精品解析：广东省广州市第九十七中学2025-2026学年高二上学期12月段考数学试卷

2025学年第一学期12月段考试题 高二年级数学科 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知数列中，，，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知点在抛物线上，为的焦点，，则（ ） A. B. C. D. 16 6. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 7. 已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（ ） A. 轨迹的方程为 B. 面积最大值为 C. 若，则的最大值为 D. 在上存在点，使得 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 公差 C. D. 当或时，最小 10. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 与的夹角为 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图，曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一，下列结论中正确的是（　　） A. 曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3 B. 曲线C关于y轴对称 C. 曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点） D. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则___________． 13. 在数列中，若，，则________． 14. 已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设等差数列的前项和为，已知 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）当为何值时，最大？并求的最大值. 16. 在平面直角坐标系中，存在四点． （1）求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 17. 已知椭圆的焦距是，长轴长是4. （1）椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，求的面积. 18. 如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． （1）证明：． （2）求平面和平面所成角的余弦值． （3）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 19. 阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， （1）若，，证明：极线恒过定点. （2）在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 （3）若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期12月段考试题 高二年级数学科 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知数列中，，，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由递推公式逐项递推求解即可. 【详解】由题，， 故选：C. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将抛物线的方程化成标准方程，再写出焦点坐标. 【详解】由题意，抛物线可化为的焦点坐标为. 故选：C． 3. 如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求得正确结论. 【详解】因为，， 所以． 故选：C 4. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程分析运算，注意讨论截距是否为0. 【详解】设直线在x，y轴上的截距分别为，则， 若，即直线过原点，设直线为， 代入，即，解得， 故直线方程为； 若，设直线为， 代入，即，解得， 故直线方程为，即； 综上所述：直线方程为或. 故选：D. 5. 已知点在抛物线上，为的焦点，，则（ ） A. B. C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，再把点代入抛物线得出，最后计算求解即可. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为，又因为点在抛物线上， 所以，所以，所以. 故选：D. 6. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 7. 已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意不妨设l的方程为，根据题意可得的坐标，代入椭圆方程，进而计算可求得椭圆的离心率. 【详解】易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为. 如图，由，，可得， 代入椭圆方程，得，又， 故，解得（舍去），所以. 故选：A. 8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（ ） A. 轨迹的方程为 B. 面积最大值为 C. 若，则的最大值为 D. 在上存在点，使得 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；对于B，数形结合可判断；对于C，设 ，转化为直线与曲线有公共点，结合直线与圆的位置关系可判断；对于D，求出点的轨迹方程，转化为两圆的位置关系即可判断. 【详解】设，不与、重合， 由、，有，， ，即，化简得， 所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示， 对于A选项，由曲线的方程为，选项A正确； 对于B选项，由图可知，当时，点到直线的距离取最大值， 所以，，B对； 对于C选项，设，可得， 由题意可知，直线与圆有公共点，则， 解得，故的最大值为，C对； 对于D选项，设，由得， 化简得，因为， 所以上不存在点，使得，故D错误. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 公差 C. D. 当或时，最小 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差中项的性质求出判断A，利用等差数列公差的性质求解判断B，法一先利用等差数列的前项和公式求出，再求出判断C，结合二次函数的性质判断D，法二先利用等差数列的通项公式求出，再单独求出判断C，最后分析的正负情况判断D即可. 【详解】因为，，所以，解得，故A正确. 设等差数列的公差为d，则，故B正确. 对于选项C，D，法一：因为， 所以， 而；由于二次函数的图象开向上， 且对称轴为直线，所以当或时，最小，故C错误，D正确. 法二：因为， 所以，故， 则； 因为，所以当时，，且， 当时，，所以当或时，最小，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共线向量的定义判断A，结合单位向量和共线向量的定义判断B，根据投影向量的定义判断C，根据向量垂直的坐标关系判断D. 【详解】已知空间中三个向量，， 对于A选项，因为，故、不共线，A错； 对于B选项，与同向的单位向量是，B对； 对于C选项，在方向上的投影向量是， 所以在方向上的投影向量是，C对； 对于D选项，因为， 则、不垂直，D错. 故选：BC. 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图，曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一，下列结论中正确的是（　　） A. 曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3 B. 曲线C关于y轴对称 C. 曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点） D. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 【答案】ABD 【解析】 【详解】根据曲线C:x2+y2=1+|x|y，可得曲线与x轴，y轴的交点M(1,0),N(-1,0),P(0,-1),Q(0,1). 选项A，曲线C所围成的“心形”区域的面积大于图中两个小正方形与一个三角形的面积之和.两个正方形的面积均为1，△MNP的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，所以选项A正确. 选项B:将方程中的x换成-x方程不变，所以图形关于轴对称，故B正确； 选项C: C与x轴，y轴的交点M(1,0),N(-1,0),P(0,-1),Q(0,1),结合曲线的图象可知，H(-1,1),K(1,1).故曲线一共经过6个整点，所以选项C错误； 具体证明如下：由图可知，x轴下方只有一个整点，即点P，当y>0时，根据曲线的图象的对称性，可先设图象上第一象限的任意一点T(x,y),则x>0.由得，即.把方程看作关x于的一元二次方程，则有,解得：.所以y只能取1. 同理，把上述方程看作关于y的一元二次方程，可得0<.所以x只能取1. 因此，点T只有一种情况,即第一象限只有一个整点，同理第二象限也只有一个整点.因此共有6个整点. 选项D: 设图象上任意一点T(x,y) ，x>0,则.因为x>0,由,得,当且仅当时，等号成立.所以即 ，当且仅当时，取得最大值，即当时，图象上的点到原点的距离都不超过,根据曲线的图象的对称性可得，当时，图象上的点到原点的距离都不超过;当时，.所以选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的坐标表示列式计算得解. 【详解】由向量，得，， 由，得， 所以. 故答案为：3 13. 在数列中，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干递推关系可知数列为等差数列，由等差数列通项公式求出. 【详解】因为，即， 所以数列是公差为的等差数列， 又， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查等差数列，属于基础题. 14. 已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆关于直线对称的圆为圆，将原问题转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题求解. 【详解】圆，即， 圆心为，半径 圆，即， 圆心为，半径， 设点关于直线对称的点为 ， 则 ，解得：， 圆关于直线对称的圆为圆， 其圆心为，半径， 则其方程为， 设圆上的点与圆上点对称，则有， 原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题， 如图所示： 连接，与直线交于点， 此时点是满足最小的点， 此时， 即的最小值为， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设等差数列的前项和为，已知 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）当为何值时，最大？并求的最大值. 【答案】（1）an=48-8n（2）（3）当n=5或n=6时，Sn最大，且Sn的最大值为120 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解. （2）利用等差数列的前项和公式即可求解. （3）利用等差数列的前项和公式配方即可求解. 【详解】（1）依题意有，解得，∴an=48-8n. （2）由（1）知，a1=40，an=48-8n， ∴Sn= （3）由（2）有，Sn=-4n2+44n=-4(n-)2+121， 故当n=5或n=6时，Sn最大，且Sn的最大值为120 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列的前项和公式、等差数列的前项和公式的函数特征，属于基础题. 16. 在平面直角坐标系中，存在四点． （1）求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 【答案】（1），D在圆M内 （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D坐标代入圆的方程判定位置关系即可； （2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程. 【小问1详解】 设圆M方程为， 把A，B，C三点坐标代入可得： 解得，，， 所以圆M方程是, 把D点坐标代入可得：，故D在圆M内； 【小问2详解】 由（1）可知圆M：，则圆心，半径， 由题意可知圆心到直线l的距离是， 当直线l斜率存在时，设直线l方程为：， 所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线l的方程为； 当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：， 此时圆心到直线l的距离是3，符合题意. 综上所述，直线l的方程为或. 17. 已知椭圆的焦距是，长轴长是4. （1）椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件求解出的值，则椭圆方程可求； （2）先写出直线的方程，然后通过联立求解出，结合点到直线的距离公式即可求解出的面积. 【详解】（1）因为，所以，所以椭圆的方程为； （2）由题意可知直线的方程为：，设， 由可得，所以， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积为. 18. 如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． （1）证明：． （2）求平面和平面所成角的余弦值． （3）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，. （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，再由平面，得到，得出为等边三角形，证得，证得平面，即可证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（2）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 19. 阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， （1）若，，证明：极线恒过定点. （2）在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 （3）若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 【答案】（1） 右顶点为，， 双曲线的一条渐近线方程为：， 由，， 双曲线的标准方程 点在直线上， 设， 根据阅读材料可得极线为：， 整理有：， 则由，，定点为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，确定双曲线方程，结合题意确定方程即可求解； （2）设，，利用点差法求出直线斜率即可求解； （3）根据已知条件，结合材料，确定为，直曲联立，利用韦达定理得到：，，结合题意有化简整理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若定点为的中点，设，，则， 由点差法可得： 又因为：，，所以 解得：，所以极线方程为：. 【小问3详解】 ，，，所以直线方程为：， 由题意，设：则极线为：即， 由 设， 由韦达定理可得，， 直线，得， 直线，得， ， 、满足，，， 且，， 所以原式化为： . 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，化简求值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $