4.1 曲线运动 运动的合成与分解 讲义 -2027届高考物理一轮复习

该高中物理讲义聚焦曲线运动高考核心考点，涵盖运动条件、速度特性及合成与分解，按“基础规律-方法提炼-典型应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（如曲线运动条件）、方法指导（正交分解法）、真题训练（含上海、四川等高考题），帮助学生系统突破难点。 资料以科学思维和模型建构为核心，创新设计三类典型问题教学，如例8通过渡河问题示意图分析最短时间与路程模型，培养学生问题解决能力。设置分层练习（例题到作业），融入高考真题，助力学生高效提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第四章 曲线运动 §4.1 曲线运动 运动的合成与分解 (一)物体做曲线运动的条件 1.物体做曲线运动的条件： ①动力学条件：物体所受合外力方向与其速度方向不共线（且合外力指向曲线轨迹的内侧，即凹面） ②运动学条件：物体的加速度方向与其速度方向不共线（且加速度指向曲线轨迹的内侧，即凹面） 【例1】一物体在两垂直恒力F1、F3作用下由静止开始运动一段时间后撤去F2,则此后的运动情况可能是( ) A.匀变速曲线运动B.变加速曲线运动 C.匀速直线运动 D.沿乃方向的匀加速直线运动 2.物体受力情况与运动形式的关系总结： ①ΣF外=0：匀速直线运动（或静止） ②ΣF外≠0，且ΣF外与v方向共线（平行）：变速直线运动 ③ΣF外≠0，且∑F外与v方向不共线（不平行）：曲线运动 【例2】（上海高考题）如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A, 小车下装有吊着物体B的吊钩。在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动 的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d=H一2(SI)(SI表示国际单位 制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做( ) A.速度大小不变的曲线运动 B.速度大小增加的曲线运动 C.加速度大小方向均不变的曲线运动 D.加速度大小方向均变化的曲线运动 （二)曲线运动的速度（指瞬时速度） 1.曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向 【例3】一个小球先竖直下落一段时间，然后受到恒定的水平向右的风力作用。取向右为x轴正方向，向下为y轴正 方向，那么，小球受到风力作用以后的运动轨迹可能是( 2.曲线运动的速度方向时刻改变，因而，所有的曲线运动都是变速运动 3.物体运动只能平滑转弯，轨迹上不出现尖角 (三)运动的合成与分解 1.运动的合成 【例4】有关两个直线运动的合运动的类型，以下说法正确的是（) A,两个直线运动的合运动一定是直线运动 B.两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动 C.两个不在同一直线上的初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动 D.一个匀加速直线运动和另一个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是曲线运动 ▲判定两个直线运动的合运动是直线还是曲线运动的方法： 看合加速度方向与合速度方向是否共线。若共线，则为直线运动：若不共线，则为曲线运动。 【例5】(2014年四川卷)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河，小明驾着小船渡河，去程时船头指 向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，去程与回程所用时间的比值为k,船在静水中的速度大小相同，则小船 在静水中的速度大小为( ) 1 12 A. B. C. D. Vk2-1 V1-k2 V1-k2 Vk2-1 1 【例6】质量为5g的质点在xO平面内运动，t=0时刻质点位于坐标原点，在x方向的速度-时间图像和y方向的 位移-时间图像如图所示，下列说法中正确的是( ) 以(ms) y/m A.质点的初速度大小为3ms 61 B.质点所受的合外力大小为7.5，做匀变速曲线运动 C.4s末质点速度大小为9ms D.4s内质点的位移大小28m 09 t/s 2.运动的分解 运动分解法是解答曲线运动问题的基本方法。 对曲线运动进行分解，一般用正交分解法。应用中一般又有以下三种： ①“水平一竖直”分解法：主要用于分析抛体或类似于抛体的运动，即运动轨迹为抛物线的运动 ②“平行一垂直”分解法：主要用于分析与斜面相关的运动，如从斜面上平抛的运动 ③“切向一法向”分解法：主要用于分析圆周运动（法向：沿轨迹半径方向） ▲特别注意：对于一个运动的物体，我们实际看到的运动都是合运动，也就是说，真实的运动是合 运动，进行运动分解时，只能将真实的运动分解，因而首先必须弄清物体的真实运动。 【例7】如图所示，一根长为1的直杆AB靠在竖直墙角处，其下端B以速度v匀速 A 向右远离墙壁，求当直杆与水平地面间的夹角8=60时，杆的中点C的速度大小。 607 B MXw (四)运动合成与分解的三类典型问题 1.渡河问题（多运动合成问题） (1)以最短时间过河(y垂直于河岸) U船----- U 渡河时间只由河宽，和船速在垂直于河岸方向的分速度大小决定， 而与船速在沿河流方向的分速度及水速无关。因而，当船速垂直于河岸 U水 时，渡河时间最短，最短时间t=dN船。 A08 (2)以最短路程过河 ①y船>y水时，船头斜向上游，v垂直于河岸 V船天 ②船<y时，V不可能垂直于河岸，V含与河 )船 岸夹角α最大时渡河路程最短，用辅助圆分析 U船 0 水 U水 v潮>v水：V台垂直于河岸 V船≤v:用辅助圆分析 【例8】如图所示，一条河流宽为d=480m,水速恒为v水=3.6ms。一条小船从A点出发向对岸驶去，小船对静水的 速度大小恒为v船=6ms。(作出以下三种情况下速度关系及运动轨迹示意图) (1)小船渡河的最短时间为 s,该情况下小船沿河岸方向位移为 (2)小船渡河的最短路程（对地）为m,该情况下小船过河的时间为 S; (3)若水速恒为v'水=7.5ms,而船速仍为v=6m,则渡河的最短路程（对地）为 1m。 (1) (2) (3) 2 【例9】如图所示，甲、乙两条小船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d,M、 N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准W点正对岸 的P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果船对静水的划速均为加，且两船相遇 不影响各自的航行。则下列判断正确的是() A.水流方向向右，大小为vocosa B.两船渡河时间相同，均为dlvsina C.甲船沿河流方向的位移为dtana D.甲、乙两船会在PN中点相遇 2.绳动问题（联动问题） (因绳长不变，因而绳上各点速度沿绳方向的分速度大小相同) LL∠∠L∠/ 【例10】如图，汽车以速率0水平向左做匀速直线运动，用绳子跨过定滑轮拉着 重物竖直上升，不计绳子和滑轮的质量及它们间的摩擦，则经图示位置时( ) A,重物上升的速度v=vocos日 B.重物上升的速度v=o/cos8 √▣T C.绳的拉力等于重物的重力 D.绳的拉力大于重物的重力 3.杆动问题（联动问题） (因杆长不变，因而杆上各点速度沿杆方向的分速度大小相同) 【例11】两根光滑直杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有一个小球a、b, 小球间用一直棒相连，如图。当直棒与竖直杆夹角为时，两小球的速度大小之比 Va vb= 【例12】（2026年河北卷)某千斤顶的结构如图所示，四根等长杆由铰链相连。摇动手柄竖直抬升重物过程中，A、 C两点的间距每秒均匀缩短2mm,当∠CAB=45°时，下列说法正确的是( 重物 A.A与C两点速度大小相等，方向相反 B.B点速度方向竖直向上，大小为2mmb C.C点速度方向沿CB向上，大小为1mm5 D.A点相对C点的速度沿水平方向，大小为2mms 【作业】 班次 座次 姓名 1.下列关于对曲线运动的描述中正确的是( A.可以是匀速率运动 B.一定是变速运动 C.可以是匀变速运动 D.加速度可保持为零 2.(2026年江苏卷)发射一颗探月卫星，其先后在两个轨道上分别经过M、N两点， 如图所示，关于卫星在M、N两点的情况，下列说法正确的是() 地球 Mtw月球 A.在N点所受地球引力比月球引力大B.在点所受地球引力和月球引力相等 C.在M点所受月球引力比地球引力大D.在M点所受地球引力比月球引力大 3.(2023年江苏卷)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连 续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是( 运动方向→ 运动方向一→ 运动方向→ 运动方向 B. C. 4.某质点在xOy平面上运动，t=0时刻位于坐标原点，在x方向上的 x/m 位移图像如甲所示，在y方向上运动的速度图像如乙所示。则( A.质点的运动轨迹为直线 B.质点的加速度大小为3ms C.t=2s时刻，质点的速度大小为2m/5 D.t=2s时刻，质点的位置坐标为(6m,6m) 5.一质点在xOy平面内运动的轨迹如图所示。下面关于分运动的判断正确的是( A.若在x方向始终匀速运动，则在y方向先减速后加速运动 B.若在x方向始终匀速运动，则在y方向先加速后减速运动 C.若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直加速运动 D.若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直减速运动 6.(2025年湖南卷)如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、 竖直速度分别用x、八、v、,表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是( B 7.如图所示的装置可将圆周运动转化为一条直线上的往复运动。连杆AB、 OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动。连杆OB长为R,AB长为L(L>R), 当OB杆以角速度ω沿逆时针方向匀速转动时，滑块便在水平横杆上左右滑动。 如图示状态，在滑块向左滑动过程中() A.滑块先匀加速运动，后匀减速运动 B.当OB杆与OA垂直时，滑块的速度最大 C.当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为D.当=90°时，滑块的速度大小为RV2+R L L 8.一根细绳绕过定滑轮两端连着A和B两物体，A在外力作用下以速度vA向左 匀速运动，经图示位置(a>B)时B的速度为v,则() A.VB=VA B.物体B做匀速运动，但≠vA 人a C.VBcosB=vAcosa D.经图示位置时B做减速运动 7777777777777777777 9.如图，轻杆的一端固定一个铁球P,另一端通过水平转动轴O连接在地面上，轻杆可在竖直平面内绕转动轴O无 摩擦地转动：木块Q放置在光滑水平地面上。开始时，使P斜靠在Q的竖直右侧面上，用手控制Q使它们都静止。现释 放Q,不计所有摩擦，在之后P与Q运动的过程中，下列说法正确的是( ) A.P与Q分离前，杆上的弹力逐渐增大 咝 B.P与Q分离前，P与Q的速度相等 C.P与Q分离前，Q的速度先增大后减小 D.P与2分离时，P的加速度等于重力加速度 0 10,如图，一根细线将一个小球吊在天花板上。现用 颗钉子靠在细线的左边贴着水平桌面以速度y匀速向右运动，当细线与天花板夹角为时，小球的速度大小为 11.如图，将楔形木块B放在光滑水平面上靠墙边处并用手扶着，然后在 木块和墙面之间放入一个小球A,楔形木块的倾角为8，放手让小球和木块同 时由静止开始运动，某时刻二者速度分别为va和v,则va:y 12.水平面内有一个平面直角坐标系xO,一个物 VA ↑ax/m's2 y/m 体原来位于原点O处。物体从t=0时刻起开始运动， 4 它沿x轴和y轴的分加速度a,、a,随时间t变化的规律 如图所示。求t=3s时刻该物体的瞬时速度大小3，并 3 把物体的运动轨迹画在如图的坐标系内。 123ts ◆/ms2 2 123t/s 2 3 4 5 6 x/m 4第四章 曲线运动 §4.1 曲线运动运动的合成与分解 (一)物体做曲线运动的条件 1.物体做曲线运动的条件： ①动力学条件：物体所受合外力方向与其速度方向不共线（且合外力指向曲线轨迹的内侧，即凹面） ②运动学条件：物体的加速度方向与其速度方向不共线（且加速度指向曲线轨迹的内侧，即凹面） 【例1】一物体在两垂直恒力F1、F3作用下由静止开始运动一段时间后撤去F2,则此后的运动情况可能是( A.匀变速曲线运动 B.变加速曲线运动 C.匀速直线运动 D.沿乃方向的匀加速直线运动 【答案】A 【解析】 如右图所示，物体从0点开始做匀加速直线运动到达P点时撤去F,此时具有速度， 物体沿曲线PQ做曲线运动，轨迹与速度，相切，向力F的方向转弯 因撒去F后，剩下的力为恒力，产生恒定的加速度，所以做匀变速曲线运动 选项A正确 2.物体受力情况与运动形式的关系总结： ①ΣF外=0：匀速直线运动（或静止） ②∑F外≠0，且ΣF外与v方向共线（平行）：变速直线运动 ③ΣF外≠0，且ΣF外与v方向不共线（不平行）：曲线运动 【例2】（上海高考题）如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A, ☑八☑ 小车下装有吊着物体B的吊钩。在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动 的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d=H一2(S)(SI表示国际单位 制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做( A.速度大小不变的曲线运动 B.速度大小增加的曲线运动 C.加速度大小方向均不变的曲线运动 D.加速度大小方向均变化的曲线运动 【答案】BC 【解析】 水平方向：匀速运动 竖直方向：初速度为0的匀加速运动，加速度为4 物体向左上方做类平抛运动，轨迹为向上弯曲的抛物线 AB:物体的水平速度不变，竖直速度逐渐增大，合速度逐渐增大，选项A错B对 匀加速 CD:水平方向无加速度，竖直方向有恒定的向上的加速度，大小为4 匀速 所以，物体总的加速度大小方向均不变，做匀变速曲线运动，选项C对D错 物体做类平抛运动 (二)曲线运动的速度（指瞬时速度） 1.曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向 【例3】一个小球先竖直下落一段时间，然后受到恒定的水平向右的风力作用。取向右为x轴正方向，向下为y轴正 方向，那么，小球受到风力作用以后的运动轨迹可能是( 八 【答案】B 【解析】 先竖直下落，获得竖直向下的速度 1 受到水平向右的风力后，因小球具有惯性，向下的速度方向不突变，轨迹与此时的速度相切向右平滑转弯，选项A 与C错误 另一方面，小球受向下的重力和向右的风力作用，没有向上的力，在以后的运动中，不可能返回向上运动 所以，选项B正确，选项D错误 2.曲线运动的速度方向时刻改变，因而，所有的曲线运动都是变速运动 3.物体运动只能平滑转弯，轨迹上不出现尖角 (三)运动的合成与分解 1.运动的合成 【例4】有关两个直线运动的合运动的类型，以下说法正确的是( ) A.两个直线运动的合运动一定是直线运动 B.两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动 C.两个不在同一直线上的初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动 D.一个匀加速直线运动和另一个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是曲线运动 【答案】BCD 【解析】 A:任意一个曲线运动都可分解为两个方向上的直线运动 反之，两个方向上的直线运动的合运动可以是曲线运动，选项A错误 B:匀速直线运动的速度大小和方向都不变，则两个匀速直线运动的合速度大小和方向也都不变 所以它们的合运动一定是匀速直线运动，选项B正确 C:两个直线运动初速度都为0，则初速度的合速度也为0 两个匀加速运动的加速度大小和方向都不变，它们的合加速度大小和方向也都不变 初速为0、加速度大小方向都恒定的运动是匀加速直线运动，选项C正确 D:如右图所示，一个匀加速直线运动(m、)与另一个匀速直线运动(n)合成 合速度v与合加速度必然不是同方向，所以一定是曲线运动，选项D正确 (加速度恒定，为匀变速曲线运动，轨迹为抛物线) ▲判定两个直线运动的合运动是直线还是曲线运动的方法： 看合加速度方向与合速度方向是否共线。若共线，则为直线运动：若不共线，则为曲线运动。 【例5】(2014年四川卷)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为y的大河，小明驾着小船渡河，去程时船头指 向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，去程与回程所用时间的比值为k,船在静水中的速度大小相同，则小船 在静水中的速度大小为( ? A. B 12 C. D. Vk2-1 V1-2 V1-k2 Vk2-1 【答案】B 【解析】 设河宽为d,船对静水的速度为V船 d d 去程时间(1=一，回程时间t2= V船 √g2-v 据题意，生=k三 kd =→V船 t V价A示，选项B正确 2 【例6】质量为5g的质点在xO平面内运动，t=0时刻质点位于坐标原点，在x方向的速度-时间图像和y方向的 位移-时间图像如图所示，下列说法中正确的是( 以(ms) 61 A.质点的初速度大小为3m/s B.质点所受的合外力大小为7.5，做匀变速曲线运动 C.4s末质点速度大小为9ms D.4s内质点的位移大小28m 【答案】B 【解析】 ￥方向做匀加速运动，初速度y。=3m/5,加速度4=上=6-3-1,5m/5) 42-0 y方向做匀速运动，速度，=少-4-0-1m/y）) 4-0 4质点的初速度6=√，2+y=尽2+下=10(m/),选项A错误 B:质点的加速度a=a=1.5/s2,则所受的合外力F=a=5×1.5=7.5(N)） 加速度（合外力）大小方向均恒定，且与合速度方向不共线（平行），质点做匀变速曲线运动，选项B正确 C:=4w末，x方向的速度V=Vx0+at=3+1.5×4=9(m/S） 则质点的速度v=√2+y=V92+1F=V82m/s)≠9m/5,选项c错误 1 D:内，x方向的位移x=v1+0r=3×4+与×1.5×4=24m训 y方向的位移y=y,t=1×4=4m) 则质点的位移5=Vx2+y2=√242+4m≠28m,选项D错误 2.运动的分解 运动分解法是解答曲线运动问题的基本方法。 对曲线运动进行分解，一般用正交分解法。应用中一般又有以下三种： ①“水平一竖直”分解法：主要用于分析抛体或类似于抛体的运动，即运动轨迹为抛物线的运动 ②“平行一垂直”分解法：主要用于分析与斜面相关的运动，如从斜面上平抛的运动 ③“切向一法向”分解法：主要用于分析圆周运动（法向：沿轨迹半径方向） ▲特别注意：对于一个运动的物体，我们实际看到的运动都是合运动，也就是说，真实的运动是合 运动，进行运动分解时，只能将真实的运动分解，因而首先必须弄清物体的真实运动。 【例7】如图所示，一根长为1的直杆AB靠在竖直墙角处，其下端B以速度v匀速 向右远离墙壁，求当直杆与水平地面间的夹角8=60时，杆的中点C的速度大小。 607B 【答案】 -1V 3 3 【解析】 方法1：C点到墙角的距离恒为二1，可知C点绕0点做圆周运动，速度垂直于0C 0=60°时c与水平方向成30°角 因C点到墙的距离总为B点到墙的距离的一半，则 60 B 1 vcc0s30°=v→ve= -V 2 3 1 方法2：C点到墙角的距离但为一1，可知C点绕0点做圆周运动，速度心垂直于0C 0=60°时c与直杆成30°角 因杆长不变，则C点与B点在沿杆方向的分速度相等，即 voc0s30°=vcos60°→2=V3 607 B 3 v 方法3：若未分析出C点做圆周运动，则事先不能确定c的方向 可以按这种思路求解： 先利用杆长不变，A、B两端沿杆方向分速度相等，求得A端速度： V4c0s30°=vc0s60°→V4= V 3 再利用C点在水平、竖直方向的运动与B端、A端的关系求得C点的水平、竖直速度： 60 C点的水平速度等于B端速度的一半：火二)y 1,V3 C点的竖直速度等于A端速度的一半：y,=一V4= -V 2 6 最后将C点的水平、竖直速度合成，得C点的速度： Vo=1%x+v (四)运动合成与分解的三类典型问题 B 1.渡河问题（多运动合成问题） (1)以最短时间过河(y垂直于河岸) U 渡河时间只由河宽，和船速在垂直于河岸方向的分速度大小决定， 2 而与船速在沿河流方向的分速度及水速无关。因而，当船速垂直于河岸 U水 时，渡河时间最短，最短时间t=d。 (2)以最短路程过河 ①船>V时，船头斜向上游，V垂直于河岸 U船 ②船<v时，V不可能垂直于河岸，'与河 U船 岸夹角α最大时渡河路程最短，用辅助圆分析 大U船 - 0 )水 A U水 V船>V水：V合垂直于河岸 V磐<V:用辅助圆分析 4 【例8】如图所示，一条河流宽为d=480m,水速恒为v*=3.6ms。一条小船从A点出发向对岸驶去，小船对静水的 速度大小恒为y赠=6ms。(作出以下三种情况下速度关系及运动轨迹示意图) (1)小船渡河的最短时间为$，该情况下小船沿河岸方向位移为】 m; (2)小船渡河的最短路程（对地）为 m,该情况下小船过河的时间为 (3)若水速恒为v'水=7.5ms,而船速仍为v翰=6m,则渡河的最短路程（对地）为 m。 (1) (2) (3) 【答案】(1)80,288：(2)480,100：(3)600 【解析】 (1)当v垂直于河岸时渡河时间最短，最短时间tmm= d480 =80(s) V 6 小船沿河岸方向的位移L=V水tm=3.6×80=288(m) B 13 .水 (1) (2) (3) (2)当船速斜向上游，合速度垂直于河岸时渡河路程最短，最短的路程L,m=d=480 此时小船的实际速度y=√y2-v水2=V62-3.6=4.8m/s) 则过河时间t,= Lm=48 2=100(6】 y4. (3)'*>v,小船的合速度不可能垂直于河岸，当合速度方向与河岸夹角最大时渡河路程最短 如图所示，以v'k矢量的末端为圆心、以v的大小为半径画圆弧，从v'*矢量的起点向圆弧作切线 该切线方向即为渡河路程最短时小船的速度内的方向 △4BC与力的矢量三角形相似，对应力成比例，有 4C_4B→AC=.AB=75 ×480=600(m) V船 6 【例9】如图所示，甲、乙两条小船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d,M、 N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准W点正对岸 的P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果船对静水的划速均为，且两船相遇 不影响各自的航行。则下列判断正确的是() A.水流方向向右，大小为vocosa B.两船渡河时间相同，均为d/vosina C.甲船沿河流方向的位移为dltana D.甲、乙两船会在PN中点相遇 【答案】ABD 【解析】 5 将两船船速V,沿垂直于河岸和平行于河岸方向正交分解，如图所示 M P Q A:乙船正好能到达正对岸的P点 则其船速沿河岸方向的分速度与水速等大反向，V水=C0s,选项A正确 B:渡河时间与水速无关，只由船速垂直于河岸方向的分速度决定 、 两船船速垂直于河岸方向的分速度大小相等，均为Y,5im N 测两船凌河时间相等，且都为t=一口 一，选项B正确 vosin C甲船沿河流方向的位移Mp=(,cosa+yk)t=(2y,cosa)一 =2d ，选项C错误 v sina tana D:图中MP=N= d -,则M'Q=2M'P=2N tan 由几何关系可得，甲船的航线M0与乙船的航线NP交于它们的中点O 且由于两船船速沿垂直于河岸方向的分速度相同，两船将同时到达O点，即在PN的中点O相遇，选项D正确 2.绳动问题（联动问题) (因绳长不变，因而绳上各点速度沿绳方向的分速度大小相同) 【例10】如图，汽车以速率如水平向左做匀速直线运动，用绳子跨过定滑轮拉着 重物竖直上升，不计绳子和滑轮的质量及它们间的摩擦，则经图示位置时（ ▣ A.重物上升的速度v=vocos9 B.重物上升的速度v=o/cos日 C.绳的拉力等于重物的重力 D.绳的拉力大于重物的重力 【答案】AD 【解析】 如右图所示，取绳子连接汽车的端点为研究对象 22221217 将其水平向左的速度m沿绳子伸长的方向和垂直于绳子方向（绳子转动）正交分解 AB:因绳长不变，则重物上升速度V=yCOS日，选项A正确，B错误 CD:汽车向左拉的过程中O变小(0°<日≤90°)，由余弦函数的增减性可得v增大 7777 重物向上加速，处于超重状态，绳的拉力大于重物的重力，选项C错误，D正确 3.杆动问题（联动问题） (因杆长不变，因而杆上各点速度沿杆方向的分速度大小相同) 【例11】两根光滑直杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有一个小球a、b, 小球间用一直棒相连，如图。当直棒与竖直杆夹角为时，两小球的速度大小之比 Va Vb= 【答案】sn0:cas0(或tnn0:1) 【解析】 如图所示，因杆长不变，则两球速度在沿杆方向的分速度相同，即 vcos8=⅓sn0三业=sin6_tam0 【例12】(2026年河北卷)某千斤顶的结构如图所示，四根等长杆由铰链相连。摇动手柄竖直抬升重物过程中，A、 C两点的间距每秒均匀缩短2mm,当∠CAB=45°时，下列说法正确的是( 重物 A.A与C两点速度大小相等，方向相反 B.B点速度方向竖直向上，大小为2mms C.C点速度方向沿CB向上，大小为1mm/s D.A点相对C点的速度沿水平方向，大小为2mms 【答案】BD 【解析】 A:因D点位置不动，A点与C点均以D点为圆心做反方向的圆周运动 杆DA的端点A的速度A与杆DA垂直，也就是沿杆AB方向 杆DC的端点C的速度vc与杆DC垂直，也就是沿杆CB方向 根据对称性，A与C两点速度大小相等，但方向垂直，选项A错误 B:四根杆构成对称装置，B点处在对称轴上，其速度方向必定竖直向上 A、C两点的间距每秒均匀缩短2，则A、C两点的水平速度大小均为y,=1m/s 取A点分析，其真实速度va产生两个运动效果： 水平向右运动，速度y、=11/S:竖直向上运动，速度设为y, ∠C1B=45:时，V4=Y=V2/5 c0545° 再取B点分析，其真实速度产生两个运动效果： 一是沿杆AB方向向上伸长，速度=V4=√21/5；二是使杆AB沿逆时针方向转动，转动速度设为” c05450=2m/5,选项B正确 由几何关系易得y。=上 C:由对称性，得C点速度c方向沿CB向上，大小V。=V4=√2/S,选项C错误 D:A、C两点竖直方向的速度，大小相等，方向相同，抵消；水平方向的速度大小相等，方向相反 所以A点相对C点的速度沿水平方向，大小为V4附c=2Vx=2m/S，选项D正确 或：以C为参考系，A具有速度4和-心，它们大小相等方向垂直 A对C 则A相对于C的速度V4对c=√2ya=2i1/5,选项D正确 【作业】 班次座次 姓名 1.下列关于对曲线运动的描述中正确的是( A.可以是匀速率运动B.一定是变速运动 C.可以是匀变速运动D.加速度可保持为零 【答案】ABC 2.(2026年江苏卷)发射一颗探月卫星，其先后在两个轨道上分别经过M、N两点， 如图所示，关于卫星在M、N两点的情况，下列说法正确的是() A.在W点所受地球引力比月球引力大B.在N点所受地球引力和月球引力相等 地球 Mw月球 C.在M点所受月球引力比地球引力大D.在M点所受地球引力比月球引力大 【答案】D 【解析】 物体做曲线运动，合外力指向曲线轨迹的内侧（凹面）用以提供向心力，据此可知： 7 经M点时卫星受地球引力和月球引力的合力指向地球，即地球引力大于月球引力，选项C错误，D正确 经N点时卫星受地球引力和月球引力的合力指向月球，即地球引力小于月球引力，选项A错误，B错误 3.(2023年江苏卷)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连 续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是( 运动方向 运动方向→ 运动方向一→ 运动方向 B D 【答案】D 【解析】 方法1：网上搜到的解析，看不懂，也理解不了，写法也存在错误 罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间△内水平方向增加量△ 竖直方向做在自由落体运动，在时间△t增加g△t 说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定，则连线的倾角就是一定的 方法2：函数关系式推导法 如图建立竖直平面内的直角坐标系 at 0 为简便，设想罐子从坐标原点由静止开始以加速度α沿x轴正方向运动 经时间t漏出的沙子，经时间T(T>t)到达的位置P坐标设为(x,),则 op (x,y) 2am+(at7-)=amr-」 1 (1) 287-} (2) (2)→t=T ,代入w套理得)一会方 y随x按一次函数关系变化，图像为倾斜的直线，选项D正确 方法3：特值验证法 假设罐子从坐标原点由静止开始以加速度α沿x轴正方向做匀加速直线运动 0 现讨论经时间2t,时刻，之前漏下的各沙子在空中的排列情况 0 t=0时刻由坐标原点漏下的第1颗沙子做自由落体运动，到2，时刻 了水平位移x=0,竖直位移M=58（20)=4×)8,2 t=t,时刻漏下的第2颗沙子，到2t,时刻 水平位移=心 )C证n2+(@tn=3×之a0,竖直位移5二1 t=2t时刻漏下的第3颗沙子，到2t时刻刚好漏下 水平位移飞24Q,竖直位移y生 令2=0點=为 1 2 8 则t=2时刻，第1、第2、第3颗沙子到达的点的坐标依次为(0,4y入、(3x,人(4x,0) 由几何关系易得t=2t,时刻，上述三颗沙子排成一条直线，选项D正确 方法4：逆向思维+相对运动法 如图所示（罐子本来在x轴上运动，为了观察方便，将其运动路径画到x轴上方） 设某时刻罐子运动到X轴上的Q点，此时刻漏出的沙子2也处在Q点 从该时刻往前推时间t,,罐子于P点漏出沙子1 设罐子到达Q点时，沙子2到达Q'点 ①水平方向：漏出时沙子1与罐子具有相同的速度，不予考虑 1 此后，沙子匀速，罐子匀加速，经时间，罐子多走的水平距离x= ®竖直方向：沙子经时间，下落的高度%二？ Q与0的连线与水平方向的夹角设为0，则tm1日=出=吕 xn a 由此可见日角为定值，即之前不同时刻漏出的沙子在同一时刻所在位置处在同一条直线上，选项D正确 4.某质点在xOy平面上运动，t=0时刻位于坐标原点，在x方向上的 x/m /(ms） 位移图像如甲所示，在y方向上运动的速度图像如乙所示。则( 6 A.质点的运动轨迹为直线 B.质点的加速度大小为3ms2 C.t=2s时刻，质点的速度大小为2ms D.t=2s时刻，质点的位置坐标为(6m,6m) 【答案】BD 【解析】 由图甲知，质点在x方向做匀速运动，速度y,=△=3/5 △t △v 由图乙知，质点在y方向做初速为0的匀加速运动，加速度4= =3m/s2 △t 因而可知质点做类平抛运动，轨迹为抛物线，选项A错误，B正确 =2x时刻，)方向的速度y=t=6m/5,则质点的速度大小v=Vy+y=35/5,选项C错误 1=2s时刻，由图甲得x=6,而y=二at2=6m,质点位置坐为(6m,6m,选项D正确 2 5.一质点在xOy平面内运动的轨迹如图所示.下面关于分运动的判断正确的是( A.若在x方向始终匀速运动，则在y方向先减速后加速运动 B.若在x方向始终匀速运动，则在y方向先加速后减速运动 C.若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直加速运动 D.若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直减速运动 【答案】A 【解析】作图法 AB:若在x方向始终匀速运动，取每一段时间相同，则x方向每一段位移相同 由图可见，在每一段相同时间内，y方向位移先诚小后增大 所以，y方向先减速后加速，选项A正确，B错误 CD:用上述类似的方法（图略），得x方向先加速后减速，选项C与D均错误 6.(2025年湖南卷)如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、 竖直速度分别用x、八V、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（ 个V. % T 【答案】C 【解析】 根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为，加速度为大小“，斜面倾角为0 AB:物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度0x=V,Cos日，加速度大小a,=☑Cos日 由y2-a2=-24x→y2=o2-2ax=(cos89-2acos0r 可知，V一X图像为类似抛物线的一部分，故选项A与B错误 CD:物块在竖直方向上做匀减速直线运动，初速度Vy=sin日，加速度大小a,=asin日 由y2-b,2=-2a,y→y2=6,2-2ay=si0}-2(asim0y 可知，V。一y图像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误 7.如图所示的装置可将圆周运动转化为一条直线上的往复运动。连杆AB、 OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动。连杆OB长为R,AB长为L(L>R), 当OB杆以角速度ω沿逆时针方向匀速转动时，滑块便在水平横杆上左右滑动。 如图示状态，在滑块向左滑动过程中() A.滑块先匀加速运动，后匀减速运动 B.当OB杆与OA垂直时，滑块的速度最大 C.当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为RD.当B=90时，滑块的速度大小为RWP+R L 【答案】D 8.一根细绳绕过定滑轮两端连着A和B两物体，A在外力作用下以速度v4向左 匀速运动，经图示位置(a>B)时B的速度为v,则() A.VB=VA B.物体B做匀速运动，但v≠vA VA a C.VBcosB=vAcosa D.经图示位置时B做减速运动 B 【答案】C 【解析】 C:因绳长不变，A和B的速度沿绳子方向的分速度大小相等，则c0sp=v4C0s,选项C正确 LLZLM1111LLL4111L1LL111L11211L A由eaf=year得yg=CosC VA,>P,则VB<V4,选项A错误 cos B 10 BD:运动过程中减小，增大，则coSa增大，cosB减小 由y。=C05y,知y,增大，物体B做加速运动，不是匀速运动，选项B错误，D错误 cOS B 9.如图，轻杆的一端固定一个铁球P,另一端通过水平转动轴O连接在地面上，轻杆可在竖直平面内绕转动轴O无 摩擦地转动：木块Q放置在光滑水平地面上。开始时，使P斜靠在9的竖直右侧面上，用手控制9使它们都静止。现释 放Q,不计所有摩擦，在之后P与Q运动的过程中，下列说法正确的是() A.P与Q分离前，杆上的弹力逐渐增大 B.P与Q分离前，P与Q的速度相等 C.P与2分离前，Q的速度先增大后减小 D.P与9分离时，P的加速度等于重力加速度 【答案】D 【解析】 A:P与Q分离前，P、Q之间存在弹力作用，杆内产生的弹力为向外的推力 P、Q之间的弹力必须变为0两物体才会分离，此时杆内的弹力也变为0 所以杆内弹力是减小的，选项A错误 B:P与Q分离前，它们的水平速度相等 0 但P以0点为圆心做圆周运动，Vp>VQ,如右图所示，选项B错误 C:P与Q分离前，P、Q之间存在弹力作用，Q受P向左的弹力，一直向左加速，选项C错误 D:P与Q分离时，P、Q之间的弹力为0，杆内的弹力也为0，P只受重力作用，产生重力加速度，选项D正确 Z 10.如图，一根细线将一个小球吊在天花板上。现用一颗钉子靠在细线的左边贴着水平桌面 以速度v匀速向右运动，当细线与天花板夹角为时，小球的速度大小为 【答案】vW1+cos20 【解析】 先分析钉子运动，钉子带动绳子运动产生两个效果： 一是使上段绳子伸长，伸长速度V,=VCoS日：二是使上段绳子转动 再分析小球运动，因绳子总长不变，则下段绳子向上缩短的速度也为V,=VCo5日 而下段绳子总是竖直的，则小球和钉子还具有相同的水平速度V 所以，小球的速度大小y#=√v2+y,2=vW1+cos2日 11.如图，将楔形木块B放在光滑水平面上靠墙边处并用手扶着，然后在 木块和墙面之间放入一个小球A,楔形木块的倾角为8，放手让小球和木块同 时由静止开始运动，某时刻二者速度分别为va和v,则v4:y= 【答案】mn0:1 【解析】 方法1：不分离条件分析法 11 小球贴着斜面运动，球心到斜面的距离等于小球半径保持不变 则小球的速度和木块的速度垂直于斜面的分速度相同，即 VB Va cose=va sineva=sing tome Va Cos0 1 方法2：相对运动分析法 将木块B视为静止，则球A沿斜面运动 所以球相对于斜面的速度平行于斜面向下，如图所示 则=tamm0=sin0 c0sθ 或：将球A视为静止，木块B相对于A平行于斜面斜向上运动 (略) VR 12.水平面内有一个平面直角坐标系xO,一个物 ↑ax/m's2 y/m 体原来位于原点O处。物体从t=0时刻起开始运动， 它沿x轴和y轴的分加速度ax、a,随时间t变化的规律 如图所示。求t=3s时刻该物体的瞬时速度大小v3,并 123t/s 把物体的运动轨迹画在如图的坐标系内。 alm's2 2 【答案】 【解析】 1 2 6 x/m (1)求速度内 /ms 根据x轴和y轴方向的加速度图像，分别作出速度图像如右图 据加速度或速度图像，均可求得t=3x时刻： x方向的速度y=411/S,y方向的速度V,=4/S 则y=2+y=4W2m/ 4 也可以不作速度图像，直接用“一t图线与t所夹面积表示速度变化得到3 (2)画轨迹 2 0一1：沿士方向做初速度为0的匀加速运动。位移5= 获得的速度v=at=2m/s 1~2x方向做匀速运动，位移2s=21,速度仍为V=21/S 0 1 3 4 5 6 x/m y方向做初速度为0的匀加速运动，位移S=11,获得的速度v=2/S 合起来为类平抛运动 末速度方向与x轴、y轴方向均成45°角 合加速度方向也与x轴、y轴方向均成45°角 速度方向与加速度方向相同，所以此后物体做匀加速直线运动 2~3:物体沿坐标格的对角线方向做匀加速直线运动，可求得x轴、y轴方向的位移均为3m 据此可作出物体运动轨迹如右图所示 12 第四章 曲线运动 §4.1 曲线运动 运动的合成与分解 （一）物体做曲线运动的条件 1．物体做曲线运动的条件： ①动力学条件：物体所受合外力方向与其速度方向不共线（且合外力指向曲线轨迹的内侧，即凹面） ②运动学条件：物体的加速度方向与其速度方向不共线（且加速度指向曲线轨迹的内侧，即凹面） 【例1】一物体在两垂直恒力F1、F2作用下由静止开始运动一段时间后撤去F2，则此后的运动情况可能是（ ） A．匀变速曲线运动 B．变加速曲线运动 C．匀速直线运动 D．沿F1方向的匀加速直线运动 2．物体受力情况与运动形式的关系总结： ①ΣF外＝0：匀速直线运动（或静止） ②ΣF外≠0，且ΣF外与v方向共线（平行）：变速直线运动 ③ΣF外≠0，且ΣF外与v方向不共线（不平行）：曲线运动 ( A B )【例2】（上海高考题）如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A， 小车下装有吊着物体B的吊钩。在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动 的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d＝H－2t2（SI）（SI表示国际单位 制，式中H为吊臂离地面的高度）规律变化，则物体做（ ） A．速度大小不变的曲线运动 B．速度大小增加的曲线运动 C．加速度大小方向均不变的曲线运动 D．加速度大小方向均变化的曲线运动 （二）曲线运动的速度（指瞬时速度） 1．曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向 【例3】一个小球先竖直下落一段时间，然后受到恒定的水平向右的风力作用。取向右为x轴正方向，向下为y轴正方向，那么，小球受到风力作用以后的运动轨迹可能是（ ） ( A． B． C． D． O x y O y x O y x O y x ) 2．曲线运动的速度方向时刻改变，因而，所有的曲线运动都是变速运动 3．物体运动只能平滑转弯，轨迹上不出现尖角 （三）运动的合成与分解 1．运动的合成 【例4】有关两个直线运动的合运动的类型，以下说法正确的是（ ） A．两个直线运动的合运动一定是直线运动 B．两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动 C．两个不在同一直线上的初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动 D．一个匀加速直线运动和另一个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是曲线运动 ▲判定两个直线运动的合运动是直线还是曲线运动的方法： 看合加速度方向与合速度方向是否共线。若共线，则为直线运动；若不共线，则为曲线运动。 【例5】（2014年四川卷）有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河，小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（ ） A． B． C． D． 【例6】质量为5kg的质点在xOy平面内运动，t＝0时刻质点位于坐标原点，在x方向的速度−时间图像和y方向的位移−时间图像如图所示，下列说法中正确的是（ ） A．质点的初速度大小为3m/s B．质点所受的合外力大小为7.5N，做匀变速曲线运动 C．4s末质点速度大小为9m/s D．4s内质点的位移大小28m 2．运动的分解 运动分解法是解答曲线运动问题的基本方法。 对曲线运动进行分解，一般用正交分解法。应用中一般又有以下三种： ①“水平—竖直”分解法：主要用于分析抛体或类似于抛体的运动，即运动轨迹为抛物线的运动 ②“平行—垂直”分解法：主要用于分析与斜面相关的运动，如从斜面上平抛的运动 ③“切向—法向”分解法：主要用于分析圆周运动（法向：沿轨迹半径方向） ▲特别注意：对于一个运动的物体，我们实际看到的运动都是合运动，也就是说，真实的运动是合运动，进行运动分解时，只能将真实的运动分解，因而首先必须弄清物体的真实运动。 ( A v C B 60 ° )【例7】如图所示，一根长为l的直杆AB靠在竖直墙角处，其下端B以速度v匀速 向右远离墙壁，求当直杆与水平地面间的夹角θ＝60°时，杆的中点C的速度大小。 （四）运动合成与分解的三类典型问题 1．渡河问题（多运动合成问题） （1）以最短时间过河（v船垂直于河岸） 渡河时间只由河宽，和船速在垂直于河岸方向的分速度大小决定， 而与船速在沿河流方向的分速度及水速无关。因而，当船速垂直于河岸 时，渡河时间最短，最短时间t＝d/v船。 ( v 船 ＞ v 水 ： v 合 垂直于河岸 v 船 ＜ v 水 ： 用辅助圆 分析 α v 合 v 合 )（2）以最短路程过河 ①v船＞v水时，船头斜向上游，v合垂直于河岸 ②v船＜v水时，v合不可能垂直于河岸，v合与河 岸夹角α最大时渡河路程最短，用辅助圆分析 【例8】如图所示，一条河流宽为d＝480m，水速恒为v水＝3.6m/s。一条小船从A点出发向对岸驶去，小船对静水的速度大小恒为v船＝6m/s。（作出以下三种情况下速度关系及运动轨迹示意图） （1）小船渡河的最短时间为 s，该情况下小船沿河岸方向位移为 m； （2）小船渡河的最短路程（对地）为 m，该情况下小船过河的时间为 s； （3）若水速恒为v′水＝7.5m/s，而船速仍为v船＝6m/s，则渡河的最短路程（对地）为 m。 ( A （1） A （ 2 ） A （ 3 ） ) ( M N P α α 甲 乙 )【例9】如图所示，甲、乙两条小船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d，M、 N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点正对岸 的P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果船对静水的划速均为v0，且两船相遇 不影响各自的航行。则下列判断正确的是（ ） A．水流方向向右，大小为v0cosα B．两船渡河时间相同，均为d/v0sinα C．甲船沿河流方向的位移为d/tanα D．甲、乙两船会在PN中点相遇 2．绳动问题（联动问题） ( v 0 v )（因绳长不变，因而绳上各点速度沿绳方向的分速度大小相同） 【例10】如图，汽车以速率v0水平向左做匀速直线运动，用绳子跨过定滑轮拉着 重物竖直上升，不计绳子和滑轮的质量及它们间的摩擦，则经图示位置时（ ） A．重物上升的速度v＝v0cosθ B．重物上升的速度v＝v0/cosθ C．绳的拉力等于重物的重力 D．绳的拉力大于重物的重力 ( a b v b v a θ )3．杆动问题（联动问题） （因杆长不变，因而杆上各点速度沿杆方向的分速度大小相同） 【例11】两根光滑直杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有一个小球a、b， 小球间用一直棒相连，如图。当直棒与竖直杆夹角为θ时，两小球的速度大小之比 va∶vb＝ 。 【例12】（2026年河北卷）某千斤顶的结构如图所示，四根等长杆由铰链相连。摇动手柄竖直抬升重物过程中，A、C两点的间距每秒均匀缩短2mm，当∠CAB＝45°时，下列说法正确的是（ ） A．A与C两点速度大小相等，方向相反 B．B点速度方向竖直向上，大小为2mm/s C．C点速度方向沿CB向上，大小为1mm/s D．A点相对C点的速度沿水平方向，大小为2mm/s 【作业】 班次 座次 姓名 1．下列关于对曲线运动的描述中正确的是（ ） A．可以是匀速率运动 B．一定是变速运动 C．可以是匀变速运动 D．加速度可保持为零 2．（2026年江苏卷）发射一颗探月卫星，其先后在两个轨道上分别经过M、N两点， 如图所示，关于卫星在M、N两点的情况，下列说法正确的是（ ） A．在N点所受地球引力比月球引力大 B．在N点所受地球引力和月球引力相等 C．在M点所受月球引力比地球引力大 D．在M点所受地球引力比月球引力大 3． ( A． B ． C ． D ． )（2023年江苏卷）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（ ） 4．某质点在xOy平面上运动，t＝0时刻位于坐标原点，在x方向上的 位移图像如甲所示，在y方向上运动的速度图像如乙所示。则（ ） A．质点的运动轨迹为直线 B．质点的加速度大小为3m/s2 C．t＝2s时刻，质点的速度大小为2m/s D．t＝2s时刻，质点的位置坐标为（6m，6m） ( O x y )5．一质点在xOy平面内运动的轨迹如图所示。下面关于分运动的判断正确的是（ ） A．若在x方向始终匀速运动，则在y方向先减速后加速运动 B．若在x方向始终匀速运动，则在y方向先加速后减速运动 C．若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直加速运动 D．若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直减速运动 6．（2025年湖南卷）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（ ） ( A B C D ) 7．如图所示的装置可将圆周运动转化为一条直线上的往复运动。连杆AB、 OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动。连杆OB长为R，AB长为L（L＞R）， 当OB杆以角速度ω沿逆时针方向匀速转动时，滑块便在水平横杆上左右滑动。 如图示状态，在滑块向左滑动过程中（ ） A．滑块先匀加速运动，后匀减速运动 B．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度最大 C．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为 D．当β＝90°时，滑块的速度大小为 8．一根细绳绕过定滑轮两端连着A和B两物体，A在外力作用下以速度vA向左 匀速运动，经图示位置（α＞β）时B的速度为vB，则（ ） A．vB＝vA B．物体B做匀速运动，但vB≠vA C．vBcosβ＝vAcosα D．经图示位置时B做减速运动 ( O P Q ) ( θ v )9．如图，轻杆的一端固定一个铁球P，另一端通过水平转动轴O连接在地面上，轻杆可在竖直平面内绕转动轴O无摩擦地转动；木块Q放置在光滑水平地面上。开始时，使P斜靠在Q的竖直右侧面上，用手控制Q使它们都静止。现释放Q，不计所有摩擦，在之后P与Q运动的过程中，下列说法正确的是（ ） A．P与Q分离前，杆上的弹力逐渐增大 B．P与Q分离前，P与Q的速度相等 C．P与Q分离前，Q的速度先增大后减小 D．P与Q分离时，P的加速度等于重力加速度 10．如图，一根细线将一个小球吊在天花板上。现用 一颗钉子靠在细线的左边贴着水平桌面以速度v匀速向右运动，当细线与天花板夹角为θ时，小球的速度大小为 。 ( v A v B B A )11．如图，将楔形木块B放在光滑水平面上靠墙边处并用手扶着，然后在 木块和墙面之间放入一个小球A，楔形木块的倾角为θ，放手让小球和木块同 时由静止开始运动，某时刻二者速度分别为vA和vB，则vA:vB＝ 。 ( a y / m · s -2 t / s 1 2 3 2 O 2 a x / m · s -2 1 2 3 O t / s O 2 1 3 4 5 6 1 2 3 4 x/m y/m )12．水平面内有一个平面直角坐标系xOy，一个物 体原来位于原点O处。物体从t＝0时刻起开始运动， 它沿x轴和y轴的分加速度ax、ay随时间t变化的规律 如图所示。求t＝3s时刻该物体的瞬时速度大小v3，并 把物体的运动轨迹画在如图的坐标系内。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 曲 线 运 动 §4.1 曲线运动 运动的合成与分解 （一）物体做曲线运动的条件 1．物体做曲线运动的条件： ①动力学条件：物体所受合外力方向与其速度方向不共线（且合外力指向曲线轨迹的内侧，即凹面） ②运动学条件：物体的加速度方向与其速度方向不共线（且加速度指向曲线轨迹的内侧，即凹面） 【例1】一物体在两垂直恒力F1、F2作用下由静止开始运动一段时间后撤去F2，则此后的运动情况可能是（ ） A．匀变速曲线运动 B．变加速曲线运动 C．匀速直线运动 D．沿F1方向的匀加速直线运动 ( F 1 F 2 F 1 v F O P Q )【答案】A 【解析】 如右图所示，物体从O点开始做匀加速直线运动到达P点时撤去F2，此时具有速度v 物体沿曲线PQ做曲线运动，轨迹与速度v相切，向力F1的方向转弯 因撤去F2后，剩下的力F1为恒力，产生恒定的加速度，所以做匀变速曲线运动 选项A正确 2．物体受力情况与运动形式的关系总结： ①ΣF外＝0：匀速直线运动（或静止） ②ΣF外≠0，且ΣF外与v方向共线（平行）：变速直线运动 ③ΣF外≠0，且ΣF外与v方向不共线（不平行）：曲线运动 ( A B )【例2】（上海高考题）如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A， 小车下装有吊着物体B的吊钩。在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动 的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d＝H－2t2（SI）（SI表示国际单位 制，式中H为吊臂离地面的高度）规律变化，则物体做（ ） A．速度大小不变的曲线运动 B．速度大小增加的曲线运动 C．加速度大小方向均不变的曲线运动 D．加速度大小方向均变化的曲线运动 ( A B 匀加速 匀速 物体做类平抛运动 )【答案】BC 【解析】 水平方向：匀速运动 竖直方向：初速度为0的匀加速运动，加速度为4m/s2 物体向左上方做类平抛运动，轨迹为向上弯曲的抛物线 AB：物体的水平速度不变，竖直速度逐渐增大，合速度逐渐增大，选项A错B对 CD：水平方向无加速度，竖直方向有恒定的向上的加速度，大小为4m/s2 所以，物体总的加速度大小方向均不变，做匀变速曲线运动，选项C对D错 （二）曲线运动的速度（指瞬时速度） 1．曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向 【例3】一个小球先竖直下落一段时间，然后受到恒定的水平向右的风力作用。取向右为x轴正方向，向下为y轴正方向，那么，小球受到风力作用以后的运动轨迹可能是（ ） ( A． B． C． D． O x y O y x O y x O y x ) 【答案】B 【解析】 先竖直下落，获得竖直向下的速度 受到水平向右的风力后，因小球具有惯性，向下的速度方向不突变，轨迹与此时的速度相切向右平滑转弯，选项A与C错误 另一方面，小球受向下的重力和向右的风力作用，没有向上的力，在以后的运动中，不可能返回向上运动 所以，选项B正确，选项D错误 2．曲线运动的速度方向时刻改变，因而，所有的曲线运动都是变速运动 3．物体运动只能平滑转弯，轨迹上不出现尖角 （三）运动的合成与分解 1．运动的合成 【例4】有关两个直线运动的合运动的类型，以下说法正确的是（ ） A．两个直线运动的合运动一定是直线运动 B．两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动 C．两个不在同一直线上的初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动 D．一个匀加速直线运动和另一个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是曲线运动 【答案】BCD 【解析】 A：任意一个曲线运动都可分解为两个方向上的直线运动 反之，两个方向上的直线运动的合运动可以是曲线运动，选项A错误 B：匀速直线运动的速度大小和方向都不变，则两个匀速直线运动的合速度大小和方向也都不变 所以它们的合运动一定是匀速直线运动，选项B正确 C：两个直线运动初速度都为0，则初速度的合速度也为0 两个匀加速运动的加速度大小和方向都不变，它们的合加速度大小和方向也都不变 ( v 1 v 2 v a 1 )初速为0、加速度大小方向都恒定的运动是匀加速直线运动，选项C正确 D：如右图所示，一个匀加速直线运动（v1、a1）与另一个匀速直线运动（v2）合成 合速度v与合加速度a1必然不是同方向，所以一定是曲线运动，选项D正确 （加速度恒定，为匀变速曲线运动，轨迹为抛物线） ▲判定两个直线运动的合运动是直线还是曲线运动的方法： 看合加速度方向与合速度方向是否共线。若共线，则为直线运动；若不共线，则为曲线运动。 【例5】（2014年四川卷）有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河，小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ( 水 )设河宽为，船对静水的速度为 去程时间，回程时间 据题意，，选项B正确 【例6】质量为5kg的质点在xOy平面内运动，t＝0时刻质点位于坐标原点，在x方向的速度−时间图像和y方向的位移−时间图像如图所示，下列说法中正确的是（ ） A．质点的初速度大小为3m/s B．质点所受的合外力大小为7.5N，做匀变速曲线运动 C．4s末质点速度大小为9m/s D．4s内质点的位移大小28m 【答案】B 【解析】 x方向做匀加速运动，初速度，加速度 y方向做匀速运动，速度 A：质点的初速度，选项A错误 B：质点的加速度，则所受的合外力 加速度（合外力）大小方向均恒定，且与合速度方向不共线（平行），质点做匀变速曲线运动，选项B正确 C：t＝4s末，x方向的速度 则质点的速度，选项C错误 D：t＝4s内，x方向的位移 y方向的位移 则质点的位移，选项D错误 2．运动的分解 运动分解法是解答曲线运动问题的基本方法。 对曲线运动进行分解，一般用正交分解法。应用中一般又有以下三种： ①“水平—竖直”分解法：主要用于分析抛体或类似于抛体的运动，即运动轨迹为抛物线的运动 ②“平行—垂直”分解法：主要用于分析与斜面相关的运动，如从斜面上平抛的运动 ③“切向—法向”分解法：主要用于分析圆周运动（法向：沿轨迹半径方向） ▲特别注意：对于一个运动的物体，我们实际看到的运动都是合运动，也就是说，真实的运动是合运动，进行运动分解时，只能将真实的运动分解，因而首先必须弄清物体的真实运动。 ( A v C B 60 ° )【例7】如图所示，一根长为l的直杆AB靠在竖直墙角处，其下端B以速度v匀速 向右远离墙壁，求当直杆与水平地面间的夹角θ＝60°时，杆的中点C的速度大小。 【答案】 ( A v C B 60 ° v C O )【解析】 方法1：C点到墙角的距离恒为，可知C点绕O点做圆周运动，速度vC垂直于OC θ＝60°时vC与水平方向成30°角 因C点到墙的距离总为B点到墙的距离的一半，则 ( v C O A v C B 60 ° ) 方法2：C点到墙角的距离恒为，可知C点绕O点做圆周运动，速度vC垂直于OC θ＝60°时vC与直杆成30°角 因杆长不变，则C点与B点在沿杆方向的分速度相等，即 方法3：若未分析出C点做圆周运动，则事先不能确定vC的方向 ( v C O A v C B 60 ° v A v /2 v A /2 )可以按这种思路求解： 先利用杆长不变，A、B两端沿杆方向分速度相等，求得A端速度： 再利用C点在水平、竖直方向的运动与B端、A端的关系求得C点的水平、竖直速度： C点的水平速度等于B端速度的一半： C点的竖直速度等于A端速度的一半： 最后将C点的水平、竖直速度合成，得C点的速度： （四）运动合成与分解的三类典型问题 1．渡河问题（多运动合成问题） （1）以最短时间过河（v船垂直于河岸） 渡河时间只由河宽，和船速在垂直于河岸方向的分速度大小决定， 而与船速在沿河流方向的分速度及水速无关。因而，当船速垂直于河岸 时，渡河时间最短，最短时间t＝d/v船。 ( v 船 ＞ v 水 ： v 合 垂直于河岸 v 船 ＜ v 水 ： 用辅助圆 分析 α v 合 v 合 )（2）以最短路程过河 ①v船＞v水时，船头斜向上游，v合垂直于河岸 ②v船＜v水时，v合不可能垂直于河岸，v合与河 岸夹角α最大时渡河路程最短，用辅助圆分析 【例8】如图所示，一条河流宽为d＝480m，水速恒为v水＝3.6m/s。一条小船从A点出发向对岸驶去，小船对静水的速度大小恒为v船＝6m/s。（作出以下三种情况下速度关系及运动轨迹示意图） （1）小船渡河的最短时间为 s，该情况下小船沿河岸方向位移为 m； （2）小船渡河的最短路程（对地）为 m，该情况下小船过河的时间为 s； （3）若水速恒为v′水＝7.5m/s，而船速仍为v船＝6m/s，则渡河的最短路程（对地）为 m。 ( A （1） A （ 2 ） A （ 3 ） ) 【答案】（1）80，288；（2）480，100；（3）600 【解析】 （1）当v船垂直于河岸时渡河时间最短，最短时间 ( A （1） A （ 2 ） A （ 3 ） v 3 v 水 v 水 v ′ 水 v 船 v 船 v 船 v 1 v 2 B C θ θ )小船沿河岸方向的位移 （2）当船速斜向上游，合速度垂直于河岸时渡河路程最短，最短的路程 此时小船的实际速度 则过河时间 （3）v′水＞v船，小船的合速度不可能垂直于河岸，当合速度方向与河岸夹角最大时渡河路程最短 如图所示，以v′水矢量的末端为圆心、以v船的大小为半径画圆弧，从v′水矢量的起点向圆弧作切线 该切线方向即为渡河路程最短时小船的速度v3的方向 △ABC与力的矢量三角形相似，对应力成比例，有 ( M N P α α 甲 乙 )【例9】如图所示，甲、乙两条小船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d，M、 N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点正对岸 的P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果船对静水的划速均为v0，且两船相遇 不影响各自的航行。则下列判断正确的是（ ） A．水流方向向右，大小为v0cosα B．两船渡河时间相同，均为d/v0sinα C．甲船沿河流方向的位移为d/tanα D．甲、乙两船会在PN中点相遇 【答案】ABD 【解析】 ( M N P v 0 v 0 v 水 v 水 Q O d 乙 甲 α α M ' )将两船船速沿垂直于河岸和平行于河岸方向正交分解，如图所示 A：乙船正好能到达正对岸的P点 则其船速沿河岸方向的分速度与水速等大反向，，选项A正确 B：渡河时间与水速无关，只由船速垂直于河岸方向的分速度决定 两船船速垂直于河岸方向的分速度大小相等，均为 则两船渡河时间相等，且都为，选项B正确 C：甲船沿河流方向的位移，选项C错误 D：图中，则 由几何关系可得，甲船的航线MQ与乙船的航线NP交于它们的中点O 且由于两船船速沿垂直于河岸方向的分速度相同，两船将同时到达O点，即在PN的中点O相遇，选项D正确 ( v 0 v )2．绳动问题（联动问题） （因绳长不变，因而绳上各点速度沿绳方向的分速度大小相同） 【例10】如图，汽车以速率v0水平向左做匀速直线运动，用绳子跨过定滑轮拉着 重物竖直上升，不计绳子和滑轮的质量及它们间的摩擦，则经图示位置时（ ） A．重物上升的速度v＝v0cosθ B．重物上升的速度v＝v0/cosθ C．绳的拉力等于重物的重力 D．绳的拉力大于重物的重力 【答案】AD 【解析】 ( v 0 v v 0 v θ )如右图所示，取绳子连接汽车的端点为研究对象 将其水平向左的速度v0沿绳子伸长的方向和垂直于绳子方向（绳子转动）正交分解 AB：因绳长不变，则重物上升速度，选项A正确，B错误 CD：汽车向左拉的过程中变小（），由余弦函数的增减性可得增大 重物向上加速，处于超重状态，绳的拉力大于重物的重力，选项C错误，D正确 ( a b v b v a θ )3．杆动问题（联动问题） （因杆长不变，因而杆上各点速度沿杆方向的分速度大小相同） 【例11】两根光滑直杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有一个小球a、b， 小球间用一直棒相连，如图。当直棒与竖直杆夹角为θ时，两小球的速度大小之比 va∶vb＝ 。 ( b v b a v a θ θ )【答案】sinθ∶cosθ（或tanθ∶1） 【解析】 如图所示，因杆长不变，则两球速度在沿杆方向的分速度相同，即 【例12】（2026年河北卷）某千斤顶的结构如图所示，四根等长杆由铰链相连。摇动手柄竖直抬升重物过程中，A、C两点的间距每秒均匀缩短2mm，当∠CAB＝45°时，下列说法正确的是（ ） A．A与C两点速度大小相等，方向相反 B．B点速度方向竖直向上，大小为2mm/s C．C点速度方向沿CB向上，大小为1mm/s D．A点相对C点的速度沿水平方向，大小为2mm/s 【答案】BD ( A B C D v A v 1 =v A v 2 v B v x v x v C v y v y )【解析】 A：因D点位置不动，A点与C点均以D点为圆心做反方向的圆周运动 杆DA的端点A的速度vA与杆DA垂直，也就是沿杆AB方向 杆DC的端点C的速度vC与杆DC垂直，也就是沿杆CB方向 根据对称性，A与C两点速度大小相等，但方向垂直，选项A错误 B：四根杆构成对称装置，B点处在对称轴上，其速度方向必定竖直向上 A、C两点的间距每秒均匀缩短2mm，则A、C两点的水平速度大小均为 取A点分析，其真实速度vA产生两个运动效果： 水平向右运动，速度；竖直向上运动，速度设为 ∠CAB＝45°时， 再取B点分析，其真实速度vB产生两个运动效果： 一是沿杆AB方向向上伸长，速度；二是使杆AB沿逆时针方向转动，转动速度设为v2 由几何关系易得，选项B正确 C：由对称性，得C点速度vC方向沿CB向上，大小，选项C错误 D：A、C两点竖直方向的速度vy大小相等，方向相同，抵消；水平方向的速度vx大小相等，方向相反 ( v A - v C v A 对 C )所以A点相对C点的速度沿水平方向，大小为，选项D正确 或：以C为参考系，A具有速度vA和-vC，它们大小相等方向垂直 则A相对于C的速度，选项D正确 【作业】 班次 座次 姓名 1．下列关于对曲线运动的描述中正确的是（ ） A．可以是匀速率运动 B．一定是变速运动 C．可以是匀变速运动 D．加速度可保持为零 【答案】ABC 2．（2026年江苏卷）发射一颗探月卫星，其先后在两个轨道上分别经过M、N两点， 如图所示，关于卫星在M、N两点的情况，下列说法正确的是（ ） A．在N点所受地球引力比月球引力大 B．在N点所受地球引力和月球引力相等 C．在M点所受月球引力比地球引力大 D．在M点所受地球引力比月球引力大 【答案】D 【解析】 物体做曲线运动，合外力指向曲线轨迹的内侧（凹面）用以提供向心力，据此可知： 经M点时卫星受地球引力和月球引力的合力指向地球，即地球引力大于月球引力，选项C错误，D正确 经N点时卫星受地球引力和月球引力的合力指向月球，即地球引力小于月球引力，选项A错误，B错误 ( A． B ． C ． D ． )3．（2023年江苏卷）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（ ） 【答案】D 【解析】 方法1：网上搜到的解析，看不懂，也理解不了，写法也存在错误 罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间内水平方向增加量 竖直方向做在自由落体运动，在时间增加 说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定，则连线的倾角就是一定的 ( P （ x ， y ） v=at a O x y t T-t )方法2：函数关系式推导法 如图建立竖直平面内的直角坐标系 为简便，设想罐子从坐标原点由静止开始以加速度沿x轴正方向运动 经时间漏出的沙子，经时间（＞）到达的位置P坐标设为（x，y），则 （1） （2） （2），代入（1）整理得 随按一次函数关系变化，图像为倾斜的直线，选项D正确 ( a O x y x 0 3 x 0 4 x 0 y 0 4 y 0 t 0 t 0 3 1 2 )方法3：特值验证法 假设罐子从坐标原点由静止开始以加速度沿x轴正方向做匀加速直线运动 现讨论经时间时刻，之前漏下的各沙子在空中的排列情况 时刻由坐标原点漏下的第1颗沙子做自由落体运动，到时刻 水平位移，竖直位移 时刻漏下的第2颗沙子，到时刻 水平位移，竖直位移 时刻漏下的第3颗沙子，到时刻刚好漏下 水平位移，竖直位移 令， 则时刻，第1、第2、第3颗沙子到达的点的坐标依次为（，）、（，）、（，） ( a O x y t 0 t 0 Q v P Q ' x 0 y 0 v 沙 罐 θ 1 2 )由几何关系易得时刻，上述三颗沙子排成一条直线，选项D正确 方法4：逆向思维+相对运动法 如图所示（罐子本来在轴上运动，为了观察方便，将其运动路径画到轴上方） 设某时刻罐子运动到轴上的Q点，此时刻漏出的沙子2也处在Q点 从该时刻往前推时间，罐子于P点漏出沙子1 设罐子到达Q点时，沙子2到达Q'点 ①水平方向：漏出时沙子1与罐子具有相同的速度v，不予考虑 此后，沙子匀速，罐子匀加速，经时间，罐子多走的水平距离 ②竖直方向：沙子经时间下落的高度 Q与Q'的连线与水平方向的夹角设为，则 由此可见角为定值，即之前不同时刻漏出的沙子在同一时刻所在位置处在同一条直线上，选项D正确 4．某质点在xOy平面上运动，t＝0时刻位于坐标原点，在x方向上的 位移图像如甲所示，在y方向上运动的速度图像如乙所示。则（ ） A．质点的运动轨迹为直线 B．质点的加速度大小为3m/s2 C．t＝2s时刻，质点的速度大小为2m/s D．t＝2s时刻，质点的位置坐标为（6m，6m） 【答案】BD 【解析】 由图甲知，质点在x方向做匀速运动，速度 由图乙知，质点在y方向做初速为0的匀加速运动，加速度 因而可知质点做类平抛运动，轨迹为抛物线，选项A错误，B正确 t＝2s时刻，y方向的速度，则质点的速度大小，选项C错误 t＝2s时刻，由图甲得，而，质点位置坐为（6m，6m），选项D正确 ( O x y )5．一质点在xOy平面内运动的轨迹如图所示.下面关于分运动的判断正确的是（ ） A．若在x方向始终匀速运动，则在y方向先减速后加速运动 B．若在x方向始终匀速运动，则在y方向先加速后减速运动 C．若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直加速运动 D．若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直减速运动 【答案】A ( O x y y 1 y 2 y 4 y 3 y 5 )【解析】作图法 AB：若在x方向始终匀速运动，取每一段时间相同，则x方向每一段位移相同 由图可见，在每一段相同时间内，y方向位移先减小后增大 所以，y方向先减速后加速，选项A正确，B错误 CD：用上述类似的方法（图略），得x方向先加速后减速，选项C与D均错误 ( A B C D )6．（2025年湖南卷）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（ ） 【答案】C 【解析】 根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为v0，加速度为大小a，斜面倾角为θ AB：物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度，加速度大小 由 可知，图像为类似抛物线的一部分，故选项A与B错误 CD：物块在竖直方向上做匀减速直线运动，初速度，加速度大小 由 可知，图像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误 7．如图所示的装置可将圆周运动转化为一条直线上的往复运动。连杆AB、 OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动。连杆OB长为R，AB长为L（L＞R）， 当OB杆以角速度ω沿逆时针方向匀速转动时，滑块便在水平横杆上左右滑动。 如图示状态，在滑块向左滑动过程中（ ） A．滑块先匀加速运动，后匀减速运动 B．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度最大 C．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为 D．当β＝90°时，滑块的速度大小为 【答案】D 8．一根细绳绕过定滑轮两端连着A和B两物体，A在外力作用下以速度vA向左 匀速运动，经图示位置（α＞β）时B的速度为vB，则（ ） A．vB＝vA B．物体B做匀速运动，但vB≠vA C．vBcosβ＝vAcosα D．经图示位置时B做减速运动 【答案】C 【解析】 ( v A v B α )C：因绳长不变，A和B的速度沿绳子方向的分速度大小相等，则vBcosβ＝vAcosα，选项C正确 A：由vBcosβ＝vAcosα得，α＞β，则，选项A错误 BD：运动过程中α减小，β增大，则增大，减小 由知增大，物体B做加速运动，不是匀速运动，选项B错误，D错误 ( O P Q )9．如图，轻杆的一端固定一个铁球P，另一端通过水平转动轴O连接在地面上，轻杆可在竖直平面内绕转动轴O无摩擦地转动；木块Q放置在光滑水平地面上。开始时，使P斜靠在Q的竖直右侧面上，用手控制Q使它们都静止。现释放Q，不计所有摩擦，在之后P与Q运动的过程中，下列说法正确的是（ ） A．P与Q分离前，杆上的弹力逐渐增大 B．P与Q分离前，P与Q的速度相等 C．P与Q分离前，Q的速度先增大后减小 D．P与Q分离时，P的加速度等于重力加速度 【答案】D 【解析】 ( O P Q v Q v P )A：P与Q分离前，P、Q之间存在弹力作用，杆内产生的弹力为向外的推力 P、Q之间的弹力必须变为0两物体才会分离，此时杆内的弹力也变为0 所以杆内弹力是减小的，选项A错误 B：P与Q分离前，它们的水平速度相等 但P以O点为圆心做圆周运动，，如右图所示，选项B错误 C：P与Q分离前，P、Q之间存在弹力作用，Q受P向左的弹力，一直向左加速，选项C错误 D：P与Q分离时，P、Q之间的弹力为0，杆内的弹力也为0，P只受重力作用，产生重力加速度，选项D正确 ( θ v ) 10．如图，一根细线将一个小球吊在天花板上。现用一颗钉子靠在细线的左边贴着水平桌面 以速度v匀速向右运动，当细线与天花板夹角为θ时，小球的速度大小为 。 【答案】 ( θ v θ v 1 v 2 v 2 v v 球 )【解析】 先分析钉子运动，钉子带动绳子运动产生两个效果： 一是使上段绳子伸长，伸长速度；二是使上段绳子转动 再分析小球运动，因绳子总长不变，则下段绳子向上缩短的速度也为 而下段绳子总是竖直的，则小球和钉子还具有相同的水平速度 所以，小球的速度大小 ( v A v B B A )11．如图，将楔形木块B放在光滑水平面上靠墙边处并用手扶着，然后在 木块和墙面之间放入一个小球A，楔形木块的倾角为θ，放手让小球和木块同 时由静止开始运动，某时刻二者速度分别为vA和vB，则vA:vB＝ 。 【答案】tanθ∶1 【解析】 方法1：不分离条件分析法 ( v A v B v ⊥ v ⊥ B A )小球贴着斜面运动，球心到斜面的距离等于小球半径保持不变 则小球的速度和木块的速度垂直于斜面的分速度相同，即 ( v A v B -v B v A 对 B B A )方法2：相对运动分析法 将木块B视为静止，则球A沿斜面运动 所以球相对于斜面的速度平行于斜面向下，如图所示 ( B A v A v B -v A v B 对 A θ )则 或：将球A视为静止，木块B相对于A平行于斜面斜向上运动 （略） ( a y / m · s -2 t / s 1 2 3 2 O 2 a x / m · s -2 1 2 3 O t / s O 2 1 3 4 5 6 1 2 3 4 x/m y/m ) 12．水平面内有一个平面直角坐标系xOy，一个物 体原来位于原点O处。物体从t＝0时刻起开始运动， 它沿x轴和y轴的分加速度ax、ay随时间t变化的规律 如图所示。求t＝3s时刻该物体的瞬时速度大小v3，并 把物体的运动轨迹画在如图的坐标系内。 【答案】 ( 0 1 2 3 t/s v x /m · s -1 2 4 0 1 2 3 t/s v y /m · s -1 4 )【解析】 （1）求速度v3 根据x轴和y轴方向的加速度图像，分别作出速度图像如右图 据加速度或速度图像，均可求得t＝3s时刻： ( O 2 1 3 4 5 6 1 2 3 4 x/m y/m )x方向的速度，y方向的速度 则 也可以不作速度图像，直接用a－t图线与t所夹面积表示速度变化得到 （2）画轨迹 0～1s：沿x方向做初速度为0的匀加速运动，位移 获得的速度 1～2s：x方向做匀速运动，位移，速度仍为 y方向做初速度为0的匀加速运动，位移，获得的速度 合起来为类平抛运动 末速度方向与x轴、y轴方向均成45°角 合加速度方向也与x轴、y轴方向均成45°角 速度方向与加速度方向相同，所以此后物体做匀加速直线运动 2～3s：物体沿坐标格的对角线方向做匀加速直线运动，可求得x轴、y轴方向的位移均为3m 据此可作出物体运动轨迹如右图所示 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $