解：因为，将代入可得： （元）， 所以该户这一年的水费是920元； （3）解：当时，代入可得： （元）， 因为， 所以该用户用水量在第二档，即． 将代入，可得， 解得． 所以该户去年一年的用水量是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $