2026-2027学年高二数学上学期第一次月考自编模拟卷（广东省广州市适用）

**基本信息** 本卷聚焦高二上学期空间向量与立体几何核心内容，通过基础题（如直线倾斜角）、综合题（如折叠几何体）、探究题（如动点存在性）的梯度设计，检测空间观念与推理能力，适配广州地区月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线倾斜角、空间坐标对称、基底判断|基础巩固，如第1题考查倾斜角概念| |多选|3/18|线面平行、异面直线成角|能力提升，如第11题动点G问题融合体积与平行判定| |填空|3/15|异面直线距离、体积比|创新应用，第14题体积比最小值考查空间想象| |解答|5/77|折叠几何体证明、四棱锥探究|综合检测，19题存在性问题培养创新意识|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C．0 D． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．空间内有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 7．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中真命题有（    ） A．直线在轴上的截距为 B．经过定点的直线都可以用方程表示． C．直线必过定点 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是 10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 11．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上的动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点G﹐使得平面 C．G为中点时，直线EG与所成角最小 D．点F到直线EG距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为___________ 13．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 14．如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 16．（15分） 如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 17．（15分） 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 18．（17分） 在如图（1）所示的平面图形中，四边形是直角梯形，，，，，和是两个正三角形．分别沿，将两个正三角形折起，使得平面和平面都与平面垂直，连接，，，得到如图（2）所示的几何体． (1)证明：平面平面． (2)求点D到平面的距离． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分） 在四棱锥中，平面平面，是线段的中点. (1)证明：. (2)若二面角的平面角的正弦值为. ①求线段的长； ②若为线段的中点，点在线段上，是否存在实数，使得当时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据直线与轴平行时，直线的倾斜角为0求解. 【详解】，此直线与轴平行， 直线与轴平行，此直线的倾斜角为0， 的倾斜角为0. 故选：C. 2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系的对称性，即可求解. 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C. 3．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 4．已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据斜率公式求出斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意，     因为，所以，所以， 所以，即， 所以， 即直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D． 5．空间内有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标表示求出，利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】因为，所以的一个单位方向向量为. 因为， 所以点到直线的距离为. 故选：A 6．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义即可求得向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意有：向量在向量上的投影向量是： ， 故选：A. 7．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为平面的方程为，故其法向量为， 因为直线的方程为，故其方向向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 8．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】D 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误. 【详解】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点. 在正方体中，平面，平面，， 又，，平面，即，， 同理可证，，则，. 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，. 对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确； 对于命题②，，则平面的一个法向量为， ，令，解得， 所以，存在点使得平面，命题②正确； 对于命题③，，令， 整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中真命题有（    ） A．直线在轴上的截距为 B．经过定点的直线都可以用方程表示． C．直线必过定点 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是 【答案】AC 【分析】根据截距的定义，点斜式的应用，直线恒过定点的求解以及由直线平行求参数和两平行线间的距离公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】A：对直线方程，令解得，故该直线在轴上的截距为，故A正确； B：经过点的直线若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，则无法用表示，故错误； C：当时，可整理为：，恒过定点； 当时，即为，过点； 故直线必过定点，正确； D：直线与直线平行，则， 此时即，也即， 则两平行线间的距离，故D错误. 综上所述，正确的选项是：. 故选：. 10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 【答案】AC 【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长. 【详解】 ∵，故A正确. ∵.故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵，∴.故D错误. 故选：AC. 11．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上的动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点G﹐使得平面 C．G为中点时，直线EG与所成角最小 D．点F到直线EG距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据等体积法可知，即可判断A项；建系，假设存在点G﹐设.根据向量的坐标，由，解出的值，即可判断B项；由已知推出，根据二次函数以及余弦函数的性质，结合的取值范围，即可判断C项；求出在方向上投影的绝对值为，然后根据勾股定理表示出点F到直线EG的距离，根据二次函数的性质，即可得出最小值. 【详解】 如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，，. 对于A项，由正方体以及面面平行的性质可得，平面， 点G在线段上，所以到平面的距离等于. 因为，所以. 则是个定值，故A项正确； 对于B项，假设存在点G﹐使得平面. 设. ，，，， 则. 所以，，所以，满足条件. 此时有，，平面，平面，， 所以，存在点G﹐使得平面，故B项正确； 对于C项，设直线EG与所成角为. 因为，. 所以， 所以. 因为，所以当时，有最小值，显然有，则有最大值，根据余弦函数的单调性可知，当时，有最小值，故C项错误； 对于D项，因为，， 所以，在方向上投影的绝对值为， 由C知，当时，有最小值，则有最大值为， 又，所以，点F到直线EG距离的最小值为，故D项正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：由点为线段上的动点，设.可以通过的坐标，表示出与点有关的向量. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为___________ 【答案】2 【分析】直线与已知直线平行，可设直线的方程为：，再将点代入解得即得 【详解】∵直线与直线平行， ∴设直线的方程为，且， 又直线过点，∴，得， 故直线的方程为. 故答案为：. 13．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 14．如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 【答案】 【分析】利用四点共面，求出相应最值，根据三元均值不等式求解即可 【详解】因为点分别为的三等分点， 所以， 又因为为中点，所以， 又，所以， 令，，，显然都为正数， 则， 因为四点共面，所以， 当且仅当时取等号，故， 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 因为，， 所以， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 16．（15分） 如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 【答案】(1) (2)由题意知，， 因为，所以， 所以，， ， 不妨设， 即，解得.即 ， 根据共面向量定理，共面，即四点共面. 【分析】（1）将作为基底， 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可. （2）由共面向量定理证明即可. 【详解】（1）设，且，分别为，的中点. 所以. 则 ， 所以. （2）略 17．（15分） 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； (2) (3) 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【详解】（1）略 （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 18．（17分） 在如图（1）所示的平面图形中，四边形是直角梯形，，，，，和是两个正三角形．分别沿，将两个正三角形折起，使得平面和平面都与平面垂直，连接，，，得到如图（2）所示的几何体． (1)证明：平面平面． (2)求点D到平面的距离． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)设，的中点分别为M，N，连接，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以．     又，且，是平面内的两条相交线， ，是平面内的两条相交线，所以平面平面． (2) (3) 【分析】（1）利用面面平行判定定理的推论由，证明面面平行即可; （2）将点D到平面的距离看作三棱锥的高，利用等体积法求解即可; （3）设平面与平面夹角为，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过求解. 【详解】（1）略 （2）连接，可得，又， 所以平面，则，     在中，， 所以，    设点D到平面的距离为h，则． 易知平面，所以是三棱锥的高， 所以， 由，得，所以， 所以点D到平面的距离为． （3）如图，以M为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 可得，可取，，   所以．设平面的法向量为， 则，即，可得，可取，， 所以．    设平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19．（17分） 在四棱锥中，平面平面，是线段的中点. (1)证明：. (2)若二面角的平面角的正弦值为. ①求线段的长； ②若为线段的中点，点在线段上，是否存在实数，使得当时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在实数 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直的定义得出线线垂直； （2）①根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，先求出平面与平面的法向量，再根据求平面与平面夹角余弦公式计算求解参数；②计算得出，进而得出，再应用线面平行的向量关系列式求解. 【详解】（1）证明：在中，是线段的中点，. ∵平面平面，平面平面平面平面. 又平面. （2）解：①取的中点，连接，则，由（1）可知，平面. 平面，即两两互相垂直. 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则. 设平面的法向量为， 则即令，则. 设平面的法向量为， 则即令，则. . 设二面角的平面角为， 则. ，解得，即. ②假设实数存在，设点，则. 由，得则 由，得，则， 由（1）知平面的一个法向量. 由平面，得，解得. ∴存在实数，使得当时，平面. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $