精品解析：广东深圳市第三高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题A组

深圳市第三高级中学2024-2025学年度第一学期月考 高二A组数学试题卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标平面的对称性求解． 【详解】点A关于平面的对称点的坐标是， 故选：B． 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解. 【详解】向量，则， 因，于是得，解得， 所以. 故选：B. 3. 已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论. 【详解】对于A，，，故选项A在平面内； 对于B，，，故选项B不在平面内； 对于C，，，故选项C在平面内； 对于D，，，故选项D在平面内. 故选：B. 4. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题意先求出时的的值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设，可得，解得或. 当时，：，：，此时，当时，：，：，此时， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 6. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 或 B. C. D. 与斜交 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以或. 7. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】 设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为. 故选：B. 8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 【答案】C 【解析】 【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断. 【详解】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确． 故选：C 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 四点共面 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D. 【详解】， 所以平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确； 设，则，无解，所以四点不共面，故B错误； ，所以与不平行，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线的方程得横截距可判断A；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断B；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断CD． 【详解】对于A，令时，，则在轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线，当时，所以直线恒过，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，等价于，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 长方体，，则下列说法中正确的是（ ） A. 长方体外接球的表面积等于 B. 是线段上的一动点，则的最小值等于3 C. 点到平面的距离等于 D. 二面角的正切值等于2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由长方体的体对角线求出直径，由球的表面积公式求解即可判断选项A；把矩形和放置在同一平面内，当点，，三点共线时，最小，求解即可判断选项B；以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到面的距离，判断C；作，交于点，则为二面角的平面角，求解即可判D. 【详解】对于A，长方体外接球的直径， 故外接球的表面积为，故选项A正确； 对于D，把矩形和放置在同一平面内，如图所示， 其中，，，则， 连接交于点， 当点，，三点共线时，最小， 则，故，所以， 由余弦定理可得， ， 所以，即的最小值为，故B正确； 以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则 所以 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，所以， 所以点到平面的距离为，故C错误； 作，交于点，由于， 平面，平面， 所以，则为二面角的平面角， 在中，，所以， 在中，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 【答案】 【解析】 【详解】由，得，由，得，由， 得 ， 所以的长为. 13. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据与平面的法向量垂直可求出，然后利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】因为、，所以, 记平面的一个法向量为， 则，解得， 故平面的一个法向量为. 因为，所以, 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为__________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案. 【详解】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足, ,即， , ,当且仅当时，等号成立， 的最大值为4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点是，，. （1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线BC的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程； （2）由题意分直线与AB平行和直线通过AB的中点两种情况求解. 【小问1详解】 因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为， 所以BC边上的高所在直线的方程， 即. 【小问2详解】 因为点A, B到直线的距离相等，所以直线与AB平行或通过AB的中点， ①当直线与AB平行， 因为，且过点C， 所以方程为，即. ②当直线通过AB的中点， 所以， 所以的方程为，即. 综上：直线的方程为或. 16. 已知平行六面体，底面是正方形，，，设． （1）试用表示； （2）求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系； （2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ， 所以 . 所以. 17. 在中，角的对边分别为，. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）；（2）3. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得； （2）利用三角形面积公式得到，再由余弦定理求出，即可求出三角形的周长； 【详解】解：（1）将展开得 ， 由正弦定理得， 由余弦定理得因为， 所以 （2）根据余弦定理， 因为的面积为，所以 因为，所以，解得 的周长为 18. 已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， （1）求三角形面积取最小值时直线的方程； （2）求取最小值时直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意设，，由条件结合基本不等式求取得最小值时和的值即可求解； （2）结合（1），利用基本不等式计算取得最小值时和 的值即可求解； 【小问1详解】 由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即， 【小问2详解】 因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即． 19. 如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）证明：平面； （2）直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）连接并延长，交圆于点，连接， 则，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以， 故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线， 因为为直径，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，即平面. （2）存在，1 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线性质得，结合圆的直径特征构造矩形，以此确定两平面的交线；利用直径所对圆周角为直角得到线线垂直，再结合面面垂直的性质定理，证明平面. （2）建立空间直角坐标系，设出直线上点的坐标，求出平面的法向量；根据线面角的向量计算公式列方程，解出参数后得到的长度，验证点是否存在. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，，，， ，， 则， 设平面的法向量为， 则 解得，令，则， 故，又， 故， 解得，故，即直线上存在点， 使得直线与平面所成的角的正弦值为，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市第三高级中学2024-2025学年度第一学期月考 高二A组数学试题卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 6. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 或 B. C. D. 与斜交 7. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A. B. C. D. 8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 四点共面 C. D. 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 11. 长方体，，则下列说法中正确的是（ ） A. 长方体外接球的表面积等于 B. 是线段上的一动点，则的最小值等于3 C. 点到平面的距离等于 D. 二面角的正切值等于2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 13. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为______． 14. 直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点是，，. （1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 16. 已知平行六面体，底面是正方形，，，设． （1）试用表示； （2）求的长度． 17. 在中，角的对边分别为，. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 18. 已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， （1）求三角形面积取最小值时直线的方程； （2）求取最小值时直线的方程． 19. 如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）证明：平面； （2）直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $