3.4 一元一次不等式的应用10大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦一元一次不等式的应用核心知识点，系统梳理从不等式概念解法到实际问题建模的脉络，搭建关键词转化、列不等式步骤、实际情境解集取舍等学习支架，助力学生掌握应用要点。 资料以销售、行程等真实情境问题为载体，通过典例精析与变式巩固，培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维推理解决问题的能力，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升数学建模与应用意识。

第三章 一元一次不等式 3.4 一元一次不等式的应用 课标要点 1. 能结合生活实际问题，提炼数量关系，建立一元一次不等式数学模型。 2. 会运用不等式解法求解实际问题，检验结果是否符合现实实际意义。 3. 提升数学建模与运算推理能力，学会用不等式解决生活最值问题。 学习重难点 重点： 1. 掌握一元一次不等式应用题的解题步骤，规范审题、列式、求解流程。 2. 准确抓取题目不等关系关键词，正确列出一元一次不等式式子。 3. 根据实际情境取舍解集，合理确定整数解、最值等有效答案。 难点： 1. 精准辨析至少、至多、不超过等关键词，转化为对应不等符号。 2. 从复杂实际情境中剥离有效数量信息，准确构建不等式模型。 3. 结合生活实际限制条件，筛选出符合题意的整数解和最优解。 知识点一 由实际问题列一元一次不等式 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 3.列一元一次不等式解决实际问题首先弄清题中数量关系，用字母表示未知数．再根据题中的不等关系列出不等式． 特别提醒 由实际问题列一元一次不等式易错点：容易误解“至少、至多、不低于”等关键词，写错不等符号。常忽略人数、物品数等取值为正整数的隐含条件，盲目列式求解。部分学生分不清不等关系与等量关系，误列方程，导致整题解答错误。 即学即练 1．用不等式表示下列数量关系： (1)的4倍小于7； (2)的2倍减去1的差小于或等于； (3)的一半与6的和不大于3． 2．用适当的符号表示下列不等关系： (1)x与的和是负数； (2)m除以4的商加上3不超过5． 知识点二 解一元一次不等式实际问题的步骤 列一元一次不等式解决实际问题与列方程解决实际问题类似，所不同的是一个是列方程，另一个是列不等式.列不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及它们的关系，找出题目中的不等关系，要抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“最多等词语； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题目中的不等关系列出不等式； (4)解：解出所列不等式的解集； (5)答：检验求得的解或解集是否符合实际意义，并写出答案 即学即练 3．炎热的夏天里，人们喜欢去游泳馆游泳。某游泳馆销售A、B两种型号的泳衣，进价分别为70元、50元，如下表是近两天的销售情况： 销售量/件 销售收入/元 A型泳衣 B型泳衣 第一天 3 4 600 第二天 6 5 975 (1)求A，B两种型号泳衣的销售单价； (2)若购进A，B两种型号的泳衣共50件，且总进价不超过2900元． ①最多可以购进A型号泳衣多少件？ ②为使这50件泳衣完全销售后的总利润超过1340元，应如何进货？请给出相应的进货方案． 4．如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A，B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买2箱A品牌螺蛳粉和3箱B品牌螺蛳粉共需要440元，购买1箱A品牌螺蛳粉和4箱B品牌螺蛳粉则需要420元． (1)求A，B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？ (2)小罗计划购买A，B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？ 题型01 列一元一次不等式 典｜例｜精｜析 1．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示限高标志，表示能通过该桥洞的最大高度，则通过该桥洞的车高（单位：）的范围可表示为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 2．在学校组织的安全教育知识测试中，总分100分，不低于95分的成绩定为“A”等级，在本次测试中，小明得分，等级为“A”，则小明本次测试的成绩范围用不等式表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．某款智能语音机器人的进价为元，商店按进价提高后标价，为让利顾客，销售时在标价的基础上给予一定的折扣优惠，若要使每台机器人的利润率不低于，设商店将这批机器人按标价的折销售，则可列不等式__________． 4．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0.48 0.53 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过200元，求李叔家七月份最多可用电的度数． 题型02 销售问题 解题贴士 一元一次不等式销售问题易错点：容易混淆利润、进价、售价、利润率的公式关系，列式出现数据错误。常误解盈利、不亏本、让利销售等题意，写错不等符号。易忽略商品数量为正整数，忘记结合实际取舍解集，出现不合题意的答案。 典｜例｜精｜析 5．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲种笔记本15本、乙种笔记本20本作为奖品，共花费250元．已知购买1本甲种笔记本比购买1本乙种笔记本多花费5元． (1)求购买1本甲种笔记本、1本乙种笔记本各需多少元． (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，在期末考试后班主任决定再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多可以购买多少本甲种笔记本，并求按此方案购买两种笔记本的总费用． 变｜式｜巩｜固 6．某商家去年秋季用14500元购进了某品牌卫衣和衬衫共80件，卫衣每件200元．衬衫每件150元，衬衫在成本的基础上提价进行销售，且全部销售完，卫衣以300元的价格销售了卫衣总进货量的，今年该商家为了减少库存积压，计划反季节促销，将剩下的卫衣在原售价的基础上降价销售． (1)求该商家去年秋季购进了卫衣和衬衫各多少件？ (2)在反季节促销时，发现有3件卫衣损坏，无法对外销售．求每件卫衣最多降价多少元，可以使商家在销售完这批衬衫和卫衣后，利润不低于总成本的？ 7．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为响应“健康第一”的号召，某校计划购买A、B两种品牌的足球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 第一次购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元； 素材二 已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元； 素材三 根据需要，学校决定第二次购进A、B两种品牌的足球共50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折． 请完成下列任务： (1)任务一：A、B两种品牌足球的单价各是多少元？ (2)任务二：如果第二次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，请问至少要买多少个A种品牌的足球？ 8．学校为鼓励学生参与数学节活动，定制钥匙扣和帆布包两款纪念品，商家提供、两种不同类型的套装供学校选择． 类型 钥匙扣（个） 帆布包（个） 总价（元） 套装 套装 (1)求钥匙扣和帆布包的单价分别是多少元？ (2)在同学们的积极参与下，第一批采购的个套装和个套装已被全部兑换．现计划追加采购两款纪念品共个，经与商家协商，学校可按原价单独购买钥匙扣和帆布包（不按套装采购），若两次采购总费用不超过元，则第二次最多可购进多少个帆布包？ 题型03 利润率问题 典｜例｜精｜析 9．太原滨河自行车专用车道自2021年5月1日投入使用以来，已成为市民骑行健身的打卡地，使自行车销量大增．今年春天，某自行车专营店购进A，B两种品牌的自行车共50辆，A，B两种品牌的自行车进价分别为1000元/辆和750元/辆．在销售过程中发现，A品牌自行车的利润率为，B品牌自行车的利润率为．若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500元，那么此次最少购进多少辆A品牌自行车．（提示：利润率利润进价） 变｜式｜巩｜固 10．某品牌护眼灯的进价为元，商店以元的价格出售．“购物节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元（ ）． 11．随着生活水平的逐年提高，体育器材成为我们日常的消费品，某体育用品商场预测某品牌运动器材能够畅销，就用36000元购进了一批这种运动器材，上市后很快脱销，商场又用81000元购进第二批这种运动器材，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套器材进价多了15元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元？（利润率） 12．随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 题型04 最大利润问题 典｜例｜精｜析 13．综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为元，B型号的进价为元； 素材2：该电器商城准备用不超过元的金额采购这两种型号的电风扇共台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售台A型号电风扇和台B型号电风扇，共获得销售收入元；销售台A型号电风扇和台B型号电风扇，共获得销售收入元． 【任务】 (1)任务1：求A，B两种型号的电风扇的销售单价． (2)任务2：求A种型号的电风扇最多能采购多少台． (3)任务3：该电器商城销售完这台电风扇能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案，并说明在这些方案中，哪种方案利润最大，求出最大利润；若不能，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 14．某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 15．2024年11月15日，郑州市热力公司开启了全市供暖，但由于供暖后室内干燥，因此大多数市民们选择使用室内空气加湿器．某商场根据民众需要，代理销售每台进价分别为220元、180元的A，B两种型号的空气加湿器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 2400元 第二周 6台 9台 5100元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A，B两种型号的空气加湿器每台的售价． (2)若商场准备用不超过5880元的金额再采购这两种型号的空气加湿器共30台，如何购买才可以使商场销售完这30台空气加湿器后获得最大利润？请给出相应的采购方案，并求出最大利润． 16．猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 40 35 销售价（元/个） 58 45 (1)第一次小李用1900元购进了两款玩偶共50个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 题型05 积分问题 典｜例｜精｜析 17．3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为______； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要______人报名参加“24点速算”． 变｜式｜巩｜固 18．“碳路先锋、绿动未来”，年6月日是第个全国低碳日．某公司为深入宣传低碳发展理念，用碳积分来激励员工低碳出行．上下班的低碳出行累积的积分可兑换公交优惠券等权益（每月可兑换一次，当月的积分不可累积到下个月使用）．已知每乘坐一次公交车可获得个碳积分，步行则按总步数核算碳积分．小悦每日上下班各出行次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）步行步； 方式二：步行步． 已知小悦单次选用方式一上班获得的碳积分比单次选用方式二上班获得的碳积分少个． (1)求每获得个碳积分需要步行多少步? (2)小悦当月工作天，每日上下班任选一种方式出行，当月小悦需累计至少个碳积分才能兑换到心仪权益，则当月最多可选用多少次方式一出行? 19．项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是其中两个球队的积分： 队名 胜（场数） 负（场数） 积分 蓝天队 6 4 22 雄鹰队 4 6 18 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： (1)任务一：根据上表内容求出该比赛的计分规则（即胜一场积几分，负一场积几分） (2)任务二：梦想队想让自己队的胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由； (3)任务三：雄狮队了解到，该校上届获得冠军的战王队积分是24分．雄狮队想要在本届比赛中超越上届冠军（计分规则不变），请直接写出他们至少要胜多少场． 20．四年一届的足球世界杯开始了，从6月11日到7月19日，由美，加，墨联合举办．同时，中国足球小将也在意大利杯夺冠，真是振奋人心！今年五一劳动节期间，来自全国各地的球迷相聚大连梭鱼湾足球场，再一次刷新中超历史第二的上座纪录．如下表是截至2026年5月6日，2026赛季中国足球超级联赛部分球队的积分情况． 表：中国足球超级联赛积分榜（部分球队） 球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 成都蓉城 11 8 2 1 26 山东泰山 11 5 2 4 17 天津津门虎 11 4 4 3 16 浙江 11 4 3 4 15 大连英博 11 3 4 4 13 梅州客家 11 3 3 5 12 备注：负1场得0分 小王和小李不仅热爱足球，而且对联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场，平一场分别积几分？” 小王的思路是：设胜一场积分，则根据“成都蓉城”胜平场数与积分的关系，用含的式子表示平一场的积分为_________，再根据“大连英博”胜平场数与积分的关系，可列一元一次方程为_________． 小李的思路是：设胜一场积分，平一场积分，列二元一次方程组解决此问题． (1)请将小王的思路中的空格处补充完整； (2)请按照小李的思路，选择不同于小王所选球队的数据，求出胜一场，平一场分别积几分？ (3)如果另一支球队同样参加了11场比赛，积分超过表中排名第一的球队，那么这个球队至少胜几场？直接写出获胜场数． 题型06 方案设计问题 典｜例｜精｜析 21．一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种： 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数） (1)若时，选择方案①的总费用为___________元，选择方案②的总费用为___________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ (3)方案一比方案二最多优惠___________元． 变｜式｜巩｜固 22．为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本20元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：40本以内按原价（含40本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物，方案一购买书本所需要的费用为，方案二购买书本所需要的费用为，请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用： (2)假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？ 23．由于“618购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，6月份某商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，7月份该商场对全场促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一 可购买100元代金券，每张89元，每次消费时最多可使用3张，能使用尽量使用，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费原总价不超过300的部分九折优惠，超过300元的部分八折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费140元，按照方案一使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费220元，按照方案一使用代金券后，实际花费 元； (2)若某次实际花费350元，则在使用优惠方案前需花费 元； (3)小明一家在商场消费了元． ①若按照方案一使用代金券进行优惠，实际花费 元；若按照方案二进行优惠，实际花费 元；（用含x的代数式表示） ②选择哪种方案更省钱？ 24．活动目的：采购三晋特色文创玩偶 活动背景：“表里山河，文脉绵长；三晋匠心，指尖流芳”．为传承山西优秀传统文化，某文化传播公司计划采购一批具有三晋特色的文创玩偶，用于“晋韵流芳”主题展览的互动体验和纪念品发放． 素材一：购买3个“晋侯鸟尊”玩偶和4个“刀削面”玩偶共需170元；购买5个“晋侯鸟尊”玩偶和2个“刀削面”玩偶共需190元． 素材二：该公司计划购买这两种玩偶共20个．为降低采购成本，文创工坊推出两种优惠方案（只能选择其中一种方案，每种玩偶都需要购买） 素材三：方案一：购买任意玩偶满10个，总价打九折； 方案二：购买“晋侯鸟尊”玩偶每个优惠，其它按原价销售． (1)任务一：求“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价． (2)任务二：设购买“晋侯鸟尊”玩偶个，采用方案一支付费用为，采用方案二支付费用为，请你帮助采购部门选择购买方案． 题型07 行程问题 典｜例｜精｜析 25．小明从家中出发去上学，小明家距离学校，当走到一半的路程时发现离上课时间只剩了．如果小明要按时赶到学校，那么他走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？ 变｜式｜巩｜固 26．“一方有难，八方支援”，一辆货车向灾区运送物资，共有170千米的路程，需要不超过2小时送到，前80分钟行驶了120千米，后40分钟的速度至少为多少才能不延误时间？（列不等式解答） 27．某运动员长跑的个人最好成绩为．在一次长跑比赛中，他跑完前用时．如果这名运动员希望在本次比赛中获得的成绩不低于自己的个人最好成绩，那么在剩下的路程中，他的平均速度至少要为多少？ 28．某化工厂与A、B两地都分别有公路、铁路相连，从A地购买原料运回工厂制成产品运到B地销售．已知3t产品的销售款比4t原料的进货款多20000元，2t产品的销售款比1t原料的进货款多15000元． （1）求每吨原料的进货款和产品的销售款分别多少元？ （2）如表为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（t•km），铁路运价为1.2元/（t•km），且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，求这批原料比产品多多少吨？ A地 B地 公路段路程（km） 10 20 铁路段路程（km） 120 110 （3）工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20t，若要增加at的产品，就要再购买at的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购买多少吨的原料？ 题型08 工程问题 典｜例｜精｜析 29．某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 变｜式｜巩｜固 30．合肥市2025年城市更新与道路品质提升工程招标，有A、B两家施工队参与投标．经测算：A队单独完成工程需要60天；若A队先施工30天，再由A、B两队合作12天，共完成总工程量的． (1)求B队单独完成这项工程需要多少天？ (2)已知A队施工一天需付工程款万元，B队施工一天需付工程款2万元．该工程由A、B两队先合作若干天，剩余工程由B队单独完成，若要求总工程款不超过195万元，求A、B两队最多可合作多少天？ 31．综合与实践 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米． 【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是 米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是 米；（用含有字母的代数式表示） 【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 32．为了促进乡村特色产品的销售，某村政府准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 题型09 图表信息问题 典｜例｜精｜析 33．中超联赛一共三十轮，积分规则是胜一场得分，平一场得分，负一场得分，同分的情况下胜场多的排名靠前．现在有一张第六名到第八名被污渍影响的积分表； 名次 队名 场次 胜 平 负 积分 队 队 队 (1)你能否从该表格中的信息求得队的积分为多少？ (2)请你列式计算一下队可能会有几场胜场． 变｜式｜巩｜固 34．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．拟定如下表的两种购买方案： 甲品牌毽子/个 乙品牌毽子/个 总价/元 方案一 12 4 152 方案二 15 8 214 (1)求甲品牌毽子和乙品牌毽子的单价； (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共1000个，且总费用不超过9100元，甲品牌毽子最多能买多少个？ 35．口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害的气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．新冠疫情防控期间，某药房购进了一批A，B两种不同型号口罩进行销售．下表是甲、乙两人购买A，B两种型号口罩的情况： 型号 A型号数量（单位：个） B型号数量（单位：个） 总售价（单位：元） 甲 2 4 乙 5 2 (1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？ (2)某中学计划购买A，B两种型号的口罩共1500个，其中A型口罩的个数不少于B型口罩个数的2倍，那么这个中学至少需要准备多少个A型口罩？ 36．圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量（个） … 总高度（） … 请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是________个． 题型10 用一元一次不等式解决几何问题 典｜例｜精｜析 37．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则的长可能为（     ） A．1.5 B．2.1 C．2.4 D．3.0 变｜式｜巩｜固 38．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 39．规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，为“倍角”． ①若，求的度数． ②若为锐角三角形，求的取值范围． 40．如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，________； (2)①点在上运动时，________．（用含的代数式来表示） ②若点为线段的中点，的面积为，用含的代数式表示（）． 当时，________． 当时，________． 当时，________．（所填结果均需化简） (3)若点从出发2秒后，点以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过1时，请直接写出相应的取值范围． 基础通关 1．某种商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至少可以打（     ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 2．某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元/件，标价为250元/件．现准备打x折销售这种商品，且每件利润不得低于50元，则根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 3．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，它表示禁止货车总体外廓高度超过标志所示数值的车辆通行，用不等式表示可通过该桥洞车辆的货车总体外廓高度（单位：）的范围是（     ） A． B． C． D． 4．请根据如表信息，写出关于温度（）的不等式_____． 洗涤说明 手洗，勿浸泡，不超过30℃水温 5．端午节是中国四大传统节日之一．某公司计划购入A、B两款端午节礼盒共100件，且购入这两款礼盒的总费用不超过10400元，已知A、B两款礼盒的价格分别为80元/件和120元/件，若设该公司购入A款端午节礼盒件，则根据题意可列不等式为__________． 6．枸杞芽茶是近年来深受消费者喜爱的茶叶，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以每罐元的标价进行售卖，设售出数量为罐，要使总销售额不低于元，可列不等式为______． 7．为响应“全民健身”的号召，某人在规定18分钟的时间内，要完成至少2.1千米的路程，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问：完成这段路程，他至少要跑多少分钟？ 8．某校计划购买文学名著和科普读物共套，若购买的文学名著数量不少于科普读物数量的一半，那么至少购买文学名著多少套？ 9．惠东县全力推进乡村振兴，全县两百多个行政村集体收入连续两年超过十万元．幸福村今年计划采购一批荔枝苗和龙眼苗，用于扩大种植规模．已知购买2棵荔枝苗和3棵龙眼苗需要85元，购买3棵荔枝苗和2棵龙眼苗需要90元． (1)求每棵荔枝苗和每棵龙眼苗的价格； (2)该村计划购买两种树苗共100棵，且总费用不超过1700元，那么最多可以购买荔枝苗多少棵？ 10．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 素养提升 11．小冉计划在两周内阅读完一本正文有142页的数学科普图书（每周阅读7天）．如果第1天只阅读了6页，为了按时或提前完成，那么她在剩余天数内平均每天至少要阅读多少页？设小冉在剩余天数内平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 12．某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中一球得5分（称“五分球”），在较近位置投中一球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小慧同学共投篮20次，其中3次未投中，最终得分不低于70分．若设小慧同学投中了个五分球，则可列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 13．一部电梯的额定限载量为1000千克，两人要用电梯把一批货物从底层搬到顶层，这两个人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为40千克，若两人一起乘电梯，则他们每次最多搬运货物的箱数为（   ） A．5 B．21 C．22 D．25 14．某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 15．一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙的体重分别为和，货物每箱质量为，两人一起乘梯，则每次最多搬运_____箱货物． 16．杭州某中学社团制作杭州特色文创产品义卖，前期投入1000元，每个产品材料成本10元，售价20元，场地及宣传费为销售收入的，若要使利润（销售收入减去材料成本、前期投入、场地及宣传费）超过1000元，则至少需要制作并售出___________个产品． 17．新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 18．为优化学生用眼环境，做好青少年近视防控工作，改善教室照明条件，希望中学决定将教室的老式日光灯替换为护眼灯，给孩子们带来视觉上的舒适，有效缓解视疲劳和视力下降等问题，有望对预防近视起到积极作用．现在希望中学计划从店购进护眼黑板灯、护眼教室灯这两种节能灯共28只．已知店关于这两种灯的有关信息如下表所示： 品名 进价（元/只） 售价（元/只） 护眼黑板灯 20 30 护眼教室灯 46 60 (1)希望中学购进这两种护眼灯一共付款1440元，你知道这两种护眼灯分别购进多少只吗? (2)在第（1）问的基础上，学校和厂家进行协商，厂家愿意这两种灯进行打折出售，但要保证销售完这28只护眼灯的总利润率不低于20%．请分析厂家将最多可以打几折出售? 19．一位顾客到精品水果店选购A款芒果和B款芒果，他对比发现：花费360元买到的A款芒果重量，和花费450元买到的B款芒果重量完全相同，且B款芒果的单价比A款贵3元/斤． (1)求A、B两种芒果的单价； (2)顾客计划恰好用240元购买这两种芒果，两种芒果均需购买，且购买重量均为整数斤，有哪些购买方案？ 20．随着健康科技消费升温，智能穿戴设备成为市场新热点．某数码商贸公司紧抓机遇，为旗下门店打造智能健康体验专区，选购甲、乙两种智能手环——甲型号主打全维度健康监测（适配中老年群体），乙型号聚焦轻运动智能交互（适配年轻群体）．已知甲型号进价比乙型号每套多60元，用4000元购进甲型号的数量与用2500元购进乙型号的数量相等． (1)求甲、乙两种型号智能手环每套进价分别为多少元？ (2)若某商店计划购进45套手环且不超过5800元，则最多可购进甲种型号智能手环多少套？ 迁移创新 21．某房屋的平面结构如图所示，现准备用A、B两种长方形地砖铺设房屋地面（包括阳台）．已知一块A型地砖的面积为，单价是40元/块；一块B型地砖的面积为，单价是60元/块．现用不超过8000元购买两种地砖，要求两种地砖的购买数量均为整数，且地砖总面积等于房屋总面积，则购买A型地砖的数量至少为（） A．100块 B．101块 C．102块 D．103块 22．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯；    （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 23．某公司生产的，两种不同搭配原料的营养品，它们的信息如下： 品种 每包食材含量 每包售价 元 千克 元 该公司每日用元购进各种原料千克，并恰好全部用完．表上的每包食材含量出现污渍，只知道它是个整数．已知每日其他费用为元，且生产的营养品当日全部售出．若的包数不低于的包数，则为______包时，每日所获总利润可达元． 24．为有效防控“新冠病毒”疫情，稠州学校打算购进一批酒精消毒液和额温枪，已知酒精消毒液和额温枪的单价之和为元，购进瓶酒精消毒液和把额温枪需花费元． (1)求酒精消毒液和额温枪的单价分别是多少？ (2)学校欲用元用于进货，且最多购进酒精消毒液瓶，额温枪的数量不超过酒精消毒液数量的倍，则共有几种进货方案？ (3)已知药店售出一瓶酒精消毒液可获利元，售出一把额温枪可获利元，为体现“抗疫”的决心，店主决定每售出一把额温枪，为希望工程捐款元，在（2）的条件下，若酒精消毒液和额温枪全部售出后所有方案获利均相同，则的值是多少？此时店主可获利多少元？ 25．某餐厅打算在A、B两个平台根据点餐金额采用不同的优惠措施 在A平台实施方案如下： A平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过60元 无优惠 超过60元，但不超过160元 减15元 超过160元 减40元 在B平台实施方案如下： B平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过50元的部分 无优惠 超过50元，但不超过210元的部分 打折 超过210元的部分 打折 (1)小华某次点餐金额为70元，如果选择A平台，则他的实际付款金额是______元；如果选择B平台，则他的实际付款金额是______元． (2)若小华点餐金额为n元（），那么小华在A和B平台上的实际付款金额分别是多少？（用含n的代数式表示） (3)若小华在两个平台各点单一次，两次点餐金额共320元．其中A平台点餐金额比B平台点餐金额低，设在A平台的点餐金额是x元，求两次实际付款金额共多少？（用含x的代数式表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次不等式 3.4 一元一次不等式的应用 课标要点 1. 能结合生活实际问题，提炼数量关系，建立一元一次不等式数学模型。 2. 会运用不等式解法求解实际问题，检验结果是否符合现实实际意义。 3. 提升数学建模与运算推理能力，学会用不等式解决生活最值问题。 学习重难点 重点： 1. 掌握一元一次不等式应用题的解题步骤，规范审题、列式、求解流程。 2. 准确抓取题目不等关系关键词，正确列出一元一次不等式式子。 3. 根据实际情境取舍解集，合理确定整数解、最值等有效答案。 难点： 1. 精准辨析至少、至多、不超过等关键词，转化为对应不等符号。 2. 从复杂实际情境中剥离有效数量信息，准确构建不等式模型。 3. 结合生活实际限制条件，筛选出符合题意的整数解和最优解。 知识点一 由实际问题列一元一次不等式 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 3.列一元一次不等式解决实际问题首先弄清题中数量关系，用字母表示未知数．再根据题中的不等关系列出不等式． 特别提醒 由实际问题列一元一次不等式易错点：容易误解“至少、至多、不低于”等关键词，写错不等符号。常忽略人数、物品数等取值为正整数的隐含条件，盲目列式求解。部分学生分不清不等关系与等量关系，误列方程，导致整题解答错误。 即学即练 1．用不等式表示下列数量关系： (1)的4倍小于7； (2)的2倍减去1的差小于或等于； (3)的一半与6的和不大于3． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意得； （2）解：根据题意得； （3）解：根据题意得． 2．用适当的符号表示下列不等关系： (1)x与的和是负数； (2)m除以4的商加上3不超过5． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是负数就是小于0的意思，根据x与的和是负数可列出不等式； （2）不超过就是小于等于的意思，根据m除以4的商加上3不超过5可列出不等式； 【详解】（1）解：∵x与的和是负数， ∴． （2）解：∵m除以4的商加上3不超过5， ∴． 知识点二 解一元一次不等式实际问题的步骤 列一元一次不等式解决实际问题与列方程解决实际问题类似，所不同的是一个是列方程，另一个是列不等式.列不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及它们的关系，找出题目中的不等关系，要抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“最多等词语； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题目中的不等关系列出不等式； (4)解：解出所列不等式的解集； (5)答：检验求得的解或解集是否符合实际意义，并写出答案 即学即练 3．炎热的夏天里，人们喜欢去游泳馆游泳。某游泳馆销售A、B两种型号的泳衣，进价分别为70元、50元，如下表是近两天的销售情况： 销售量/件 销售收入/元 A型泳衣 B型泳衣 第一天 3 4 600 第二天 6 5 975 (1)求A，B两种型号泳衣的销售单价； (2)若购进A，B两种型号的泳衣共50件，且总进价不超过2900元． ①最多可以购进A型号泳衣多少件？ ②为使这50件泳衣完全销售后的总利润超过1340元，应如何进货？请给出相应的进货方案． 【答案】(1)型泳衣销售单价为100元，型泳衣销售单价为75元 (2)①最多可以购进型泳衣20件； ②购进方案为：方案一，购进型泳衣19件，型泳衣31件；方案二，购进型泳衣20件，型泳衣30件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的求解： （1）设型泳衣销售单价为元，型泳衣销售单价为元，根据“单价数量总价”来列方程组求解； （2）设购进型泳衣件，则购进型泳衣件：①根据题意列不等式求解；②根据题意列不等式，再结合①，求解出型泳衣可能的数量，再分别计算出不同数量下的型泳衣的数量即可； 【详解】（1）解：设型泳衣销售单价为元，型泳衣销售单价为元， 由题意得， ，     解得：；     答：型泳衣销售单价为100元，型泳衣销售单价为75元； （2）解：设购进型泳衣件，则购进型泳衣件， ①由题意得： ，     解得：；     答：最多可以购进型泳衣20件； ②由题意得： ， 解得：， ∴，     ∵为整数， ∴的值为，     ∴或； 答：购进方案为：方案一：购进型泳衣19件，型泳衣31件； 方案二：购进型泳衣20件，型泳衣30件． 4．如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A，B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买2箱A品牌螺蛳粉和3箱B品牌螺蛳粉共需要440元，购买1箱A品牌螺蛳粉和4箱B品牌螺蛳粉则需要420元． (1)求A，B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？ (2)小罗计划购买A，B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？ 【答案】(1)100元，80元 (2)60箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，根据“购买2箱A品牌螺蛳粉和3箱B品牌螺蛳粉共需要440元，购买1箱A品牌螺蛳粉和4箱B品牌螺蛳粉则需要420元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A品牌螺蛳粉购买m箱，则B品牌螺蛳粉购买箱，根据总价单价数量，结合总价不超过9200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，根据题意列方程组得 解之得 答：A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为100元和80元． （2）设A品牌螺蛳粉购买m箱，则B品牌螺蛳粉购买箱， 依题意得 答：A品牌螺蛳粉最多可购买60箱． 题型01 列一元一次不等式 典｜例｜精｜析 1．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示限高标志，表示能通过该桥洞的最大高度，则通过该桥洞的车高（单位：）的范围可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，通过该桥洞的车高（单位：）的范围可表示为． 变｜式｜巩｜固 2．在学校组织的安全教育知识测试中，总分100分，不低于95分的成绩定为“A”等级，在本次测试中，小明得分，等级为“A”，则小明本次测试的成绩范围用不等式表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正确理解“不低于”的含义，结合总分的限制，推导出得分的正确范围． 【详解】解：由题意得，小明本次测试的成绩范围为． 3．某款智能语音机器人的进价为元，商店按进价提高后标价，为让利顾客，销售时在标价的基础上给予一定的折扣优惠，若要使每台机器人的利润率不低于，设商店将这批机器人按标价的折销售，则可列不等式__________． 【答案】 【分析】明确进价、标价、售价、利润率之间的不等关系，根据利润率不低于的要求列不等式即可． 【详解】解：进价为元，商店按进价提高后标价， 标价为元， 机器人按标价的折销售， 实际售价为元， 要求利润率不低于，即实际售价不低于进价的倍， 可列不等式． 4．某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0.48 0.53 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过200元，求李叔家七月份最多可用电的度数． 【答案】李叔家七月份最多可用电396度 【分析】设李叔家七月份用电x度，列不等式并解不等式求出x的范围，再根据李叔计划七月份电费支出不超过200元列不等式并解不等式即可得到答案． 【详解】解：设李叔家七月份用电x度， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：， 又∵x为整数， ∴x的最大值为396． 答：李叔家七月份最多可用电396度． 题型02 销售问题 解题贴士 一元一次不等式销售问题易错点：容易混淆利润、进价、售价、利润率的公式关系，列式出现数据错误。常误解盈利、不亏本、让利销售等题意，写错不等符号。易忽略商品数量为正整数，忘记结合实际取舍解集，出现不合题意的答案。 典｜例｜精｜析 5．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲种笔记本15本、乙种笔记本20本作为奖品，共花费250元．已知购买1本甲种笔记本比购买1本乙种笔记本多花费5元． (1)求购买1本甲种笔记本、1本乙种笔记本各需多少元． (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，在期末考试后班主任决定再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多可以购买多少本甲种笔记本，并求按此方案购买两种笔记本的总费用． 【答案】(1)购买1本甲种笔记本需10元，1本乙种笔记本需5元 (2)至多可以购买21本甲种笔记本，按此方案购买两种笔记本的总费用为224元 【分析】（1）根据两种笔记本的购买数量、总花费及单价差的等量关系列方程求解． （2）根据调整后的单价、购买总数量及总费用限制列不等式，求出甲种笔记本数量的最大整数解后计算总费用． 【详解】（1）解：设购买1本乙种笔记本需元，则购买1本甲种笔记本需元，根据题意得：， ， （元）． （元）． 答：购买1本甲种笔记本需10元，1本乙种笔记本需5元． （2）设购买甲种笔记本本，则购买乙种笔记本（）本，根据题意得： ， ， ， ， 由题意可知：为正整数， 的最大值为21． 此时总费用为：（元）． 答：至多可以购买21本甲种笔记本，按此方案购买两种笔记本的总费用为224元． 变｜式｜巩｜固 6．某商家去年秋季用14500元购进了某品牌卫衣和衬衫共80件，卫衣每件200元．衬衫每件150元，衬衫在成本的基础上提价进行销售，且全部销售完，卫衣以300元的价格销售了卫衣总进货量的，今年该商家为了减少库存积压，计划反季节促销，将剩下的卫衣在原售价的基础上降价销售． (1)求该商家去年秋季购进了卫衣和衬衫各多少件？ (2)在反季节促销时，发现有3件卫衣损坏，无法对外销售．求每件卫衣最多降价多少元，可以使商家在销售完这批衬衫和卫衣后，利润不低于总成本的？ 【答案】(1) 该商家去年秋季购进卫衣50件，衬衫30件 (2) 每件卫衣最多降价25元 【分析】（1）根据总进货量和总进价的等量关系，列方程求解卫衣和衬衫的进货数量． （2）根据利润不低于总成本的不等关系，列不等式求解卫衣的最大降价金额． 【详解】（1）解：设购进卫衣件，则购进衬衫件， 根据题意可得， 解得：， （件）， 答：购进卫衣50件，衬衫30件； （2）解：设每件卫衣降价元， 衬衫总销售额：（元）， 去年已售卫衣数量：（件），销售额：（元）， 今年可售卫衣数量：（件），销售额：元， 由题意得总销售额不低于元， 则， 解得：， 答：每件卫衣最多降价25元． 7．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为响应“健康第一”的号召，某校计划购买A、B两种品牌的足球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 第一次购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元； 素材二 已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元； 素材三 根据需要，学校决定第二次购进A、B两种品牌的足球共50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折． 请完成下列任务： (1)任务一：A、B两种品牌足球的单价各是多少元？ (2)任务二：如果第二次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，请问至少要买多少个A种品牌的足球？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价为50元，B种品牌足球的单价为80元 (2)至少买25个A种品牌足球 【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可； （2）设第二次购买m个A种品牌的足球，则购买个B种品牌的足球，根据题意列出一元一次不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：任务一：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元， 根据题意列得方程组， 解方程组得，， 答：A种品牌足球的单价为50元，B种品牌足球的单价为80元； （2）解：任务二：设第二次购买m个A种品牌的足球，则购买个B种品牌的足球， 根据题意得：， ， ， 答：至少买25个A种品牌足球． 8．学校为鼓励学生参与数学节活动，定制钥匙扣和帆布包两款纪念品，商家提供、两种不同类型的套装供学校选择． 类型 钥匙扣（个） 帆布包（个） 总价（元） 套装 套装 (1)求钥匙扣和帆布包的单价分别是多少元？ (2)在同学们的积极参与下，第一批采购的个套装和个套装已被全部兑换．现计划追加采购两款纪念品共个，经与商家协商，学校可按原价单独购买钥匙扣和帆布包（不按套装采购），若两次采购总费用不超过元，则第二次最多可购进多少个帆布包？ 【答案】(1)钥匙扣单价为元，帆布包单价为元． (2)第二次最多可购进个帆布包． 【分析】（1）设钥匙扣单价为元，帆布包单价为元，根据套装、套装的数量与总价列二元一次方程组，求解得到两件商品的单价． （2）先计算第一次采购的总费用，设第二次购进帆布包个，则钥匙扣为个，根据两次采购总费用不超过元列出一元一次不等式，求解不等式取最大整数解． 【详解】（1）解：设钥匙扣单价为元，帆布包单价为元． ， 解得， 答：钥匙扣单价元，帆布包单价元； （2）解：设第二次购进帆布包个，则购进钥匙扣个． ， 解得， 为正整数， 最大取． 答：第二次最多可购进个帆布包． 题型03 利润率问题 典｜例｜精｜析 9．太原滨河自行车专用车道自2021年5月1日投入使用以来，已成为市民骑行健身的打卡地，使自行车销量大增．今年春天，某自行车专营店购进A，B两种品牌的自行车共50辆，A，B两种品牌的自行车进价分别为1000元/辆和750元/辆．在销售过程中发现，A品牌自行车的利润率为，B品牌自行车的利润率为．若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500元，那么此次最少购进多少辆A品牌自行车．（提示：利润率利润进价） 【答案】此次最少购进20辆A品牌自行车 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设购进品牌自行车辆，则购进品牌自行车辆，分别表示出A品牌自行车和B品牌自行车的利润，再根据总利润不低于29500元列出不等式求解即可． 【详解】解：设购进品牌自行车辆，则购进品牌自行车辆， 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 所以的最小值为20， 答：此次最少购进20辆A品牌自行车． 变｜式｜巩｜固 10．某品牌护眼灯的进价为元，商店以元的价格出售．“购物节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元（ ）． 【答案】 【分析】设该护眼灯最多可降价元，根据“利润率不低于的价格降价出售”列不等式求解即可． 【详解】解：设该护眼灯可降价元， 由题意可得，， 解得； 该护眼灯最多可降价元． 11．随着生活水平的逐年提高，体育器材成为我们日常的消费品，某体育用品商场预测某品牌运动器材能够畅销，就用36000元购进了一批这种运动器材，上市后很快脱销，商场又用81000元购进第二批这种运动器材，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套器材进价多了15元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元？（利润率） 【答案】(1)该商场两次共购进这种运动器材套； (2)每套器材售价至少是元． 【分析】（1）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套，根据题意可得，然后解分式方程并检验即可； （2）设每套器材售价为元，由总利润率不低于可得，然后解不等式并检验即可． 【详解】（1）解：设第一批购进运动器材套，则第二批购进套， 根据题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则两次共购进：（套）， 答：该商场两次共购进这种运动器材套； （2）解：设每套器材售价为元， ∵成本为（元）， ∴由题意得， 解得， 因为取整数， 所以的最小值为， 所以每套器材售价至少是元． 12．随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 【答案】(1)该商场两次共购进这种运动器材套； (2)每套器材售价至少是元． 【分析】（）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套，根据题意可得，然后解分式方程并检验即可； （）设每套器材售价为元，由总利润率不低于可得，然后解不等式并检验即可． 【详解】（1）解：（1）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套， 根据题意可得：， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则两次共购进：（套）， 答：该商场两次共购进这种运动器材套； （2）解：设每套器材售价为元， ∵成本为（元）， ∴利润为， 由总利润率不低于可得：， 解得， 因为取整数， 所以的最小值为， 所以每套器材售价至少是元． 题型04 最大利润问题 典｜例｜精｜析 13．综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为元，B型号的进价为元； 素材2：该电器商城准备用不超过元的金额采购这两种型号的电风扇共台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售台A型号电风扇和台B型号电风扇，共获得销售收入元；销售台A型号电风扇和台B型号电风扇，共获得销售收入元． 【任务】 (1)任务1：求A，B两种型号的电风扇的销售单价． (2)任务2：求A种型号的电风扇最多能采购多少台． (3)任务3：该电器商城销售完这台电风扇能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案，并说明在这些方案中，哪种方案利润最大，求出最大利润；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元、元． (2)A种型号的电风扇最多能采购台． (3)能实现利润超过元的目标，采购方案有三种： 方案一，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台． 方案二，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台． 方案三，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台． 采购A型号电风扇台，B型号电风扇台时利润最大，最大利润为元． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元、元． 由题意可得 解得 答：A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元、元． （2）解：设A种型号的电风扇采购台，则B种型号的电风扇采购台． 根据题意可得 解得 因为为正整数，所以的最大值为． 答：A种型号的电风扇最多能采购台． （3）根据题意，得 解得 由（2）可知，且为正整数，所以可以取，，． 所以，能实现利润超过元的目标，采购方案有三种： 方案一，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台． 方案二，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台． 方案三，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台． 方案一利润：（元）． 方案二利润：（元）． 方案三利润：（元）． 所以，采购A型号电风扇台，B型号电风扇台时利润最大，最大利润为元． 变｜式｜巩｜固 14．某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个 (3)方案三利润最大，最大利润是1450元 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据题意列出不等式得到，然后结合求解即可； （3）分别计算三种方案的利润比较即可． 【详解】（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得， 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元； （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得 解得 ∵， ∴ ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110 ∴该网店有3种进货方案： 方案一：购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二：购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三：购进甲种书包90个，乙种书包110个． （3）解：方案一：利润为（元）； 方案二：利润为（元）； 方案三：利润为（元）； ∵ ∴方案三利润最大，最大利润是1450元． 15．2024年11月15日，郑州市热力公司开启了全市供暖，但由于供暖后室内干燥，因此大多数市民们选择使用室内空气加湿器．某商场根据民众需要，代理销售每台进价分别为220元、180元的A，B两种型号的空气加湿器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 2400元 第二周 6台 9台 5100元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A，B两种型号的空气加湿器每台的售价． (2)若商场准备用不超过5880元的金额再采购这两种型号的空气加湿器共30台，如何购买才可以使商场销售完这30台空气加湿器后获得最大利润？请给出相应的采购方案，并求出最大利润． 【答案】(1)A型空气加湿器每台的售价为400元，B型空气加湿器每台的售价为300元 (2)当购进12台A型空气加湿器，18台B型空气加湿器时，可获得最大利润，最大利润为4320元 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设型号空气净化器单价为元，型号空气净化器单价元，根据3台型号，3台型号的销售收入为2400元，6台型号9台型号的销售收入为5100元，列方程组求解； （2）设采购种型号空气净化器台，则采购种型号空气净化器台，根据金额不超过5880元，列不等式求解； 【详解】（1）解：设A型空气加湿器每台的售价为x元，B型空气加湿器每台的售价为y元． 由题意，得， 解得：， 答：A型空气加湿器每台的售价为400元，B型空气加湿器每台的售价为300元． （2）解：设购进A型空气加湿器a台，则购进B型空气加湿器台． 由题意，得， 解得：． 设总利润为W元． 由题意，得． ， W随a的增大而增大． 当时，W有最大值为4320元，此时，． 答：当购进12台A型空气加湿器，18台B型空气加湿器时，可获得最大利润，最大利润为4320元． 16．猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 40 35 销售价（元/个） 58 45 (1)第一次小李用1900元购进了两款玩偶共50个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)A款玩偶购进30个，B款玩偶购进20个 (2)按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是380元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，代数式的表示及最值，解题关键是厘清题意，找出数量关系，区分等式和不等式的地方． （1）设A款玩偶购进x个，根据两款玩偶的总数量，总成本及进价，即可列出方程求解； （2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进个，根据两款购进的数量要求列出不等式，求出a的范围；再根据两款玩偶的进价和售价，表示出利润，结合a的范围，即可求解． 【详解】（1）解：设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进个 由题意，得 解得： 答：A款玩偶购进30个，B款玩偶购进20个； （2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进个， 由题意，得， 解得， ∴a最大值为10 设获利y元，则 ∵一个加数300不变，当另一个加数最大时，和y最大． ∴时，最大，此时y最大值为380元， ∴时，此时y最大值为元 此时B款玩偶为：（个） 答：按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是380元． 题型05 积分问题 典｜例｜精｜析 17．3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为______； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要______人报名参加“24点速算”． 【答案】 176分 18 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）求出只参加一项的人数再进行计算即可； （2）设七年级2班共有x人，由题意得，求出七年级2班共有30人，再需要y人报名参加“24点速算”，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：（1）七年级1班参加一项的人数为：（人）， 积分为：（分）， 故答案为：176分； （2）设七年级2班共有x人， 由题意得：， 解得， ∴七年级2班共有30人． 设需要y人报名参加“24点速算”， 由题意得：， 解得， 又∵y为正整数， ∴y的最小值为18， 即至少需要18人报名参加“24点速算”， 故答案为：18． 变｜式｜巩｜固 18．“碳路先锋、绿动未来”，年6月日是第个全国低碳日．某公司为深入宣传低碳发展理念，用碳积分来激励员工低碳出行．上下班的低碳出行累积的积分可兑换公交优惠券等权益（每月可兑换一次，当月的积分不可累积到下个月使用）．已知每乘坐一次公交车可获得个碳积分，步行则按总步数核算碳积分．小悦每日上下班各出行次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）步行步； 方式二：步行步． 已知小悦单次选用方式一上班获得的碳积分比单次选用方式二上班获得的碳积分少个． (1)求每获得个碳积分需要步行多少步? (2)小悦当月工作天，每日上下班任选一种方式出行，当月小悦需累计至少个碳积分才能兑换到心仪权益，则当月最多可选用多少次方式一出行? 【答案】(1)步 (2)当月最多可选用次方式一出行 【分析】（1）设每获得个碳积分需要步行步，列分式方程求解即可； （2）设当月小悦使用方式一出行（且为整数）次，则使用方式二出行次，列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每获得个碳积分需要步行步， 根据题意得，          解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：每获得个碳积分需要步行步； （2）解：方式一：单次获得积分为（个）， 方式二：单次获得积分为（个）， 小悦当月上下班的总出行次数为（次）， ∴设当月小悦使用方式一出行（且为整数）次，则使用方式二出行次， 根据题意得，解得， 且为整数， ∴最大可取， 答：当月最多可选用次方式一出行． 19．项目学习：体育比赛计分 某校积极推进“阳光体育”工程，在七、八年级共11个班中开展篮球友谊赛，采取单循环赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛），平局进行加时比赛分出胜负． 下表是其中两个球队的积分： 队名 胜（场数） 负（场数） 积分 蓝天队 6 4 22 雄鹰队 4 6 18 用方程（组）或不等式完成下列三个任务： (1)任务一：根据上表内容求出该比赛的计分规则（即胜一场积几分，负一场积几分） (2)任务二：梦想队想让自己队的胜场积分与负场积分相同，他们能实现吗？请说明理由； (3)任务三：雄狮队了解到，该校上届获得冠军的战王队积分是24分．雄狮队想要在本届比赛中超越上届冠军（计分规则不变），请直接写出他们至少要胜多少场． 【答案】(1) 胜一场积3分，负一场积1分 (2) 解：任务二：不能实现，理由如下： 设梦想队胜了m场，则负了场， 由题意，得， 解得， ∵2.5不是整数，不符合题意， ∴不能实现； (3) 至少要胜8场 【分析】（1）任务一：设胜一场积x分，负一场积y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）任务二：设梦想队胜了m场，则负了场，根据梦想队想让胜场积分与负场积分相同，列出一元一次方程，解方程，即可得出结论； （3）任务三：设他们要胜n场，则负场，根据该校上届获得冠军的积分是24分，雄狮队在本届比赛中想要超越上届冠军，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：任务一：设胜一场积x分，负一场积y分， 由题意，得， 解得， 答：胜一场积3分，负一场积1分； （2）略 （3）解：任务三：设他们要胜n场，则负场， 由题意，得， 解得， ∵n是整数， ∴n取8． 答：至少胜8场． 20．四年一届的足球世界杯开始了，从6月11日到7月19日，由美，加，墨联合举办．同时，中国足球小将也在意大利杯夺冠，真是振奋人心！今年五一劳动节期间，来自全国各地的球迷相聚大连梭鱼湾足球场，再一次刷新中超历史第二的上座纪录．如下表是截至2026年5月6日，2026赛季中国足球超级联赛部分球队的积分情况． 表：中国足球超级联赛积分榜（部分球队） 球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 成都蓉城 11 8 2 1 26 山东泰山 11 5 2 4 17 天津津门虎 11 4 4 3 16 浙江 11 4 3 4 15 大连英博 11 3 4 4 13 梅州客家 11 3 3 5 12 备注：负1场得0分 小王和小李不仅热爱足球，而且对联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场，平一场分别积几分？” 小王的思路是：设胜一场积分，则根据“成都蓉城”胜平场数与积分的关系，用含的式子表示平一场的积分为_________，再根据“大连英博”胜平场数与积分的关系，可列一元一次方程为_________． 小李的思路是：设胜一场积分，平一场积分，列二元一次方程组解决此问题． (1)请将小王的思路中的空格处补充完整； (2)请按照小李的思路，选择不同于小王所选球队的数据，求出胜一场，平一场分别积几分？ (3)如果另一支球队同样参加了11场比赛，积分超过表中排名第一的球队，那么这个球队至少胜几场？直接写出获胜场数． 【答案】(1)；； (2)胜一场积3分，平一场积1分 (3)至少胜8场 【分析】（1）“成都蓉城”胜8场，平2场积26分，则平一场的积分为分；“大连英博”胜3场，平4场积13分，再建立方程即可； （2）设胜一场积x分，平一场积y分．根据山东泰山和天津津门虎胜平场数与积分的关系建立方程组求解即可． （3）由成都蓉城积分分，负场，另一队积分超过表中排名第一的球队，可得另一队胜负有三种情况，再分情况求解即可. 【详解】（1）解：∵“成都蓉城”胜8场，平2场积26分， ∴平一场的积分为分； ∵“大连英博”胜3场，平4场积13分， ∴. （2）解：选择山东泰山，天津津门虎两队： 设胜一场积x分，平一场积y分． 根据题意，列得方程组， 解得， 答：胜一场积3分，平一场积1分． （3）解：∵排名第一的成都蓉城积分分，负场，另一队积分超过表中排名第一的球队， ∴另一队胜负有三种情况： ①另一队负场，则其余场全胜， ∴得分, ②另一队负场，设胜了场，平了场， 则， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为, ③另一队没有负场，设胜了场，平了场， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为， 答：这个球队至少胜场. 题型06 方案设计问题 典｜例｜精｜析 21．一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种： 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数） (1)若时，选择方案①的总费用为___________元，选择方案②的总费用为___________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ (3)方案一比方案二最多优惠___________元． 【答案】(1)； (2) ：①当时， 方案①费用：； 方案②费用：， 令， ∴． 当时，，方案②更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案①更优惠； ②当时，方案①费用：；方案②费用：； 令， ∴． 当时，，方案①更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案②更优惠； (3)20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、列代数式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，方案①：会员证280元每次20元，可得，总费用为元；方案②：根据题意可得总费用为元，进而得解； （2）依据题意，分时、时，和时，分别计算可以得解； （3）依据题意，分、和时，分别分析计算可以得解． 【详解】（1）解：方案①：会员证280元每次20元， ∴x为次数，总费用为元； 方案②：前30次费用元超过30次部分（次），每次元， ∴总费用为元； 故答案为：；； （2）略 （3）解：方案一比方案二最多优惠的金额优惠额方案②费用方案①费用，需找优惠额的最大值： 当时，方案②更便宜，优惠额为负（无优惠）； 当时，优惠额（随x增大而增大）， 时，优惠额元； 当时，优惠额（随x增大而减小），最大值小于20元． 综上，方案一比方案二最多优惠20元． 故答案为：20． 变｜式｜巩｜固 22．为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本20元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：40本以内按原价（含40本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物，方案一购买书本所需要的费用为，方案二购买书本所需要的费用为，请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用： (2)假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)当时，选择方案二；当时，选择方案一；当时，选择两种方案都可 【分析】（1）根据两种优惠方案，进行列式，即可作答； （2）根据题意分别列出不等式和方程求解． 【详解】（1）解：方案一：； 方案二：； （2）解：当时，解得：， 当时，选择方案二； 当时，解得：， 当时，选择方案一； 当时，解得， 当时，选择两种方案都可． 23．由于“618购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，6月份某商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，7月份该商场对全场促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一 可购买100元代金券，每张89元，每次消费时最多可使用3张，能使用尽量使用，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费原总价不超过300的部分九折优惠，超过300元的部分八折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费140元，按照方案一使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费220元，按照方案一使用代金券后，实际花费 元； (2)若某次实际花费350元，则在使用优惠方案前需花费 元； (3)小明一家在商场消费了元． ①若按照方案一使用代金券进行优惠，实际花费 元；若按照方案二进行优惠，实际花费 元；（用含x的代数式表示） ②选择哪种方案更省钱？ 【答案】(1)198 (2)383或400 (3)①；；②当时，选择方案一更省钱；当时，方案一和方案二一样省钱；当时，选择方案二更省钱 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，理解两个优惠方案，正确建立方程和不等式是解题关键． （1）根据方案一可得消费220元可以使用两张代金券，据此列式运算式子，计算有理数的四则混合运算即可得； （2）分两种情况：若按照方案一，可以使用三张代金券，据此列出运算式子计算即可得；若按照方案二，设在使用优惠方案前需花费元，建立方程，解方程即可得； （3）①按照方案一，可以使用三张代金券，据此列出代数式，化简即可得；按照方案二可列出代数式，化简即可得； ②根据①的结果，分三种情况，建立不等式和方程，解不等式和方程即可得． 【详解】（1）解：按照方案一使用代金券后，实际花费为 （元）， 故答案为：198． （2）解：若按照方案一，则（元）， 在使用优惠方案前需花费（元）； 若按照方案二，设在使用优惠方案前需花费元， ∵， ∴， 由题意得：， 解得， 即按照方案二，在使用优惠方案前需花费400元， 故答案为：383或400． （3）解：①若按照方案一使用代金券进行优惠， 则实际花费为（元）； 若按照方案二进行优惠， 则实际花费为（元）； 故答案为：；． ②当时，解得， 即当时，选择方案一更省钱； 当时，解得，方案一和方案二一样； 当时，解得，选择方案二更省钱； 答：当时，选择方案一更省钱；当时，方案一和方案二一样省钱；当时，选择方案二更省钱． 24．活动目的：采购三晋特色文创玩偶 活动背景：“表里山河，文脉绵长；三晋匠心，指尖流芳”．为传承山西优秀传统文化，某文化传播公司计划采购一批具有三晋特色的文创玩偶，用于“晋韵流芳”主题展览的互动体验和纪念品发放． 素材一：购买3个“晋侯鸟尊”玩偶和4个“刀削面”玩偶共需170元；购买5个“晋侯鸟尊”玩偶和2个“刀削面”玩偶共需190元． 素材二：该公司计划购买这两种玩偶共20个．为降低采购成本，文创工坊推出两种优惠方案（只能选择其中一种方案，每种玩偶都需要购买） 素材三：方案一：购买任意玩偶满10个，总价打九折； 方案二：购买“晋侯鸟尊”玩偶每个优惠，其它按原价销售． (1)任务一：求“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价． (2)任务二：设购买“晋侯鸟尊”玩偶个，采用方案一支付费用为，采用方案二支付费用为，请你帮助采购部门选择购买方案． 【答案】(1)“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元； (2)当购买“晋侯鸟尊”玩偶个时，两种方案的费用一样，选择方案一或方案二；当时，方案二费用少，选择方案二；当时，方案一费用少，选择方案一． 【分析】（1）设“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元，根据购买3个“晋侯鸟尊”玩偶和4个“刀削面”玩偶共需170元；购买5个“晋侯鸟尊”玩偶和2个“刀削面”玩偶共需190元．建立二元一次方程组求解即可； （2）先根据题意分别表示出，再分别求，即可解答． 【详解】（1）解：设“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元， 根据题意，得， 解得， 答：“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元； （2）解：根据题意，得，， 当时，则，解得； 当，则，解得， ∵为正整数，每种玩偶都需要购买， ∴； 当，则，解得， ∵为正整数，每种玩偶都需要购买， ∴； 答：当购买“晋侯鸟尊”玩偶个时，两种方案的费用一样，选择方案一或方案二；当时，方案二费用少，选择方案二；当时，方案一费用少，选择方案一． 题型07 行程问题 典｜例｜精｜析 25．小明从家中出发去上学，小明家距离学校，当走到一半的路程时发现离上课时间只剩了．如果小明要按时赶到学校，那么他走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？ 【答案】小明走剩下的一半路程的平均速度至少要达到 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设小明走剩下的一半路程的平均速度为，根据小明在内所走的路程大于或等于剩下的一半路程建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：设小明走剩下的一半路程的平均速度为． 由题意得：， 解得． 答：小明走剩下的一半路程的平均速度至少要达到． 变｜式｜巩｜固 26．“一方有难，八方支援”，一辆货车向灾区运送物资，共有170千米的路程，需要不超过2小时送到，前80分钟行驶了120千米，后40分钟的速度至少为多少才能不延误时间？（列不等式解答） 【答案】 后40分钟的速度至少为75千米/小时才能不延误时间． 【分析】先统一时间单位，将分钟换算为小时，确保各物理量单位匹配．设后40分钟的速度为未知数，根据“路程=速度×时间”表示出后段行驶的路程．因为前段路程与后段路程之和需要至少达到170千米才能不延误，所以前段路程加后段路程大于等于170千米，据此列一元一次不等式．解所列的一元一次不等式，得到速度的取值范围． 【详解】解：设后40分钟的速度为x千米/小时， 根据题意得：， 解得：， x的最小值为75． 答：后40分钟的速度至少为75千米/小时才能不延误时间． 27．某运动员长跑的个人最好成绩为．在一次长跑比赛中，他跑完前用时．如果这名运动员希望在本次比赛中获得的成绩不低于自己的个人最好成绩，那么在剩下的路程中，他的平均速度至少要为多少？ 【答案】他的平均速度至少要为． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，审清题意、正确列出一元一次不等式成为解题的关键． 设在剩下的路程中，他的平均速度为，由题意可知跑完后的时间最多为，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知跑完后的时间最多为， 设在剩下的路程中，他的平均速度为， 由题意可得：，解得：． 答：他的平均速度至少要为． 28．某化工厂与A、B两地都分别有公路、铁路相连，从A地购买原料运回工厂制成产品运到B地销售．已知3t产品的销售款比4t原料的进货款多20000元，2t产品的销售款比1t原料的进货款多15000元． （1）求每吨原料的进货款和产品的销售款分别多少元？ （2）如表为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（t•km），铁路运价为1.2元/（t•km），且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，求这批原料比产品多多少吨？ A地 B地 公路段路程（km） 10 20 铁路段路程（km） 120 110 （3）工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20t，若要增加at的产品，就要再购买at的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购买多少吨的原料？ 【答案】（1）每吨原料的进货款为1000元，每吨产品的销售款为8000元；（2）多100吨；（3）至少需要再购买8吨的原料． 【分析】（1）设每吨原料的进货款为元，每吨产品的销售款为元，根据“产品的销售款比原料的进货款多20000元，产品的销售款比原料的进货款多15000元” 建立方程组，解方程组即可得； （2）设这批原料为吨，产品为吨，根据表格的路程、以及价格和费用建立方程组，解方程组即可得； （3）设工厂原计划购买的原料为吨，从而可得原计划的产品为吨，先根据“原料总重量是产品总重量的2倍”可求出，从而可得原料的总重量和产品的总重量，再根据“此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元”建立关于的一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】解：（1）设每吨原料的进货款为元，每吨产品的销售款为元， 由题意得：， 解得，且符合题意， 答：每吨原料的进货款为1000元，每吨产品的销售款为8000元； （2）设这批原料为吨，产品为吨， 由题意得：， 解得，且符合题意， 则（吨）， 答：这批原料比产品多100吨； （3）设工厂原计划购买的原料为吨，则原计划的产品为吨， 原料总重量是产品总重量的2倍， ， 解得， 则原料的总重量为（吨），产品的总重量为（吨）， 由题意得：， 解得， 则， 答：至少需要再购买8吨的原料． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． 题型08 工程问题 典｜例｜精｜析 29．某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 变｜式｜巩｜固 30．合肥市2025年城市更新与道路品质提升工程招标，有A、B两家施工队参与投标．经测算：A队单独完成工程需要60天；若A队先施工30天，再由A、B两队合作12天，共完成总工程量的． (1)求B队单独完成这项工程需要多少天？ (2)已知A队施工一天需付工程款万元，B队施工一天需付工程款2万元．该工程由A、B两队先合作若干天，剩余工程由B队单独完成，若要求总工程款不超过195万元，求A、B两队最多可合作多少天？ 【答案】(1)90天 (2)30天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量的三分之二，列出分式方程，解方程即可； （2）设甲、乙两队合作m天，则乙队还需单独工作天才可完工，根据总工程款甲队工作时间乙队工作时间，结合工程款不超过195万元，列出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需要x天，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙队单独完成这项工程需要90天； （2）解：设甲、乙两队合作m天，则乙队还需单独工作天才可完工， 依题意得：， 解得：． 答：甲、乙两队最多合作30天． 31．综合与实践 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米． 【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是 米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是 米；（用含有字母的代数式表示） 【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 【答案】（1），，；（2）甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；（3）0.4万元 【分析】本题主要考查列代数式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意可得答案； （2）根据若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，列出方程组，解方程组求解即可； （3）设乙工程队每天的施工费用为a万元，根据甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元列不等式，解不等式可求解． 【详解】解：（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是米， 故答案为：；；； （2）由题意得：， 解得：， 答：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米； （3）设乙工程队每天的施工费用为a万元， 由题意得：， 解得， 答：乙工程队每天的施工费用最多为0.4万元． 32．为了促进乡村特色产品的销售，某村政府准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 【答案】(1)甲、乙两个工程队每天各施工30米，20米 (2)乙工程队每天的施工费用最多是万元 【分析】（1）设甲、乙两个工程队每天各施工x米，y米，根据甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程列出方程组求解即可； （2）设乙工程队每天的施工费用为m万元，根据总费用不超过12万元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队每天各施工x米，y米， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两个工程队每天各施工30米，20米； （2）解：设乙工程队每大的施工费用为m万元， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为， ∴乙工程队每天的施工费用最多是万元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程组，找到不等关系建立不等式是解题的关键． 题型09 图表信息问题 典｜例｜精｜析 33．中超联赛一共三十轮，积分规则是胜一场得分，平一场得分，负一场得分，同分的情况下胜场多的排名靠前．现在有一张第六名到第八名被污渍影响的积分表； 名次 队名 场次 胜 平 负 积分 队 队 队 (1)你能否从该表格中的信息求得队的积分为多少？ (2)请你列式计算一下队可能会有几场胜场． 【答案】(1)36 (2)8、9、10、11 【分析】（1）根据题意先计算队平的场次，再根据积分规则计算总积分； （2）设队的胜场为，则平场为，为正整数，根据排名情况列出不等式，求解的取值范围，再分情况讨论得到队的胜场情况． 【详解】（1）解：由题意得，队平的场次为：（场）， 队的积分为（分）． （2）解：由题意得，队的胜场与平场共场，队的积分为分， 设队的胜场为，则平场为，为正整数， 根据排名规则，可得， 解得，且为正整数． 当时，队的积分为（分）， 此时与队同分，但胜场少，不符合题意，舍去； 当时，队的积分为（分），符合题意； 当时，队的积分为（分），符合题意； 当时，队的积分为（分），符合题意； 当时，队的积分为（分）， 此时与队同分，因胜场比队少，符合题意． 故队可能有8、9、10、11场胜场． 变｜式｜巩｜固 34．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．拟定如下表的两种购买方案： 甲品牌毽子/个 乙品牌毽子/个 总价/元 方案一 12 4 152 方案二 15 8 214 (1)求甲品牌毽子和乙品牌毽子的单价； (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共1000个，且总费用不超过9100元，甲品牌毽子最多能买多少个？ 【答案】(1)甲品牌的毽子单价为10元，乙品牌的毽子单价为8元 (2)甲品牌的毽子最多能买550个 【分析】（1）理解题意，先设甲品牌的毽子单价为元，乙品牌的毽子单价为元，结合表格数据列出方程组，最后解得，的值，即可作答． （2）根据购买甲、乙两种品牌毽子共1000个，且总费用不超过9100元，列出一元一次不等式，再解得，最后作答即可． 【详解】（1）解：设甲品牌的毽子单价为元，乙品牌的毽子单价为元 依题意，得 解得 答：甲品牌的毽子单价为10元，乙品牌的毽子单价为8元， （2）解：设甲品牌的毽子买了个，则乙品牌的毽子买了个， 依题意，得 解得 答：甲品牌的毽子最多能买550个 35．口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害的气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．新冠疫情防控期间，某药房购进了一批A，B两种不同型号口罩进行销售．下表是甲、乙两人购买A，B两种型号口罩的情况： 型号 A型号数量（单位：个） B型号数量（单位：个） 总售价（单位：元） 甲 2 4 乙 5 2 (1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？ (2)某中学计划购买A，B两种型号的口罩共1500个，其中A型口罩的个数不少于B型口罩个数的2倍，那么这个中学至少需要准备多少个A型口罩？ 【答案】(1)一个A型口罩售价1元，一个B型口罩售价元 (2)这个中学至少需要准备1000个A型口罩 【分析】（1）设一个A型口罩售价x元，一个B型口罩售价y元，根据表格中数据列出方程组，解方程组即可； （2）设这个中学需要准备m个A型口罩，则需要准备个B型口罩，根据A型口罩的个数不少于B型口罩个数的2倍，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设一个A型口罩售价x元，一个B型口罩售价y元，根据题意得： ， 解得：， 答：一个A型口罩售价1元，一个B型口罩售价元； （2）解：设这个中学需要准备m个A型口罩，则需要准备个B型口罩，根据题意得： ， 解得：， 答：这个中学至少需要准备1000个A型口罩． 36．圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量（个） … 总高度（） … 请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是________个． 【答案】29 【分析】观察表格数据得出每增加一个杯子高度增加，摞起杯子的总高度为：，根据总高度不超过列一元一次不等式求解． 【详解】解：由表格数据可知，每增加一个杯子，总高度增加， 摞起杯子的总高度为：， 根据题意，得， 解得． 为正整数， 的最大值为． 故一摞最多能叠的杯子个数是个． 题型10 用一元一次不等式解决几何问题 典｜例｜精｜析 37．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则的长可能为（     ） A．1.5 B．2.1 C．2.4 D．3.0 【答案】A 【分析】根据题意可得的周长等于正方形的周长，都为4，设，则，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：正方形的周长为， ∴的周长， 设，则， ∵， ∴， 解得， 即， ∴A选项符合题意． 变｜式｜巩｜固 38．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 39．规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，为“倍角”． ①若，求的度数． ②若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形是“2倍角三角形” (2)①的度数为；② 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质、一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解新定义是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质并结合“2倍角三角形”的定义求解即可； （2）①根据“2倍角三角形”的定义分为两种情况：或，然后判断求解即可； ②设（为另一个内角），则第三个内角为，根据锐角三角形的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形的内角为、、， 则其中， ∴符合“2倍角三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“2倍角三角形”； （2）解：①∵， ∴， ∵是“倍角”，则或， 当时，设， 则 解得， ∴； 当时，则（舍去）， 综上所述，的度数为； ②设（为另一个内角），则第三个内角为． ∵是锐角三角形，三个内角均小于， ∴且且， ∴且且， ∴， ∵， ∴． 40．如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，________； (2)①点在上运动时，________．（用含的代数式来表示） ②若点为线段的中点，的面积为，用含的代数式表示（）． 当时，________． 当时，________． 当时，________．（所填结果均需化简） (3)若点从出发2秒后，点以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过1时，请直接写出相应的取值范围． 【答案】(1)1 (2)①；②，， (3)，， 【分析】（1）先根据路程=速度时间求出的长度，然后利用已知条件即可求出的长度． （2）先根据的取值范围分别判断点的位置，画出，根据面积法利用即可表示出每种情况对应的面积． （3）将点分三种情况讨论，分别是到达之前，到达返回未到达点时，到达终点时，根据三种情况分别列不等式，求出对应解集即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ． （2）解：①当点在上运动时，点运动的路程为， ， 四边形为长方形， ， ． ②当时，点在上，如图所示，则， 的高和的长度相等，即是4， ． 当时，点在线段上，如图所示， 则，， 是中点，为长方形，， ， ， 当时，点在线段上，如图所示， 则 ，， ． （3）解：比先出发秒，的速度为每秒3个单位， 的路程为． ①当点未到达点时，且点未到达点时，如图所示， 由第一个图可知，，， ， 由第二个图可知，，则， ， ， ， 根据题意列不等式得，，解得． ②当点到达点返回时还没有到达点，且点还没有到达点，如图所示， 由第一个图可知，，， ， 由第二个图可知，，，， ， ， 根据题意列不等式得，，解得． ③当点到达点返回到点时，且点未到达，如图所示， 由图可知，， ， ， ， ． 当点到达点返回到点时，且点到达时，， ． 基础通关 1．某种商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至少可以打（     ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【答案】C 【详解】解：设打折，由题意得， ∴， ∴， 解得． 2．某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元/件，标价为250元/件．现准备打x折销售这种商品，且每件利润不得低于50元，则根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵商品打折销售，标价为250元， ∴实际售价为元． ∵进价为150元， ∴每件利润为元． ∵每件利润不得低于50元， ∴． 3．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，它表示禁止货车总体外廓高度超过标志所示数值的车辆通行，用不等式表示可通过该桥洞车辆的货车总体外廓高度（单位：）的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知图表直接得出通过该桥洞的货车总体外廓高度的取值范围． 【详解】解：由图可得，可通过该桥洞车辆的货车总体外廓高度的范围是 ． 4．请根据如表信息，写出关于温度（）的不等式_____． 洗涤说明 手洗，勿浸泡，不超过30℃水温 【答案】 【分析】根据不超过列出不等式即可． 【详解】解：根据不超过列出不等式得． 5．端午节是中国四大传统节日之一．某公司计划购入A、B两款端午节礼盒共100件，且购入这两款礼盒的总费用不超过10400元，已知A、B两款礼盒的价格分别为80元/件和120元/件，若设该公司购入A款端午节礼盒件，则根据题意可列不等式为__________． 【答案】 【分析】先得到B款端午节礼盒的数量，再根据总费用不超过10400元的条件列不等式即可． 【详解】解：由题意得：该公司购入B款端午节礼盒件， 则可列不等式为． 6．枸杞芽茶是近年来深受消费者喜爱的茶叶，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以每罐元的标价进行售卖，设售出数量为罐，要使总销售额不低于元，可列不等式为______． 【答案】 【详解】解：∵标价为每罐元，且售出罐， ∴总销售额为元， 又∵总销售额不低于元， ∴可列不等式． 7．为响应“全民健身”的号召，某人在规定18分钟的时间内，要完成至少2.1千米的路程，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问：完成这段路程，他至少要跑多少分钟？ 【答案】他至少要跑4分钟． 【分析】先统一路程单位，设出跑步时间，根据总路程至少为2.1千米、总时间规定为18分钟列出一元一次不等式，解不等式得到最小跑步时间即可． 【详解】解：千米米， 设他跑步的时间为分钟，则走路的时间为分钟， 根据题意列不等式：， 解得：， 答：他至少要跑4分钟． 8．某校计划购买文学名著和科普读物共套，若购买的文学名著数量不少于科普读物数量的一半，那么至少购买文学名著多少套？ 【答案】至少购买文学名著30套 【详解】解：设购买文学名著m套，则购买科普读物套， 由题意得， 解得， 答：至少购买文学名著30套． 9．惠东县全力推进乡村振兴，全县两百多个行政村集体收入连续两年超过十万元．幸福村今年计划采购一批荔枝苗和龙眼苗，用于扩大种植规模．已知购买2棵荔枝苗和3棵龙眼苗需要85元，购买3棵荔枝苗和2棵龙眼苗需要90元． (1)求每棵荔枝苗和每棵龙眼苗的价格； (2)该村计划购买两种树苗共100棵，且总费用不超过1700元，那么最多可以购买荔枝苗多少棵？ 【答案】(1) 每棵荔枝苗20元，每棵龙眼苗15元 (2) 最多可以购买荔枝苗40棵 【分析】（1）设两种树苗的单价为未知数，根据题干给出的两种购买总费用条件列出二元一次方程组，求解得到单价； （2）设荔枝苗的购买数量，根据总费用不超过1700元的限制列出一元一次不等式，求解得到最大购买数量． 【详解】（1）解：设每棵荔枝苗的价格为元，每棵龙眼苗的价格为元 根据题意可得 解得 答：每棵荔枝苗20元，每棵龙眼苗15元； （2）解：设购买荔枝苗棵，则购买龙眼苗棵 根据题意可得 解得 答：最多可以购买荔枝苗40棵． 10．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 【答案】数学书最多还可以摆85本 【分析】本题主要考查一元一次不等式的运用，理解题意，设数学书最多还可以摆x本，由此列式求解即可． 【详解】解：设数学书最多还可以摆x本， ， 解得，， ∴数学书最多还可以摆85本． 素养提升 11．小冉计划在两周内阅读完一本正文有142页的数学科普图书（每周阅读7天）．如果第1天只阅读了6页，为了按时或提前完成，那么她在剩余天数内平均每天至少要阅读多少页？设小冉在剩余天数内平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出剩余阅读天数，再根据“按时或提前完成”的要求，得到总阅读页数不低于图书总页数，即可列出不等式． 【详解】解：∵两周总天数为 天，第1天已经阅读， ∴剩余天数为 天， ∵要求按时或提前完成阅读，即总阅读页数不少于图书总页数142页， ∴总阅读页数为第一天阅读页数加上剩余天数阅读总页数，满足不等式： ． 12．某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中一球得5分（称“五分球”），在较近位置投中一球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小慧同学共投篮20次，其中3次未投中，最终得分不低于70分．若设小慧同学投中了个五分球，则可列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据总投篮次数和未投中次数求出投中球的总次数，再得到投中三分球的个数，结合得分规则和“不低于70分”的条件列出不等式即可． 【详解】小慧共投篮20次，3次未投中， 投中球的总次数为 次， 投中五分球共个， 投中三分球的个数为 个， 根据得分规则，总得分五分球得分三分球得分，即总得分表示为， 最终得分不低于70分，“不低于”表示大于等于， 可列不等式． 13．一部电梯的额定限载量为1000千克，两人要用电梯把一批货物从底层搬到顶层，这两个人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为40千克，若两人一起乘电梯，则他们每次最多搬运货物的箱数为（   ） A．5 B．21 C．22 D．25 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，理解题意正确列出不等式是解题的关键． 设他们每次最多搬运货物箱，根据题意列出不等式，求出的范围，得出的最大值，即可求解． 【详解】解：设他们每次最多搬运货物箱， 根据题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为21． 故选：B． 14．某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 【答案】 【分析】由题意知，小敏投中了个三分球，根据得分不低于70分即可列出不等式． 【详解】解：小敏同学投中了个五分球，投中了个三分球， 由题意得：． 15．一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙的体重分别为和，货物每箱质量为，两人一起乘梯，则每次最多搬运_____箱货物． 【答案】 【分析】本题考查不等式的应用，准确理解题意，列出并求解对应不等式是解题的关键． 电梯限载量减去甲、乙两人体重之和，得到可用于搬运货物的最大重量，再除以每箱货物质量，取整数部分即为最多搬运箱数． 【详解】解：设每次搬运箱货物，则总重量为， 根据限载量，有不等式， 解不等式得， ∵为整数，故最大值为， 故答案为． 16．杭州某中学社团制作杭州特色文创产品义卖，前期投入1000元，每个产品材料成本10元，售价20元，场地及宣传费为销售收入的，若要使利润（销售收入减去材料成本、前期投入、场地及宣传费）超过1000元，则至少需要制作并售出___________个产品． 【答案】334 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用． 根据题意，设售出产品数量为x个，则求出销售收入、材料成本、场地及宣传费，根据“利润超过1000元”列不等式求解，根据x为整数作答即可． 【详解】解：设售出产品数量为x个， ∵每个产品材料成本10元，售价20元， ∴销售收入为元，材料成本为元， ∵场地及宣传费为销售收入， ∴场地及宣传费为元， ∵利润为销售收入减去材料成本、前期投入和场地及宣传费，利润超过1000元， 即， 解得， ∵x为整数， ∴x至少为334． 故答案为：334． 17．新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 【答案】(1)温州队的积分为14分 (2)温州队要获得小组第一，至少还要胜10场 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式应用，根据表格中的数据求出胜负平的得分，读懂题意正确列出方程和不等式是解题关键． （1）设胜1场加分，负1场加分，根据题意列方程即可解答； （2）设胜场，负场，根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设胜1场加分，负1场加分 由题，得 解得， 所以（分） 答：温州队的积分为14分． （2）解：由题，得温州队一共要进行场比赛 设胜场，负场 由题，得 解得， ， 答：温州队要获得小组第一，至少还要胜10场． 18．为优化学生用眼环境，做好青少年近视防控工作，改善教室照明条件，希望中学决定将教室的老式日光灯替换为护眼灯，给孩子们带来视觉上的舒适，有效缓解视疲劳和视力下降等问题，有望对预防近视起到积极作用．现在希望中学计划从店购进护眼黑板灯、护眼教室灯这两种节能灯共28只．已知店关于这两种灯的有关信息如下表所示： 品名 进价（元/只） 售价（元/只） 护眼黑板灯 20 30 护眼教室灯 46 60 (1)希望中学购进这两种护眼灯一共付款1440元，你知道这两种护眼灯分别购进多少只吗? (2)在第（1）问的基础上，学校和厂家进行协商，厂家愿意这两种灯进行打折出售，但要保证销售完这28只护眼灯的总利润率不低于20%．请分析厂家将最多可以打几折出售? 【答案】(1)护眼黑板灯8只，护眼教室灯20只 (2)最多打九折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设购进只护眼黑板灯，则购进只护眼教室灯，可列出关于的一元一次方程，解之即可； （2）设厂家将护眼教室灯打折出售，利用总利润销售单价销售数量进货单价购进数量，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进只护眼黑板灯，则购进只护眼教室灯， 根据题意得：， 解得：， ∴（只）． 答：购进只护眼黑板灯，只护眼教室灯； （2）解：设厂家将这两种灯打折出售， 根据题意得：， 解得：． 答：厂家将这两种灯最多打九折出售． 19．一位顾客到精品水果店选购A款芒果和B款芒果，他对比发现：花费360元买到的A款芒果重量，和花费450元买到的B款芒果重量完全相同，且B款芒果的单价比A款贵3元/斤． (1)求A、B两种芒果的单价； (2)顾客计划恰好用240元购买这两种芒果，两种芒果均需购买，且购买重量均为整数斤，有哪些购买方案？ 【答案】(1)A款芒果单价为12元/斤，B款芒果单价为15元/斤 (2)共有3种购买方案，分别是：①购买A款15斤，B款4斤；②购买A款10斤，B款8斤；③购买A款5斤，B款12斤 【分析】（1）设A款芒果的单价为元/斤，则B款芒果的单价为元/斤，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据总花费列出二元一次方程，求方程的正整数解，即可得到所有符合要求的购买方案． 【详解】（1）解：设A款芒果的单价为元/斤，则B款芒果的单价为元/斤， 根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ， 答：A款芒果单价为12元/斤，B款芒果单价为15元/斤； （2）设购买A款芒果斤，购买B款芒果斤，其中均为正整数， 根据题意得， 整理得 ， 均为正整数， 为整数， ∴是4的倍数， ∵得， 解得， 又， ∴的可取值为， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 答：共有三种购买方案，分别是：购买A款芒果15斤，B款芒果4斤；购买A款芒果10斤，B款芒果8斤；购买A款芒果5斤，B款芒果12斤． 20．随着健康科技消费升温，智能穿戴设备成为市场新热点．某数码商贸公司紧抓机遇，为旗下门店打造智能健康体验专区，选购甲、乙两种智能手环——甲型号主打全维度健康监测（适配中老年群体），乙型号聚焦轻运动智能交互（适配年轻群体）．已知甲型号进价比乙型号每套多60元，用4000元购进甲型号的数量与用2500元购进乙型号的数量相等． (1)求甲、乙两种型号智能手环每套进价分别为多少元？ (2)若某商店计划购进45套手环且不超过5800元，则最多可购进甲种型号智能手环多少套？ 【答案】(1)甲种型号智能手环每套进价为160元，乙种型号智能手环每套进价为100元； (2)最多可购进甲种型号智能手环21套． 【分析】（1）设乙种型号智能手环每套进价为x元，则甲种型号智能手环每套进价为元，根据用4000元购进甲型号的数量与用2500元购进乙型号的数量相等，建立分式方程求解即可； （2）设购进甲种型号智能手环m套，则乙种型号智能手环套，根据费用不超过5800元，建立一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设乙种型号智能手环每套进价为x元，则甲种型号智能手环每套进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 则（元）， 答：甲种型号智能手环每套进价为160元，乙种型号智能手环每套进价为100元； （2）解：设购进甲种型号智能手环m套，则乙种型号智能手环套， 由题意，得， 解得， ∵为非负整数， ∴的最大值为， 答：最多可购进甲种型号智能手环21套． 迁移创新 21．某房屋的平面结构如图所示，现准备用A、B两种长方形地砖铺设房屋地面（包括阳台）．已知一块A型地砖的面积为，单价是40元/块；一块B型地砖的面积为，单价是60元/块．现用不超过8000元购买两种地砖，要求两种地砖的购买数量均为整数，且地砖总面积等于房屋总面积，则购买A型地砖的数量至少为（） A．100块 B．101块 C．102块 D．103块 【答案】C 【分析】首先根据图形计算房屋的总面积，然后设购买型地砖块，型地砖块，根据“地砖总面积等于房屋总面积”列出二元一次方程，根据“总费用不超过8000元”列出一元一次不等式，结合、均为整数求解即可． 【详解】解；由图可知，房屋总面积由三部分组成：左侧主体、右侧主体和阳台．右侧主体面积为，阳台面积为， 由图示结构可知左侧主体宽度与阳台宽度相同，均为，高度与右侧主体相同，为， 左侧主体面积为． 房屋总面积． 设购买型地砖块，型地砖块． 地砖总面积等于房屋总面积， ． 整理得：，即①． ． 为整数， 必须是6的倍数． 总费用不超过8000元， ，即②． 将①变形为 代入②得：． ．． 为6的倍数，且， 的最小值为102． 故选C． 22．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯；    （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【分析】分别表示出两种优惠方案的总费用，根据方案(2)更省钱列出不等式，求解得到的最小整数值即可. 【详解】解：∵顾客需购买4只茶壶，只（）茶杯， ∴优惠方法(1)的总费用为 ， 优惠方法(2)的总费用为 ， ∵方法(2)比方法(1)更省钱， ∴，化简得 ， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为 23．某公司生产的，两种不同搭配原料的营养品，它们的信息如下： 品种 每包食材含量 每包售价 元 千克 元 该公司每日用元购进各种原料千克，并恰好全部用完．表上的每包食材含量出现污渍，只知道它是个整数．已知每日其他费用为元，且生产的营养品当日全部售出．若的包数不低于的包数，则为______包时，每日所获总利润可达元． 【答案】 【分析】设A种营养品生产包，B种营养品生产包，A种营养品每包食材含量千克．根据总利润公式列出关于的方程，结合原料总重量列出关于的方程．利用整除性质和不等式确定的值． 【详解】解：设A种营养品生产包，B种营养品生产包，A种营养品每包食材含量千克， 根据题意，总利润为元，则： ① 由原料总重量为千克， 得：② 由①得：， 因为与互质，所以是的倍数 设(为正整数)，代入①得： 因为，所以， 解得 因为，即，所以 所以 又因为，左边为偶数，右边为奇数，所以必为奇数，即为奇数 将和代入② 得： 因为为正整数，为正整数， 所以是的因数的因数有 在范围内，只有 当时， 此时，解得，符合题意 故A为包． 24．为有效防控“新冠病毒”疫情，稠州学校打算购进一批酒精消毒液和额温枪，已知酒精消毒液和额温枪的单价之和为元，购进瓶酒精消毒液和把额温枪需花费元． (1)求酒精消毒液和额温枪的单价分别是多少？ (2)学校欲用元用于进货，且最多购进酒精消毒液瓶，额温枪的数量不超过酒精消毒液数量的倍，则共有几种进货方案？ (3)已知药店售出一瓶酒精消毒液可获利元，售出一把额温枪可获利元，为体现“抗疫”的决心，店主决定每售出一把额温枪，为希望工程捐款元，在（2）的条件下，若酒精消毒液和额温枪全部售出后所有方案获利均相同，则的值是多少？此时店主可获利多少元？ 【答案】(1)酒精消毒液的单价为元，额温枪的单价为元 (2)共有种进货方案，购进酒精消毒液瓶，额温枪把；购进酒精消毒液瓶，额温枪把；购进酒精消毒液瓶，额温枪把 (3)的值是，此时店主可获利元 【分析】（1）设酒精消毒液的单价为元，额温枪的单价为元，根据“酒精消毒液和额温枪的单价之和为元，购进瓶酒精消毒液和把额温枪需花费元”列出关于，的二元一次方程组，求解即可； （2）设购进酒精消毒液瓶，额温枪把，，为正整数，根据“用元用于进货，且最多购进酒精消毒液瓶，额温枪的数量不超过酒精消毒液数量的倍”得，确定，可得答案； （3）设共获利元，得，继而得到，求出的值，可得答案． 【详解】（1）解：设酒精消毒液的单价为元，额温枪的单价为元， 依题意，得：， 解得：， 答：酒精消毒液的单价为元，额温枪的单价为元； （2）解：设购进酒精消毒液瓶，额温枪把，，为正整数，且最多购进酒精消毒液瓶， 依题意，得：， 整理得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∵，且为正整数， ∴只能是3的倍数， ∴x只能取30，33，36这三个值， ∴进货方案有： ①购进酒精消毒液瓶，额温枪把； ②购进酒精消毒液瓶，额温枪把； ③购进酒精消毒液瓶，额温枪把； 答：共有种进货方案，购进酒精消毒液瓶，额温枪把；购进酒精消毒液瓶，额温枪把；购进酒精消毒液瓶，额温枪把； （3）解：设共获利元， 依题意，得：， 整理，得：， ∵酒精消毒液和额温枪全部售出后所有方案获利均相同， ∴， 解得：， 此时（元）， 答：的值是，此时店主可获利元． 25．某餐厅打算在A、B两个平台根据点餐金额采用不同的优惠措施 在A平台实施方案如下： A平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过60元 无优惠 超过60元，但不超过160元 减15元 超过160元 减40元 在B平台实施方案如下： B平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过50元的部分 无优惠 超过50元，但不超过210元的部分 打折 超过210元的部分 打折 (1)小华某次点餐金额为70元，如果选择A平台，则他的实际付款金额是______元；如果选择B平台，则他的实际付款金额是______元． (2)若小华点餐金额为n元（），那么小华在A和B平台上的实际付款金额分别是多少？（用含n的代数式表示） (3)若小华在两个平台各点单一次，两次点餐金额共320元．其中A平台点餐金额比B平台点餐金额低，设在A平台的点餐金额是x元，求两次实际付款金额共多少？（用含x的代数式表示） 【答案】(1)55；67 (2)A平台：元；B平台：元 (3)当时，两次实际付款金额元；当时，两次实际付款金额元；当时，两次实际付款金额元 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据小华某次点餐金额为70元，且结合A平台和B平台的实施方案进行列式化简，即可作答； （2）根据小华点餐金额为元（），且结合A平台和B平台的实施方案进行列式化简，即可作答； （3）设在A平台的点餐金额是元，则B平台为元，依题意，得，即，然后进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，选择A平台，则他的实际付款金额是（元）， 选择B平台，则他的实际付款金额是（元）； 故答案为：55；67； （2）解：A平台：元， B平台：（元）； （3）解：∵两次点餐金额共320元，设在A平台的点餐金额是元， ∴B平台为元， ∵其中A平台点餐金额比B平台点餐金额低， ， ， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上，两次实际付款金额当时，；当时，；当时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $