2.4用一元二次方程解决问题 提优特训 ·2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程五大应用模型，A/B卷分层设计，融合真实生活情境与核心素养，适配新授课巩固与提优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|各10题/30分|增长率（口罩厂产量）、面积（矩形草坪）、利润（文具销售）、传播（流感传染）、循环计数（握手问题）|基础题直接对应模型公式，如A卷1-10题精准考查五大模型结构| |解答题|6题/60分|增长率应用（文旅游客量预测）、利润最值（面霜定价分析）、动点几何（△PBQ面积计算）、综合建模（菱形动点面积）|综合题融合实际约束，如B卷22题结合售价上限分析利润，体现模型意识与推理能力|

数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第二章一元二次方程第四节用一元二次方程解决问题》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.能从增长率、销售利润、图形面积、传播、循环计数等实际情境中，剥离无关文字信息，提炼等量关系，把现实问题抽象成一元二次方程数学模型；区分不同应用场景的数量结构，辨别适合一元二次方程建模的问题特征。 2.规范 “ 审题 — 设元 — 列方程 — 求解 — 检验取舍 ” 完整推理链条；能结合实际意义判断方程根是否合理，会结合图形边长、人数、价格等现实约束排除不合理解；能借助判别式分析 “ 能否达到指定面积、利润 ” 这类存在性问题。 3.能根据方程结构，灵活选用因式分解法、公式法、配方法求解所列方程；规范整理方程为一般形式，准确化简根式、百分率、代数式，提升含实际背景方程的运算准确率。 4. 熟练掌握增长率模型、矩形面积（靠墙、甬道边框）、销售利润、传播问题、单/双循环计数五大经典模型；能解决简单动点几何综合问题，会用一元二次方程方案说理、最值可行性判断，能用模型解释现实结果。 ) 二．知识梳理 ( （一） 列一元二次方程解应用题通用步骤 1. 步骤 ： （1） 审：读懂题意，分清已知量、未知量，找准核心等量关系； （2） 设：合理设未知数，优先直接设元；涉及百分率、边长、人数时规范书写单位； （3） 列：用含未知数的代数式表达相关量，根据等量关系列出一元二次方程； （4） 解：选择合适方法解方程，得到两个实数根； （5） 验：两层检验：检验根是否满足原方程；检验根是否符合实际意义（负数、超出范围、人数边长为小数等一般舍去）； （6） 答：规范写出结论，带上单位，贴合题目设问。 2. 核心原则：方程的数学解 ≠ 实际问题答案，实际问题必须检验取舍。 （二） 五大核心应用模型（本节重点） 1 . 平均增长率/下降率模型 设初始量为a，平均每次增长（下降）百分率为x，经过两次变化后总量为b ， 连续两次增长：a(1+x) 2 =b ， 连续两次下降：a(1-x) 2 =b 。 注意：x为百分率，结果一般化为百分数；增长率x>0，下降率0<x<1。 2. 图形面积问题 （1） 常规矩形、边框甬道：常用平移法，把分散草坪拼接成新矩形，简化边长表达式； （2） 靠墙围栏问题：注意墙长是隐含限制条件，求出边长后必须判断是否超过墙的最大长度，超限则舍去； （3） 裁剪、四角去小正方形折叠无盖长方体：长、宽均减去2x； 核心等量：矩形面积=长 × 宽。 3. 销售利润模型 （1） 单件利润=实际售价 − 进价 （2） 总利润=单件利润 × 销售数量 （3） 调价类规律：涨价，销量减少；降价，销量增加，重点读懂 “ 每涨/降多少，销量变动多少 ” 的关系，用代数式同步表示出新单价、新销量。 4 . 传播（传染）模型 1个传染源，每轮平均1人传染x人 ， 第一轮后总数：1+x ， 第二轮后总数：(1+x) 2 适合两轮传染、细胞分裂、信息转发类问题。 5 . 循环计数问题 （1） 单循环（两队只进行1次，如握手、每两人赛一场）：总数 n(n-1) ) ( （2） 双循环（两两之间两次，互送贺卡、主客场比赛）：总数n(n-1) 分清 “ 单向 ”“ 双向 ” 是列对这类方程的关键。 （三） 拓展：动点几何问题 在直角三角形、矩形背景下，点沿边匀速运动，设运动时间为t，用t表示线段长度，再利用面积、勾股定理建立一元二次方程；同样要注意时间取值范围，不能超出线段总长。 （四） 高频易错要点 1.   设百分率x时，不要带百分号列式，最后再转化百分数； 2.   靠墙题型容易忽略墙长限制，只检验正负，漏掉 “ 边长超过墙长 ” 的不合理根； 3.   利润问题里，涨价/降价后销量表达式容易符号写反； 4.   传播、循环模型不要混淆两轮传染公式、单双循环公式； 5.   题目问 “ 能否达到某值 ” ，可以列方程，也可直接用判别式判断有无符合题意实数根； 6.   人数、物体个数一般为正整数，若解出小数，直接舍去。 （五） 解法选择建议 应用题优先观察方程：容易因式分解优先因式分解法；无法分解、含参数或根式，选用公式法；无特殊要求，能简便计算优先简化解法。 )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） （一）平均增长率 1.（2025·盐城阜宁期末）某口罩厂1月产量50万只，3月产量72万只，设月平均增长率为x，列方程正确的是（ ） A.50(1+2x)=72 B.50(1+x)2=72 C.50+50(1+x)+50(1+x)2 =72 D.50(1+x2)=72 【答案】B 【解析】两次增长模型：初始量a(1+x)2=b，a=50,b=72，代入得50(1+x)2=72。 2.（2025·苏州吴中期末）商品原价100元，连续两次降价，现价81元，设平均降价率x，方程为（ ） A.100(1-x)2=81 B.100(1-2x)=81 C.100x2=81 D.100(1+x)2=81 【答案】A 【解析】连续两次下降公式：a(1-x)2=b。 （二）图形面积 3.（2025·泰州姜堰期末）一块矩形菜地长12m，宽8m，四周铺设等宽小路，草坪面积60m2，设路宽x，可列方程（ ） A.(12-x)(8-x)=60 B.(12-2x)(8-2x)=60 C.12×8-4x2=60 D.(12+x)(8+x)=60 【答案】B 【解析】四周都有路，长和宽两侧均减去路宽，各减2x。 4.（2025·南通通州期末）用长24m篱笆，一边靠墙围矩形花圃，平行墙边长x，垂直墙总长 ，面积70m2，方程正确的是（ ） A.x×=70 B.x(24-x)=70 C.2x+=70 D.(24+x)=70 【答案】A 【解析】面积=平行墙边长×垂直墙边长，垂直墙边长。 （三）销售利润 5.（2025·扬州邗江期末）进价40元商品，售价50元，每周卖200件；每涨价1元，少卖5件。涨价x元，单件利润为（ ） A.10 B.(10+x) C.(50+x) D.(40+x) 【答案】B 【解析】单件利润=新售价−进价=(50+x)-40=10+x。 6.（2025·镇江丹徒期末）进价30元，原价每件利润10元，每降价2元，多卖12件，降价2x元，销量增加（ ） A.12x B.2x C.6x D.12 【答案】A 【解析】每降2元多12件，降2x元，多卖12x件。 （四）传播传染 7.（2025·徐州铜山期末）1人患流感，每轮平均传染x人，两轮后共121人患病，方程是 （ ） A.1+2x=121 B.(1+x)2=121 C.1+x+x2=121 D.1+x=121 【答案】B 【解析】两轮传染标准模型：(1+x)2=两轮后总人数。 8.（2025·连云港海州期末）初始1个病毒，每轮1个病毒传给x个，一轮后1+x，两轮后病毒总数（） A.1+2x B.(1+x)2 C.x2 D.1+x2 【答案】B 【解析】第二轮每个感染者继续传染，总数(1+x)2。 （五）循环计数 9.（2026·南京鼓楼一模）班级若干人，每两人握手1次，总握手28次，n人，方程（ ） A.n(n-1)=28 B.n(n-1)=28 C.n2=28 D.n(n+1)=28 【答案】B 【解析】握手属于单循环：n(n-1)。 10.（2026·常州新北一模）小组互送贺卡，所有人互相送一张，共送42张，人数n，方程 （ ） A.n(n-1)=42 B.n(n-1)=42 C.n2=42 D.n(n+1)=42 【答案】B 【解析】互送贺卡是双循环，甲乙互送算2次：n(n-1)。 二．填空题（共30分） （一）平均增长率 11.（2025·盐城阜宁期末）小区2024绿化面积1000m2，2026达1440m2，两年平均增长率x，列方程：________ 【答案】1000(1+x)2=1440 【解析】两年连续增长，套用a(1+x)2=b。 12.（2025·苏州吴中期末）原价200元，两次降价后128元，平均降价率x，方程：________ 【答案】200(1-x)2=128 【解析】连续两次下降模型。 （二）图形面积 13.（2025·泰州姜堰期末）长30cm、宽20cm矩形铁皮，四角裁去边长x小正方形，折无盖长方体，底面积264cm2，方程：________ 【答案】(30-2x)(20-2x)=264 【解析】长宽各裁去左右/上下两个x，底面长30-2x，宽20-2x。 14.（2025·南通通州期末）靠墙矩形围栏，墙长15m，篱笆总长32m，垂直墙边长x，面积120m2，平行墙边长为32-2x，方程：________ 【答案】x(32-2x)=120 【解析】面积=垂直边长×平行墙边长。 （三）销售利润 15.（2025·扬州邗江期末）进价50元，售价60元，月销200件；每涨价1元少卖4件，涨价x元，单件利润=________元 【答案】10+x 【解析】新售价60+x，利润(60+x)-50=10+x。 16.（2025·镇江丹徒期末）进价20元，售价30元，周销100件，每降价1元多卖10件，降价x元，销量=________件 【答案】100+10x 【解析】降价则销量增加，每降1元+10件。 （四）传播传染 17.（2025·徐州铜山期末）1人感染病毒，每轮传染x人，两轮后共81人，方程：________ 【答案】(1+x)2=81 【解析】两轮传染经典模型。 18.（2025·连云港海州期末）初始1例，每轮一人传给x人，一轮后感染者总数为________ 【答案】1+x 【解析】第一轮：原有1人，新增x人，合计1+x。 （五）循环计数 19.（2026·南京鼓楼一模）球赛单循环赛制，一共比赛45场，球队n支，方程：________ 【答案】n(n-1)=45 【解析】单循环，每两队只赛一场。 20.（2026·常州新北一模）毕业同学互发消息，每人给其他人发一条，共发56条，人数n，方程：________ 【答案】n(n-1)=56 【解析】互发消息属于双向，双循环模型。 三．解答题（共60分） 21.（2026·盐城大丰中考一模）某地文旅景区2026年一季度游客量50万人次，三季度游客量72万人次，季度平均增长率相同。 (1) 求该景区游客量的季度平均增长率； (2) 按照此增长率，预测四季度游客数量； (3) 景区规定单季度游客上限90万人次，判断四季度是否达到限流上限。 解：(1) 设季度平均增长率为x，50(1+x)2=72，(1+x)2=1.44，1+x=1.2，x=0.2=20%，负根舍去答：季度平均增长率20%。 (2) 四季度：72×(1+20%)=86.4（万人次） (3) 86.4<90，未达到限流上限。 答：(1)20%；(2)86.4万人次；(3)未达到 22.（2026·佛山南海中考真题）文具店一款笔记本进价8元，售价14元时每周卖出60本，售价每上涨1元，每周少卖5本。 (1) 设涨价x元，写出单件利润与每周销量的代数式； (2) 想要每周获利375元，求笔记本的定价； (3) 商家想要利润最大，分析涨价区间（无需求最值）。 解：(1) 单件利润：14+x-8=6+x；销量：60-5x (2) (6+x)(60-5x)=375，整理得x2-6x+3=0，解得x1=3，x2=3，定价14+3=17元 (3) 销量60-5x>0，得x<12，涨价区间：0≤x<12 答：(1)利润6+x，销量60-5x；(2)17元；(3)涨价小于12元 23．小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100 kg，超过300 kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/千克．图中折线表示批发单价y(元/千克)与质量x(kg)的函数关系． (1)求图中线段AB所在直线的函数表达式． (2)小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？ 解：(1)设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx＋b，由题意，得 解得∴线段AB所在直线的函数表达式为y＝－0.01x＋6(100≤x≤300)． (2)∵800÷3≈267(kg)<300 kg，∴批发单价在线段AB上．设小李共批发水果m(kg)，则单价为(－0.01m＋6)元/千克．由题意，得－0.01m＋6＝，解得m1＝200，m2＝400(不合题意，舍去)．答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200 kg. 24．如图在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是原荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． 　 (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用解方程的方法说明理由； (2)你还有其他的设计方案吗？请画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明． 解：(1)不符合条件．设小路宽度均为x m，根据题意，得(16－2x)(12－2x)＝×16×12， 解得x1＝2，x2＝12(不合题意，舍去)，答：小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m； (2)答案不唯一，如答图． 　　 25．某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B两种产品出厂单价之比为2：1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍．设B产品生产数量的增长率为x（x＞0）． （1）用含有x的代数式填表（不需化简）： 9月份生产数量 生产数量的增长率 10月份生产数量 产品A 200 　 　 　 　 产品B 100 x 　 　 （2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值． 解：（1）由题意，得： 9月份生产数量 生产数量的增长率 10月份生产数量 产品A 200 2x 200（1+2x） 产品B 100 x 100（1+x） 故答案是：2x；200（1+2x）；100（1+x）； （2）90×＝60（元） 90×＝30（元）60×200（1+2x）2+30×100（1+x）（1+4x）＝（60×200+30×100）（1+4.4x）解得x1＝0（舍去），x2＝． 即x的值是． 26．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. (1)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，则经过几秒后，△PBQ的面积等于8 cm2? (2)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点P从点A出发，沿射线AB方向以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿射线CB方向以2 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发．问：经过几秒后，△PBQ的面积为1 cm2? 解:(1)设经过x(s)后，△PBQ的面积等于8 cm2，由题意，得(6－x)·2x＝8， 解得x1＝2，x2＝4.经检验，x1，x2均符合题意，故经过2 s或4 s后，△PBQ的面积等于8 cm2. (2)不能．理由如下：设经过y(s)，线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，由题意，得S△ABC＝×6×8＝24(cm2)，∴(6－y)·2y＝12，∴y2－6y＋12＝0.∵Δ＝b2－4ac＝36－4×12＝－12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分． (3)由题意得，在6 s内，点P在线段AB上，超过6 s，点P在线段AB的延长线上； 在4 s内，点Q在线段CB上，超过4 s，点Q在线段CB的延长线上． 分三种情况讨论：①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上，即运动时间不超过4 s时， 设经过m(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(6－m)(8－2m)＝1，解得m1＝5＋(不合题意，舍去)，m2＝5－. ②当点P在线段AB上，点Q在射线CB上，即运动时间超过4 s，不超过6 s时，设经过n(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(6－n)(2n－8)＝1，解得n1＝n2＝5. ③当点P在射线AB上，点Q在射线CB上，即运动时间超过6 s时，设经过k(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(k－6)(2k－8)＝1，解得k1＝5＋，k2＝5－(不合题意，舍去)．综上所述，经过(5－)s或5 s或(5＋)s后，△PBQ的面积为1 cm2. B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） （一）平均增长率 1.（2026·苏州姑苏二模）某企业营收两年增长44%，设年均增长率x，下列正确的是（ ） A.x=44% B.(1+x)2=1.44 C.1+2x=1.44 D.(1+x)2=0.44 【答案】B 【解析】设基期为1，两年后1×(1+x)2=1+44%=1.44。 2.（2026·南通崇川二模）药品连续两次降价，由每盒60元降至48.6元，平均每次降价百分率为（ ） A.10% B.15% C.20% D.25% 【答案】A 【解析】60(1-x)2=48.6 →(1-x)2=0.81 → 1-x=0.9 → x=0.1=10%。 （二）图形面积 3.（2026·盐城盐都二模）矩形草坪长16m，宽10m，内部横向、纵向各一条等宽十字甬道，草坪剩余面积120m2，路宽x，平移后方程（ ） A.(16-x)(10-x)=120 B.(16-2x)(10-2x)=120 C.16×10-(16x+10x)=120 D.(16+x)(10+x)=120 【答案】A 【解析】十字甬道平移，拼接草坪，长宽各减一次x。 4.（2026·镇江京口二模）篱笆长26m靠墙围矩形，墙长12m，平行墙边长x，面积80m2，下列说法正确（ ） A.方程x×=80，两根都可取 B.方程x×=80，大于12的根舍去 C.x(26-2x)=80 D.只能取x=10，无其他解 【答案】B 【解析】靠墙题型必须检验：平行墙边长不能超过墙长12m，超限根舍去。 （三）销售利润 5.（2026·扬州广陵二模）商品进价40元，售价每件60元，每周卖300件；每涨价2元，少卖20件，涨价x元，总利润1920元，方程（ ） A.(20+x)(300-10x)=1920 B.(60+x)(300-20x)=1920 C.(40+x)(300-10x)=1920 D.(20+x)(300-20x)=1920 【答案】A 【解析】单件利润60-40+x=20+x；每涨2元少20件→涨x元少10x件。 6.（2025·无锡江阴期末）文具进价8元，售价12元，日销40件，每降价0.5元多卖5件，降价x元，日利润180，列式正确（ ） A.(4-x)(40+10x)=180 B.(12-x)(40+5x)=180 C.(4-x)(40+5x)=180 D.(8-x)(40+10x)=180 【答案】A 【解析】单件利润12-8-x=4-x；降0.5元多5件→降x元多10x件。 （四）传播传染 7.（2026·徐州云龙二模）一轮传播后总数1+x，两轮后256人，求每轮平均传染人数x（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 【答案】A 【解析】(1+x)2=256 → 1+x=16 → x=15（负数舍去）。 8.（2025·连云港连云期末）某种细菌，1个经过两轮繁殖后共64个，每轮1个细菌分裂为x个，则x=（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】本题为细胞分裂模型：一轮后x个，两轮x2=64 → x=8。 （五）循环计数 9.（2026·淮安淮阴二模）单循环篮球赛，计划21场，参赛队伍支数（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【解析】n(n-1)=21 → n2-n-42=0 → n=7。 10.（2026·盐城盐都二模）小组互赠照片，共送90张，小组人数（ ） A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】C 【解析】双循环：n(n-1)=90 → n=10。 二．填空题（共30分） （一）平均增长率 11.（2026·苏州姑苏二模）项目两年产值翻一番，年均增长率x，方程：________ 【答案】(1+x)2=2 【解析】设原有产值为1，两年后为2。 12.（2026·南通崇川二模）产品第一年产量200吨，第三年288吨，年均增长率x=________（百分数） 【答案】20% 【解析】200(1+x)2=288 → (1+x)2=1.44 → x=0.2=20%。 （二）图形面积 13.（2026·盐城盐都二模）矩形场地长24m，宽18m，外侧加宽x绿化带，总面积528m2，方程：________ 【答案】(24+2x)(18+2x)=528 【解析】外侧加宽，长宽两侧都增加x，各+2x。 14.（2026·镇江京口二模）直角三角形两直角边和14，面积24，一条直角边x，方程：________ 【答案】x(14-x)=24 【解析】另一直角边14-x，直角三角形面积=×直角边乘积。 （三）销售利润 15.（2026·扬州广陵二模）进价30元，售价50元，每涨1元少卖8件，涨价x元，总利润表达式：________ 【答案】(20+x)(100-8x) 【解析】单件利润50-30+x=20+x，销量100-8x。 16.（2025·无锡江阴期末）商品总利润240元，单件利润(12-x)，销量(20+10x)，方程：________ 【答案】(12-x)(20+10x)=240 【解析】总利润=单件利润×销量。 （四）传播传染 17.（2026·徐州云龙二模）1人发病，两轮传染后144人，每轮平均传染x人，方程：________ 【答案】(1+x)2=144 【解析】两轮传染标准式。 18.（2025·连云港连云期末）病毒每轮1传6，初始2名感染者，一轮后总人数________ 【答案】14 【解析】原有2人，每人传染6人，新增2×6=12，合计2+12=14。 （五）循环计数 19.（2026·淮安淮阴二模）单循环象棋赛，共36场，参赛人数n，方程：________ 【答案】n(n-1)=36 【解析】单循环模型。 20.（2026·盐城盐都二模）新年互发微信祝福，一共72条，人数n=________ 【答案】9 【解析】n(n-1)=72 → n2-n-72=0 → n=9。 三．解答题（共60分） 21.（2026·常州武进一模）工厂2026年一月产量400件，三月产量576件，每月增长率一致。 (1) 求月平均增长率； (2) 工厂有两套增产方案： ①每月保持原有增长率；②每月增产50件，对比四月份两种方案产量； (3) 若四月份订单650件，判断两种方案能否完成订单。 解：(1) 400(1+x)2=576，x=20% (2) 方案①：576×1.2=691.2件；方案②：576+50=626件 (3) ①691.2>650，可以完成；②626<650，无法完成。 答：(1)20%；(2)方案①691.2件，方案②626件；(3)方案①可行，方案②不行 22.（2026·杭州上城中考压轴改编）美妆店一款面霜进价60元，售价100元时每月销售120件。规则：售价每上涨2元，销量减少8件；售价不得超过130元。 (1) 设涨价2t元，写出单件利润、月销量的表达式； (2) 若月利润达到5120元，求面霜的定价； (3) 结合售价上限，判断该情况下最高可设置的涨价金额。 解：(1) 单件利润：100+2t-60=40+2t；销量：120-8t (2) (40+2t)(120-8t)=5120，化简t2-10t+16=0，t1=2，t2=8 定价：100+4=104元，100+16=116元，均小于130，两个定价均成立 (3) 售价上限130，最大涨价130-100=30元 答：(1)利润40+2t，销量120-8t；(2)104元或116元；(3)最多涨价30元 23. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝16 cm，BD＝12 cm，动点M从点A出发沿AC方向以2 cm/s的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以1 cm/s的速度运动到点D.若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动． (1) 出发1 s后，△MON的面积为________cm2； (2) 出发几秒后，△MON的面积为1 cm2? 解：(1) 15 (2) 设出发t s后，△MON的面积为1 cm2，则AM＝2t，BN＝t.当点M在AO上，点N在BO上时，即0≤t≤4，则MO＝8－2t，NO＝6－t，所以×(8－2t)×(6－t)＝1，解得t1＝5＋(不符合题意，舍去)，t2＝5－；当点M在OC上，点N在BO上时，即4＜t≤6，则MO＝2t－8，NO＝6－t，所以×(2t－8)×(6－t)＝1，解得t3＝t4＝5；当点M在OC上，点N在OD上时，即6＜t≤8，则MO＝2t－8，NO＝t－6，所以×(2t－8)×(t－6)＝1，解得t5＝5＋，t6＝5－(不符合题意，舍去). 24．如图①，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆总长为24 m，设平行于墙的BC边长为x m. (1)若围成的花圃面积为40 m2时，求BC的长； (2)如图②，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求出BC的长，如果不能，请说明理由； (3)如图③，若计划在花圃中间用n道篱笆隔成小矩形，且当这些小矩形为正方形时，请列出x，n满足的关系式． ①　　　　　②　　　　　　　　③ 解：(1)根据题意，得AB＝，则·x＝40，解得x1＝20，x2＝4，∵20＞15，∴x1＝20舍去．故BC的长为4 m； (2)不能围成花圃．理由：根据题意，得·x＝50，方程可化为x2－24x＋150＝0， ∵Δ＝(－24)2－4×150＜0，∴方程无实数解，∴不能围成花圃； (3)∵用n道篱笆隔成小矩形，且这些小矩形为正方形，∴AB＝，而正方形的边长也为，∴关系式为＝. 25．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B同时出发，以顺时针、逆时针的方向沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：l＝t2＋t(t≥0)，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm. (1)甲运动4 s后经过的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 解：(1)当t＝4 s时，l＝t2＋t＝8＋6＝14(cm)．答：甲运动4 s后经过的路程是14 cm. (2)由图可知，甲、乙第一次相遇时走过的路程为半圆21 cm，甲走过的路程为t2＋t，乙走过的路程为4t，则t2＋t＋4t＝21，解得t1＝3，t2＝－14(不合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s. (3)由图可知，甲、乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆：3×21＝63(cm)， 则t2＋t＋4t＝63，解得t1＝7，t2＝－18(不合题意，舍去)． 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s. 26.（2026·江苏盐城校级压轴改编）某文创店铺销售一款纪念摆件，每件进价为30元，根据市场销售统计：当售价为每件50元时，每周可卖出200件。经过调研发现：每件售价每上涨1元，每周销量就减少5件（售价为整数，且不亏本）。 设每件摆件售价上涨 x 元，根据题意解答下列问题： (1) 请用含 x 的代数式分别表示：涨价后每件的单件利润、每周的销售总数量； (2) 若店铺本周销售这款摆件的总利润恰好为4500元，求每件摆件的上涨价格； (3) 店铺能否通过调价，使得本周总利润达到5000元？请通过计算说明理由； (4) 若店铺规定单件利润不低于26元，且每周销量不低于150件，求本周总利润能达到4200元时的定价。  解：(1) 原单件利润：50-30=20元，涨价x元后：单件利润：(20+x)元，原销量200件，每涨1元少卖5件，销售总数量(200-5x)件 (2) 总利润=4500元，求上涨价格，等量关系：总利润=单件利润×销售数量列方程： (20+x)(200-5x)=4500，整理方程：4000-100x+200x-5x2=4500，-5x2+100x-500=0， 两边同除以-5：x2-20x+100=0，因式分解：(x-10)2=0，解得：x1=x2=10，检验实际意义： 涨价10元，单件利润、销量均为正数，符合题意。 答：每件摆件上涨价格为10元。 (3) 判断能否达到总利润5000元，假设总利润可以达到5000元，列方程：(20+x)(200-5x)=5000，整理：-5x2+100x+4000=5000，x2-20x+200=0，计算根的判别式： △=(-20)2-4×1×200=400-800=-400<0，此一元二次方程无实数根，∴无法通过调价使总利润达到5000元 (4) 已知限制条件：① 单件利润不低于26元：20+x≥26，得 x≥6，② 销量不低于150件：200-5x≥150，-5x≥-50 → x≤10 ∴ x 取值范围：6≤x≤10，再根据总利润4200元列方程： (20+x)(200-5x)=4200，整理：-5x2+100x+4000=4200，xx≥-20x+40=0，因式分解求解： (x-2)(x-18)=0，解得：x1=2，x2=18，结合范围 6≤x≤10 检验：x=2、x=18 均不在取值范围内，无符合题意的解答：在题目规定的销售限制条件下，无法使本周总利润达到4200元。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第二章一元二次方程第四节用一元二次方程解决问题》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.能从增长率、销售利润、图形面积、传播、循环计数等实际情境中，剥离无关文字信息，提炼等量关系，把现实问题抽象成一元二次方程数学模型；区分不同应用场景的数量结构，辨别适合一元二次方程建模的问题特征。 2.规范 “ 审题 — 设元 — 列方程 — 求解 — 检验取舍 ” 完整推理链条；能结合实际意义判断方程根是否合理，会结合图形边长、人数、价格等现实约束排除不合理解；能借助判别式分析 “ 能否达到指定面积、利润 ” 这类存在性问题。 3.能根据方程结构，灵活选用因式分解法、公式法、配方法求解所列方程；规范整理方程为一般形式，准确化简根式、百分率、代数式，提升含实际背景方程的运算准确率。 4. 熟练掌握增长率模型、矩形面积（靠墙、甬道边框）、销售利润、传播问题、单/双循环计数五大经典模型；能解决简单动点几何综合问题，会用一元二次方程方案说理、最值可行性判断，能用模型解释现实结果。 ) 二．知识梳理 ( （一） 列一元二次方程解应用题通用步骤 1. 步骤 ： （1） 审：读懂题意，分清已知量、未知量，找准核心等量关系； （2） 设：合理设未知数，优先直接设元；涉及百分率、边长、人数时规范书写单位； （3） 列：用含未知数的代数式表达相关量，根据等量关系列出一元二次方程； （4） 解：选择合适方法解方程，得到两个实数根； （5） 验：两层检验：检验根是否满足原方程；检验根是否符合实际意义（负数、超出范围、人数边长为小数等一般舍去）； （6） 答：规范写出结论，带上单位，贴合题目设问。 2. 核心原则：方程的数学解 ≠ 实际问题答案，实际问题必须检验取舍。 （二） 五大核心应用模型（本节重点） 1 . 平均增长率/下降率模型 设初始量为a，平均每次增长（下降）百分率为x，经过两次变化后总量为b ， 连续两次增长：a(1+x) 2 =b ， 连续两次下降：a(1-x) 2 =b 。 注意：x为百分率，结果一般化为百分数；增长率x>0，下降率0<x<1。 2. 图形面积问题 （1） 常规矩形、边框甬道：常用平移法，把分散草坪拼接成新矩形，简化边长表达式； （2） 靠墙围栏问题：注意墙长是隐含限制条件，求出边长后必须判断是否超过墙的最大长度，超限则舍去； （3） 裁剪、四角去小正方形折叠无盖长方体：长、宽均减去2x； 核心等量：矩形面积=长 × 宽。 3. 销售利润模型 （1） 单件利润=实际售价 − 进价 （2） 总利润=单件利润 × 销售数量 （3） 调价类规律：涨价，销量减少；降价，销量增加，重点读懂 “ 每涨/降多少，销量变动多少 ” 的关系，用代数式同步表示出新单价、新销量。 4 . 传播（传染）模型 1个传染源，每轮平均1人传染x人 ， 第一轮后总数：1+x ， 第二轮后总数：(1+x) 2 适合两轮传染、细胞分裂、信息转发类问题。 5 . 循环计数问题 （1） 单循环（两队只进行1次，如握手、每两人赛一场）：总数 n(n-1) ) ( （2） 双循环（两两之间两次，互送贺卡、主客场比赛）：总数n(n-1) 分清 “ 单向 ”“ 双向 ” 是列对这类方程的关键。 （三） 拓展：动点几何问题 在直角三角形、矩形背景下，点沿边匀速运动，设运动时间为t，用t表示线段长度，再利用面积、勾股定理建立一元二次方程；同样要注意时间取值范围，不能超出线段总长。 （四） 高频易错要点 1.   设百分率x时，不要带百分号列式，最后再转化百分数； 2.   靠墙题型容易忽略墙长限制，只检验正负，漏掉 “ 边长超过墙长 ” 的不合理根； 3.   利润问题里，涨价/降价后销量表达式容易符号写反； 4.   传播、循环模型不要混淆两轮传染公式、单双循环公式； 5.   题目问 “ 能否达到某值 ” ，可以列方程，也可直接用判别式判断有无符合题意实数根； 6.   人数、物体个数一般为正整数，若解出小数，直接舍去。 （五） 解法选择建议 应用题优先观察方程：容易因式分解优先因式分解法；无法分解、含参数或根式，选用公式法；无特殊要求，能简便计算优先简化解法。 )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） （一）平均增长率 1.（2025·盐城阜宁期末）某口罩厂1月产量50万只，3月产量72万只，设月平均增长率为x，列方程正确的是（ ） A.50(1+2x)=72 B.50(1+x)2=72 C.50+50(1+x)+50(1+x)2 =72 D.50(1+x2)=72 2.（2025·苏州吴中期末）商品原价100元，连续两次降价，现价81元，设平均降价率x，方程为（ ） A.100(1-x)2=81 B.100(1-2x)=81 C.100x2=81 D.100(1+x)2=81 （二）图形面积 3.（2025·泰州姜堰期末）一块矩形菜地长12m，宽8m，四周铺设等宽小路，草坪面积60m2，设路宽x，可列方程（ ） A.(12-x)(8-x)=60 B.(12-2x)(8-2x)=60 C.12×8-4x2=60 D.(12+x)(8+x)=60 4.（2025·南通通州期末）用长24m篱笆，一边靠墙围矩形花圃，平行墙边长x，垂直墙总长 ，面积70m2，方程正确的是（ ） A.x×=70 B.x(24-x)=70 C.2x+=70 D.(24+x)=70 （三）销售利润 5.（2025·扬州邗江期末）进价40元商品，售价50元，每周卖200件；每涨价1元，少卖5件。涨价x元，单件利润为（ ） A.10 B.(10+x) C.(50+x) D.(40+x) 6.（2025·镇江丹徒期末）进价30元，原价每件利润10元，每降价2元，多卖12件，降价2x元，销量增加（ ） A.12x B.2x C.6x D.12 （四）传播传染 7.（2025·徐州铜山期末）1人患流感，每轮平均传染x人，两轮后共121人患病，方程是 （ ） A.1+2x=121 B.(1+x)2=121 C.1+x+x2=121 D.1+x=121 8.（2025·连云港海州期末）初始1个病毒，每轮1个病毒传给x个，一轮后1+x，两轮后病毒总数（） A.1+2x B.(1+x)2 C.x2 D.1+x2 （五）循环计数 9.（2026·南京鼓楼一模）班级若干人，每两人握手1次，总握手28次，n人，方程（ ） A.n(n-1)=28 B.n(n-1)=28 C.n2=28 D.n(n+1)=28 10.（2026·常州新北一模）小组互送贺卡，所有人互相送一张，共送42张，人数n，方程 （ ） A.n(n-1)=42 B.n(n-1)=42 C.n2=42 D.n(n+1)=42 二．填空题（共30分） （一）平均增长率 11.（2025·盐城阜宁期末）小区2024绿化面积1000m2，2026达1440m2，两年平均增长率x，列方程：________ 12.（2025·苏州吴中期末）原价200元，两次降价后128元，平均降价率x，方程：________ （二）图形面积 13.（2025·泰州姜堰期末）长30cm、宽20cm矩形铁皮，四角裁去边长x小正方形，折无盖长方体，底面积264cm2，方程：________ 14.（2025·南通通州期末）靠墙矩形围栏，墙长15m，篱笆总长32m，垂直墙边长x，面积120m2，平行墙边长为32-2x，方程：________ （三）销售利润 15.（2025·扬州邗江期末）进价50元，售价60元，月销200件；每涨价1元少卖4件，涨价x元，单件利润=________元 16.（2025·镇江丹徒期末）进价20元，售价30元，周销100件，每降价1元多卖10件，降价x元，销量=________件 （四）传播传染 17.（2025·徐州铜山期末）1人感染病毒，每轮传染x人，两轮后共81人，方程：________ 18.（2025·连云港海州期末）初始1例，每轮一人传给x人，一轮后感染者总数为________ （五）循环计数 19.（2026·南京鼓楼一模）球赛单循环赛制，一共比赛45场，球队n支，方程：________ 20.（2026·常州新北一模）毕业同学互发消息，每人给其他人发一条，共发56条，人数n，方程：________ 三．解答题（共60分） 21.（2026·盐城大丰中考一模）某地文旅景区2026年一季度游客量50万人次，三季度游客量72万人次，季度平均增长率相同。 (1) 求该景区游客量的季度平均增长率； (2) 按照此增长率，预测四季度游客数量； (3) 景区规定单季度游客上限90万人次，判断四季度是否达到限流上限。 22.（2026·佛山南海中考真题）文具店一款笔记本进价8元，售价14元时每周卖出60本，售价每上涨1元，每周少卖5本。 (1) 设涨价x元，写出单件利润与每周销量的代数式； (2) 想要每周获利375元，求笔记本的定价； (3) 商家想要利润最大，分析涨价区间（无需求最值）。 23．小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100 kg，超过300 kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/千克．图中折线表示批发单价y(元/千克)与质量x(kg)的函数关系． (1)求图中线段AB所在直线的函数表达式． (2)小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？ 24．如图在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是原荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． 　 (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用解方程的方法说明理由； (2)你还有其他的设计方案吗？请画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明． 25．某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B两种产品出厂单价之比为2：1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍．设B产品生产数量的增长率为x（x＞0）． （1）用含有x的代数式填表（不需化简）： 9月份生产数量 生产数量的增长率 10月份生产数量 产品A 200 　 　 　 　 产品B 100 x 　 　 （2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值． 26．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. (1)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，则经过几秒后，△PBQ的面积等于8 cm2? (2)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点P从点A出发，沿射线AB方向以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿射线CB方向以2 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发．问：经过几秒后，△PBQ的面积为1 cm2? B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） （一）平均增长率 1.（2026·苏州姑苏二模）某企业营收两年增长44%，设年均增长率x，下列正确的是（ ） A.x=44% B.(1+x)2=1.44 C.1+2x=1.44 D.(1+x)2=0.44 2.（2026·南通崇川二模）药品连续两次降价，由每盒60元降至48.6元，平均每次降价百分率为（ ） A.10% B.15% C.20% D.25% （二）图形面积 3.（2026·盐城盐都二模）矩形草坪长16m，宽10m，内部横向、纵向各一条等宽十字甬道，草坪剩余面积120m2，路宽x，平移后方程（ ） A.(16-x)(10-x)=120 B.(16-2x)(10-2x)=120 C.16×10-(16x+10x)=120 D.(16+x)(10+x)=120 4.（2026·镇江京口二模）篱笆长26m靠墙围矩形，墙长12m，平行墙边长x，面积80m2，下列说法正确（ ） A.方程x×=80，两根都可取 B.方程x×=80，大于12的根舍去 C.x(26-2x)=80 D.只能取x=10，无其他解 （三）销售利润 5.（2026·扬州广陵二模）商品进价40元，售价每件60元，每周卖300件；每涨价2元，少卖20件，涨价x元，总利润1920元，方程（ ） A.(20+x)(300-10x)=1920 B.(60+x)(300-20x)=1920 C.(40+x)(300-10x)=1920 D.(20+x)(300-20x)=1920 6.（2025·无锡江阴期末）文具进价8元，售价12元，日销40件，每降价0.5元多卖5件，降价x元，日利润180，列式正确（ ） A.(4-x)(40+10x)=180 B.(12-x)(40+5x)=180 C.(4-x)(40+5x)=180 D.(8-x)(40+10x)=180 （四）传播传染 7.（2026·徐州云龙二模）一轮传播后总数1+x，两轮后256人，求每轮平均传染人数x（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 8.（2025·连云港连云期末）某种细菌，1个经过两轮繁殖后共64个，每轮1个细菌分裂为x个，则x=（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 （五）循环计数 9.（2026·淮安淮阴二模）单循环篮球赛，计划21场，参赛队伍支数（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 10.（2026·盐城盐都二模）小组互赠照片，共送90张，小组人数（ ） A.8 B.9 C.10 D.11 二．填空题（共30分） （一）平均增长率 11.（2026·苏州姑苏二模）项目两年产值翻一番，年均增长率x，方程：________ 12.（2026·南通崇川二模）产品第一年产量200吨，第三年288吨，年均增长率x=________（百分数） （二）图形面积 13.（2026·盐城盐都二模）矩形场地长24m，宽18m，外侧加宽x绿化带，总面积528m2，方程：________ 14.（2026·镇江京口二模）直角三角形两直角边和14，面积24，一条直角边x，方程：________ （三）销售利润 15.（2026·扬州广陵二模）进价30元，售价50元，每涨1元少卖8件，涨价x元，总利润表达式：________ 16.（2025·无锡江阴期末）商品总利润240元，单件利润(12-x)，销量(20+10x)，方程：________ （四）传播传染 17.（2026·徐州云龙二模）1人发病，两轮传染后144人，每轮平均传染x人，方程：________ 18.（2025·连云港连云期末）病毒每轮1传6，初始2名感染者，一轮后总人数________ （五）循环计数 19.（2026·淮安淮阴二模）单循环象棋赛，共36场，参赛人数n，方程：________ 20.（2026·盐城盐都二模）新年互发微信祝福，一共72条，人数n=________ 三．解答题（共60分） 21.（2026·常州武进一模）工厂2026年一月产量400件，三月产量576件，每月增长率一致。 (1) 求月平均增长率； (2) 工厂有两套增产方案： ①每月保持原有增长率；②每月增产50件，对比四月份两种方案产量； (3) 若四月份订单650件，判断两种方案能否完成订单。 22.（2026·杭州上城中考压轴改编）美妆店一款面霜进价60元，售价100元时每月销售120件。规则：售价每上涨2元，销量减少8件；售价不得超过130元。 (1) 设涨价2t元，写出单件利润、月销量的表达式； (2) 若月利润达到5120元，求面霜的定价； (3) 结合售价上限，判断该情况下最高可设置的涨价金额。 23. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝16 cm，BD＝12 cm，动点M从点A出发沿AC方向以2 cm/s的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以1 cm/s的速度运动到点D.若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动． (1) 出发1 s后，△MON的面积为________cm2； (2) 出发几秒后，△MON的面积为1 cm2? 24．如图①，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆总长为24 m，设平行于墙的BC边长为x m. (1)若围成的花圃面积为40 m2时，求BC的长； (2)如图②，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求出BC的长，如果不能，请说明理由； (3)如图③，若计划在花圃中间用n道篱笆隔成小矩形，且当这些小矩形为正方形时，请列出x，n满足的关系式． ①　　　　　②　　　　　　　　③ 25．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B同时出发，以顺时针、逆时针的方向沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：l＝t2＋t(t≥0)，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm. (1)甲运动4 s后经过的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 26.（2026·江苏盐城校级压轴改编）某文创店铺销售一款纪念摆件，每件进价为30元，根据市场销售统计：当售价为每件50元时，每周可卖出200件。经过调研发现：每件售价每上涨1元，每周销量就减少5件（售价为整数，且不亏本）。 设每件摆件售价上涨 x 元，根据题意解答下列问题： (1) 请用含 x 的代数式分别表示：涨价后每件的单件利润、每周的销售总数量； (2) 若店铺本周销售这款摆件的总利润恰好为4500元，求每件摆件的上涨价格； (3) 店铺能否通过调价，使得本周总利润达到5000元？请通过计算说明理由； (4) 若店铺规定单件利润不低于26元，且每周销量不低于150件，求本周总利润能达到4200元时的定价。  ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $