广东工业大学北附教育港澳台联考2026届高三上学期第一次月考数学试卷

中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生 广工大北附2026届第一次月考数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分 一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.已知全集U={-1,0,1,2,3,4},集合A,B满足CA={0,2,4}, CB={-1,0,1,3},则A∩B=() A.{-1,0,1,2,3,4} B.{-1,1,2,3,4} C.{0} D. 2.已知i是虚数单位，若复数z= -7'则=() A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 3 3.设0为第三象限角，sin日=一方，则sn20=（） 7 24 24 B.25 c.- D 25 25 4.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(4,-3)若元为实数且(a+b)1c,则=() A马 B.2 C.1 D.2 4 5.己知直线m⊥平面，直线nc平面B,则a∥B”是“m⊥n”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 6.若直线kx-y+1=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0有公共点，则实数k的取值范围是() A.[-3,+∞) B.(-∞，-3] C.0,+oo) D.(-o0,+0∞) 7.已知等比数列{a,}的前n项和为S,且4o=V2a,若S2=Sg+S24,则mF() 以、 0、> 5 15 16 8.甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者参加志愿者活动，现有A,B,C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中 一个小区则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为（) 193 100 5 A. B. 243 243 C. D. 9 9.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线1与抛物线相交于A,B,点A在第一象限，且 h个-B-则 =() BF 3 A. B.2 C.3 D.4 2 10设fx)=x+1 X 若函数y=lfx-ax2恰有3个零点，则实数a的取值范围为() A.( B(信e) c.() D.(,)周 二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。 11.二项式(1-x)3的展开式中x4的系数为 12.若xy2=1,则4x+y2的最小值为 13.如图，D为等边△ABC的重心，E为BC边上靠近C的四等分点，若DE=2AB-AC,则 2+4= B 14.已知二次多项式ax2+bx+c除以x-1的余式是1，除以x-2的余式是2，除以x-3的余式是4，则该 二次多项式除以x-4的余式是 15.已知函数f(x)是偶函数，奇函数g(x)过点(-1,1)，且g(x)=f(x-1),则f(7)+f(8)的值为 三、解答题：本大题共4小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.在△4BC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，cos2C-cos2B=2sinA(sinA-sinC) (1)求角B的大小： (2)若c=1,△4BC的面积为33 17.已知定义域为R的函数fx)=ax-k-1)ax(a>0且a≠1)是奇函数。 (1)求实数k的值： (2)若f1)大0，判断函数单调性，并求不等式fx2+x)十f4一x)<0对于x∈(1,3)恒成立时t的取值范围。 18.一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的(n∈) 个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立。对每一 个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种， (1)当=3时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望. (2)当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 9知椭圆c+ 长1a>6>0)的高心车是号，E道到线兰+1的延我等于 a b 3，又 知点Q(0,3). (1)求椭圆C的标准方程： (2)若椭圆C上总存在两个点A、B关于直线y=x+m对称，且3QA·QB<28,求实数m的取 值范围. 数学月考一参考答案 1-10 DBDBA DCBBA 11.70 12.4 13-1 2 14.7 15.-1 16.在△4BC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，cos2C-cos2B=2sinA(sinA-sinC) (1)求角B的大小： (2)若c=1,△4BC的面积为3 2 ,求b (1)1-2sin2C-(1-2sin2 B)=2sin2 A-2sin Asin C b2=a2+c2-ac B=刀 3 (②s=2 dcsin B6 b2=ad2+c2-ac=31 b=√31 17.已知定义域为R的函数fx)=ax一k一1)ax(a>0且a≠1)是奇函数。 (1)求实数k的值： (2)若f(1)0,判断函数单调性，并求不等式fx2+tx)+f4一x大0对于x∈(1,3)恒成立时t的取值范围。 (1)f(0)=0 .k=2 f(x)=a-a 经验证，该f(x)为奇函数 (2)f(1)=d-a1<0 a<1 f(x)=a-a为减函数 f(x2+x)+f(4-x)<0 f(x2+x)<-f(4-x)=f(x-4) x2+tx>x-4 t>-3 18。一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的（∈N)个 每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为)且每粒种子是香发芽相互独立·对每一个坑而 如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种 (1)当=3时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望. (2)当n取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ (①)对于一个坑，不需要补播种的概率为}，需要补播种的概率为3 4 4 G c <n< 23 16 3 .n=5 405 1024 19.己知椭圆C:兰+ a 片-1(a>6>0)的离心率是、原点到直线之+片-1的距窝等F2 2 a b ,又知点 2(0,3) (1)求椭圆C的标准方程： (2)若椭圆C上总存在两个点A、B关于直线y=x+m对称，且3OAQB<28,求实数m的取值范围. Va2-62 V2 a 1.由 1 2V3,得a2=4,b2=2,所 1 3 Va2+62 似圆C标准方程为 4 2 =1. 2.根据题意可设直线AB的方程为y=一x+n,联立 y=-x+n 整理得 (4+ 2 3x2-4nx+2(n2-2）=0,由 △=(-4n)2-4×3×2(m2-2>0,得n2<6, 设A(1,-E1+n,B(c2,-x2+n),则 4n 1+2=3,12= 2(n2-2,又设AB的中 3 京为M(+小，则=士=智 3 -0+n=号，由于点M在直线划=2+m上，所 以号=+m,得n=-3m,代入m2<8.得 9m2<6,所以-V6 <m< ①，因为 3 QA=,-1+n-3y QB=(x2,-x2+n-3) ,所从 QA.QB=2x1x2-(n-3)(x1+x2)+(n-3)2 4(m2-2）4n(m- 3 3 2+(m-3)2 =3n2-6m+19,由30A.QB<28 3 ,得3n2-6n+19<28,解得-1<n<3,所以 -1<-3m<3即-1<m<号2，又由02得 m< 6 故实数m的取值范围为 ()