2026-2027学年高三数学上学期第一次月考自编模拟卷（广东省广州市适用）

**基本信息** 2026-2027学年广州高三数学月考模拟卷，以函数、几何、概率等模块为核心，融入波利亚罐子模型、曲率新定义等真实情境与创新内容，考查数学抽象、逻辑推理及模型应用能力，适配高三一轮复习诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、函数性质、向量投影、椭圆离心率|第8题摸球概率结合期望计算，考查数学思维严谨性| |填空题|3题/15分|相关系数、立体几何翻折外接球、数列与向量综合|第14题以平行四边形为载体，融合数列递推与向量运算| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何面面垂直证明、概率模型应用、解析几何探究、导数与曲率|第17题波利亚罐子模型体现数学建模，第19题曲率新定义考查创新意识与运算能力|

2026-2027学年高三数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，按交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 3．已知，则（      ） A．2 B．4 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则，以及复数相等的充要条件，求得的值，进而求得的值. 【详解】由，可得， 所以. 4．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，得， 可得， 则向量在向量上的投影向量为. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式以及余弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】因为 ， 又，所以， 所以. 6．定义在上的函数满足：，且，则的值为（    ） A．47 B． C．49 D． 【答案】D 【分析】先分析的取值进而通过与的关系解出答案. 【详解】令，则有恒成立，且有，所以； 令，则， 所以，且有，所以， 所以. 7．设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，在和中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 8．甲袋中有2个红球，4个白球，乙袋中有3个红球，3个白球，这些球形状大小完全相同．先从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，接着再从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，这样依次摸球，连续摸出2个红球停止摸球，最多摸球6次．记停止摸球时摸球次数为，则的数学期望（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要求第次连续红球且前面不能提前终止，为前 5 次无连续红球，利用对立事件求概率，再套期望公式计算. 【详解】由题，，摸球顺序：1 甲，2 乙，3 甲，4 乙，5 甲，6 乙. 停止条件：都红→，此时； 否则看都红→，此时1白2红3红，； 否则看都红→，此时为2白3红4红，； 否则看都红→，此时为3白4红5红，且未发生，即前两次不能是1红2红， ，则； 否则看都红，此时均未发生， 则； 期望. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．的最大值是 C．的一条对称轴为 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】BCD 【分析】先利用三角恒等变换化简，再结合正弦函数的单调性、最值、对称轴和图象平移规律逐项判断即可。 【详解】， 对于A：，单调递增区间应满足， 解得，所以单调递增区间为， 因为不完全在增区间内，故A错误； 对于B：，当取到最大值时，函数取最大值为，故B正确； 对于C：，此时取到了的最大值，所以函数的一条对称轴为，故C正确； 对于D：的图象向左平移个单位长度，得，故D正确. 10．已知实数，，满足且，则下列结论正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．的最大值为 D．的取值范围为 【答案】ABC 【分析】利用完全平方公式求出，把代入条件，将看作一元二次方程两根，借助判别式求的范围；构造函数研究的最值与范围，逐一判断选项. 【详解】对于A，已知，由， 代入得：，所以，A正确； 对于B，由，得， 于是可以看作方程的两根， 所以，解得，所以B正确； 对于C，，记，， ，令，解得， 所以时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 因为，， 所以或时取最大值，为，所以的最大值为，C正确； 对于D，， 因为，所以， 因为的最大值为，所以的最大值是，取不到，所以D错误. 11．如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱BC，CD的中点，动点Q在该正方体表面（底面ABCD以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面BOD截该正方体所得截面的面积为 B．点Q的轨迹长度为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．三棱锥的体积的最大值为2 【答案】BD 【分析】根据平面截该正方体所得截面为，面积为，得A错误；分别取的中点，由平面平面，得点的轨迹长度为，B正确；由平面平面可知，点到平面的距离为定值，取点在点的位置，利用等积法求得点到平面的距离为，设直线与平面所成角为，根据，当点为线段的中点时，取得最小值，取得最大值，最大值为，得C错误；根据点到平面的距离最大时，三棱锥的体积取得最大值，得三棱锥体积的最大值为2，D正确． 【详解】对于A，如图，延长，与交于点，连接， 所以平面截该正方体所得截面为，易知是边长为的正三角形，其面积，故A错误； 对于B，分别取的中点，连接， 则六边形为正六边形， 因为分别为棱的中点，所以∥，又平面，平面， 所以∥平面， 因为∥，∥，所以， 又平面，平面，所以∥平面， 因为，所以平面平面， 则点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，由平面平面可知，点到平面的距离为定值， 不妨取点在点的位置，设点到平面的距离为， ， 得，即=，解得， 设直线与平面所成角为，则， 当点运动到线段的中点时，取得最小值，取得最大值，此时易得， 则直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故C错误； 对于D，因为∥，∥，所以∥， 又平面，平面，所以∥平面， 要使三棱锥的体积取得最大值，则点到平面的距离最大， 易知当点在上运动时，点到平面的距离最大，不妨取点与点重合， 设，连接，显然， 由于，易得，，， 则，所以， 又，平面，所以平面， 所以三棱锥体积的最大值为，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若一组成对数据（，2，…，n）的相关系数，则数据（，2，…，n）的相关系数为__________．（相关系数的计算公式为，其中，） 【答案】 【分析】根据题目给出的相关系数计算公式，将因变量扩大2倍后的新变量代入公式化简，即可求得新的相关系数. 【详解】设新成对数据为，其中，, 因此，, 设新数据的相关系数为， 所以 ， 故所求相关系数为. 13．如图1，在中，，，是线段的中点．将沿所在直线翻折得到三棱锥，如图2．若，则三棱锥外接球的体积为________． 【答案】 【分析】由条件可知是等腰直角三角形，再由翻折的不变性得、、三条线段两两垂直，长度均为，因此可将三棱锥补形成一个棱长为的正方体，再求正方体的外接球的体积可得. 【详解】在图1的中： 由​，，可得， 即是等腰直角三角形， 又因为是中点，因此，且. 因为翻折后长度不变：，仍满足，. 因为，即，结合，， 可知、、三条线段两两垂直，长度均为. 因此可将三棱锥补形成一个棱长为的正方体， 该正方体的外接球与三棱锥的外接球完全相同，如图： 正方体的体对角线就是外接球的直径： ​，得外接球半径. 由球体积公式， 因此三棱锥外接球的体积为. 14．已知平行四边形，点为边的一点，且，点是射线上一动点，又数列满足，恒有，记的前项和为，则________． 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理得到数列递推关系式，通过构造等差数列求出数列通项，再使用错位相减法求数列前项和. 【详解】在平行四边形中，且， 所以， 因为点是射线上一动点， 所以存在，使得， 又因为， 所以， 消去得，整理得， 两边同时除以得， 设，则，即，为等差数列， 所以， 所以， ①   ② 得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在中，角，，的对边分别为，，．已知．    (1)求； (2)若的长为，求的取值范围． (3)若为线段延长线上一点，且，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换化简求值； （2）用正弦定理边化角，再根据三角函数的性质求取值范围； （3）设，在和中用正弦定理，结合，代入角度关系化简，再利用三角恒等变换，将等式转化为关于的方程，求解. 【详解】（1）正弦定理可得：， 即， 故，则有， 又，， 故有或（舍去），或（舍去）， 则，又，所以； （2）由正弦定理得， 故 在三角形中， 所以的范围为 （3）设，在和中， 由正弦定理可得，， 于是，又， 则，， ． 16．（15分） 如图1，五边形中，，，，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求长． 【答案】(1)由平面平面，且平面，平面平面，，则平面， 又平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理可得平面，进而根据面面垂直的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出平面的法向量，进而根据向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作于点，则结合（1）得，，两两垂直， 则以为原点，直线，，的平行线为，，轴建立如图空间直角坐标系， 在中，由，，则， 则在中，得， 设，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以， 所以，解得，即， 所以长为． 17．（15分） 波利亚罐子模型为经典随机过程模型，抽样后增补同类样本，可体现概率正反馈效应，多用于算法、社会统计领域.某短视频平台为用户初始推送3条科技类视频、2条生活类视频，平台更新推荐池规则如下：用户每次随机点击观看1条视频后，平台将该视频保留在推荐池，同时额外新增1条同类型视频加入推荐池.设第次点击更新后，推荐池中科技类视频的数量为. (1)求的数学期望与方差； (2)求（其中，，…；或）； (3)若，求数列的通项公式. 【答案】(1)，； (2)若，；若，； (3) 【分析】（1）第一次点击后科技类数量只可能为3或4，分别对应点击生活类或科技类，由古典概型求概率，再算期望与方差； （2）第次更新后总数为 ，科技类数量为 ，下一次若点击科技类则科技类数量加1，若点击生活类则不变，条件概率分别为两类数量占总数的比例； （3）意味着前次全点生活类，由全概率公式得递推，累乘化简得通项. 【详解】（1）初始推荐池共条视频，第一次点击后， 若点击生活类，科技类数量不变，则，概率​； 若点击科技类，新增1条科技类，则，概率. 期望 方差. （2）第次更新后，推荐池总视频数为初始条加次新增共条，说明科技类条，生活类条. 若，即第次点击科技类，新增1条科技类，故；​ 若，即第次点击生活类，科技类数量不变，故​. （3）意味着前次点击全为生活类（只要点击1次科技类，），因此只有时才可能， 由全概率公式得递推， 代入（2）的结论得，初始值， 累乘得， 因此数列的通项公式为. 18．（17分） 过单位圆上的动点作与轴垂直并相交于点，动点满足，动点的轨迹是焦距为的椭圆． (1)求的值； (2)过轴正半轴上的一点作两条互相垂直的直线与椭圆分别相切于点，，求的面积； (3)设椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，是椭圆上的动点，直线，与轴分别相交于点，直线与交于点，设，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明：由椭圆的方程为，知，，，， 设，直线的斜率为，直线的斜率为，     则直线的方程为，令，得， 则直线的方程为，令，得，     由直线的斜率为：，所以直线的方程为，② 又直线的斜率为：，所以直线的方程为，③     ②③两式相乘得：，即为直线与交于点的轨迹方程， 因为点在椭圆C上，所以，即，     所以， 又因为点的坐标为且在上， 所以，即为定值．     【分析】（1）设点的坐标，根据得出相应坐标的关系式，然后利用点在圆上结合已知得出椭圆中的，最后利用椭圆的性质建立方程求解即可； （2）由（1）得出椭圆的方程，以及是等腰直角三角形，设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，求出相应的参数，从而得出三角形相应的边长，最后利用三角形的面积公式计算即可； （3）设，直线的斜率为，得出直线与直线的方程，令，得的坐标，从而得出直线与直线的方程，进一步得出点的轨迹方程，结合条件将点的坐标代入方程中化简即可得出为定值． 【详解】（1）设，依题意知， 由， 因为，所以，所以，    因为点在圆上， 所以点的轨迹方程为：，    由，所以， 所以动点的轨迹是焦点在轴，焦距为的椭圆， 由，所以， 又，解得或（舍去）． （2）由，则，所以椭圆的方程为， 依题意知是等腰直角三角形，不妨设直线的方程为，   代入椭圆的方程，整理得，① 由，解得：，从而得出， 代入①得：，解得， 则的斜边长为，   设直线与轴交于点，则, 所以的面积． （3）略. 19．（17分） 曲线的曲率是指曲线上某点处的切线方向角对弧长的转动率，常用来刻画曲线的弯曲程度．曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．光滑连续的曲线在点处的曲率的计算公式为，其中为的导函数，为的导函数． (1)求曲线在点处的曲率； (2)设函数，若在点、处的曲率均为． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】(1) (2)（i） （ii）构造函数，其中，则， 由可得，即函数在上单调递减， 由可得，即函数在上单调递增， 所以，故，即， 令，其中，则， 由可得，即函数在上单调递增， 由可得，即函数在上单调递减， 所以，即，即， 由（ⅰ）知，所以，所以， 又，，不妨设，则， 所以， 即， 又由知，所以， 所以，所以. 【分析】（1）利用曲率的定义计算即可； （2）（i）利用曲率的定义可知函数有两个零点，令，，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （ii）证明出，，根据可得出，可得出，再结合，，以及以及不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】（1）因为，则，， 所以，所以当时，． 另解：，， 所以. （2）（ⅰ）因为， 所以， 所以， 因为在两个不同的点处曲率为， 所以在内有两个不同的实数解， 即有两个不同的正零点． 令，因为， 所以在上单调递增，且值域为， 所以有两个大于的实数解， 等价于有两个不同的实数解． 令，则，令得， 当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减. 所以， 又因为当时，；当时，，如下图所示， 由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为． （ⅱ）略. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（      ） A．2 B．4 C．12 D．16 4．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．定义在上的函数满足：，且，则的值为（    ） A．47 B． C．49 D． 7．设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．甲袋中有2个红球，4个白球，乙袋中有3个红球，3个白球，这些球形状大小完全相同．先从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，接着再从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，这样依次摸球，连续摸出2个红球停止摸球，最多摸球6次．记停止摸球时摸球次数为，则的数学期望（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．的最大值是 C．的一条对称轴为 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10．已知实数，，满足且，则下列结论正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．的最大值为 D．的取值范围为 11．如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱BC，CD的中点，动点Q在该正方体表面（底面ABCD以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面BOD截该正方体所得截面的面积为 B．点Q的轨迹长度为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．三棱锥的体积的最大值为2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若一组成对数据（，2，…，n）的相关系数，则数据（，2，…，n）的相关系数为__________．（相关系数的计算公式为，其中，） 13．如图1，在中，，，是线段的中点．将沿所在直线翻折得到三棱锥，如图2．若，则三棱锥外接球的体积为________． 14．已知平行四边形，点为边的一点，且，点是射线上一动点，又数列满足，恒有，记的前项和为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在中，角，，的对边分别为，，．已知． (1)求； (2)若的长为，求的取值范围． (3)若为线段延长线上一点，且，，求． 16．（15分） 如图1，五边形中，，，，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求长． 17．（15分） 波利亚罐子模型为经典随机过程模型，抽样后增补同类样本，可体现概率正反馈效应，多用于算法、社会统计领域.某短视频平台为用户初始推送3条科技类视频、2条生活类视频，平台更新推荐池规则如下：用户每次随机点击观看1条视频后，平台将该视频保留在推荐池，同时额外新增1条同类型视频加入推荐池.设第次点击更新后，推荐池中科技类视频的数量为. (1)求的数学期望与方差； (2)求（其中，，…；或）； (3)若，求数列的通项公式. 18．（17分） 过单位圆上的动点作与轴垂直并相交于点，动点满足，动点的轨迹是焦距为的椭圆． (1)求的值； (2)过轴正半轴上的一点作两条互相垂直的直线与椭圆分别相切于点，，求的面积； (3)设椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，是椭圆上的动点，直线，与轴分别相交于点，直线与交于点，设，证明：为定值． 19．（17分） 曲线的曲率是指曲线上某点处的切线方向角对弧长的转动率，常用来刻画曲线的弯曲程度．曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．光滑连续的曲线在点处的曲率的计算公式为，其中为的导函数，为的导函数． (1)求曲线在点处的曲率； (2)设函数，若在点、处的曲率均为． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $