专题 5.3 一次函数的意义（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版 八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.3 一次函数的意义 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】一次函数与正比例函数定义 1 【知识点二】待定系数法求一次函数的表达式 1 二．题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】正比例函数辨析 2 【要点归纳】 3 【★题型2】一次函数辨析 3 【★题型3】列一次函数表达式 4 【要点归纳】 6 【★题型4】已知自变量和因变量之间关系求一次函数的解析式 6 【★题型5】待定系数法求一次函数的解析式 8 （二）培优篇 9 【★题型6】待定系数法求一次函数的解析式并求值 9 【★★★题型7】通过几何性质求一次函数的解析式并求值 11 【★★★题型8】通过求一次函数的解析式解决阶梯式水电计算（分段函数） 16 三．同步练习​ 20 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 20 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 28 一.知识梳理 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】一次函数与正比例函数定义 一般地，函数（为常数，）叫作一次函数。当时，（为常数，）叫作正比例函数，常数k 作比例系数。 【知识点二】待定系数法求一次函数的表达式 一般地，若已知一次函数的两对自变量与对应的函数值,则可按以下步骤求这个一次函数的表达式： 1.设所求的一次函数表达式为（，是常数，≠0）； 2.把两对已知的自变量与对应的函数值分别代入，得到关于，的二元一次方程组； 3.解这个关于，的二元一次方程组，求出，的值； 4.把求得的，值代入，就得到所求的一次函数表达式，这种求函数表达式的方法叫作待定系数法。 二．题型精析 （一）基础篇 【★题型1】正比例函数辨析 【例题1】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知函数是关于的正比例函数，则的值为 【答案】1 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的形式为是解题的关键．根据正比例函数的定义解答即可． 解：根据题意得， 解得． 故答案为：1． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期中）下列函数中，属于正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握形式为是正比例函数成为解题的关键． 根据正比例函数的定义逐项判断即可． 解：正比例函数定义为 ，则 A．有常数项1，不是正比例函数，不符合题意； B．是反比例函数，不是正比例函数，不符合题意； C．符合形式，且 k = -3 ≠ 0，是正比例函数，符合题意； D．是二次函数，不是正比例函数，不符合题意． 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知与成正比例，当时，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义及函数表达式的求解，涉及的知识点是 “正比例关系的定义（若与成正比例，则，为非零常数）”“待定系数法求函数表达式”．解题方法是先根据正比例关系设出函数关系式，再代入已知的值求出比例系数，进而得到与的函数表达式；解题关键是正确根据 “与成正比例” 设出关系式，避免直接设与x的正比例关系．易错点是误将 “与成正比例” 理解为 “与成正比例”，导致关系式设错．解题思路为：根据正比例关系设，代入、求出，再整理得到与的函数表达式． 解：设， 将，代入得：， 即， 解得． 所以， 即， 整理得． 故答案为． 【要点归纳】 正比例函数的等价形式：（1）是的正比例函数；（2）（为常数，）。 【★题型2】一次函数辨析 【例题2】（25-26八年级上·河北保定·期中）是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义，x 的指数必须为 1 且系数不为 0，据此解答即可． 解：由一次函数的定义，得 解方程， ， 或 ． 当 时，，系数为 0，不符合一次函数定义， 当 时，，符合一次函数定义． 故答案为： ． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数．根据一次函数的定义，x的指数必须为1，且系数不为零求解即可．． 解：∵函数是关于x的一次函数， ∴，且， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）当为何值时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义，并列出关于m的方程．根据一次函数的定义列出关于m的方程进行求解即可． 解：由题意，得且， 解得：． 【★题型3】列一次函数表达式 【例题3】（25-26八年级上·广西梧州·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查列函数关系式．某地面温度为，且每升高1千米温度下降，据此列出温度与高度的关系． 解：∵某地面温度为，且每升高1千米温度下降， ∴距离地面h千米处的温度t为． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数，解题关键是找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数解析式． 解：设张白纸粘合后的总长度为， ∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， 可得 ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）兴平市境内有原始社会村落遗址7处，有国家、省、县三级文物保护单位40处，吸引了众多游客前去游玩．为了降低游客短时间的停车成本，某景区停车场根据车辆的停车时长采用分档计费的方式收费，下表是该停车场的收费标准： 计费档 停车时长 单价/（元/） 第一档 2 第二档 第三档 1 当时，停车费（单位：元）与之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查函数解析式，正确根据分段列式是解题的关键，根据分档计费标准，当停车时长在第二档（）时，停车费包括第一档的固定费用和第二档的超时费用，第一档3小时费用为6元，第二档对超过3小时的部分按元/小时计费． 解：当停车时长满足时， 第一档费用为（元），第二档费用为元， 因此总停车费 ， 故答案为：． 【要点归纳】 一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 【★题型4】已知自变量和因变量之间关系求一次函数的解析式 【例题4】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知与成正比例，且当时，． （1）求与的函数关系式； （2）若点在这个函数图象上，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上的点，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据题意设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把点代入函数解析式，进行求解即可． 解：（1）解：设， 把，代入，得，解得； ∴， ∴； （2）∵点在函数的图象上， ∴，解得． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知与成正比例，且当时， （1）求关于的函数表达式． （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式： （1）由与成正比例可设，再把时，代入求出的值即可． （2）把代入解析式解答即可． 【小题1】解：与成正比例， 设， 时，， ，解得， ，即； 【小题2】解：把代入． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，且当时，． （1）求与的函数关系式； （2）该函数经过一点，求出的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，求函数值，掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入（1）中函数关系式即可求解． 解：（1）解：与成正比例， ∴设， 将，代入，得， ∴ ∴，即； （2）解：∵函数经过一点， ， 解得． 【★题型5】待定系数法求一次函数的解析式 【例题5】（2026七年级下·全国·专题练习）已知华氏温度与摄氏温度满足．当时，；当时，．求，的值，并写出与间的关系式． 【答案】，，关系式为． 【分析】本题考查一次函数的待定系数法，通过已知点坐标求函数解析式中的参数是解题关键． 将两组、的值代入函数关系式，列二元一次方程组求解、的值． 解：华氏温度与摄氏温度满足， 当时，，代入， ， 当时，，代入， ， 联立， 解得，，代入， 得：． 答：，，关系式为． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期中）已知一次函数经过点和，求该一次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 将点和代入，求出、的值，得到一次函数的解析式即可． 解：将点和代入 ，得： 解得 因此，一次函数解析式为． 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）已知一次函数的图象过和两点． （1）求此一次函数的解析式； （2）若点在这个函数图象上，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了求一次函数解析式和求一次函数的自变量或函数值．熟练掌握求一次函数解析式和求一次函数的自变量或函数值是解题的关键． （1）设一次函数的解析式为，将和两点代入求解即可； （2）点满足函数解析式，将代入函数解析式计算即可． 解：（1）解：设一次函数的解析式为， 把和代入得，解得.， 所以此一次函数的解析式为； （2）把代得， 所以． （二）培优篇 【★题型6】待定系数法求一次函数的解析式并求值 【例题6】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数，其中与成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)若，求对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质． （1）根据正比例函数的定义得到，，则，然后利用待定系数法求与的函数关系式； （2）分别求出当、时的值，进而作答即可． （1）解：设，，则， 根据题意得， 解得， 所以与的函数关系式为； （2）解：当时，； 当时，； ∴． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求： (1)此一次函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）解不等式即可． （1）解：设一次函数解析式为， 把，；，分别代入得 ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， 即自变量x的取值范围为． 【变式2】（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点轴上的点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质，点的坐标．点关于y轴的对称点为，根据反射的性质得，反射光线所在直线过点和，求出直线的解析式为，再令即可求出C点的坐标． 解：∵点关于y轴的对称点为， ∴反射光线所在直线过点和， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 令，则， 解得， ∴点， 故答案为：． 【★★★题型7】通过几何性质求一次函数的解析式并求值 【例题7】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交于点，交轴于点． （1）求直线的表达式和点的坐标． （2）设点是轴上一动点，求的最小值． （3）以为腰在第一象限作等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】（1）直线的表达式为，点的坐标为；（2）；（3）点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理、轴对称的最短路径问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质的判定和性质，熟练掌握相关知识点，结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求出解析式即可，再把代入函数解析式求出点D的坐标即可； （2）作点是点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）分类讨论点C的位置，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质与判定即可求解． 解：（1）解：将和代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：如图，点是点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， ∴， 此时，的值最小，最小值为线段的长， 由勾股定理得， ∴的最小值为； （3）解：如图所示， 以为腰在第一象限作等腰直角三角形， 或， 当时，记等腰直角三角形为，作轴于点，则， ，， ，， ，即， ，， ， ，， ， ∴点； 当时，记等腰直角三角形为， 同理可得， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【变式1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，两点之间线段最短，设为平面一点，连接，，，，连接，，相交于点，则，，所以，当与和交点重合时，最小，求出解析式为，解析式为，联立，解得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：设为平面一点，连接，，，，连接，，相交于点，如图， ∴，， ∴， 当与和交点重合时，最小， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 联立，解得：， ∴， 故选：． 【变式2】如图所示，A，B两点的坐标分别是，，M是y轴上的一点，沿折叠，点B刚好落在x轴上点处，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质、待定系数法求函数解析式，方程思想等，掌握折叠的性质是解题的关键． 由折叠的性质可以得到，然后结合已知条件可以得到点的坐标； 设，用勾股定理列出关于未知数的方程，从而确定出M的坐标，设直线的解析式为，把点A的坐标和M点坐标代入可求出． 解：由折叠可知： A，B两点的坐标分别是，， ， ， ， 设，则， 在中， ， 解得， ， 设直线的解析式为， 把点A的坐标和M点坐标代入得：， 解得， ． 故答案为：． 【★★★题型8】通过求一次函数的解析式解决阶梯式水电计算（分段函数） 【例题8】（根据浙教版八上172设计题改编）为节约用水，某市居民生活用水按级收费，水价分三个等级：第一级为月用水量及以下（含）；第二级为月用水量超过，不到；第三级为月用水量及以上（含），如图是某住户收到的一张自来水总公司水费专用发票． 自来水总公司水费专用发票 发票联 计费日期：至 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量 （） 本期用水量（） 587 607 20 自来水费（含水资源费） 污水处理费 用水量 （） 单价 （元/） 金额（元） 用水量 （） 单价（元/） 金额（元） 阶梯一：17 1.75 29.75 阶梯二：3 2.3 6.9 17 0.45 7.65 3 0.6 1.8 本期实付金额（大写） 肆拾陆元壹角整￥46.10 注：（居民生活用水水价=自来水费+污水处理费） （1）若某用户的月用水量为，应付的水费为元，求关于的函数表达式； （2）若下个月份该用户收到的自来水发票实付金额为69.3元，则下个月份该用户的用水量为多少？ （3）根据该发票信息，你能计算月用水量超过时应付的水费吗？如果能，请计算月用水量超过时，应付的水费元与月用水量的函数表达式；如果不能，请你思考：通过哪些渠道可以获取信息，得到该用户水费的计算方式． 【答案】（1）；（2）；（3）不能，通过收集自来水总公司水费专用发票、询问自来水公司等途径获取信息，得到该用户水费的计算方式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一次函数的应用，读懂水费发票中的信息，正确建立函数表达式和方程是解题关键． （1）根据应付的水费等于自来水费加上污水处理费即可得； （2）设下个月份该用户的用水量为，先根据收费标准求出，再根据自来水发票实付金额建立方程，解方程即可得； （3）根据该发票信息，不知道阶梯三对应的自来水费和污水处理费的单价，所以不能计算月用水量超过时应付的水费；可以通过收集自来水总公司水费专用发票、询问自来水公司等途径获取信息． 解：（1）解：由题意得：， 所以关于的函数表达式为． （2）解：设下个月份该用户的用水量为， 因为，， 所以， 则， 解得， 答：下个月份该用户的用水量为． （3）解：因为根据该发票信息，不知道阶梯三对应的自来水费和污水处理费的单价， 所以不能计算月用水量超过时应付的水费， 通过收集自来水总公司水费专用发票、询问自来水公司等途径获取信息，得到该用户水费的计算方式． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是用户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价[元 第一档 第二档 第三档 根据以上提供信息解答下列问题： （1）当时，写出电费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户年用电量是，求该户这一年的电费； （3）某户去年一年的电费是1518元，求该户去年一年的用电量． 【答案】（1）；（2）2138元；（3）． 【分析】本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据题意得到户的用电量处于第三档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用电量处于第二档，代入（1）中关系式计算即可求解． 解：（1）解：； （2）解：（元） 答：该户这一年的电费2138元； （3）解：， ∵ ∴该户去年一年的电费属于第二档 设该户去年一年的用电量为 ， 解得：， 答：该户去年一年的用电量为． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价／（元／） 第一档 3 第二档 5 第三档 6 （1）当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是1130元，求该户去年一年的用水量． 【答案】（1）；（2）元；（3） 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，已知自变量求函数值，已知函数值求自变量的值，正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意直接写出水费与单价的关系式即可； （2）将代入（1）中所求得的解析式计算即可； （3）先判断该户居民的用水量，然后将代入解析式，求出即可． 解：（1）解：， ， 整理，得， 即； （2）将代入得， （元） 答：该户这一年的水费为元； （3）当用水量为，需交水费元， 当用水量为，需交水费（元）， ， ， 把代入得，， 解得, 答：该户去年一年的用水量为． 三．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（2025八年级上·上海·专题练习）下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数，根据一次函数和正比例函数的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：、，的次数为，不是一次函数，该选项不合题意； 、是一次函数但不是正比例函数，该选项符合题意； 、是正比例函数，该选项不合题意； 、中的次数为，不是一次函数，该选项不合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）下列各点在一次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，将每个点的横坐标代入函数解析式，计算对应的函数值，与对应点的纵坐标比较，判断点是否在图象上． 解：在中，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴四个点中，只有点在一次函数的图象上， 故选：C． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）一个正比例函数的图象经过点，则它的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，关键是将点的坐标代入解析式求解，设正比例函数解析式为，将点代入求出k的值． 解：设正比例函数解析式为，将点代入， 得， ∴， ∴函数表达式为， 故选：A． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，无论a取何值，点P一定落在下列哪条直线上（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一次函数解析式．设点P的坐标为，则，通过消去参数a，即可解答． 解：设点P的坐标为， 则， ∴， 代入，得． ∴点P始终在直线上． 故选：D． 5．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限．若点A关于x轴的对称点在直线上，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式成立．再把B点坐标代入可得m的值． 解：∵点在直线上， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）满足一次函数关系，其图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是（    ） A．8.3cm B．10cm C．10.5cm D．5cm 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的解析式求法是本题解决的关键． 本题将坐标系中两点的坐标根据一次函数的待定系数法代入解析式，求出自变量系数和常数的值，从而确定一次函数解析式，即可解决求弹簧长度的问题． 解：设一次函数表达式为：， 将、代入可得： 解得： ∴一次函数的表达式为： ∵弹簧不挂物体 ∴当时，， 综上：弹簧不挂物体时，长度是． 故选：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若正比例函数的图象经过点，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，解题的关键是将点的坐标代入函数解析式求解． 已知正比例函数解析式和函数图象经过的点的纵坐标，将点的坐标代入解析式，即可求出的值． 解：因为正比例函数的图象经过点， 所以将代入中，可得：， 两边同时乘以，得：． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广东汕头·月考）下列函数中，属于一次函数的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，逐项判断，即可求解． 解：①不属于一次函数； ②属于一次函数； ③不属于一次函数； ④属于一次函数； ⑤，当时，属于一次函数； 属于一次函数的有②④． 故答案为：②④ 9．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）若是关于x的一次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握解析式形如，这样的函数叫一次函数是解题的关键． 根据一次函数的定义得到且，据此即可求解． 解：∵是关于x的一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·云南丽江·期中）已知点A是直线上一点，其横坐标为3．若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数上点的坐标特征和关于y轴对称的点的坐标规律，熟练掌握“一次函数上点的坐标满足函数解析式，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变”是解题的关键．先代入横坐标求出点A的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征求出点B的坐标． 解：∵ 点A在直线上，且横坐标为3， ∴ 把代入，得， ∴ 点A的坐标为， ∵ 点B与点A关于y轴对称， ∴ 点B的横坐标为，纵坐标为， ∴ 点B的坐标为， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则一次函数的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行直线．熟练掌握平行直线的解析式中一次项系数相等，待定系数法求函数解析式，是解题的关键． 两条直线平行，则一次项系数相等，可确定k的值；再代入已知点坐标，利用待定系数法求出b的值． 解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴设函数关系式为． 将点代入， 得， 即， 解得． 故一次函数关系式为． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值是，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数的函数值，准确的计算是解决本题的关键． 根据流程图，把代入相应的解析式，进行求解即可． 解：由题意，把代入， 得， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题主要考查了待定系数法，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键． （ 1）设，然后把，代入求解即可； （ 2）把点代入表达式即可求出m的值． 解：（1）解：设， 将，代入，得 ， 解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：将点代入表达式得 ， 解得：． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数． （1）若它是一次函数，求的值． （2）是否存在使它是正比例函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，见分析 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）当函数为一次函数时，的系数，次数； （2）根据函数为正比例函数进行解答即可. 解：（1）解：因为是一次函数， 所以， 解得， 所以． （2）不存在． 理由：当是正比例函数时，， 解得， 所以这样的不存在． 15．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）蒲城酥梨以“大如拳、甜如蜜、脆如菱”的特质备受市场青睐．如图，、两地相距，且地、地和蒲城在一条直线上，甲、乙两人分别在地和地，现乙从地出发，以的速度向蒲城行驶购买酥梨，甲在地不动，设表示乙行驶的时间，表示乙与甲之间的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否是的一次函数；（无需写出的取值范围） （2）当时，求的值． 【答案】（1），是的一次函数；（2） 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，求一次函数的函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，得出当时，则时，再结合乙从地出发，以的速度向蒲城行驶购买酥梨，故，即可作答． （2）理解题意，直接把代入，进行计算，即可作答． 解：（1）解：∵、两地相距，甲、乙两人分别在地和地，甲在地不动，设表示乙行驶的时间，表示乙与甲之间的距离． ∴当时，则时， ∵乙从地出发，以的速度向蒲城行驶购买酥梨， ∴， 则是的一次函数； （2）解：由（1）得， 依题意，把代入， 得． 16．（25-26八年级上·江西九江·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是用户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元/] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 （1）当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； （2）某户年用电量是，求该户这一年的电费； （3）某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量． 【答案】（1）；（2）2182元；（3）3400 【分析】本题主要考查了求函数关系式，求自变量的值或函数值， 对于（1），先求出第一档的电费，再用第一档的电费加上超过第一档部分的费用即可； 对于（2），将代入关系式计算即可； 对于（3），先确定该费用属于第二档，再将代入求出x的值． 解：（1）解：第一档的电费为（元）， 第二档的电费为， 所以电费y与x之间的关系式为； （2）解：当某用户一年的用电量为4000时，处于第二档， ∴， 所以这一年的电费为2182元； （3）解：由（1）（2）知， ∴该用户用电量属于第二档， ∴ ， 解得， 所以该用户去年一年的用电量为3400 ． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如果是正比例函数，那么的值是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据正比例函数的定义，函数形式应为（其中 ），因此自变量的指数必须为1． 解：∵ 是正比例函数， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，将直线（m为常数）关于y轴对称后得到的直线经过点，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的轴对称变换，解题的关键是求出直线关于轴对称后的解析式． 将直线关于轴对称，把替换为，得对称后的直线解析式为；将点代入该解析式，列方程求解即可得到的值． 解：直线关于轴对称后，解析式为． 将代入，得，即，解得． 故选：B． 3．（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知直线经过点，其中，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征． 利用一次函数图象上点的坐标特征得到，由题意可知，解得，故k的值可能是，即可求解． 解：∵直线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得， ∴k的值可能是． 故选：D． 4．（20-21八年级下·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系中，有两点，现另取一点，满足：的值最小．则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称－最短路线问题和一次函数的知识，根据已知作出点A关于直线的对称点是解题的关键． 先作出点A关于直线的对称点，再连接，求出直线的函数解析式，再把代入即可得到答案． 解：作点A关于的对称点，连接交直线于C，则,此时的值最小． 设直线的解析式为，把代入得到， 则， 解得：， 故直线的函数解析式为：， 把C的坐标代入解析式可得，． 解得． 故选：B． 5．（2024八年级上·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，先将直线关于轴作轴对称变换，再将所得直线关于轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质及轴对称的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及轴对称的性质是解题的关键；先得出直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，然后根据坐标关于坐标轴对称的特点得出变换后的函数解析式即可． 解：令时，则，解得：； 令时，则； ∴直线与x轴、y轴的交点坐标分别为， 当直线关于轴作轴对称变换，则变换后的直线与x轴、y轴的交点坐标分别为；当变换后的直线再作关于轴的轴对称变换，则变换后的直线与x轴、y轴的交点坐标分别为； 设此时直线的解析式为，则有：， 解得：， ∴此时直线的解析式为； 故选：D． 6．（2020·河北保定·模拟预测）某生物小组观察一植物生长，得到株高y（厘米）与观察天数x的关系，并画出如图所示的图像（是线段，射线平行于x轴）．下列说法中，错误的是（   ） A．该植物在50天后停止长高 B．该植物的株高最高为15厘米 C．AC所在直线对应的函数表达式为 D．第40天该植物的株高为14厘米 【答案】B 【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，可判断A；设直线的解析式为，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式可判断C；把代入②的结论进行计算即可判断B；把代入②的结论进行计算可判断D． 解： 轴， ∴从第50天开始植物的高度不变，故A的说法正确，不符合题意； 设直线的解析式为， ∵经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，故C的结论正确，不符合题意； 当时，，即第50天，该植物的高度为16厘米，因此该植物的株高最高为16厘米，故B的说法错误，符合题意; 当时，，即第40天，该植物的高度为14厘米；故D的说法正确，不符合题意. 故选：B． 【点拨】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． 二、填空题 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，其中与成正比例，与成正比例，当时，，当时，，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 根据正比例函数的定义得到，，则，然后利用待定系数法求与的函数关系式． 解：设，，则， 根据题意得， 解得， 所以与的函数关系式为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点，在一次函数的图象上，则k 0．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解二元一次方程组． 通过将点坐标代入函数解析式，建立方程组，并利用相减消元法求解k的值． 解：将点，代入得： 得：， 即， 解得． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某种拖拉机的油箱可储油，加满油并开始工作后，油箱中的余油量与工作时间之间为一次函数关系，其函数图象如图所示． （1）与的函数关系式是 ； （2）一箱油可供拖拉机工作 小时． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用， （1）根据题意列出一次函数解析式，然后将，代入解析式即可求得答案； （2）令便可解得一箱油可供拖拉机工作的时间； 正确理解题意，确定一次函数的解析式是解题的关键． 解：设函数解析式为， ∵函数图象过点，， ∴， 解得：， ∴与的函数关系式是， 故答案为：； （2）当时，即， 解得：， ∴一箱油可供拖拉机工作小时． 故答案为：． 10．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，一次函数的应用，平移等知识，运用勾股定理、三角形面积公式求出点C的坐标，进而得到直线和直线的函数解析式，求出点D的坐标，再根据平移后点D落在上求出平移距离，从而得到点B平移后对应点的坐标． 解：∵点，， ∴． 又∵， ， ∴， 过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴， ∴， ∴ 则点C的坐标为 令直线的函数解析式为， 则， 解得： ∴直线的函数解析式为， 同理可求出的函数解析式为：， 将代入，则， ∴点， 将代入， 解得：， ∴沿x轴向左平移个单位长度后，点D落在上， ∴， 则平移后点B对应的点的坐标为， 故答案为： 11．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点M、N的坐标如图所示，点P是y轴上的一个动点，当最大时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，一次函数的应用，如图，延长交轴于，由，可得当三点共线时，，即图中的，此时取最大值，再进一步求解即可. 解：如图，延长交轴于， ∵， 当三点共线时，，即图中的，此时取最大值， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当，则， ∴， 故答案为： 12．（2020·山东济南·一模）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 【答案】 【分析】本题考查了由函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，再求出两直线的交点即可得到答案． 解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 联立， 解得：， 经过20分钟时，当两仓库快递件数相同， 故答案为：20． 三、解答题 13．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义、一次函数解析式的求法以及一次函数的增减性，熟练掌握“待定系数法求函数解析式”和“利用函数解析式解不等式”是解题的关键． （1）先根据正比例关系设出函数形式，再代入已知x、y的值求出比例系数，进而得到函数解析式． （2）将y的范围代入函数解析式，解不等式得到x的取值范围． 解：（1）解：设（）， 代入，得， 解得， ∴，即． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∴． 14．（24-25八年级下·福建·期中）已知与成正比例，且时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）设点在（1）中的函数图象上，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查正比例函数的定义，求一次函数的解析式，以及求自变量的值．解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式． （1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入解析式，进行求解即可． 解：（1）解：设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得． ∴点P的坐标为 15．（25-26八年级上·河南郑州·期中）定义：一次函数和一次函数称为“逆反函数”，如和为“逆反函数”． （1）点在的“逆反函数”图象上，则_________； （2）图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解二元一次方程组，明确新定义，求得“逆反函数”是解题的关键． （）根据定义得到“逆反函数”为，把点代入即可求得； （）根据题意得到关于的方程组，解方程组即可求解． 解：（1）解：由题意得，的“逆反函数”图象为， ∵点在的“逆反函数”图象上， ∴，解得：， 故答案为：； （2）解：由题意得的“逆反函数”图象为， ∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴，解得：， ∴点的坐标． 16．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． （1）直线的函数表达式为_____． （2）若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）点C的坐标为或或． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． 解：（1）解：设直线的函数解析式为， 把，代入，得：， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 当时，且点在点的上方，如图： ∴，，即轴， ∴，即， ∴； 当时，且点在点的上方，如图：作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时， ∴； 当时，且点在点的下方，如图： 同理，； 综上，点C的坐标为或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.3 一次函数的意义 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】一次函数与正比例函数定义 1 【知识点二】待定系数法求一次函数的表达式 2 二．题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】正比例函数辨析 2 【要点归纳】 2 【★题型2】一次函数辨析 2 【★题型3】列一次函数表达式 3 【要点归纳】 3 【★题型4】已知自变量和因变量之间关系求一次函数的解析式 4 【★题型5】待定系数法求一次函数的解析式 4 （二）培优篇 4 【★题型6】待定系数法求一次函数的解析式并求值 4 【★★★题型7】通过几何性质求一次函数的解析式并求值 7 【★★★题型8】通过求一次函数的解析式解决阶梯式水电计算（分段函数） 8 三．同步练习​ 9 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 9 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 12 一.知识梳理 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】一次函数与正比例函数定义 一般地，函数（为常数，）叫作一次函数。当时，（为常数，）叫作正比例函数，常数k 作比例系数。 【知识点二】待定系数法求一次函数的表达式 一般地，若已知一次函数的两对自变量与对应的函数值,则可按以下步骤求这个一次函数的表达式： 1.设所求的一次函数表达式为（，是常数，≠0）； 2.把两对已知的自变量与对应的函数值分别代入，得到关于，的二元一次方程组； 3.解这个关于，的二元一次方程组，求出，的值； 4.把求得的，值代入，就得到所求的一次函数表达式，这种求函数表达式的方法叫作待定系数法。 二．题型精析 （一）基础篇 【★题型1】正比例函数辨析 【例题1】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知函数是关于的正比例函数，则的值为 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期中）下列函数中，属于正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知与成正比例，当时，则与之间的函数表达式为 ． 【要点归纳】 正比例函数的等价形式：（1）是的正比例函数；（2）（为常数，）。 【★题型2】一次函数辨析 【例题2】（25-26八年级上·河北保定·期中）是关于的一次函数，则 ． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）当为何值时，函数是一次函数． 【★题型3】列一次函数表达式 【例题3】（25-26八年级上·广西梧州·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）兴平市境内有原始社会村落遗址7处，有国家、省、县三级文物保护单位40处，吸引了众多游客前去游玩．为了降低游客短时间的停车成本，某景区停车场根据车辆的停车时长采用分档计费的方式收费，下表是该停车场的收费标准： 计费档 停车时长 单价/（元/） 第一档 2 第二档 第三档 1 当时，停车费（单位：元）与之间的关系式为 ． 【要点归纳】 一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 【★题型4】已知自变量和因变量之间关系求一次函数的解析式 【例题4】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知与成正比例，且当时，． （1）求与的函数关系式； （2）若点在这个函数图象上，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知与成正比例，且当时， （1）求关于的函数表达式． （2）当时，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，且当时，． （1）求与的函数关系式； （2）该函数经过一点，求出的值． 【★题型5】待定系数法求一次函数的解析式 【例题5】（2026七年级下·全国·专题练习）已知华氏温度与摄氏温度满足．当时，；当时，．求，的值，并写出与间的关系式． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期中）已知一次函数经过点和，求该一次函数的解析式． 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）已知一次函数的图象过和两点． （1）求此一次函数的解析式； （2）若点在这个函数图象上，求． （二）培优篇 【★题型6】待定系数法求一次函数的解析式并求值 【例题6】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数，其中与成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)若，求对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质． （1）根据正比例函数的定义得到，，则，然后利用待定系数法求与的函数关系式； （2）分别求出当、时的值，进而作答即可． 【详解】（1）解：设，，则， 根据题意得， 解得， 所以与的函数关系式为； （2）解：当时，； 当时，； ∴． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求： (1)此一次函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）解不等式即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 把，；，分别代入得 ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， 即自变量x的取值范围为． 【变式2】（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点轴上的点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质，点的坐标．点关于y轴的对称点为，根据反射的性质得，反射光线所在直线过点和，求出直线的解析式为，再令即可求出C点的坐标． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点为， ∴反射光线所在直线过点和， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 令，则， 解得， ∴点， 故答案为：． 【★★★题型7】通过几何性质求一次函数的解析式并求值 【例题7】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交于点，交轴于点． （1）求直线的表达式和点的坐标． （2）设点是轴上一动点，求的最小值． （3）以为腰在第一象限作等腰直角三角形，求点的坐标． 【变式1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，A，B两点的坐标分别是，，M是y轴上的一点，沿折叠，点B刚好落在x轴上点处，则直线的解析式为 ． 【★★★题型8】通过求一次函数的解析式解决阶梯式水电计算（分段函数） 【例题8】（根据浙教版八上172设计题改编）为节约用水，某市居民生活用水按级收费，水价分三个等级：第一级为月用水量及以下（含）；第二级为月用水量超过，不到；第三级为月用水量及以上（含），如图是某住户收到的一张自来水总公司水费专用发票． 自来水总公司水费专用发票 发票联 计费日期：至 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量 （） 本期用水量（） 587 607 20 自来水费（含水资源费） 污水处理费 用水量 （） 单价 （元/） 金额（元） 用水量 （） 单价（元/） 金额（元） 阶梯一：17 1.75 29.75 阶梯二：3 2.3 6.9 17 0.45 7.65 3 0.6 1.8 本期实付金额（大写） 肆拾陆元壹角整￥46.10 注：（居民生活用水水价=自来水费+污水处理费） （1）若某用户的月用水量为，应付的水费为元，求关于的函数表达式； （2）若下个月份该用户收到的自来水发票实付金额为69.3元，则下个月份该用户的用水量为多少？ （3）根据该发票信息，你能计算月用水量超过时应付的水费吗？如果能，请计算月用水量超过时，应付的水费元与月用水量的函数表达式；如果不能，请你思考：通过哪些渠道可以获取信息，得到该用户水费的计算方式． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是用户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价[元 第一档 第二档 第三档 根据以上提供信息解答下列问题： （1）当时，写出电费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户年用电量是，求该户这一年的电费； （3）某户去年一年的电费是1518元，求该户去年一年的用电量． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价／（元／） 第一档 3 第二档 5 第三档 6 （1）当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是1130元，求该户去年一年的用水量． 三．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（2025八年级上·上海·专题练习）下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）下列各点在一次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）一个正比例函数的图象经过点，则它的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，无论a取何值，点P一定落在下列哪条直线上（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限．若点A关于x轴的对称点在直线上，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）满足一次函数关系，其图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是（    ） A．8.3cm B．10cm C．10.5cm D．5cm 二、填空题 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若正比例函数的图象经过点，则n的值为 ． 8．（24-25八年级下·广东汕头·月考）下列函数中，属于一次函数的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 9．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）若是关于x的一次函数，则m的值为 ． 10．（25-26八年级上·云南丽江·期中）已知点A是直线上一点，其横坐标为3．若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为 ． 11．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则一次函数的关系式是 ． 12．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值是，则输出的值为 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求m的值． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数． （1）若它是一次函数，求的值． （2）是否存在使它是正比例函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 15．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）蒲城酥梨以“大如拳、甜如蜜、脆如菱”的特质备受市场青睐．如图，、两地相距，且地、地和蒲城在一条直线上，甲、乙两人分别在地和地，现乙从地出发，以的速度向蒲城行驶购买酥梨，甲在地不动，设表示乙行驶的时间，表示乙与甲之间的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否是的一次函数；（无需写出的取值范围） （2）当时，求的值． 16．（25-26八年级上·江西九江·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是用户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元/] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 （1）当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； （2）某户年用电量是，求该户这一年的电费； （3）某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如果是正比例函数，那么的值是（    ） A．1 B． C．0 D． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，将直线（m为常数）关于y轴对称后得到的直线经过点，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．2 3．（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知直线经过点，其中，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C． D． 4．（20-21八年级下·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系中，有两点，现另取一点，满足：的值最小．则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 5．（2024八年级上·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，先将直线关于轴作轴对称变换，再将所得直线关于轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是（　　） A． B． C． D． 6．（2020·河北保定·模拟预测）某生物小组观察一植物生长，得到株高y（厘米）与观察天数x的关系，并画出如图所示的图像（是线段，射线平行于x轴）．下列说法中，错误的是（   ） A．该植物在50天后停止长高 B．该植物的株高最高为15厘米 C．AC所在直线对应的函数表达式为 D．第40天该植物的株高为14厘米 二、填空题 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，其中与成正比例，与成正比例，当时，，当时，，则与之间的函数表达式为 ． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点，在一次函数的图象上，则k 0．（填“>”或“<”） 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某种拖拉机的油箱可储油，加满油并开始工作后，油箱中的余油量与工作时间之间为一次函数关系，其函数图象如图所示． （1）与的函数关系式是 ； （2）一箱油可供拖拉机工作 小时． 10．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为 ． 11．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点M、N的坐标如图所示，点P是y轴上的一个动点，当最大时，点P的坐标是 ． 12．（2020·山东济南·一模）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 三、解答题 13．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 14．（24-25八年级下·福建·期中）已知与成正比例，且时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）设点在（1）中的函数图象上，求点的坐标． 15．（25-26八年级上·河南郑州·期中）定义：一次函数和一次函数称为“逆反函数”，如和为“逆反函数”． （1）点在的“逆反函数”图象上，则_________； （2）图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点的坐标． 16．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． （1）直线的函数表达式为_____． （2）若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $