5.2 一次函数的意义（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦一次函数与正比例函数的定义、解析式形式及从属关系，通过概念辨析、参数求解、待定系数法构建知识脉络，以定义对比表格、易错提醒和分层题型为学习支架，帮助学生系统掌握判定与应用。 资料以结构化设计突出亮点，通过“随学随练”“活学活用”等环节培养抽象能力和推理意识，结合实际情境题（如音乐音量与声压级）发展模型意识。课中题型贴士辅助教师精准教学，课后分层练习助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第五章 一次函数 5.2 一次函数的意义 课标要点 1.理解一次函数、正比例函数的定义，掌握两种函数的一般解析式形式。 2.明确正比例函数与一次函数的包含关系，能准确区分、辨别两类函数。 3.能根据定义判断函数是否为一次函数或正比例函数，会利用定义求参数的值。 4.能结合简单实际情境列一次函数解析式，初步感知一次函数模型。 学习重难点 重点： 1.掌握一次函数、正比例函数的定义与一般形式； 2.准确辨析一次函数与正比例函数； 3.根据定义判定函数类型、求解参数。 难点： 1.理解一次函数中k≠0、b为任意常数的限定条件； 2.区分含参数式子的函数类型，规避参数取值遗漏条件； 3.结合实际情境正确列出一次函数关系式。 知识点 一次函数的概念 1. 一次函数：一般地，函数y＝kx+b（k、b都是常数，且k≠0），叫作一次函数。 2. 正比例函数：形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫作正比例函数，其中k叫做比例系数。 易错提醒 1）忽略前提，时变为常函数，不再是一次函数； 2）自变量在分母、根号内的式子不是一次函数； 3）误认为一次函数就是正比例函数，混淆包含关系； 4）误判化简后式子，只看原式不看最简形式。 随学随练 1．（25-26八年级下·广西南宁·期末）下列四个函数中是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．若y关于x的函数是正比例函数，则m的值为（     ） A． B．5 C． D．0 知识点 待定系数法求解析式（重点） 1.待定系数法求解析式的步骤： ①设所求的一次函数表达式为y＝kx+b，其中k，b是待确定的常数，k≠0； ②把两对已知的自变量与对应的函数值分别代入y＝kx+b，得到关于k，b的二元一次方程组； ③解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值； ④把求得的k，b的值代入y＝kx+b，就得到所求的一次函数表达式。 这种求函数表达式的方法叫作待定系数法。 易错提醒 1）设式错误，求正比例函数多设，或一次函数漏写； 2）代入坐标时横纵坐标代反； 3）解方程计算出错，符号正负混乱； 4）求出系数后不回代、不写最终解析式； 5）忽略题目隐含条件限制。 随学随练 1．（25-26八年级下·湖北·期末）已知一次函数，当时，；当时，．求一次函数的解析式． 2．（2026·新疆和田·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和，求k、b的值． 拓展 一次函数与正比例函数从属及概念对比 对比维度 一次函数 正比例函数 解析式形式 （k、b为常数，） （k为常数，） 参数取值 k不为0，b可取任意常数 k不为0 从属关系 通用函数，包含正比例函数 特殊的一次函数（常数项为0） 函数特征 变量为一次整式，存在常数项 变量为一次整式，无常数项，图象必过原点 活学活用 1．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若与x成正比例，则y是x的（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不存在函数关系 3．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D．（，是常数） 拓展 易错点归纳 1. 参数取值易错：无论是一次函数还是正比例函数，k≠0是硬性前提，若k=0，式子变为常函数，不再是一次函数。 2. 概念判定易错：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当一次函数中时，才为正比例函数。 3. 解题条件易错：待定系数法求解析式必须有两组点坐标，仅有一组坐标无法解出两个参数，无法确定唯一函数。 4. 解析式形式易错：判定一次函数时，必须化简为标准整式形式，含分母、根号、负指数的式子，不属于一次函数。 活学活用 1．已知一次函数的图象经过点，下列也在一次函数的图象上的点是（     ） A． B． C． D． 2．已知与成正比例，当时，，则关于的函数解析式为________． 3．已知一次函数的图象如图所示，写出这个函数的表达式． 题型 一次函数与正比例函数的识别 解题贴士 1）形如y＝kx+b（k、b都是常数，且k≠0）是一次函数，y＝kx（k是常数，k≠0）是正比例函数； 2）只需化简式子，判断自变量次数为1、系数不为0即可识别。 ▌例1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各函数中表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·广西桂林·期中）有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型 根据正比例函数的定义求参数 解题贴士 根据正比例函数定义列双重条件：①自变量次数为1；②常数项为0；③比例系数，联立求解参数，舍去使的解。 ▌例1．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）若关于变量，的函数是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·福建莆田·期末）如果是关于x的正比例函数，则a的值是（     ） A．0 B． C． D．1 ▌对点练1-2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知是关于x的正比例函数，当时，y的值为______． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果函数是正比例函数，那么常数的值是___________． 题型 根据一次函数的定义求参数 解题贴士 紧扣一次函数定义：自变量次数为1，且一次项系数，常数项无限制；列方程求参数，剔除使系数为0的取值。 ▌例1．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． ▌例3．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 ▌对点练1-1．（25-26八年级下·河南信阳·期末）若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）当_____时，一次函数的图象经过原点． ▌对点练1-3．已知．当m，n满足条件____________时，是的一次函数；当m，n满足条件____________时，是的正比例函数． ▌对点练1-4．已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 题型 求一次函数自变量或函数值 解题贴士 已知自变量，直接代入解析式求；已知函数值，列一元一次方程求；存在取值范围时，舍去超出范围的解。 ▌例1．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一次函数，下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在函数中，当时，y的值为__________． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广西南宁·期末）若点在函数的图象上，则m的值是（    ） A．4 B．2 C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，，当时，y的值为（   ） A．6 B． C．9 D． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）若一次函数的图象过点，则________． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·云南昆明·期末）若点在直线上，则代数式的值是______． 题型 求一次函数解析式 解题贴士 易错：①正比例函数误设为，多此一举且易出错；②代点坐标时代错横、纵坐标；③两点坐标代入顺序混乱导致符号错误。 ▌例1．（25-26八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数的图象经过两点，求k、b的值． ▌例2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知：，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知y与成正比例，且它的图象经过点． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若点在此函数图象上，求点A的坐标． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知关于的一次函数的图象经过原点． (1)求该函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求a的值． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数的图象过点和点 (1)求一次函数解析式； (2)若点在此函数图象上，求代数式的值． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·湖南张家界·期末）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 基础通关 1．（25-26八年级下·河南焦作·期末）下列函数中，为正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各点中，在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期末）下面哪个点在函数的图象上（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）写出一个比例系数为具体数值的y关于x的正比例函数解析式：_______． 6．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若点在函数的图象上，则代数式的值是______． 7．（25-26七年级下·山东东营·期末）已知函数（是常数）是正比例函数，则_________． 8．（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数过点，则________． 9．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知是的一次函数，当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求函数的值． (3)当函数的值为时，求的值． 10．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知y与成正比例，且时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 11．（1）若函数是正比例函数，求m的值； （2）若函数是一次函数，求m的值． 素养提升 1．（25-26八年级下·山东德州·期末），是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 2．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）一次函数的图象经过，则的值是___________． 4．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）已知：是关于的一次函数，则________． 5．（25-26八年级下·山东临沂·期末）已知直线的图象经过点，，确定函数的解析式． 6．（25-26八年级下·上海·期末）已知y是的正比例函数，且当时，．求y与x之间的函数表达式． 7．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知一次函数的图象过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)判断点是否在这个一次函数的图象上，并说明理由． 8．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 迁移创新 1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）音乐是声音的艺术，其中蕴含着有趣的数学知识．已知在一定条件下，某型号钢琴的音量等级（单位：级）与输出声压级（单位：分贝）满足一次函数关系，设音量等级为x级（x为正整数，），输出声压级为y分贝．当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当音量等级调至10级时，此时的声压级为多少分贝？ 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个“数值转换机”，当输入的值时，通过不同的取值会得到对应的的值，表格中给出了几组的值以及对应的的值．    … … … … … … … … 根据以上信息，解答下列问题： (1)当时，求与之间的关系式． (2)当时，求输入的的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一次函数 5.2 一次函数的意义 课标要点 1.理解一次函数、正比例函数的定义，掌握两种函数的一般解析式形式。 2.明确正比例函数与一次函数的包含关系，能准确区分、辨别两类函数。 3.能根据定义判断函数是否为一次函数或正比例函数，会利用定义求参数的值。 4.能结合简单实际情境列一次函数解析式，初步感知一次函数模型。 学习重难点 重点： 1.掌握一次函数、正比例函数的定义与一般形式； 2.准确辨析一次函数与正比例函数； 3.根据定义判定函数类型、求解参数。 难点： 1.理解一次函数中k≠0、b为任意常数的限定条件； 2.区分含参数式子的函数类型，规避参数取值遗漏条件； 3.结合实际情境正确列出一次函数关系式。 知识点 一次函数的概念 1. 一次函数：一般地，函数y＝kx+b（k、b都是常数，且k≠0），叫作一次函数。 2. 正比例函数：形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫作正比例函数，其中k叫做比例系数。 易错提醒 1）忽略前提，时变为常函数，不再是一次函数； 2）自变量在分母、根号内的式子不是一次函数； 3）误认为一次函数就是正比例函数，混淆包含关系； 4）误判化简后式子，只看原式不看最简形式。 随学随练 1．（25-26八年级下·广西南宁·期末）下列四个函数中是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数的定义为：形如（，为常数，且）的函数叫做一次函数． 【详解】解：A、中，自变量的次数为，不符合一次函数定义； B、，符合的形式，其中，，满足，符合一次函数定义； C、不是整式形式，不符合一次函数定义； D、不是整式形式，不符合一次函数定义． 2．若y关于x的函数是正比例函数，则m的值为（     ） A． B．5 C． D．0 【答案】B 【分析】正比例函数要求常数项为0，且一次项系数不为0，据此列出条件计算即可得到的值． 【详解】解： 是正比例函数， ，， 解得， 解，得或， 综上可得，m的值为5． 知识点 待定系数法求解析式（重点） 1.待定系数法求解析式的步骤： ①设所求的一次函数表达式为y＝kx+b，其中k，b是待确定的常数，k≠0； ②把两对已知的自变量与对应的函数值分别代入y＝kx+b，得到关于k，b的二元一次方程组； ③解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值； ④把求得的k，b的值代入y＝kx+b，就得到所求的一次函数表达式。 这种求函数表达式的方法叫作待定系数法。 易错提醒 1）设式错误，求正比例函数多设，或一次函数漏写； 2）代入坐标时横纵坐标代反； 3）解方程计算出错，符号正负混乱； 4）求出系数后不回代、不写最终解析式； 5）忽略题目隐含条件限制。 随学随练 1．（25-26八年级下·湖北·期末）已知一次函数，当时，；当时，．求一次函数的解析式． 【答案】 【分析】将已知两对与的值代入一次函数解析式即可求出与的值． 【详解】把时，；时，分别代入中， 得：， 解得：， ∴一次函数解析式为． 2．（2026·新疆和田·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和，求k、b的值． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过点和， ∴， ∴． 拓展 一次函数与正比例函数从属及概念对比 对比维度 一次函数 正比例函数 解析式形式 （k、b为常数，） （k为常数，） 参数取值 k不为0，b可取任意常数 k不为0 从属关系 通用函数，包含正比例函数 特殊的一次函数（常数项为0） 函数特征 变量为一次整式，存在常数项 变量为一次整式，无常数项，图象必过原点 活学活用 1．下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】形如（是常数）的函数叫做一次函数，据此解答即可； 【详解】解：①，③，⑤均为一次函数； ②中的次数为，不是一次函数；④中的最高次数为，不是一次函数；综上，一次函数共有3个； 2．若与x成正比例，则y是x的（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不存在函数关系 【答案】B 【分析】根据正比例的定义列出关系式，整理后结合一次函数的定义判断函数类型． 【详解】解：∵与x成正比例， ∴设（，k为常数）， ∴， ∵，符合一次函数（，b为常数）的定义， ∴y是x的一次函数． 3．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D．（，是常数） 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，即，不是一次函数，故此选项不符合题意； B、，即，不是一次函数，故此选项不符合题意； C、，即，符合（，），是一次函数，故此选项符合题意； D、（，是常数），但未指定，当时，是常数函数，不是一次函数，因此不一定是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 拓展 易错点归纳 1. 参数取值易错：无论是一次函数还是正比例函数，k≠0是硬性前提，若k=0，式子变为常函数，不再是一次函数。 2. 概念判定易错：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当一次函数中时，才为正比例函数。 3. 解题条件易错：待定系数法求解析式必须有两组点坐标，仅有一组坐标无法解出两个参数，无法确定唯一函数。 4. 解析式形式易错：判定一次函数时，必须化简为标准整式形式，含分母、根号、负指数的式子，不属于一次函数。 活学活用 1．已知一次函数的图象经过点，下列也在一次函数的图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求参数确定函数解析式，再验证各选项的点是否满足解析式． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ，解得， 一次函数解析式为， 当时，，点在一次函数的图象上， 当时，，点不在一次函数的图象上， 当时，，点不在一次函数的图象上， 当时，，点不在一次函数的图象上． 2．已知与成正比例，当时，，则关于的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据与成正比例，设出函数解析式，再将已知的值代入求出比例系数，整理即可得到关于的函数解析式． 【详解】与成正比例， 设， 将,代入解析式得 ， 解得 ， 将代入所设解析式得， 故答案为 ． 3．已知一次函数的图象如图所示，写出这个函数的表达式． 【答案】 【详解】解：设这个一次函数的表达式为（）， 由图象可得，一次函数的图象经过点和点， 将两个点的坐标代入函数表达式，得， 解得：， 因此这个一次函数的表达式为． 题型 一次函数与正比例函数的识别 解题贴士 1）形如y＝kx+b（k、b都是常数，且k≠0）是一次函数，y＝kx（k是常数，k≠0）是正比例函数； 2）只需化简式子，判断自变量次数为1、系数不为0即可识别。 ▌例1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各函数中表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，只需根据正比例函数的定义，逐一判断各选项函数的形式即可得到结果． 【详解】解：根据定义，形如（为常数，且）的函数叫做关于的正比例函数， ∵ 是一次函数，常数项不为，不符合正比例函数定义，排除A； ∵ 是二次函数，的次数为，不符合定义，排除B； ∵ 是反比例函数，不符合定义，排除C； ∵ 符合的形式，且，满足正比例函数定义； ∴ 选D． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（，为常数，且）的函数为一次函数，逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A、，不是一次函数，不符合题意； B、中，不是一次函数，不符合题意； C、，符合的形式，其中，符合题意； D、未明确，若则不是一次函数，不符合题意． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的定义，一次函数的定义为形如（，为常数，，自变量次数为1）的函数，正比例函数是形如（为常数，）的函数，即常数项的一次函数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： 选项A中，自变量的次数为，不是一次函数，不符合要求； 选项B中，是正比例函数，不符合“不是正比例函数”的要求； 选项C中，符合一次函数定义，且常数项，因此是一次函数但不是正比例函数，符合要求； 选项D中，分母含有自变量，不是一次函数，不符合要求； 故选C． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·广西桂林·期中）有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】一次函数的定义为：形如（k，b为常数，）的函数叫做一次函数，当时，为正比例函数，是特殊的一次函数根据一次函数的定义形式，逐一判断各函数即可得到结果． 【详解】∵① 符合一次函数定义，是一次函数； ② ，符合一次函数定义，是一次函数； ③，是反比例函数，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④ 符合一次函数定义，是一次函数； ⑤中x的次数为2，是二次函数，不是一次函数； ∴一次函数共有3个． 题型 根据正比例函数的定义求参数 解题贴士 根据正比例函数定义列双重条件：①自变量次数为1；②常数项为0；③比例系数，联立求解参数，舍去使的解。 ▌例1．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）若关于变量，的函数是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】形如（为常数且）的函数是正比例函数，要求常数项为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴常数项满足， 解得． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·福建莆田·期末）如果是关于x的正比例函数，则a的值是（     ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据正比例函数的标准形式得到常数项为0，列方程求解a的值． 【详解】解：∵是关于x的正比例函数， ∴， 解得 ． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知是关于x的正比例函数，当时，y的值为______． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，解析式形如的函数是正比例函数，据此求出的值，得到函数解析式，再代入计算得到的值. 【详解】解：∵函数是关于的正比例函数 ∴且， 解得：， 当时，． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果函数是正比例函数，那么常数的值是___________． 【答案】2 【分析】正比例函数的解析式的形式为，先将题目给出的函数整理为一般形式，令常数项为0，且一次项系数不为0，即可求出的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴． 题型 根据一次函数的定义求参数 解题贴士 紧扣一次函数定义：自变量次数为1，且一次项系数，常数项无限制；列方程求参数，剔除使系数为0的取值。 ▌例1．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数定义，自变量x的系数不为0，据此列不等式即可求出m的取值范围． 【详解】解：由题意， 解得． ▌例2．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义可得的指数为1，且求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且 ∴． ▌例3．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）当函数是一次函数时，x的系数，次数求解即可； （2）根据正比例函数的定义，在满足（1）中一次函数关于的条件的同时，还需满足常数项为0，即，求解的值代入即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 解得，， ∴； （2）∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·河南信阳·期末）若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数要求自变量的次数为，且一次项系数不为，据此列出条件计算即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）当_____时，一次函数的图象经过原点． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，一次项系数不为，再结合函数图象经过原点，即原点坐标满足函数解析式，代入求解即可得到的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴将，代入函数解析式得， 解得：， ∵该函数为一次函数，一次项系数不能为， ， ∴， ． ▌对点练1-3．已知．当m，n满足条件____________时，是的一次函数；当m，n满足条件____________时，是的正比例函数． 【答案】 ，n为任意实数 【分析】本题主要考查了通过一次函数和正比例函数求参数，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的定义． 根据一次函数和正比例函数的定义，分别要求指数为1、系数不为零，且正比例函数还需常数项为零，进行求解即可． 【详解】解：①当函数为一次函数时，且系数为任意实数， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：，n为任意实数； ②当函数为正比例函数时，、系数，且常数项， 解得或（舍去），， ∴，， 故答案为：． ▌对点练1-4．已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1) (2)、 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识, （1）根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案； （2）根据正比例函数的定义可得且，且，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：由题意得且， 解，可得， ∴或， 解，可得， ∴当时函数是一次函数； （2）由题意得且，且， 解，可得， ∴或， 解，可得， 解，可得， 综上所述，当、时，函数是正比例函数． 题型 求一次函数自变量或函数值 解题贴士 已知自变量，直接代入解析式求；已知函数值，列一元一次方程求；存在取值范围时，舍去超出范围的解。 ▌例1．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一次函数，下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，若点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式计算出y值，和点的纵坐标对比即可得到答案. 【详解】将各选项坐标依次代入验证： 选项A，把代入得，，该点不在函数图象上； 选项B，把代入得，，该点不在函数图象上； 选项C，把代入得，，该点在函数图象上； 选项D，把代入得，，该点不在函数图象上． ▌例2．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在函数中，当时，y的值为__________． 【答案】5 【分析】将代入函数解析式计算即可得到的值. 【详解】解：把代入函数，得 . ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广西南宁·期末）若点在函数的图象上，则m的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点A的横坐标代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴将代入解析式，可得． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，，当时，y的值为（   ） A．6 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】先根据正比例函数定义设出函数解析式，再利用已知条件求出比例系数，最后代入x的值计算y即可． 【详解】解：∵y是x的正比例函数， ∴设函数解析式为， 将代入解析式得：， 解得， ∴函数解析式为， 当时，． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）若一次函数的图象过点，则________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将点代入一次函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：一次函数的图象过点， 将，代入得 计算得． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·云南昆明·期末）若点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：点在直线上， ， 移项得， ． 题型 求一次函数解析式 解题贴士 易错：①正比例函数误设为，多此一举且易出错；②代点坐标时代错横、纵坐标；③两点坐标代入顺序混乱导致符号错误。 ▌例1．（25-26八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数的图象经过两点，求k、b的值． 【答案】k、b的值分别为． 【分析】将两个点的坐标代入函数关系式得出二元一次方程组，再解方程组求出解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得， 即k、b的值分别为． ▌例2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知：，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知的、值代入中，求出的值，再将代回原式，整理得到与的函数关系式． （2）将点代入（1）中求得的函数关系式中，解关于的一元一次方程，求出的值． 【详解】（1）解：当，时， 解得， 将代入， ∴， 与之间的函数关系式为． （2）解：将点代入，得， 解得， 的值为． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知y与成正比例，且它的图象经过点． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若点在此函数图象上，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设正比例解析式，代入已知点求出系数，得到函数式即可； （2）把点的坐标代入函数式，解出，得到点的坐标 【详解】（1）解：设（）， 将，代入中， 可得：，即，解得， 则与之间的函数解析式为； （2）解：因为点在此函数图象上， 所以，解得， 所以点A的坐标为． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知关于的一次函数的图象经过原点． (1)求该函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征： （1）将代入求解即可； （2）将点代入（1）中求解的函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一次函数的图象经过原点， ∴将代入， 则， 解得 ∴该函数的表达式为； （2）解：若点在该函数图象上， 则， 解得． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数的图象过点和点 (1)求一次函数解析式； (2)若点在此函数图象上，求代数式的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）把点和点代入一次函数求解即可； （2）把点代入一次函数得到，即，等式两边同时平方得，即，进而得到，即可求出的值． 【详解】（1）解：把点和点代入一次函数中， 得：， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：把点代入一次函数中得， 移项得， 等式两边同时平方得， ， 等式两边同时平方得， ， ． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·湖南张家界·期末）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查正比例函数及一次函数． （1）根据题意用待定系数法设，代入即可； （2）将点代入即可得出的值； （3）将的临界值4与分别代入，即可得到的临界值，从而得到的取值范围． 【详解】（1）解：设， 当时，， ，解得， ， 与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知，与之间的函数解析式为， 把点代入，得， 解得； （3）解：由（2）知，当时，， 当时，， 解得， 当的取值范围为时，的取值范围为． 基础通关 1．（25-26八年级下·河南焦作·期末）下列函数中，为正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确正比例函数的定义，再逐一对照各选项的函数形式，判断符合定义的选项即可．正比例函数的定义为：形如（其中是不为的常数）的函数是正比例函数． 【详解】解：选项A：是反比例函数，不符合定义； 选项B：是一次函数，常数项不为，不符合正比例函数定义； 选项C：符合的形式，其中，符合正比例函数定义； 选项D：是二次函数，不符合定义． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（、是常数，且）的整式函数叫做一次函数，逐一判断选项． 【详解】解：选项A：中自变量的次数为2，是二次函数，不符合题意； 选项B：是反比例函数，不是整式函数，不符合题意； 选项C：符合一次函数的形式（，），是一次函数，符合题意； 选项D：不是自变量的一次整式，不属于一次函数，不符合题意． 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各点中，在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：当时，，故点不在该一次函数的图象上； 当时，，故点，点都不在该一次函数的图象上； 当时，，故点在该一次函数的图象上； 4．（25-26八年级下·山东临沂·期末）下面哪个点在函数的图象上（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项点的横坐标代入解析式计算，对比纵坐标即可判断． 【详解】∵ 函数解析式为，依次代入验证各选项： A、当时，，∴A错误； B、当时，，∴B错误； C、当时，，∴C错误； D、当时，，与点的纵坐标相等，∴D正确． 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）写出一个比例系数为具体数值的y关于x的正比例函数解析式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】形如（是不为0的常数）的函数是正比例函数． 【详解】解：由题意得，比例系数为不为的具体数值，取，代入得解析式． 6．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若点在函数的图象上，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将点代入函数解析式，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：点在函数的图象上， 将代入解析式得：， 整理得：， ∴， 代入得：． 7．（25-26七年级下·山东东营·期末）已知函数（是常数）是正比例函数，则_________． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，正比例函数的形式为，据此列出式子即可求解的值． 【详解】解：由正比例函数的定义得：且， 解方程得，即， 由得， 因此． 8．（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数过点，则________． 【答案】2 【详解】解：一次函数过点， ，解得． 9．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知是的一次函数，当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求函数的值． (3)当函数的值为时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式求解即可； （3）将代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， ∴这个一次函数的表达式为． （2）解：将代入函数得：． （3）解：将代入函数得：， 解得． 10．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知y与成正比例，且时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正比例的定义设出函数解析式，再用待定系数法求出未知系数得到y关于x的函数解析式； （2）将y的值代入解析式，通过解一元一次方程得到x的值． 【详解】（1） 解：由题意可设 把，代入得， 解得 ； （2）解：把代入得， 解得． 11．（1）若函数是正比例函数，求m的值； （2）若函数是一次函数，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的解析式分别为，． （1）根据正比例函数的解析式为得到，即可求解； （2）根据一次函数的解析式为得到且，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴； （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得． 素养提升 1．（25-26八年级下·山东德州·期末），是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】A 【分析】将点坐标代入函数解析式，化简后判断乘积的符号． 【详解】解：∵，是一次函数图象上不同的两点， ∴，， ∴， ∴， ∵A、B是不同两点， ∴， ∴， ∴， 即． 2．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 【答案】C 【分析】先根据按键操作列出关系式，依据函数定义可知是的函数，该式符合的一次函数形式，因存在常数项不是正比例函数，再将代入计算得，即可解答． 【详解】根据操作流程：输入，乘以，再减得到， ∴， A．对于任意一个，都有唯一确定的与之对应，所以是的函数，故本选项错误，不符合题意． B．正比例函数形式为（无常数项），而存在常数项，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意． C．符合一次函数标准形式，因此是的一次函数，故本选项正确，符合题意． D．将代入解析式：    ，故本选项错误，不符合题意． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）一次函数的图象经过，则的值是___________． 【答案】 【分析】一次函数图象经过已知点，则该点坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式，即可求解的值． 【详解】解：将代入，得：，解得：． 4．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）已知：是关于的一次函数，则________． 【答案】 【详解】解：由一次函数的定义得,解得． 5．（25-26八年级下·山东临沂·期末）已知直线的图象经过点，，确定函数的解析式． 【答案】 【分析】将两点坐标代入一次函数式得到二元一次方程组，用加减消元法求出、，然后回代写出解析式． 【详解】解：由题意知， 解得，， 故函数的解析式为． 6．（25-26八年级下·上海·期末）已知y是的正比例函数，且当时，．求y与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】先理解题意，设，再把，分别代入计算，得，故． 【详解】解：∵是的正比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 7．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知一次函数的图象过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)判断点是否在这个一次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 点不在这个一次函数的图象上，理由如下： 将代入，得 ， ∴点不在这个一次函数的图象上． 【分析】（1）利用待定系数法求解，先设出一次函数解析式，将已知两点坐标代入得到方程组，解方程组即可得到函数解析式； （2）将点的横坐标代入已求得的解析式，计算出对应的纵坐标，将计算结果与点的纵坐标比较，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴这个一次函数的解析式为． （2）略 8．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)的值为2，的值为3 (2) 【分析】（1）将两点坐标代入一次函数解析式，构建二元一次方程组，解方程组求出，； （2）先写出一次函数解析式，整理不等式，分、、三类讨论，结合的取值范围列不等式求解，合并得到的范围． 【详解】（1）解：函数的图象经过点和， ， 解得， 的值为2，的值为3； （2）由（1）可得，函数的解析式为：， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当时，，即， ∵当时，， ∴， 解得， ∵当时，， ∴， 解得， ∵当时，恒成立， ∴符合题意， 综上所述：． 迁移创新 1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）音乐是声音的艺术，其中蕴含着有趣的数学知识．已知在一定条件下，某型号钢琴的音量等级（单位：级）与输出声压级（单位：分贝）满足一次函数关系，设音量等级为x级（x为正整数，），输出声压级为y分贝．当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当音量等级调至10级时，此时的声压级为多少分贝？ 【答案】(1) (2)85分贝 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式； （2）将代入（1）中所求的函数解析式，即可求出对应的y值． 【详解】（1）解：设， 由题意知，当时，；当时，， 将其分别代入中，可得方程组： ，解得：， ∴y关于x的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，， 当时，将代入中， 可得（分贝）， ∴当音量等级调至10级时，此时的声压级为85分贝． 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个“数值转换机”，当输入的值时，通过不同的取值会得到对应的的值，表格中给出了几组的值以及对应的的值．    … … … … … … … … 根据以上信息，解答下列问题： (1)当时，求与之间的关系式． (2)当时，求输入的的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把、和、代入，用待定系数法求出、，即可得到一次函数的解析式； （2）把分别代入和，求出的值即可. 【详解】（1）解：根据题意，当时，，即， 当时，，即， 可得：， 解得：， 当时，与之间的关系式是； （2）解：若，则， 解得：，，符合题意； 若，则， 解得：，，符合题意； 综上所述，当时，输入的的值为或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $