专项05 一元二次方程根与系数的关系 专项练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 以韦达定理为核心，构建"原理-应用-易错-实战"四层训练体系，通过典例提炼整体代入等解题方法，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识卡片|2典例|验证判别式→求根和积→公式变形→整体代入；强调符号规则与适用前提|从韦达定理概念（定义、公式）到应用（代数式求值、参数求解），结合易错点形成完整逻辑链| |培优训练|22题（8选8填6解答）|覆盖代数式转化、含参方程、几何应用、新定义问题，强化迁移应用|基础计算→综合应用→创新题型，层层递进，适配中考高频考点|

学科网知识店铺：零点数学 专项05 一元二次方程根与系数的关系 内●容●导●航 第一部分 知识卡片 掌握原理，学会应用 一、什么是根与系数的关系 二、典型例题1：利用韦达定理求解根相关代数式的值 三、典型例题2：韦达定理应用——含参方程求参数值 四、核心易错点总结 第二部分 培优训练 整合应用，模拟实战 知●识●卡●片 一、什么是根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系，也称为韦达定理，是指在不解方程的前提下，直接通过一元二次方程的系数，快速反映两根之间的和、积关系的重要结论，是一元二次方程高频考点与解题常用技巧。 适用前提：对于一元二次方程，且方程有实数根，即 。 核心公式：若方程的两根为 ，则： 特殊情况：当二次项系数 时，方程为 ，则。 常用变形公式（考试高频）： 1. 2. 3. 核心作用：不解方程，求两根代数式的值、判断两根符号、求参数取值、构造一元二次方程。 二、典型例题1：利用韦达定理求解根相关代数式的值 [例题1]已知 是一元二次方程 的两个实数根，不解方程，求 的值。 解题思路：先利用韦达定理求出两根和、两根积，再通过完全平方公式变形，整体代入求值。 解题步骤： 1. 确定系数，验证根的存在性 由方程 得： ，方程有两个不相等实数根，可使用韦达定理。 2. 求两根和与两根积 3. 公式变形，整体代入 ∴ 三、典型例题2：韦达定理应用——含参方程求参数值 [例题2]已知关于 的一元二次方程 的两根之和为6，求 的值以及方程的两根之积。 解题思路：利用韦达定理两根和公式建立方程求参数，再代入求两根之积，全程需保证方程为一元二次方程且有实数根。 解题步骤： 1. 确定方程系数 2. 根据韦达定理列方程 两根和： 由题意得：，解得 3. 验证根的存在性 将 代入判别式： 方程有两个不相等实数根， 符合题意。 4. 求两根之积 ∴，方程两根之积为8。 四、核心易错点总结 必须验证判别式：使用韦达定理前，务必保证 ，无实数根时定理不成立； 符号易错：两根和公式是 ，容易遗漏负号； 适用范围：只针对一元二次方程（），一次方程不可用； 整体思想：解题优先整体代入，不单独求解方程的根，简化计算。 培●优●训●练 一、单选题 1．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 2．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 4．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 6．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 7．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 8．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 9．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 10．若m，n是方程的两根，则的值是______． 11．若是方程的两个实数根．则代数式的值等于___________． 12．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 13．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 14．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 15．关于的方程的根是均为常数，，则关于的方程的根是__________． 16．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 三、解答题 17．已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 18．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 19．已知为方程的两个实数根． (1)若，，则___________，___________； (2)若，，求的值； (3)求证：分解因式的结果可以是． 20．已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 21．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 22．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 23．我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： (1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：零点数学 专项05 一元二次方程根与系数的关系 内●容●导●航 第一部分 知识卡片 掌握原理，学会应用 一、什么是根与系数的关系 二、典型例题1：利用韦达定理求解根相关代数式的值 三、典型例题2：韦达定理应用——含参方程求参数值 四、核心易错点总结 第二部分 培优训练 整合应用，模拟实战 知●识●卡●片 一、什么是根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系，也称为韦达定理，是指在不解方程的前提下，直接通过一元二次方程的系数，快速反映两根之间的和、积关系的重要结论，是一元二次方程高频考点与解题常用技巧。 适用前提：对于一元二次方程，且方程有实数根，即 。 核心公式：若方程的两根为 ，则： 特殊情况：当二次项系数 时，方程为 ，则。 常用变形公式（考试高频）： 1. 2. 3. 核心作用：不解方程，求两根代数式的值、判断两根符号、求参数取值、构造一元二次方程。 二、典型例题1：利用韦达定理求解根相关代数式的值 [例题1]已知 是一元二次方程 的两个实数根，不解方程，求 的值。 解题思路：先利用韦达定理求出两根和、两根积，再通过完全平方公式变形，整体代入求值。 解题步骤： 1. 确定系数，验证根的存在性 由方程 得： ，方程有两个不相等实数根，可使用韦达定理。 2. 求两根和与两根积 3. 公式变形，整体代入 ∴ 三、典型例题2：韦达定理应用——含参方程求参数值 [例题2]已知关于 的一元二次方程 的两根之和为6，求 的值以及方程的两根之积。 解题思路：利用韦达定理两根和公式建立方程求参数，再代入求两根之积，全程需保证方程为一元二次方程且有实数根。 解题步骤： 1. 确定方程系数 2. 根据韦达定理列方程 两根和： 由题意得：，解得 3. 验证根的存在性 将 代入判别式： 方程有两个不相等实数根， 符合题意。 4. 求两根之积 ∴，方程两根之积为8。 四、核心易错点总结 必须验证判别式：使用韦达定理前，务必保证 ，无实数根时定理不成立； 符号易错：两根和公式是 ，容易遗漏负号； 适用范围：只针对一元二次方程（），一次方程不可用； 整体思想：解题优先整体代入，不单独求解方程的根，简化计算。 培●优●训●练 一、单选题 1．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 2．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 4．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 5．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 6．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 7．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 8．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的判别式判断根的情况，结合根与系数的关系逐个验证结论即可，用到完全平方公式变形等初中知识点． 【详解】解：①∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即，①正确； ②∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴ ∵， ∴，②正确； ③∵，且 ，， ∴ ∵， ∴，③错误； ④原方程变形为， 由，可得， ∴，， ∴，④正确； 综上，正确结论是①②④． 二、填空题 9．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 10．若m，n是方程的两根，则的值是______． 【答案】 【分析】先将原方程整理为一般形式，再利用根与系数的关系直接计算两根之和即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， ，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得，． 11．若是方程的两个实数根．则代数式的值等于___________． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系．根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出，，再将其代入，即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：． 12．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 13．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 14．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到与，再由分式方程求解即可． 【详解】解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． 15．关于的方程的根是均为常数，，则关于的方程的根是__________． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．由原方程根与系数的关系求出的值，再代入新方程求解即可． 【详解】解：原方程的根为，， 展开得， 由根与系数的关系，根之和为， 又根之和为，所以，解得． 新方程为， 代入得． 令，则方程化为， 由原方程知且， 所以或， 即或， 解得或． 故答案为：， 16．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【答案】2026 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 三、解答题 17．已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． 18．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 19．已知为方程的两个实数根． (1)若，，则___________，___________； (2)若，，求的值； (3)求证：分解因式的结果可以是． 【答案】(1)0， (2) (3)证明：为方程的两个实数根， ， ， ， 即分解因式的结果可以是． 【分析】（1）利用因式分解法得到，据此求解即可； （2）原方程可化为，利用根与系数的关系求解即可； （3）利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：若， ∴原方程可化为，即， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 原方程可化为． ， ． 为方程的两个实数根， ， ； （3）略 20．已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)证明：∵对于一元二次方程， ∴ ． ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，是以为斜边的直角三角形． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，从而得到，再根据勾股定理可得关于的方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，的长是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，即， ∴ ， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵第三边的长是， ∴， 整理得，即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，是以为斜边的直角三角形． 21．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】(1)不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； (2)或0 (3)或 【分析】（1）解方程，根据题意即可判断； （2）解方程，根据题意列方程即可解答； （3）设方程的根为，根据根与系数的关系得到关于的方程，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； （3）解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 22．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 23．我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： (1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 【答案】(1) (2) 满足条件的一个的值为（答案不唯一，也符合要求） 【分析】 （1）先对原方程因式分解得到两根，再根据特征数对的定义列出关于的方程组，求解得到符合条件的； （2）先求出方程的特征数对，再根据“关联全整根方程”的定义得到与的关系，结合方程是全整根方程的条件，找出满足所有要求的即可. 【详解】（1）解：， ， 解得方程的两个根为和， 特征数对为， ， 由得， 当时，，符合条件， 当时，，舍去， 故； （2）解：对方程：， ， 解得方程的两根为和， ∴方程的特征数对：，， 对于方程：， 由根与系数的关系得，， ，， ∴， ∵两个方程互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设方程两根为（为正整数），则，， 代入得， ∴， 将分解为两个大于1的正整数乘积，得： ， ∴或； ∴一个满足条件的为或12. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专项05一元二次方程根与系数的关系 内●容●导●航 第一部分知识卡片掌握原理，学会应用 一、什么是根与系数的关系 二、典型例题1：利用韦达定理求解根相关代数式的值 三、典型例题2：韦达定理应用—含参方程求参数值 四、核心易错点总结 第二部分培优训练整合应用，模拟实战 知●识●卡●片 一、 什么是根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系，也称为韦达定理，是指在不解方程的前提下，直接通过一元二次 方程的系数，快速反映两根之间的和、积关系的重要结论，是一元二次方程高频考点与解题常用技巧。 适用前提：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，且方程有实数根，即△=b2-4ac≥0。 核心公式：若方程的两根为x1、x2,则 名十=-名x场=日 特殊情况：当二次项系数Q=1时，方程为x2+px+q=0,则x1十x2=-p,x1x2=9。 常用变形公式（考试高频）： 1.x+x3=(x1+x2)2-2x1x2 2.1+1=+2 X1 X2 X1X2 3.(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 核心作用：不解方程，求两根代数式的值、判断两根符号、求参数取值、构造一元二次方程。 ◇二、典型例题1：利用韦达定理求解根相关代数式的值 试卷第1页，共7页 学科网知识店铺：零点数学 [例题1]已知x1、x2是一元二次方程x2-4x+2=0的两个实数根，不解方程，求x子+x3的值。 解题思路：先利用韦达定理求出两根和、两根积，再通过完全平方公式变形，整体代入求值。 解题步骤 1.确定系数，验证根的存在性 由方程x2-4x+2=0得：Q=1,b=-4,c=2 △=(-4)2-4×1×2=16-8=8>0，方程有两个不相等实数根，可使用韦达定理。 2.求两根和与两根积 x+为-日=4，x=2 b a 3.公式变形，整体代入 x1+x2=(x1+x2)2-2x1x2 =4-2×2=16-4=12 .x+x2=12 《父三、典型例题2：韦达定理应用一含参方程求参数值 [例题2]已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+2m=0的两根之和为6，求m的值以及方程 的两根之积。 解题思路：利用韦达定理两根和公式建立方程求参数，再代入求两根之积，全程需保证方程为一元二 次方程且有实数根。 解题步骤 1.确定方程系数 a=1,b=-(m+2),c=2m 2.根据韦达定理列方程 两根和：x1+x2=m+2 由题意得：m+2=6,解得m=4 3.验证根的存在性 将m=4代入判别式： △=(m+2)2-8m=62-32=36-32=4>0 方程有两个不相等实数根，m=4符合题意。 试卷第2页，共7页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.求两根之积 x1x2=2m=2×4=8 ∴.m=4,方程两根之积为8。 《◇四、核心易错点总结 必须验证判别式：使用韦达定理前，务必保证△≥0，无实数根时定理不成立； ◆ 符号易错：两根和公式是-：容易遗漏负号； 适用范围：只针对一元二次方程(a≠0)，一次方程不可用， 整体思想：解题优先整体代入，不单独求解方程的根，简化计算。 培●优●训练 一、单选题 1.若x、B是方程x2+2x-2026=0的两个实数根，则B的值为() A.2026 B.2 C.-2 D.-2026 2.若x1,七是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则：+x3-x1x3的值是() A.-11 B.11 C.1 D.-1 3.已知矩形的两条邻边长是方程x2-10x+24=0的两个根，则矩形的周长是() A.10 B.12 C.20 D.24 4.若x,x2是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根，则x2-x+x3的值是() A.2024 B.2026 C.2028 D.4052 5.已知实数a、b是方程x2-2x-1=0的两个根，则d+a+6b的值是() A.14 B.-14 C.17√2 D.10 6.已知关于x的一元二次方程x2+(2+1)x+-1=0的两个根分别是x,七3，且满足x+为+5=3， 则m的值是() A.5 B.0 C.-2 D.-5 7.如果m,n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3,n2-n=3,那么代数式22-+2+14的值是 () A.23 B.24 C.25 D.26 试卷第3页，共7页 学科网知识店铺：零点数学 8.已知关于x的方程x2-(a+b)x+b-1=0,,,6是此方程的两个实数根，给出四个结论：①，≠x2; ②xk3<ab;③x+x<a+b2;④若1<x且a<b,则(：-a)(3-b)<0,则正确结论的序号是() A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题 1+1 9.已知一元二次方程x2+2x-12=0的两根为x、x2,则 X X2 10.若m,n是方程x2+2x=2026的两根，则+n的值是 11.若x1,x2是方程x2+x-2026=0的两个实数根.则代数式，+x3+xx2的值等于 12.已知a,b是一元二次方程x+2x-1=0的两根，则3d-2b+2的值是 13.已知，B是一元二次方程x2-2025x-2026=0的两个根，则a2-2026@-B的值为 14.已知关于x的方程x2-(k+4)x+4h=0(k≠0)的两实数根为x1,x2,若 2+2=5,则k= xx 15.关于x的方程a(x+m)2+b=0的根是x1=5,x2=-6(a,b,m均为常数，a≠0)，则关于x的方程 a(x-m+2)2+b=0的根是 16.阅读材料：如果a,b是一元二次方程x2+x-1=0的两个实数根，则有a2+a-1=0,b2+b-1=0.创 新应用：如果m,n是两个不相等的实数，且满足2-m=3,n2-n=3,那么代数式 2m2-n+2m+2015= 三、解答题 17.已知关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+3k=0,若方程的两个实数根为，，6，且+x号=10，求 k的值. 试卷第4页，共7页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x,x32· (1)求m的取值范围. (2)当x+x号=6xx时，求m的值. 19.己知，x为方程ax2+br+c=0(a≠0)的两个实数根， b ①若c=0,x=1,则x=—’2a (2)若b=a,c=-2026a,求2-xx3++x2的值： (3)求证：ax2+br+c分解因式的结果可以是a(x-x)(x-x). 20.已知△ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x-2(n-1)x+n-2n=0的两个根，第三边 BC的长是10 (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根. (2)当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ 试卷第5页，共7页 学科网知识店铺：零点数学 21.如果关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么 称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x=0,x2=-1,则方程x2+x=0是 “邻根方程” (1)通过计算，判断方程x2-x-6=0是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程x-(m+1)x+m=0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值： (3)若关于x的方程x2+bx+c=0(b,c是常数)是“邻根方程”，且c=b+2,求b的值. 22.定义：如果关于x的一元二次方程m2+bx+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)有两个实数根，且其 中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”. (1)下列方程中，是“美丽方程”的是 (填序号). ①x2+2x=0;②x2-4x+4=0;③x2+4x+3=0. (2)若(x+2)(x+n)=0是“美丽方程”，求n的值， (3)若一元二次方程am2+4ax+c=0(a,c均为常数，a≠0)为“美丽方程”，请写出a、c满足的数量关 系，并说明理由、 试卷第6页，共7页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”.对于“全整根方程”ax+bxr+c=0(a≠0)， 设其两根为、x2,定义有序数对M(s,p)为该方程的特征数对（其中5=：+6，p=5).若两个“全 整根方程”的特征数对分别为4(S,B),M(S,P),+5=B一P,则称这两个方程互为“关联全整根 方程”. 举例说明：方程①：x-9x+20=0(x=4,x=5),特征数对M1(9,20); 方程②：x2-6x+5=0(:=1,x=5),特征数对M2(6,5): 验证：因为9+6=20-5，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”.解答下列问题： (1)已知关于x的方程x-(k+2)x+2k=0(k为整数)是“全整根方程”.若其特征数对为M(3,2),求k的 值： (2)某同学利用AI工具生成了“全整根方程”A:x2+mx+n=0(m>0,0<n<25)与“全整根方程” B:x2+11x+30=0,且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值. 试卷第7页，共7页