周测03 用一元二次方程解决问题 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用，融合樱桃产量增长、快递业务收入等生活情境及杨辉数学问题等文化素材，通过基础方程建立、几何面积计算、动点综合问题梯度设计，适配九年级周测对模型意识与运算能力的考查需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|增长率问题、几何面积模型|第3题以杨辉《田亩比类乘除捷法》为背景，渗透数学文化| |填空题|6/18|单循环比赛、降价百分率|第12题矩形剪拼正方形，考查空间观念与方程建模| |解答题|6/58|装裱面积计算、车棚设计、动点面积探究|第20题矩形双动点运动，结合往返情境，提升推理能力与应用意识|

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册 周测 周测03 用一元二次方程解决问题 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某樱桃种植基地2024年樱桃产量为吨，2026年达到吨，求该种植基地樱桃产量的年平均增长率．设樱桃产量的年平均增长率为，则列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据年平均增长率公式，2024到2026年共两年增长，用初始产量乘以（增长率）的平方等于最终产量，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：． 2．（21-22八年级下·浙江金华·阶段检测）我国快递业务逐年增加，2019年至2021年我国快递业务收入大约由5000亿元增加到7500亿元，设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设年平均增长率为，2020年快递业务收入为亿元，2021年快递业务收入为亿元， 由题意得. 3．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长与宽的和表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可 【详解】解：设长为步，长和宽的和为步 宽为步 矩形面积长宽，已知矩形面积为平方步 可列方程为 4．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 5．（25-26八年级下·广西南宁·期末）某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为，根据增长规律列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为． 年改造面积为亩，经过两年增长后年改造面积为亩， ， 整理得 解得，（不符合题意，舍去）． 6．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x的正方形，所以底面长为． 确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为，上下各剪去一个边长为x的正方形，所以底面宽为． 利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为，所以可列关于x的方程． 【详解】设剪去的正方形边长为，由题意，得． 7．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为，其中，则，, ， 的面积为， ， 解得：或， 即当的面积为时，运动时间为或． 8．（2026·河南洛阳·三模）如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1．5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 【答案】C 【分析】由题意易得，，，，则有，，由题意可分当时，当时，且满足，然后分类画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴，， 由题意可分： 当时，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 此时，解得：； 当时，且满足，分别过点A、P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：t的值为1.5或3． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）2025年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共进行15场比赛，则根据题意可列方程为______ 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据每两队之间只进行一场比赛，共进行15场比赛，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为； 故答案为：． 10．（25-26九年级上·陕西西安·期中）某景区五月份游客接待量为600万人次，七月份游客接待量为726万人次．设游客接待量的月平均增长率是，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了与增长率有关的一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系并正确列出方程是关键． 根据等量关系：五月份游客人数增长率七月份游客人数，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）某药品原价是元，经过连续两次降价后，价格变为元，如果每次降价的百分率是相同的，设每次降价的百分率是，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每次降价的百分率是，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每次降价的百分率是， 根据题意得，， 故答案为：． 12．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 【答案】 【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长和矩形的长，再根据矩形和正方形的面积相等，列方程，求解检验即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，， ∴矩形的长为， 根据矩形和正方形的面积相等，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． 13．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 【答案】 【分析】设每件降价元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列方程，结合尽快减少库存的要求选择符合题意的解． 【详解】解：设每件服装应降价元，根据题意，降价后每件利润为元， 降价元后每天的销售量为 件， 总利润达到元， 列方程为 ， ， ， 解得：，． 要尽快减少库存，降价越多，每天销售量越大，减少库存越快， 取，即每件应降价元． 14．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）如图，在矩形中，，，点在边上，且，连结，将绕点顺时针旋转至，以、为边作正方形，连结，若，则的长是_________． 【答案】 【分析】设，过点作，垂足为，容易证明，从而可得，，在中，根据列方程求出，再在中求出即可. 【详解】解：过点作，垂足为， 设， ∵矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， 整理得：， ∴， ∴，， ∴在中，. 【点睛】根据正方形的性质构造垂直全等模型，得，将分散的已知条件集中到一个三角形中，从而利用勾股定理列方程求解是解题的关键. 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15．（8分）（25-26九年级上·广东汕尾·期中）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图1是一幅软笔作品，它是长，宽的矩形．为了美观，现需装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图2． (1)若上、下、左、右边衬宽度都相等，均为，求装裱后的作品面积． (2)若左边衬的宽度是上边衬的2倍，装裱后的作品面积变成原作品的倍，求上边衬的宽度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意及图形可直接进行求解； （2）设上边衬的宽度是，则左边衬的宽度是，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：装裱后的作品面积为． 答：装裱后的作品面积为．………………3分 （2）解：设上边衬的宽度是，则左边衬的宽度是，依题意得： ，………………5分 整理得：， 解得：（舍去）； 答：此作品上边衬的宽度是．………………8分 16．（8分）（25-26九年级上·广东广州·期中）数学活动探究 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，……，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数总和是，于是得到． 这就是说，三角点阵中前n行的点数总和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数总和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【答案】（1）能，；（2）；（3）不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程在数字规律题中的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）令，即可求解； （2）根据即可求解； （3）令，即可求解． 【详解】解：（1）令，解得：（舍）， ∴；………………2分 （2）前n行的点数总和为： …………5分 （3）令， 解得：（负值舍去）， ∵为正整数， ∴这个三角点阵中前n行的点数和不能是．………………8分 17．（10分）（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 (2)见详解 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 由题可得：，………………2分 解得，， ， （舍去），………………4分 ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米；………………5分 （2）解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：，………………7分 整理得， ∵，………………9分 ∴不能围成面积为60平方米的车棚．………………10分 18．（10分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【答案】(1)礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 (2)礼盒甲每件降价元 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得，………………2分 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义，………………4分 ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）．………………5分 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴，………………7分 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）．………………9分 答：礼盒甲每件降价元．………………10分 19．（10分）（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)见详解 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即………………3分 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于；………………5分 （2）解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴，………………7分 整理得：， 由于，………………9分 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于．………………10分 20．（12分）（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得，………………2分 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于；………………3分 ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得，………………5分 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于；………………7分 （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ………………9分 ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于．……………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册 周测 周测03 用一元二次方程解决问题 （考试时间：45分钟，分值：60分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为30亿元，从2023年到2025年共经过2年． ∴2024年研发投入为亿元，2025年研发投入为亿元． 又∵2025年研发投入为50亿元． ∴列方程得． 2．（2026·甘肃兰州·中考真题）一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所设的长表示出宽，再结合长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 4．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用增长后的量增长前的量增长率，设这个增长率为x，根据“2月份的万只，4月份的产量将达到万只”，即可得出方程． 【详解】解：根据题意可得． 5．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 6．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每盆总株数平均单株盈利”，分别表示出每盆总株数和平均单株盈利，即可列出方程． 【详解】解：设每盆多植株， ∵原来每盆植3株， ∴现在每盆总株数为株， ∵每增加1株，平均每株盈利减少元， ∴增加株后，平均单株盈利为元， ∵要求每盆盈利达到20元， ∴列出方程为 ． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为______．（化为一般形式） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可直接列出方程即可． 【详解】解：由题意可得方程为，化为一般形式为； 故答案为． 8．（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）以文旅赋能乡村振兴，甘肃让每一处乡村山水都成为高质量发展的新引擎．去年甘肃省某地旅游产业获利50亿元，若计划明年该旅游产业获利72亿元，设该地这两年旅游产业获利的年平均增长率为，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查根据实际情况列一元二次方程，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设旅游产业获利的年平均增长率为，由题意，得： ； 故答案为：． 9．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）重庆动物园的大熊猫“渝可”、“渝爱”深受市民喜爱．某纪念品商店售卖的“渝可”大熊猫玩偶原本标价为每个元，因市场波动，经过两次降价后标价变为每个元．则“渝可”大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为_____． 【答案】 【分析】本题重点考查​一元二次方程解决增长率/降低率实际问题的应用能力​，​准确理解“平均降价率”的数学含义（即每次降价率相同），并正确建立方程模型是解题的关键． 设平均降价率为，列方程为，求解即可． 【详解】设平均降价率为， 第一次降价后价格为，第二次降价后价格为， 所以，即， 解得或（不合题意，舍去）， 所以 ，即， 因此，平均降价率为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在长为米，宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上小草，要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为________米．    【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设道路的宽为米，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设道路的宽为米，由题意可知长为米，宽为米，由矩形的面积公式则可得：. 解得：或（舍去） 故答案为：． 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11．（8分）（2025·广西贵港·一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)通道的宽是2米 (2)40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米， 由题意得，，………………2分 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米．………………4分 （2）解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得，，………………6分 解得：，， 又能优惠大众， ， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众， 又能使对外开放的月租金收入为14400元．………………8分 12．（10分）（25-26八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件童装应该降价元 【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可； （2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元………………4分 （2）解：由题意得，………………6分 整理得， 解得，，………………8分 ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元．………………10分 13．（12分）（25-26八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)80元 (3)①日产量定为60千克；②不能实现 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求的最大值； （3）①先根据总利润每千克利润日产量，得到总利润关于的二次函数，再令求解即可； ②令，通过方程解的情况判断目标利润能否实现． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，………………2分 解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围， 得函数关系式为；………………3分 （2）解：已知 ， 随的增大而减小，………………5分 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元；………………6分 （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则，………………8分 ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克．………………10分 ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划．………………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册 周测 周测03 用一元二次方程解决问题 （考试时间：45分钟，分值：60分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃兰州·中考真题）一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为______．（化为一般形式） 8．（25-26九年级上·甘肃定西·阶段检测）以文旅赋能乡村振兴，甘肃让每一处乡村山水都成为高质量发展的新引擎．去年甘肃省某地旅游产业获利50亿元，若计划明年该旅游产业获利72亿元，设该地这两年旅游产业获利的年平均增长率为，则可列方程为__________． 9．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）重庆动物园的大熊猫“渝可”、“渝爱”深受市民喜爱．某纪念品商店售卖的“渝可”大熊猫玩偶原本标价为每个元，因市场波动，经过两次降价后标价变为每个元．则“渝可”大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为_____． 10．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在长为米，宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上小草，要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为________米．    三、解答题：本题共3小题，共30分。 11．（8分）（2025·广西贵港·一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 12．（10分）（25-26八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 13．（12分）（25-26八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册周测 周测03用一元二次方程解决问题 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.(25-26八年级下·山东烟台期末)某樱桃种植基地2024年樱桃产量为26吨，2026年达到31.46吨，求 该种植基地樱桃产量的年平均增长率.设樱桃产量的年平均增长率为x，则列方程正确的是() A.261+x}=-31.46 B.31.461-x}=26 C.261+2x)=31.46 D.26+x2)=31.46 2.(21-22八年级下·浙江金华阶段检测)我国快递业务逐年增加，2019年至2021年我国快递业务收入大 约由5000亿元增加到7500亿元，设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x,则所列 方程正确的是() A 5000(1+x)=7500 B.7500(1-x)}=5000 C.5000+5000(1+x)+5000(1+x}=7500 D.5000(1+2x)=7500 3.(25-26八年级下·浙江嘉兴·期末)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问 题：一个矩形长和宽的和为60步，面积是864平方步，问长比宽多几步？若设长为x步，根据题意可列 方程是() A.(60-x)x=864 B. 60-x.60+x=864 2 2 C.(60+x)x=864 D.(30+x30-x)=864 4.(2026云南昆明模拟预测)如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影 部分)，余下的部分种草坪，要使草坪的面积为540m2.设道路的宽为m,则下列方程正确的是 () 116 32m 20m A 20(32-x)=540 B.(32-x)(20-)=540 c.32(20-x)=540 D.(32-2x)(20-2x)=540 5.(25-26八年级下·广西南宁·期末)某市2024年数字化改造茶园面积200亩，经过两年的继续改造，该 项目2026年数字化改造茶园面积达到242亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长 率为() A.10% B.15% C.20% D.25% 6.(2026:内蒙古通辽：模拟预测)小明把一张长8cm、宽6cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的 正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示).如果这个无盖的长方体盒子底面积为24cm, 设剪去的正方形边长为Cm,那么x满足的方程是() A.48-3x2=24 B.(8-x)(6-x)=24 C.48-2(8x+6x)=24 D.(8-2x)(6-2x)=24 7.(25-26八年级下·安徽准南期中)如图，在△ABC中，AC=50m,BC=40m,∠C=90°，点P从点 A出发，以2m/s的速度沿AC边向点C匀速运动，同时另一点Q从点C出发，以3m/s的速度沿射线 CB △PCQ 300m2 匀速运动，当的面积为 时，运动时间为（) C B 216 A.6s或8s B.8s或10s C.5s或20s D.3s或10s 8.(2026河南洛阳三模)如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=6cm,BC=12cm.点P从 点A出发，以lcm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cms的速度沿C→B运动.设点 P的运动时间为t,在此运动过程中，当PQ=CD时，1的值为() D B A.1.5 B.3 C.1.5或3 D.3或4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.(25-26九年级上·江苏镇江·期中)2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）爆火，在全省掀起足球 热.某校开展校园足球联赛，以班级为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛， 若该联赛有队伍x支，预计常规赛共进行15场比赛，则根据题意可列方程为一 10.(25-26九年级上·陕西西安·期中)某景区五月份游客接待量为600万人次，七月份游客接待量为726 万人次.设游客接待量的月平均增长率是x，根据题意可列方程为一 11.(25-26九年级上江苏南京·阶段检测)某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元， 如果每次降价的百分率是相同的，设每次降价的百分率是x,则可列方程为一， 12.(25-26八年级下·福建福州期末)在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为aCm的矩形卡纸剪 成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩 形的宽多1，则该矩形卡纸的宽a=_cm ② ② ① ② ① ① ② 图1 图2 13.(26-27九年级上辽宁沈阳开学考试)某种服装平均每天可售出50件，每件利润为40元.为了尽快 减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价5元，则每天多售出10件.如果每天销售这 种服装的总利润达到2100元，那么每件应降价。 一元 14.(25-26八年级下浙江湖州期末)如图，在矩形ABCD中，BC=10,AB<BC,点E在边AD上， 3/6 且AE=AB,连结CE,将CE绕点C顺时针旋转9O°至CF,以CE、CF为边作正方形ECFG,连结 DG,若DG=25,则CE的长是 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15.(8分)(25-26九年级上广东汕尾期中)软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图1是一幅软 笔作品，它是长l80cm,宽90cm的矩形.为了美观，现需装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、 下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等)，装裱后的作品如图2. 180 边衬 速致静寧 速致静寧 90 翻 边衬 边框 图1 图2 (1)若上、下、左、右边衬宽度都相等，均为5cm,求装裱后的作品面积. 100 (②)若左边衬的宽度是上边衬的2倍，装裱后的作品面积变成原作品的81倍，求上边衬的宽度是多少？ 16.(8分)(25-26九年级上·广东广州期中)数学活动探究 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点， …,第n行有n个点，…，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n 行的点数总和是1+2+3++m-2)+(n-)+,于是得到1+2+3+…+(n-2)+m-)+n=)n+) 这就是说，三角点阵中前n行的点数总和是)mn+) 416 ● ● ●● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●●●●●●●● … 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： (1)三角点阵中前n行的点数和能是55吗？如果能，求出n;如果不能，请说明道理. 【拓展探索】 (2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2,4,6，…，2n,…,请探究出前n行的点数 总和满足的规律 (3)在(2)的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是120吗？如果能，求出：如果不能，请 说明道理。 17.(10分)(25-26八年级下·陕西咸阳·期末)如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车 车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度 忽略不计)· (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽： (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案：若不能，请说明理由. 18.(10分)(25-26八年级下陕西西安·期末)西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸 礼盒：礼盒甲、礼盒乙.己知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵100元.上一周，礼盒甲销售总额为9000元， 礼盒乙销售总额为6000元，且两款礼盒销售量相等 ()上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价12元，销量增加1件；礼盒乙每件提价40元，销量和上周一样。 调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多600元，求礼盒甲每件降价多少元？ 19.(10分)(25-26九年级上·福建莆田阶段检测)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm, BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以lCm/s的速度移动，点O从点B开始沿BC边向点C以 2Cm/s的速度移动.若P,Q两点同时出发，当点O运动到点C时，P,Q两点同时停止运动， 5/6 C B 产P 求： (I)几秒后，△PB0的面积等于4cm2? △PBO 7cm2 (2) 的面积能否等于？说明理由. 20.(12分)(25-26九年级下·山东淄博期末)如图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,点P从A 开始沿AB边向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，P, Q两点分别从A,B同时出发， D C 声P (I)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动. △PBQ 8cm2 ①经过几秒， 的面积等于 ②△PBQ的面积能否等于I0cm?如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由， (2)若点P到达B后不停止，立即以原速沿BA返回；点Q到达C后不停止，继续以原速沿射线BC方向 运动，直到点P第一次回到A时，两点同时停止运动.在整个运动过程中，第几秒△PB的面积等于 6cm2 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