专题02实数精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册

本讲义聚焦实数核心知识，从有理数扩充至实数，系统梳理定义、分类（按定义和正负性）、与数轴一一对应关系、运算（法则及运算律）、大小比较（数轴法等）、近似值及科学记数法，为二次根式学习搭建知识支架。 资料亮点在于重点辨析误区（如带根号的数非无理数），题型分星级（基础到拔高）且解题思路清晰（如夹逼法估算），培养抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）、应用意识（数学语言）。课中助教师分层教学，课后助学生查漏补缺。

专题02实数精讲学案 核心立意 本节课将数系从有理数扩充至实数，认识无理数，掌握实数的定义与分类；理解实数与数轴上的点一一对应的关系；把相反数、绝对值的概念拓展到实数范围；掌握实数大小比较方法，知道有理数运算法则、运算律在实数范围内仍然成立，建立数形结合思想，为本章二次根式学习铺垫基础。 实数定义：有理数和无理数统称为实数。 实数的分类 ①按定义划分：实数分为有理数、无理数。有理数：整数、分数，可写成有限小数或无限循环小数；无理数：无限不循环小数。 ②按正负性划分：实数分为正实数、0、负实数。0既不属于正实数，也不属于负实数。分类原则：不重复、不遗漏。 实数与数轴（数形结合核心） 一一对应：任意一个实数都能在数轴上找到唯一对应点；数轴上任意一点对应唯一实数。 大小规律：数轴右侧的实数＞左侧实数。 作图应用：利用勾股定理，以直角三角形斜边在数轴截取、等无理数。 实数的相关概念 实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 实数大小比较常用方法 1.数轴法：右大左小； 2.正负判定：正数＞0＞负数；两负数比较，绝对值大的数值更小； 3.平方比较法（仅正数）：a>0,b>0，若a2>b2，则a>b； 4.估算夹逼法：估算无理数整数范围后比较； 5.作差法：a-b>0 a>b。 近似值 1.基础概念 (1)准确数：完全符合实际、无误差的数（班级人数、桌椅数量） (2)近似数（近似值）：接近准确数、通过四舍五入 / 测量得到的数（身高、长度） (3)精确度：表示近似数近似程度，常见两种表示方式 2.两种精确要求 (1)精确到某一位：精确到个位、十分位、百分位、千位…… 例：1.56 精确到十分位是 1.6 (2)保留若干个有效数字 有效数字定义：从左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，全部都是有效数字。 例：0.0205 有效数字：2、0、5（共 3 个） 3.四舍五入取近似值步骤 (1)看清要求：精确到哪一位 / 保留几位有效数字； (2)找到指定数位，观察后一位数字； (3)后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去； (4)大数先化为科学记数法再取近似值，避免出错。 4.科学记数法取近值 大数 a10n(1a<10)，有效数字只看前面的 a。 例：3.14104 保留 2 个有效数字为 3.1104 重点辨析 1. 误区：带根号的数就是无理数。 辨析：=2，带有根号，但化简后是整数，属于有理数。判断标准是看化简结果是不是无限不循环小数。 2. 误区：无限小数就是无理数。 辨析：无限小数分为无限循环小数与无限不循环小数。无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。 3. 误区：是分数。 辨析：数学意义上的分数，分子、分母必须都是整数。 只是外形像分数，它是无理数，不属于分数。 4.误区：数轴只能画出有理数。 辨析：有理数在数轴上有无穷多个，但不能填满整条数轴。数轴上还有无数个点用来表示无理数。 5. 误区：负数可以开平方。 辨析：在实数范围内，负数没有平方根，但是负数有立方根。 1. 判断无理数时，不进行化简，直接把 \sqrt{16},\sqrt{25} 判定为无理数。 2. 把无限循环小数，如 0.\dot{3}，错误归为无理数。 3. 将 \dfrac{\pi}{2} 当作分数，判定为有理数。 4. 进行实数分类时，把 0 归入正实数或者负实数。 5. 化简含有无理数的绝对值时，不判断绝对值内式子的正负，直接去掉绝对值符号。 6. 比较两个负实数的大小时，误认为绝对值越大，数值就越大。 7. 运算时忽略开方的限制，尝试对负数开平方。 题型 考察方向 难度 题型一 无理数 ★★ 题型二 无理数的大小估算 ★★★ 题型三 无理数整数部分的有关计算 ★★★★ 题型四 计算器 —— 平方根和立方根 ★ 题型五 求一个数的近似数 ★★ 题型六 求近似数的精确度 ★★★ 题型七 近似数推断取值范围 ★★★★ 题型八 实数概念理解 ★★ 题型九 实数的分类 ★★★ 题型十 实数的性质 ★★★ 题型十一 实数与数轴 ★★★★ 题型十二 实数的大小比较 ★★★ 题型十三 程序设计与实数运算 ★★★★ 题型十四 实数运算的实际应用 ★★★★ 题型十五 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★★ 题型十六 将用科学记数法表示的数变回原数 ★★ 题型十七 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 ★★★ 题型十八 还原用科学记数法表示的小数 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★容易；★★基础；★★★中档；★★★★较难★★★★★难题 题型一：无理数 解题思路：①先将每个数进行化简；②根据定义区分有理数与无理数；③识别三类常见无理数：开方开不尽的根式、含有的数、有规律但不循环的无限小数。 1．下列四个实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．   D．2 【答案】C 【分析】需先化简带根号的数，再根据无理数的定义判断各选项． 【详解】解：0，2均为整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 开方开不尽，为无理数． 2．下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，常用的无理数表达方式有：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如（每相邻的两个之间依次增加一个）. 【详解】解：是无限不循环小数，因此是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； ，，，是无理数，共有4个． 3．在下列各数∶ 中，无理数有_____个． 【答案】5 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在中，无理数有、、、、，共5个． 故答案为：5． 题型二：无理数的大小估算 解题思路：①确定被开方数；②对于平方根，找两个整数，利用平方把被开方数夹在中间；对于立方根，找两个整数，利用立方把被开方数夹在中间；③根据不等关系确定无理数的取值范围。 4．满足的所有整数的和是（     ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义．估算和的取值范围，确定符合条件的整数后求和． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴满足的整数为， ∴这些整数的和为． 5．若a为正整数，且满足，则______． 【答案】 【分析】先估算出的范围，确定介于哪两个连续正整数之间，再结合已知不等式即可求出的值． 【详解】解：，，且， ，即， ，且为正整数， ． 6．若整数x满足，则x的值是（     ） A．8 B．10 C．9 D．11 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． ∴． ∵，且，， ∴． ∴． 结合两个取值范围，可得． ∴满足条件的整数x的值为10． 题型三：无理数整数部分的有关计算 解题思路：①使用夹逼法求出无理数的整数部分；②利用公式：小数部分=原数-整数部分；③将整数部分、小数部分代入代数式求值；④负数的整数部分取比该数更小的整数。 7．的整数部分是______． 【答案】 1 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质得到的取值范围，即可确定其整数部分． 【详解】解：∵，，且， ∴根据算术平方根的性质，可得. 不等式两边同时减1，得， 即， ∴的整数部分是1． 8．实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 【答案】D 【分析】找到与26相邻的两个完全平方数，确定的范围，进而得到连续整数和的值，计算即可． 【详解】解：， ，即 ， ，且，是连续整数， ，， ． 9．若的整数部分是x，小数部分是y，则的值为________． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，确定的整数部分，再根据无理数中整数部分与小数部分的关系得到小数部分y，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，即， 的整数部分， 小数部分， 将，代入，得． 10．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型四：计算器 —— 平方根和立方根 解题思路：①区分平方根与立方根的按键；②被开方数是多项式时，添加括号保证运算顺序；③按题目要求，用四舍五入保留指定精度。 11．利用计算器计算时，按键，显示结果是_____． 【答案】0 【分析】根据计算器按键顺序得到对应算式，再根据立方根和算术平方根的定义计算结果即可． 【详解】解：由按键顺序可得，所求算式为 根据立方根的定义可得， 根据算术平方根的定义可得， 则． 12．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据计算器按键功能， 表示开立方运算， 表示分数输入，确定算式为 ，计算即可． 【详解】解：由按键顺序可知，该算式为，， ∴． 13．有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数的规律，以及用计算器的计算开方，得出让第十位的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键． 因为计算器只能显示9位（包括小数点），要想知道第十位的数字是什么，必须想办法让第十位的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让第十位的数据出现． 【详解】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意； C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型五：求一个数的近似数 解题思路：①找到指定精确度对应的数位；②观察该数位后一位数字；③依据四舍五入规则取舍；④近似数末尾表示精度的 0 必须保留，不能省略。 14．取近似数精确到百分位为_______________． 【答案】 【分析】要得到精确到百分位的近似数，需观察千分位上的数字，根据四舍五入法则计算即可． 【详解】解：根据近似数的规则，精确到某一位时，应当对下一位的数字进行四舍五入． 百分位是小数点后第二位，的千分位数字为，，因此向百分位进． 百分位原数字为，，因此向十分位进，百分位保留， 计算得： 15．一个数按“四舍五入”法保留一位小数是3.0，这个数可能是（   ） A．3.08 B．3.05 C．2.89 D．2.95 【答案】D 【分析】本题考查近似数，分别按“四舍五入”法保留一位小数求出各选项的近似数，即可解答． 【详解】解：A、（保留一位小数），故不符合题意； B、（保留一位小数），故不符合题意； C、（保留一位小数），故不符合题意； D、（保留一位小数），故符合题意． 故选：D． 16．一个三位小数用四舍五入法取近似值是，这个数原来最大是______，最小是______． 【答案】 【分析】本题考查了取一个数的近似数，熟练掌握四舍五入的方法是解题的关键； 根据题目要求灵活掌握解答方法，要考虑是一个三位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的最大是，“五入”得到的最小是，由此解答问题即可求解． 【详解】解：一个三位小数，用“四舍五入”法取近似数的结果为，这个三位小数最大是，最小是； 故答案为：，． 17．我国河流的总流量约为2.7万亿立方米，居世界第三位，水力资源蕴藏量可达千瓦，居世界第一位．横线上的数改写成用“亿”做单位的数是______亿，省略亿位后面的尾数约是______亿． 【答案】 7 【分析】本题主要考查亿以上数的改写与求近似数，掌握近似数的表示方法成为解题的关键． 将一个数改写成用“亿”作单位的数，要先找到亿位，再在亿位的右下角点上一个小数点，再将这个小数进行化简，然后添上“亿”字即可；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，据此即可解答． 【详解】解：亿；亿7亿． 故答案为：，7． 题型六：求近似数的精确度 解题思路：①普通小数：确定最末一位数字所在的数位；②带单位或科学记数法：先把数还原为原数；③确定近似数最后一位有效数字对应的数位。 18．把精确到百分位是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度，需依据“四舍五入”规则，通过观察精确位数的下一位数字判断取舍． 【详解】解：∵精确到百分位需看千分位上的数字 又∵的千分位数字是， ∴舍去千分位及后面的数字，得到 故选：C． 19．关于近似值，下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．精确到百位 C．精确到千位 D．精确到个位 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法与近似数的精确度判断，熟练掌握将科学记数法还原为原数并确定有效数字所在数位的方法是解题的关键．先将科学记数法表示的数还原为原数，再确定最后一位有效数字在原数中的数位，从而判断其精确度． 【详解】解：∵， ∴3.06中最后一位有效数字6，在30600中位于百位， ∴精确到百位， 故选：B． 20．用四舍五入法取的近似数正确的是（    ） A．精确到的结果是 B．精确到的结果是 C．精确到百分位的结果是 D．精确到千分位的结果是 【答案】B 【分析】本题主要考查了近似数的精确度和有效数字等知识点，掌握近似数的确定方法（①精确到多少位或者精确到小数点后第几位；②保留几个有效数字.确定有效数字时，要注意两点：一是从左边第一个不是零的数字起；二是到精确到的数位止，所有的数字，都是这个数的有效数字）是解题的关键． 根据近似数的确定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 精确到的结果是，故该选项错误，不符合题意；     B. 精确到的结果是，故该选项正确，符合题意；     C. 精确到百分位的结果是，故该选项错误，不符合题意；     D. 精确到千分位的结果是，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 题型七：近似数推断取值范围 解题思路：①确定近似数的精确单位；②计算下限：近似数 -精确单位}，可以取等号；③计算上限：近似数 +精确单位}，不可取等号；④写出连续的取值区间。 21．如果一个数按照四舍五入的原则得到的近似数为，则这个数的取值范围应在（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由近似数求准确数的范围，解题的关键是正确理解近似数的精确度．近似数，精确到百分位，应是从千分位上的数字四舍五入得到的，若千分位上的数字大于等于，百分位上的数字应是，十分位上是；若千分位上的数字小于，百分位上的数字应是，十分位上是，由此可得解． 【详解】解：由于近似数精确到了百分位，所以它所表示的准确数必须至少精确到千分位，且符合四舍五入法的要求，则． 故选：D． 22．一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 【答案】 【分析】保留两位小数需观察千分位上的数字，千分位数字小于时直接舍去，千分位数字大于或等于时向前一位进，“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，分两种情况讨论即可得到结果． 【详解】解：若近似数是“四舍”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最大取，即最大的三位小数为； 若近似数是“五入”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最小取，即最小的三位小数为． 23．四舍五入得到的近似数表示的精确数x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】近似值是通过四舍五入得到的， 可以由大于或等于的数，4后面的一位数字，满5进1得到．或由小于的数，舍去5后的数字得到，因而 ． 【详解】解∶近似数表示的精确数x的范围是． 故选∶B． 【点睛】本题主要考查对近似数概念的理，解熟练掌握四舍五入法是解题的关键． 题型八：实数概念理解 解题思路：①明确实数是有理数与无理数的统称；②区分有限小数、无限循环小数、无限不循环小数；③判断命题正误时，可以使用举反例法。 24．实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，根据已知条件，结合各选项内容逐一判断，即可得到一定成立的结论． 【详解】解：∵ 实数，满足，即． 对各选项分析如下： A选项：，只是满足的一种特殊情况，故A错误． B选项：例如，满足，但，不都为，故B错误． C选项：互为倒数的两个数乘积为，例如，满足，乘积为，不互为倒数，故C错误． D选项：根据相反数的定义，和为的两个数互为相反数，由可知，互为相反数，结论一定成立，故D正确． 25．已知实数m，n满足，则________． 【答案】9 【详解】解：，且， ，， 解得，， ． 26．已知a，b、c是实数，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、当，时，满足，但不满足，故此选项错误； B、，，故此选项错误； C、当时，，此时，故此选项错误； D、，，，故此选项正确． 题型九：实数的分类 解题思路：①先化简所有给出的数；②按定义分类：有理数、无理数；③按符号分类：正实数、0、负实数；④分类时做到不重复、不遗漏。 27．在实数、、中，无理数有________个． 【答案】2 【详解】解：，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 开立方后是无限不循环小数，属于无理数， 因此无理数共有个． 28．在，，，（相邻两个之间的个数逐次加），，，中，有理数的个数是（     ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简含根号的数，再根据有理数的定义分类统计个数． 【详解】解：； 有理数有，，； 无理数有，，（相邻两个之间的个数逐次加），； 所以有理数共3个． 29．在数，，，0.303030…，，，0.01001000100001…中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据无理数的概念可判断出无理数的个数．本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①类，如；②开方开不尽的数，如；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：，，，0.303030…是有理数， ，，0.01001000100001…是无理数． 故选：B． 题型十：实数的性质 解题思路：①相反数：实数 a 的相反数是 -a；②绝对值：根据实数的正负，按照分段定义化简；③倒数：非零实数 a 的倒数是 。 30．的相反数是__________. 【答案】 / 【详解】解：的相反数为. 31．与是某正数的两个平方根，则实数的值是（     ） A．4 B． C．2 D．－2 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵与是该正数的两个平方根 ∴ 解得 ． 32．已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，实数的性质，代数式求值，根据被开方数要大于等于0得到，据此化简绝对值推出，进而得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 33．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 题型十一：实数与数轴 解题思路：①记住核心结论：实数与数轴上的点一一对应；②数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值；③利用勾股定理，可以在数轴上画出部分无理数对应的点。 34．如图，数轴上点M表示的实数可能是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴数轴上点M表示的实数可能是． 故选：D 35．如图，在数轴上的四个点中，与表示数的点最接近的是点__________． 【答案】 【分析】先得出，则，结合数轴即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴与表示数的点最接近的是点B． 36．如图，a，b，在数轴上的对应点分别是A，B，P，则在数轴上的对应点位于（     ） A．点P左边 B．点P，A之间 C．点A，B之间 D．点B右边 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置关系得出 ，从而判断 的符号，再利用数轴上两点间的距离公式及图形的几何特征确定 的位置． 【详解】解：由数轴可知，点对应的数分别为，且从左到右排列 ， 即对应的点在点的右边 又点到点的距离为，点到点的距离为 点到点的距离等于点到点的距离 由图可知，线段的长度明显小于线段的长度 点到点的距离小于点到点的距离 点位于点与点之间． 37．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，根据题意得，再根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∴， ∵点E在点A的左侧，点A在数轴上表示的数为1， ∴点E所表示的数为， 故选：D． 题型十二：实数的大小比较 解题思路：①数轴法：数轴右侧的数大于左侧的数；②符号法：正实数 >0> 负实数；③乘方法：正数可以同时平方或立方后比较；④作差法：计算两数之差，由差的正负判断大小。 38．下列各数中，最小的是（     ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：，，，最小数在B、D中， ∵，，， ∴， ∴． 39．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】将两个分数化为同分母分数，通过比较分子大小得到两个数的大小关系，可通过平方法比较无理数和整数的大小. 【详解】解：对通分，得 . 比较分子和的大小： ，. 因为，所以. 因此，即. 40．已知四个实数、、、，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式同向相加的性质推导A选项，再通过举反例排除其余错误选项，得到正确结果 【详解】解：∵ ，，根据不等式同向可加性，得 ，且， ∴ ，A正确； 对B选项，举反例：取，，，，则，，，不满足，B错误； 对C选项，举反例：取，，，，则，，，不满足，C错误； 对D选项，举反例：取，，，，则，，，不满足，D错误 41．已知四个数满足，则之间的大小关系是____________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了用字母表示数，比较数的大小，熟练掌握相关知识点是解题关键．设，得的表达式，通过比较常数项与的关系即可确定大小． 【详解】解：设，则 ，，，。 比较差值： ，故 ； ，故 ； ，故 。 因此，大小关系为 ； 故答案为： ． 题型十三：程序设计与实数运算 解题思路：①理清流程图的输入、运算、判断、输出规则；②严格依照流程顺序分步代入计算；③留意分支、循环的判定条件；④核对计算结果是否满足终止条件。 42．根据图中的程序，当输入为2时，输出的值是（   ） A． B． C．-2 D． 【答案】B 【分析】根据程序框图，判断输入值 与的大小关系，选择对应的运算程序进行计算即可． 【详解】解：输入，且， ． 43．有一个数值转换器，原理如图，当输入的时，输出的y等于________． 【答案】 【分析】根据数值转换器的流程图，输入 后计算其算术平方根，若结果是有理数则将该结果作为新的输入继续计算算术平方根，直到计算结果是无理数时输出该结果． 【详解】解：当时，则，16是有理数， 当时，则，4是有理数， 当时，则，2是有理数， 当时，得，是无理数，输出， 即． 44．在如图所示的运算程序中，若输入的值是，则输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 题型十四：实数运算的实际应用 解题思路：①从实际问题中提取数量关系；②把实际量用实数表示；③依据题意列出实数运算式；④完成计算，并验证结果是否符合现实约束。 45．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 46．如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 47．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案． 即可得出，再计算即可得出结论． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由操作可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长， ∴设，则， ． 题型十五：用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 解题思路：①写成标准形式 a10n，满足 1 a<10}；② n 的值等于原数的整数位数减 1；③检查 a 是否符合取值范围。 48．2024年，长沙在全球科技集群百强榜中跃升至第位，在全球科研城市排名中升至第位，人才总量达到．人才总量数据用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一个较大的数用科学记数法表示为的形式，其中，为正整数，的值等于原整数位数减1即可． 【详解】解：． 49．填空： （1）地球离太阳约有1亿5千万千米，1亿5千万用科学记数法表示为________； （2）地球上煤的储量估计为15万亿吨，15万亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：（1）1亿5千万； （2）15万亿． 50．2025年，广西蔗糖产业迎来丰收年．据相关部门统计，2024-2025年榨季，广西糖料蔗种植面积1135万亩、同比增加11万亩，食糖产量646.5万吨、同比增加28.36万吨．将数“1135万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，，即可用科学记数法表示． 【详解】解：． 故选：B． 题型十六：将用科学记数法表示的数变回原数 解题思路：①读取指数 n；②把 a 的小数点向右移动 n 位；③位数不足时，在末尾补 0。 51．2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义，将所给科学记数法展开得到原数，即可选出正确选项． 【详解】∵ ， ∴ ． 52．地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 53．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法、科学记数法、积的乘方运算及负整数指数幂运算逐项计算即可得到答案． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，6后是7个0而不是8个0，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、根据负整数指数幂的定义及计算可知，计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查整式混合运算及有理数混合运算，涉及同底数幂的乘法、科学记数法、积的乘方运算及负整数指数幂运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 题型十七：用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 解题思路：①写成标准形式 a10-n，满足 1a<10}；② n 等于第一个非零数字前面所有 0 的个数（包含小数点前的 0）；③确认指数为负数。 54．“夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易在《夜雪》里描写雪的诗句，从语句中体会到雪也是有重量的．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，将数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 55．臭氧是一种可以吸收紫外线的气体，每干洁空气中约含臭氧，则干洁空气中约含臭氧_______（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．先列出运算式子，再根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 56．“石墨烯重防腐涂装体系”已成为我国新一代重防腐涂料的重要发展方向，其成功应用于福厦高铁泉州湾跨海大桥、安海湾跨海大桥等多项重大工程．已知单层石墨烯的标准厚度为．数据“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】绝对值小于的数用科学记数法可表示为，其中需满足，是原数左起第一个非零数字前所有零的个数，据此解答即可． 【详解】解：． 题型十八：还原用科学记数法表示的小数 解题思路：①读取负指数 -n；②把 a 的小数点向左移动 n 位；③位数不足时，在前面补 0。 57．将用小数表示为（     ） A．0.0628 B．0.00628 C．0.000628 D．0.0000628 【答案】D 【详解】解： 58．一粒大米的质量约为，用小数表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，熟记科学记数法的定义是解题关键．根据科学记数法中的指数的绝对值可得将小数中的小数点向左移动5位即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 59．红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，以及幂的运算，根据相关概念和运算法则对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：， A项错误，不符合题意； ， B项错误，不符合题意； 是8位小数， 故C项正确，符合题意；D项错误，不符合题意； 故选：C． 解答题 1．对于无理数，试解答下列问题： (1)在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？ (2)借助计算器找出有理数和，使，且． 【答案】(1)在数轴上位于整数和之间 (2)，（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】（1）由，可得出在哪两个整数之间； （2）先借助计算器，将估算到小数点后第位； 再结合，不难找出有理数和的值． 【详解】（1）解：，，且， ， 即在数轴上位于整数和之间； （2）借助计算器，得， 取， ， （答案不唯一，符合条件即可）． 2．用计算器计算： (1)； (2)； (3)（精确到）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 3．下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 4．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． 5．最小刻度为（）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺． (1)用科学记数法表示这一最小刻度（单位：）． (2)蜂鸟是世界上最小的鸟，最大的蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的多少倍？ 【答案】(1) (2)最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的倍 【分析】本题考查了科学记数法及用科学记数法表示数的除法的应用； （1）由科学记数表示绝对值小于的方法进行表示，即可求解； （2）由题可得，进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以， 所以最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的倍． 6．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 7．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实数精讲学案 核心立意 本节课将数系从有理数扩充至实数，认识无理数，掌握实数的定义与分类；理解实数与数轴上的点一一对应的关系；把相反数、绝对值的概念拓展到实数范围；掌握实数大小比较方法，知道有理数运算法则、运算律在实数范围内仍然成立，建立数形结合思想，为本章二次根式学习铺垫基础。 实数定义：有理数和无理数统称为实数。 实数的分类 ①按定义划分：实数分为有理数、无理数。有理数：整数、分数，可写成有限小数或无限循环小数；无理数：无限不循环小数。 ②按正负性划分：实数分为正实数、0、负实数。0既不属于正实数，也不属于负实数。分类原则：不重复、不遗漏。 实数与数轴（数形结合核心） 一一对应：任意一个实数都能在数轴上找到唯一对应点；数轴上任意一点对应唯一实数。 大小规律：数轴右侧的实数＞左侧实数。 作图应用：利用勾股定理，以直角三角形斜边在数轴截取、等无理数。 实数的相关概念 实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 实数大小比较常用方法 1.数轴法：右大左小； 2.正负判定：正数＞0＞负数；两负数比较，绝对值大的数值更小； 3.平方比较法（仅正数）：a>0,b>0，若a2>b2，则a>b； 4.估算夹逼法：估算无理数整数范围后比较； 5.作差法：a-b>0 a>b。 近似值 1.基础概念 (1)准确数：完全符合实际、无误差的数（班级人数、桌椅数量） (2)近似数（近似值）：接近准确数、通过四舍五入 / 测量得到的数（身高、长度） (3)精确度：表示近似数近似程度，常见两种表示方式 2.两种精确要求 (1)精确到某一位：精确到个位、十分位、百分位、千位…… 例：1.56 精确到十分位是 1.6 (2)保留若干个有效数字 有效数字定义：从左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，全部都是有效数字。 例：0.0205 有效数字：2、0、5（共 3 个） 3.四舍五入取近似值步骤 (1)看清要求：精确到哪一位 / 保留几位有效数字； (2)找到指定数位，观察后一位数字； (3)后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去； (4)大数先化为科学记数法再取近似值，避免出错。 4.科学记数法取近值 大数 a10n(1a<10)，有效数字只看前面的 a。 例：3.14104 保留 2 个有效数字为 3.1104 重点辨析 1. 误区：带根号的数就是无理数。 辨析：=2，带有根号，但化简后是整数，属于有理数。判断标准是看化简结果是不是无限不循环小数。 2. 误区：无限小数就是无理数。 辨析：无限小数分为无限循环小数与无限不循环小数。无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。 3. 误区：是分数。 辨析：数学意义上的分数，分子、分母必须都是整数。 只是外形像分数，它是无理数，不属于分数。 4.误区：数轴只能画出有理数。 辨析：有理数在数轴上有无穷多个，但不能填满整条数轴。数轴上还有无数个点用来表示无理数。 5. 误区：负数可以开平方。 辨析：在实数范围内，负数没有平方根，但是负数有立方根。 1. 判断无理数时，不进行化简，直接把 \sqrt{16},\sqrt{25} 判定为无理数。 2. 把无限循环小数，如 0.\dot{3}，错误归为无理数。 3. 将 \dfrac{\pi}{2} 当作分数，判定为有理数。 4. 进行实数分类时，把 0 归入正实数或者负实数。 5. 化简含有无理数的绝对值时，不判断绝对值内式子的正负，直接去掉绝对值符号。 6. 比较两个负实数的大小时，误认为绝对值越大，数值就越大。 7. 运算时忽略开方的限制，尝试对负数开平方。 题型 考察方向 难度 题型一 无理数 ★★ 题型二 无理数的大小估算 ★★★ 题型三 无理数整数部分的有关计算 ★★★★ 题型四 计算器 —— 平方根和立方根 ★ 题型五 求一个数的近似数 ★★ 题型六 求近似数的精确度 ★★★ 题型七 近似数推断取值范围 ★★★★ 题型八 实数概念理解 ★★ 题型九 实数的分类 ★★★ 题型十 实数的性质 ★★★ 题型十一 实数与数轴 ★★★★ 题型十二 实数的大小比较 ★★★ 题型十三 程序设计与实数运算 ★★★★ 题型十四 实数运算的实际应用 ★★★★ 题型十五 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★★ 题型十六 将用科学记数法表示的数变回原数 ★★ 题型十七 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 ★★★ 题型十八 还原用科学记数法表示的小数 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★容易；★★基础；★★★中档；★★★★较难★★★★★难题 题型一：无理数 解题思路：①先将每个数进行化简；②根据定义区分有理数与无理数；③识别三类常见无理数：开方开不尽的根式、含有的数、有规律但不循环的无限小数。 1．下列四个实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．   D．2 2．下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 3．在下列各数∶ 中，无理数有_____个． 题型二：无理数的大小估算 解题思路：①确定被开方数；②对于平方根，找两个整数，利用平方把被开方数夹在中间；对于立方根，找两个整数，利用立方把被开方数夹在中间；③根据不等关系确定无理数的取值范围。 4．满足的所有整数的和是（     ） A．0 B．2 C．3 D．5 5．若a为正整数，且满足，则______． 6．若整数x满足，则x的值是（     ） A．8 B．10 C．9 D．11 题型三：无理数整数部分的有关计算 解题思路：①使用夹逼法求出无理数的整数部分；②利用公式：小数部分=原数-整数部分；③将整数部分、小数部分代入代数式求值；④负数的整数部分取比该数更小的整数。 7．的整数部分是______． 8．实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 9．若的整数部分是x，小数部分是y，则的值为________． 10．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 题型四：计算器 —— 平方根和立方根 解题思路：①区分平方根与立方根的按键；②被开方数是多项式时，添加括号保证运算顺序；③按题目要求，用四舍五入保留指定精度。 11．利用计算器计算时，按键，显示结果是_____． 12．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 13．有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 题型五：求一个数的近似数 解题思路：①找到指定精确度对应的数位；②观察该数位后一位数字；③依据四舍五入规则取舍；④近似数末尾表示精度的 0 必须保留，不能省略。 14．取近似数精确到百分位为_______________． 15．一个数按“四舍五入”法保留一位小数是3.0，这个数可能是（   ） A．3.08 B．3.05 C．2.89 D．2.95 16．一个三位小数用四舍五入法取近似值是，这个数原来最大是______，最小是______． 17．我国河流的总流量约为2.7万亿立方米，居世界第三位，水力资源蕴藏量可达千瓦，居世界第一位．横线上的数改写成用“亿”做单位的数是______亿，省略亿位后面的尾数约是______亿． 题型六：求近似数的精确度 解题思路：①普通小数：确定最末一位数字所在的数位；②带单位或科学记数法：先把数还原为原数；③确定近似数最后一位有效数字对应的数位。 18．把精确到百分位是(　　) A． B． C． D． 19．关于近似值，下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．精确到百位 C．精确到千位 D．精确到个位 20．用四舍五入法取的近似数正确的是（    ） A．精确到的结果是 B．精确到的结果是 C．精确到百分位的结果是 D．精确到千分位的结果是 题型七：近似数推断取值范围 解题思路：①确定近似数的精确单位；②计算下限：近似数 -精确单位}，可以取等号；③计算上限：近似数 +精确单位}，不可取等号；④写出连续的取值区间。 21．如果一个数按照四舍五入的原则得到的近似数为，则这个数的取值范围应在（   ） A． B． C． D． 22．一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 23．四舍五入得到的近似数表示的精确数x的范围是（   ） A． B． C． D． 题型八：实数概念理解 解题思路：①明确实数是有理数与无理数的统称；②区分有限小数、无限循环小数、无限不循环小数；③判断命题正误时，可以使用举反例法。 24．实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 25．已知实数m，n满足，则________． 26．已知a，b、c是实数，若，则（     ） A． B． C． D． 题型九：实数的分类 解题思路：①先化简所有给出的数；②按定义分类：有理数、无理数；③按符号分类：正实数、0、负实数；④分类时做到不重复、不遗漏。 27．在实数、、中，无理数有________个． 28．在，，，（相邻两个之间的个数逐次加），，，中，有理数的个数是（     ）个． A． B． C． D． 29．在数，，，0.303030…，，，0.01001000100001…中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十：实数的性质 解题思路：①相反数：实数 a 的相反数是 -a；②绝对值：根据实数的正负，按照分段定义化简；③倒数：非零实数 a 的倒数是 。 30．的相反数是__________. 31．与是某正数的两个平方根，则实数的值是（     ） A．4 B． C．2 D．－2 32．已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 33．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 题型十一：实数与数轴 解题思路：①记住核心结论：实数与数轴上的点一一对应；②数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值；③利用勾股定理，可以在数轴上画出部分无理数对应的点。 34．如图，数轴上点M表示的实数可能是（    ） A． B． C．2 D． 35．如图，在数轴上的四个点中，与表示数的点最接近的是点__________． 36．如图，a，b，在数轴上的对应点分别是A，B，P，则在数轴上的对应点位于（     ） A．点P左边 B．点P，A之间 C．点A，B之间 D．点B右边 37．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 题型十二：实数的大小比较 解题思路：①数轴法：数轴右侧的数大于左侧的数；②符号法：正实数 >0> 负实数；③乘方法：正数可以同时平方或立方后比较；④作差法：计算两数之差，由差的正负判断大小。 38．下列各数中，最小的是（     ） A．2 B． C．0 D． 39．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 40．已知四个实数、、、，若，，则（     ） A． B． C． D． 41．已知四个数满足，则之间的大小关系是____________．（用“”连接） 题型十三：程序设计与实数运算 解题思路：①理清流程图的输入、运算、判断、输出规则；②严格依照流程顺序分步代入计算；③留意分支、循环的判定条件；④核对计算结果是否满足终止条件。 42．根据图中的程序，当输入为2时，输出的值是（   ） A． B． C．-2 D． 43．有一个数值转换器，原理如图，当输入的时，输出的y等于________． 44．在如图所示的运算程序中，若输入的值是，则输出的值是（     ） A． B． C． D． 题型十四：实数运算的实际应用 解题思路：①从实际问题中提取数量关系；②把实际量用实数表示；③依据题意列出实数运算式；④完成计算，并验证结果是否符合现实约束。 45．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 46．如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    47．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 题型十五：用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 解题思路：①写成标准形式 a10n，满足 1 a<10}；② n 的值等于原数的整数位数减 1；③检查 a 是否符合取值范围。 48．2024年，长沙在全球科技集群百强榜中跃升至第位，在全球科研城市排名中升至第位，人才总量达到．人才总量数据用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 49．填空： （1）地球离太阳约有1亿5千万千米，1亿5千万用科学记数法表示为________； （2）地球上煤的储量估计为15万亿吨，15万亿用科学记数法表示为________． 50．2025年，广西蔗糖产业迎来丰收年．据相关部门统计，2024-2025年榨季，广西糖料蔗种植面积1135万亩、同比增加11万亩，食糖产量646.5万吨、同比增加28.36万吨．将数“1135万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型十六：将用科学记数法表示的数变回原数 解题思路：①读取指数 n；②把 a 的小数点向右移动 n 位；③位数不足时，在末尾补 0。 51．2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 52．地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 53．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（    ） A． B． C． D． 题型十七：用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 解题思路：①写成标准形式 a10-n，满足 1a<10}；② n 等于第一个非零数字前面所有 0 的个数（包含小数点前的 0）；③确认指数为负数。 54．“夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易在《夜雪》里描写雪的诗句，从语句中体会到雪也是有重量的．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，将数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 55．臭氧是一种可以吸收紫外线的气体，每干洁空气中约含臭氧，则干洁空气中约含臭氧_______（用科学记数法表示）． 56．“石墨烯重防腐涂装体系”已成为我国新一代重防腐涂料的重要发展方向，其成功应用于福厦高铁泉州湾跨海大桥、安海湾跨海大桥等多项重大工程．已知单层石墨烯的标准厚度为．数据“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 题型十八：还原用科学记数法表示的小数 解题思路：①读取负指数 -n；②把 a 的小数点向左移动 n 位；③位数不足时，在前面补 0。 57．将用小数表示为（     ） A．0.0628 B．0.00628 C．0.000628 D．0.0000628 58．一粒大米的质量约为，用小数表示为_______． 59．红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 解答题 1．对于无理数，试解答下列问题： (1)在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？ (2)借助计算器找出有理数和，使，且． 2．用计算器计算： (1)； (2)； (3)（精确到）． 3．下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 4．一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 5．最小刻度为（）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺． (1)用科学记数法表示这一最小刻度（单位：）． (2)蜂鸟是世界上最小的鸟，最大的蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该标尺最小刻度的多少倍？ 6．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 7．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $