3.2 一元一次不等式及其解法（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦一元一次不等式及其解法核心知识点，构建从概念（三要素：整式、单未知数、最高次1）到解法步骤（去分母、去括号等，对比方程与不等式的区别），再到解集数轴表示、参数问题及易错点的递进学习支架。 资料通过对比辨析（如不等式与方程解法步骤对比表）培养推理意识，分层练习（基础通关到迁移创新）覆盖不同能力，易错提醒与解题贴士强化运算能力，数形结合（数轴表示解集）发展几何直观。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

第三章 一元一次不等式 3.2 一元一次不等式及其解法 课标要点 1.理解一元一次不等式的定义，能准确识别一元一次不等式，区分一元一次不等式与方程的异同。 2.掌握解一元一次不等式的完整步骤，熟练进行去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等变形。 3.能正确求解一元一次不等式的解集，并规范在数轴上表示解集，熟练运用数形结合方法。 4.能根据不等式解集情况，求简单参数问题，理解含参数一元一次不等式的基本解题思路。 5.熟练掌握不等式变形易错规则，尤其掌握系数化为1时正负号变化规律，提升运算准确性。 学习重难点 重点： 1.掌握一元一次不等式的定义； 2.熟练掌握一元一次不等式的解题步骤，能规范求解解集； 3.能在数轴上准确表示不等式解集。 难点： 1.不等式去分母、系数化为1时，负数运算导致不等号方向出错； 2.数轴表示解集时空心点、实心点与方向混淆； 3.根据不等式解集情况求解简单参数问题。 知识点 一元一次不等式的概念 1. 一元一次不等式：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式。 2. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1。 3. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解题。 4. 解不等式：求不等式解题的过程叫作解不等式。 5. 一元一次不等式的一般形式：或。 易错提醒 1）未知数在分母、根号内的不是一元一次不等式； 2）含两个及以上未知数、未知数次数不为1的不属于该类型； 3）误把含≠的不等式排除，≠也可构成一元一次不等式。 随学随练 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：一元一次不等式满足三个条件：不等式左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1， 选项A： 是分式，不是整式，不符合题意； 选项B：未知数的最高次数为2，不是1，不符合题意； 选项C：含有和两个未知数，不符合题意； 选项D：满足一元一次不等式的所有要求，符合题意． 2．（25-26七年级下·山东济宁·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴． 知识点 解一元一次不等式（重点） 步骤 依据 1 去分母 不等式的基本性质3 2 去括号 单项式乘多项式法则 3 移项 不等式的基本性质2 4 合并同类项，得，或 合并同类项 5 两边同除以（或乘） 不等式的基本性质3 特别提醒 解题步骤与解一元一次方程基本一致：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1；唯一核心区别：系数化为1时，负数系数要变号。 随学随练 1．（25-26七年级下·上海闵行·期末）解不等式：． 【答案】 【详解】解：， ． 2．（25-26七年级下·北京·期末）解不等式，并在数轴上表示解集． 【答案】 【分析】按照一元一次不等式的常规求解步骤计算，系数化为1时注意不等号方向改变，最后将解集表示在数轴上即可. 【详解】解：原不等式为 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 将不等式的解集在数轴上表示为： ． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期末）解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】；解集表示在数轴上，如图： 【详解】解： 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为得，； 解集表示在数轴上：略． 拓展 一元一次不等式判定三要素 1. 一元一次不等式必须同时满足三个硬性条件，缺一不可，是区分普通不等式、分式不等式、高次不等式的核心依据，判定标准固定： ①两边均为整式，不含分母含未知数、根号含未知数等形式； ②式子中只含一个未知数，多未知数不属于一元一次不等式； ③未知数的最高次数为1，不含二次、零次、负次等次数形式。 2. 其标准一般形式为 或 ，一次项系数必须不为0，保证为一次不等式。 活学活用 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次不等式需满足：是不等式，只含一个未知数，未知数的次数为1，且不等号两边都是整式． 【详解】解：∵选项A中未知数的次数为，不符合定义，∴ A错误； ∵选项B中是代数式，不是不等式，不符合定义，∴ B错误； ∵选项C中满足所有条件：是不等式，只含一个未知数，的次数为，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴ C正确； ∵选项D中不含未知数，不符合定义． 2．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可． 【详解】解：（1）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （2）是一元一次不等式； （3）是一元一次不等式； （4）不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式， 综上所述：一元一次不等式有2个 故选：B． 3．有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有________（填序号）． 【答案】④⑤/⑤④ 【分析】本题考查一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【详解】解：①没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ②，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； ③有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 是一元一次不等式． ∴一元一次不等式有④⑤共个． 故答案为：④⑤． 拓展 解一元一次不等式与一元一次方程步骤、依据对比 1. 二者解题步骤高度相似，但核心依据和关键规则存在本质区别，是极易混淆的考点，详细对比如下： 解题步骤 一元一次不等式（依据+规则） 一元一次方程（依据+规则） 去分母 依据不等式性质3，乘负数需改变不等号方向 依据等式性质，无论乘正数、负数，等号始终不变 去括号、移项、合并同类项 规则、依据与方程完全一致，无符号变化 常规代数运算，无特殊符号变化规则 系数化为1 依据不等式性质3，除以负数必须反转不等号 系数无论正负，等号始终保持不变 最终结果 取值范围（无数个解） 唯一确定数值（单个解） 活学活用 1．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：． 2．解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】解集为，数轴表示为： 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得 所以，不等式的解集为， 数轴表示略． 3．解不等式，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】， 【详解】解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示：略． 题型 识别一元一次不等式 解题贴士 满足三个核心条件即为一元一次不等式：①只含一个未知数；②未知数最高次数为1；③未知数不含分母、不含根号、不含绝对值（整式不等式），且含不等符号。 ▌例1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵选项A，中不含有未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合题意； ∵选项B，中含有两个未知数，是二元不等式，∴B不符合题意； ∵选项C，中未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，∴C不符合题意； ∵选项D，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，符合一元一次不等式的定义，∴D符合题意． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次不等式的定义为：含有一个未知数，未知数的次数为1，不等号两边都是整式的不等式，根据定义判断即可． 【详解】解：一元一次不等式需同时满足四个条件：是不等式，只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边为整式． ∵选项A： 是等式，属于一元一次方程，不是不等式，∴A不符合要求； ∵选项B： 不含未知数，∴B不符合要求； ∵选项C： 是不等式，只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴C符合要求； ∵选项D： 是单项式，不是不等式，∴D不符合要求． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义逐一判断选项，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式． 【详解】解：∵A选项满足所有三个条件，是一元一次不等式； B选项中未知数次数为2，不满足条件； C选项含有两个未知数，不满足条件； D选项中是分式，不等号左边不是整式，不满足条件． 题型 判断不等式的解集 解题贴士 1）能使不等式成立的所有未知数的值为解集； 2）可代入检验、结合数轴判断：大于向右、小于向左，空心不含点、实心含点。 ▌例1．（25-26七年级下·上海·期末）下列各数中，是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式得到的取值范围，再根据不等式的解的定义判断选项，不等式的解是能使不等式成立的单个未知数的值． 【详解】解：解不等式 ∵移项得，即 ∴系数化为得 题目要求选出不等式的解， A、，满足 ，是不等式的解； B、是该不等式的解集，不是单个解； C、，，不满足不等式； D、，，不满足不等式． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）下列不等式中，解不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不成立，则不包含，故A符合题意； 成立，则包含，故B不符合题意； 成立，则包含，故C不符合题意； 成立，则包含，故D不符合题意． ▌对点练1-2．（2026·吉林长春·模拟预测）若是某不等式的解，则该不等式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】满足不等式的数就是不等式的解，将代入各选项验证即可得到答案. 【详解】解： A选项： 不成立，不是不等式的解，故A选项错误； B选项： 不成立，不是不等式的解，故B选项错误； C选项： 成立，是不等式的解，故C选项符合要求； D选项： 不成立，不是不等式的解，故D选项错误． 题型 利用一元一次不等式的定义求参数 解题贴士 根据定义列限制条件：①未知数次数=1；②未知数系数≠0，联立求解参数取值。 ▌例1．若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的系数不能为0，据此得到的取值要求，即可选出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴的系数不能为，即， 解得：， 因此的值不可以为． ▌例2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得：． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． ▌对点练1-2．已知 是关于的一元一次不等式，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，且未知数的系数不为，据此列等式求解即可． 【详解】解：根据一元一次不等式的定义可得，的次数满足，且的系数为 解方程，得． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）若不等式是关于x的一元一次不等式，则________． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义进行求解即可． 【详解】解：∵不等式是关于x的一元一次不等式， ∴且， 即且或， ∴ 题型 由不等式的解求参数 解题贴士 先正常解出含参数的不等式解集，再结合题目给出的解、解集范围，列等式或不等式求解参数，必要时检验边界值。 ▌例1．已知是不等式的一个解，则m的值可以是（     ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据不等式的解的定义，将已知解代入原不等式，求出m的取值范围，再对比选项得出正确结果． 【详解】解：∵是不等式的一个解． ∴将代入不等式得 ， 解得：． 四个选项中只有，符合要求． ▌对点练1-1．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键． 根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围． 【详解】解：原不等式为解集为， ∴且， ∴． 故选：A． ▌对点练1-2．已知是不等式的一个解，请写出一个符合条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式的解的定义，推出的取值范围，在取值范围内写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解，将代入不等式，得，即， ∴符合条件的值可以是． 题型 解一元一次不等式 解题贴士 1）解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1； 2）全程遵循不等式性质，系数为负时，不等号反向改变。 ▌例1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可，注意端点是实心还是空心． 【详解】解：移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， 将解集表示在数轴上如图： ． ▌例2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解不等式：． 【答案】 【详解】解： . ▌对点练1-1．（25-26七年级下·江苏南京·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式求出的取值范围，再根据“大于向右，小于向左，实心包含，空心不包含”的原则在数轴上表示即可． 【详解】解： 解得 在数轴上表示为： ． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·广东佛山·期末）解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】； 【分析】按照一元一次不等式的求解步骤计算，再将解集正确标注在数轴上即可． 【详解】解：移项，得 合并同类项，得 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得 ▌对点练1-3．（2026·陕西·模拟预测）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 解集在数轴上表示，如图： 【详解】解：， ， ， ， ． 解集在数轴上表示略． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·山西临汾·期末）下面是小颖解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 去分母，得    第一步 去括号，得      第二步 移项，得      第三步 合并同类项，得        第四步 将未知数的系数化为1，得    第五步 (1)任务一： 上述解不等式的过程第__________步出现了错误，其原因是____________________． (2)任务二：直接写出不等式的解集，并将不等式的解集在数轴上表示出来． (3)任务三：你认为本题中还有哪些易错点，请列举出一处． 【答案】(1)五；不等式两边同时除以负数，不等号的方向没有改变 (2)， (3)去分母时，常数项容易漏乘公分母（答案不唯一） 【分析】（1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质得出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可； （3）从利用不等式的性质去分母的角度进行分析即可． 【详解】（1）解：上述解不等式的过程第五步出现了错误，其原因是不等式两边同时除以负数，不等号的方向没有改变． （2）解：不等式的解集为， 将不等式的解集在数轴上表示出来：略． （3）解：易错点：去分母时，常数项容易漏乘公分母（答案不唯一）． ▌对点练1-5．（25-26八年级下·山西运城·期中）下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以，得……第五步 任务： (1)上述求解过程中，第一步变形的依据是__________，上述求解过程中的第______步发生错误，具体错误是__________． (2)该不等式的解集应为__________． (3)在解一元一次不等式时，除了要注意小亮同学在上题解法中的错误外，请你根据平时的学习经验，给同学们提一条建议．__________ 【答案】(1)不等式的基本性质2；五；不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据不等式的基本性质2求解； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解； （3）根据解一元一次不等式的方法求解． 【详解】（1）解：上述求解过程中，第一步变形的依据是不等式的基本性质2，上述求解过程中的第五步发生错误，具体错误是不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以，得； （3）解：去分母时，不等式两边的每一项都必须乘以分母的最小公倍数，不能遗漏任何一项； 当分子是一个多项式时，去分母后，一定要给这个多项式加上括号； 括号前面是负号，去括号后，括号里面的每一项都要变号． （答案不唯一，答案合理即可） 题型 一元一次不等式的整数解问题 解题贴士 先解出不等式解集，结合数轴锁定范围，按需筛选整数解、正整数解、非负整数解，注意端点取舍。 ▌例1．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）不等式的负整数解可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 两边同除以得， 不等式的负整数解为． ▌例2．（2026·陕西西安·模拟预测）解不等式，并写出它的负整数解． 【答案】，负整数解为 【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，再从解集中确定符合题意的解． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得， 所以负整数解有． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）满足不等式的所有正整数的和是（     ） A．10 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：解不等式得：， 则满足这个不等式的所有正整数为，它们的和为． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·江苏常州·期末）不等式的最大整数解为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集后确定最大整数解是解题的关键． 【详解】解：解不等式： 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 所以不等式的最大整数解为． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）不等式 的正整数解有________个． 【答案】3 【分析】先将化为小数，再根据正整数的定义找出满足不等式的所有正整数即可． 【详解】解： ， 原不等式可化为， 满足该不等式的正整数为，共个． ▌对点练1-4．已知式子 的值小于式子 的值，求满足条件的最小正整数的值． 【答案】满足条件的最小正整数的值为 【分析】根据题意列出不等式，解不等式，最后从解集中确定满足条件的最小正整数的值即可． 【详解】解：∵式子 的值小于式子 的值， ∴， 解得， ∴满足条件的最小正整数的值为． 题型 绝对值型一元一次不等式问题 解题贴士 1）核心模型：①或；②； 2）先去绝对值转化为普通一元一次不等式，再求解集、整数解。 ▌例1．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，准确分析判断是解题的关键． 根据绝对值的非负性，等式成立需，即，且代入验证成立． 【详解】， ， ，即， 故选． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若的值小于，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据题意列出绝对值不等式，再利用绝对值的性质将绝对值不等式转化为连写形式的一元一次不等式，根据不等式的基本性质求解得到的取值范围． 【详解】解：根据题意得 则， 解得， 故答案为：． ▌对点练1-2．若，则x的取值范围_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质将原不等式转化为连写形式的一元一次不等式，再通过不等式性质计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 即． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·广东河源·期中）【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)的解集是________，的解集是_________； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)或， (2) (3)或 【分析】（1）仿照题干的解法解得即可； （2）原式变形为，再仿照题干的解法解得即可； （3）原式变形为，再仿照题干的解法解得即可． 【详解】（1）解：令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于4， ∴的解集为或； 令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于3，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于3， ∴的解集为； （2）解：， ∴， 令， ∴， 解得：或1； 画出数轴如下：    点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数到的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数到的绝对值小于4， ∴的解集为； （3）解：， ∴， ∴， 令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于15，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于15， ∴的解集为或， 即的解集为或． 基础通关 1．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义判断各选项即可． 【详解】解：选项A、中没有未知数，不符合一元一次不等式定义，∴A不符合题意； 选项B、中含有两个未知数，不符合定义，∴B不符合题意； 选项C、中未知数的次数为2，不符合定义，∴C不符合题意； 选项D、满足只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴D符合题意． 【点睛】 2．（25-26七年级下·陕西延安·期末）若，则将该不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：解不等式，得， 将解集在数轴上表示如图． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）已知2和3都是关于x的不等式的解，则a的取值可能是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先求解原不等式得到解集，再根据2和3都是不等式的解得出a的取值范围，最后匹配选项即可． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， ∵ 和 都是原不等式的解， ∴ ，解得 ， 观察选项，只有D选项的满足， 故选D． 4．（25-26七年级下·广东广州·期末）若是不等式的解，则的值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据不等式的解的定义，将代入原不等式，得到关于的不等式，求解的取值范围后，即可匹配选项得到答案． 【详解】解：∵是不等式的解， ∴将代入不等式得， 解得， ∴选项中只有，符合要求． 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）不等式 的非负整数解为______． 【答案】0，1，2，3 【分析】先求解该一元一次不等式，得到的取值范围，再根据非负整数的定义找出范围内符合条件的解即可． 【详解】解： 移项得 合并同类项得 系数化为得 则该不等式的非负整数解为． 6．（25-26七年级下·吉林松原·期末）将不等式■的解集在数轴上表示出来如图所示，则■盖住的符号是__________． 【答案】 【分析】由数轴可得，该不等式的解集为，再结合不等式的性质即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得，该不等式的解集为， ∵两边同除以，不等号的方向不变， ∴■， ∴■盖住的符号是． 7．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知为正整数，且满足，则符合条件的最大值为________． 【答案】 【分析】先对不等式变形求出的取值范围，再结合为正整数的条件，找出符合条件的的最大值． 【详解】解：， ， 为正整数， 符合条件的的最大值为． 8．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得： ， 去括号得：， 移项合并得：，     系数化为1得：． 9．（25-26七年级下·广东云浮·期末）解不等式：，并在数轴上表示解集． 【答案】， 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 在数轴上表示该解集略． 10．（25-26七年级下·福建厦门·期末）解不等式，并写出其正整数解． 【答案】，正整数解为1，2，3 【详解】解： 解得，正整数解为1，2，3． 11．解不等式并求出所有负整数解： 【答案】 不等式的解集为，所有负整数解为，，． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即不等式的解集为， 所有负整数解为，，． 12．（2026·陕西安康·模拟预测）解不等式，并写出该不等式的非负整数解． 【答案】解集为，该不等式的非负整数解是0，1，2 【详解】解： ∴不等式的解集为 ∴该不等式的非负整数解是0，1，2 13．（25-26八年级下·福建三明·期中）【阅读理解】下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：去分母，得    ① 去括号，得    ② 移项，得    ③ 合并同类项，得    ④ 系数化成1，得        ⑤ (1)以上解题过程中，第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． (2)请直接写出该不等式的正确解集：__________． (3)请把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)⑤；不等式的两边都除以时，没有改变不等号的方向； (2)； (3)见解析 【详解】（1）解：由解析可知，第⑤步；不等式的两边都除以时，没有改变不等号的方向； （2）在第④步的基础上， 系数化成1，得； （3）表示不等式解集为： 素养提升 1．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值是（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】将看作已知数，先解出方程中的表达式，再根据解是非负数的条件列出关于的不等式，求解不等式得到的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：解方程，得， ∵方程的解是非负数， ∴， 解得， ∴的最小值为． 2．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）如图表示的是关于的不等式的解集，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据数轴确定不等式的解集为，根据不等式的性质可知的系数为负数，从而求出的取值范围． 【详解】由数轴可知，原不等式的解集为 ． 原不等式可变形为：， 解集的不等号方向与原不等式相反， ，解得， 此时，即 ，符合题意． 的取值范围是． 3．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）已知的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：∵不等式 的解集是，不等号方向发生改变， ∴可得， ∴解得． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据已知解集的不等号方向变化，判断不等号系数的正负，即可求出的取值范围； 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得． 5．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为________． 【答案】1 【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式叫做一元一次不等式，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 6．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知不等式与关于的不等式的解集相同，求的值． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同计算即可得出结果． 【详解】解：由不等式，得． 由不等式，得． 不等式与关于的不等式的解集相同， ， ． 7．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，将解集表示在数轴上如图： 【分析】根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得 图略． 8．（25-26七年级下·安徽六安·期末）如果关于的不等式的解集为，求的值及的取值范围． 【答案】， 【分析】根据题意可知，不等号的方向发生了改变，所以，且，解答即可． 【详解】解：因为关于x的不等式的解集为， 所以，且， 解得，． 9．（2026·北京东城·二模）解不等式，并写出此不等式的非正整数解． 【答案】 ，非正整数解为，， 【详解】解： ， ∴不等式的解集为， ∴该不等式的非正整数解是，，． 10．（25-26八年级下·四川成都·期末）一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．结合数轴观察： 解不等式，x表示到原点的距离小于3的数，如图1所示，不等式解集是； 解不等式，x表示到原点的距离大于3的数，如图2所示，不等式解集是或． 解答下面的问题： (1)的解集为__________，的解集为____________________； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的整数值； 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）对于第一空，仿照例题画数轴求解即可；对于第二空，设，则不等式可化为，仿照例题画数轴求出不等式的解集即可得到答案； （2）把方程组中的两个方程的左右两边分别相加推出，则；设，则不等式可化为，仿照例题画数轴求出不等式的解集，进而求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，不等式的解集为 设，则不等式可化为， 如图所示，不等式的解集是或 ∴或， ∴或； （2）解： 得， ∴； ∵关于x，y的二元一次方程组的解满足， ∴； 设，则不等式可化为， 如图所示，不等式的解集为， ∴， ∴， ∴m的整数值为． 迁移创新 1．（25-26七年级下·陕西延安·期末）对任意实数，，定义一种新运算“”：．例如：．若满足，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：由得，　　　　　　　　 解得：， 即的取值范围为． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一个组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，称这个方程的解为“集内点”；当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，称这个方程的解为“集外点”． 【问题解决】 (1)请通过计算判断组合中方程的解是“集内点”还是“集外点”？ (2)若关于的组合中方程的解是“集内点”，求的取值范围． 【答案】(1)方程的解是“集外点”； (2)． 【分析】（1）解方程和不等式，得到方程的解不在一元一次不等式的解集里，即可得到答案. （2）解方程和不等式，根据方程的解是“集内点”得到关于的一元一次不等式，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）解：解方程，得， 解不等式，得， 不在里， ∴方程的解是“集外点”； （2）解：解方程，得， 解不等式，得， 由题意，得， 解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次不等式 3.2 一元一次不等式及其解法 课标要点 1.理解一元一次不等式的定义，能准确识别一元一次不等式，区分一元一次不等式与方程的异同。 2.掌握解一元一次不等式的完整步骤，熟练进行去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等变形。 3.能正确求解一元一次不等式的解集，并规范在数轴上表示解集，熟练运用数形结合方法。 4.能根据不等式解集情况，求简单参数问题，理解含参数一元一次不等式的基本解题思路。 5.熟练掌握不等式变形易错规则，尤其掌握系数化为1时正负号变化规律，提升运算准确性。 学习重难点 重点： 1.掌握一元一次不等式的定义； 2.熟练掌握一元一次不等式的解题步骤，能规范求解解集； 3.能在数轴上准确表示不等式解集。 难点： 1.不等式去分母、系数化为1时，负数运算导致不等号方向出错； 2.数轴表示解集时空心点、实心点与方向混淆； 3.根据不等式解集情况求解简单参数问题。 知识点 一元一次不等式的概念 1. 一元一次不等式：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式。 2. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1。 3. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解题。 4. 解不等式：求不等式解题的过程叫作解不等式。 5. 一元一次不等式的一般形式：或。 易错提醒 1）未知数在分母、根号内的不是一元一次不等式； 2）含两个及以上未知数、未知数次数不为1的不属于该类型； 3）误把含≠的不等式排除，≠也可构成一元一次不等式。 随学随练 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东济宁·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m为（     ） A． B． C． D． 知识点 解一元一次不等式（重点） 步骤 依据 1 去分母 不等式的基本性质3 2 去括号 单项式乘多项式法则 3 移项 不等式的基本性质2 4 合并同类项，得，或 合并同类项 5 两边同除以（或乘） 不等式的基本性质3 特别提醒 解题步骤与解一元一次方程基本一致：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1；唯一核心区别：系数化为1时，负数系数要变号。 随学随练 1．（25-26七年级下·上海闵行·期末）解不等式：． 2．（25-26七年级下·北京·期末）解不等式，并在数轴上表示解集． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期末）解不等式，并将解集表示在数轴上． 拓展 一元一次不等式判定三要素 1. 一元一次不等式必须同时满足三个硬性条件，缺一不可，是区分普通不等式、分式不等式、高次不等式的核心依据，判定标准固定： ①两边均为整式，不含分母含未知数、根号含未知数等形式； ②式子中只含一个未知数，多未知数不属于一元一次不等式； ③未知数的最高次数为1，不含二次、零次、负次等次数形式。 2. 其标准一般形式为 或 ，一次项系数必须不为0，保证为一次不等式。 活学活用 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 3．有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有________（填序号）． 拓展 解一元一次不等式与一元一次方程步骤、依据对比 1. 二者解题步骤高度相似，但核心依据和关键规则存在本质区别，是极易混淆的考点，详细对比如下： 解题步骤 一元一次不等式（依据+规则） 一元一次方程（依据+规则） 去分母 依据不等式性质3，乘负数需改变不等号方向 依据等式性质，无论乘正数、负数，等号始终不变 去括号、移项、合并同类项 规则、依据与方程完全一致，无符号变化 常规代数运算，无特殊符号变化规则 系数化为1 依据不等式性质3，除以负数必须反转不等号 系数无论正负，等号始终保持不变 最终结果 取值范围（无数个解） 唯一确定数值（单个解） 活学活用 1．解不等式： (1)； (2)． 2．解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 3．解不等式，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 题型 识别一元一次不等式 解题贴士 满足三个核心条件即为一元一次不等式：①只含一个未知数；②未知数最高次数为1；③未知数不含分母、不含根号、不含绝对值（整式不等式），且含不等符号。 ▌例1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 题型 判断不等式的解集 解题贴士 1）能使不等式成立的所有未知数的值为解集； 2）可代入检验、结合数轴判断：大于向右、小于向左，空心不含点、实心含点。 ▌例1．（25-26七年级下·上海·期末）下列各数中，是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）下列不等式中，解不包括的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（2026·吉林长春·模拟预测）若是某不等式的解，则该不等式可以是（     ） A． B． C． D． 题型 利用一元一次不等式的定义求参数 解题贴士 根据定义列限制条件：①未知数次数=1；②未知数系数≠0，联立求解参数取值。 ▌例1．若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 ▌例2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为______． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 ▌对点练1-2．已知 是关于的一元一次不等式，则的值为_____． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）若不等式是关于x的一元一次不等式，则________． 题型 由不等式的解求参数 解题贴士 先正常解出含参数的不等式解集，再结合题目给出的解、解集范围，列等式或不等式求解参数，必要时检验边界值。 ▌例1．已知是不等式的一个解，则m的值可以是（     ） A． B． C． D．0 ▌对点练1-1．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-2．已知是不等式的一个解，请写出一个符合条件的的值______． 题型 解一元一次不等式 解题贴士 1）解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1； 2）全程遵循不等式性质，系数为负时，不等号反向改变。 ▌例1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解不等式：． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·江苏南京·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·广东佛山·期末）解不等式，并将解集表示在数轴上． ▌对点练1-3．（2026·陕西·模拟预测）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·山西临汾·期末）下面是小颖解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 去分母，得    第一步 去括号，得      第二步 移项，得      第三步 合并同类项，得        第四步 将未知数的系数化为1，得    第五步 (1)任务一： 上述解不等式的过程第__________步出现了错误，其原因是____________________． (2)任务二：直接写出不等式的解集，并将不等式的解集在数轴上表示出来． (3)任务三：你认为本题中还有哪些易错点，请列举出一处． ▌对点练1-5．（25-26八年级下·山西运城·期中）下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以，得……第五步 任务： (1)上述求解过程中，第一步变形的依据是__________，上述求解过程中的第______步发生错误，具体错误是__________． (2)该不等式的解集应为__________． (3)在解一元一次不等式时，除了要注意小亮同学在上题解法中的错误外，请你根据平时的学习经验，给同学们提一条建议．__________ 题型 一元一次不等式的整数解问题 解题贴士 先解出不等式解集，结合数轴锁定范围，按需筛选整数解、正整数解、非负整数解，注意端点取舍。 ▌例1．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）不等式的负整数解可能是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（2026·陕西西安·模拟预测）解不等式，并写出它的负整数解． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）满足不等式的所有正整数的和是（     ） A．10 B．6 C．4 D．3 ▌对点练1-2．（25-26七年级下·江苏常州·期末）不等式的最大整数解为__________． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）不等式 的正整数解有________个． ▌对点练1-4．已知式子 的值小于式子 的值，求满足条件的最小正整数的值． 题型 绝对值型一元一次不等式问题 解题贴士 1）核心模型：①或；②； 2）先去绝对值转化为普通一元一次不等式，再求解集、整数解。 ▌例1．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若的值小于，则的取值范围是________． ▌对点练1-2．若，则x的取值范围_______． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·广东河源·期中）【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)的解集是________，的解集是_________； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 基础通关 1．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西延安·期末）若，则将该不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）已知2和3都是关于x的不等式的解，则a的取值可能是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26七年级下·广东广州·期末）若是不等式的解，则的值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）不等式 的非负整数解为______． 6．（25-26七年级下·吉林松原·期末）将不等式■的解集在数轴上表示出来如图所示，则■盖住的符号是__________． 7．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知为正整数，且满足，则符合条件的最大值为________． 8．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式：． 9．（25-26七年级下·广东云浮·期末）解不等式：，并在数轴上表示解集． 10．（25-26七年级下·福建厦门·期末）解不等式，并写出其正整数解． 11．解不等式并求出所有负整数解： 12．（2026·陕西安康·模拟预测）解不等式，并写出该不等式的非负整数解． 13．（25-26八年级下·福建三明·期中）【阅读理解】下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：去分母，得    ① 去括号，得    ② 移项，得    ③ 合并同类项，得    ④ 系数化成1，得        ⑤ (1)以上解题过程中，第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． (2)请直接写出该不等式的正确解集：__________． (3)请把解集在数轴上表示出来． 素养提升 1．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值是（     ） A． B． C．2 D．3 2．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）如图表示的是关于的不等式的解集，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）已知的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是___________． 5．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为________． 6．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知不等式与关于的不等式的解集相同，求的值． 7．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 8．（25-26七年级下·安徽六安·期末）如果关于的不等式的解集为，求的值及的取值范围． 9．（2026·北京东城·二模）解不等式，并写出此不等式的非正整数解． 10．（25-26八年级下·四川成都·期末）一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．结合数轴观察： 解不等式，x表示到原点的距离小于3的数，如图1所示，不等式解集是； 解不等式，x表示到原点的距离大于3的数，如图2所示，不等式解集是或． 解答下面的问题： (1)的解集为__________，的解集为____________________； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的整数值； 迁移创新 1．（25-26七年级下·陕西延安·期末）对任意实数，，定义一种新运算“”：．例如：．若满足，求的取值范围． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一个组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，称这个方程的解为“集内点”；当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，称这个方程的解为“集外点”． 【问题解决】 (1)请通过计算判断组合中方程的解是“集内点”还是“集外点”？ (2)若关于的组合中方程的解是“集内点”，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $